Der Satz von Pick. Alexandra Zimmer

Transkript

1 Der Satz von Pick Alexandra Zimmer

2 Übersicht Georg Pick Der Satz von Pick: Hilfslemma Beweisidee Beweis Hilfslemma Basis des Z²-Gitters, elementares Parallelogramm mit Flächeninhalt 1 Beweis Satz Triangulierung, Anzahl Dreiecke, Eulerscher Polyedersatz

3 Georg A. Pick * , österreichischer Mathematiker Pick-Nevanlinna-Interpolation, Lemma von Schwarz-Pick und Satz von Pick (von 1899) floh nach Prag, starb im Konzentrationslager

4 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind.

5 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind Herkömmlicher Weg:

6 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind Herkömmlicher Weg:

7 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind.

8 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind.

9 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind.

10 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind.

11 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind.

12 Satz von Pick Die Fläche eines (nicht notwendigerweise konvexen) Polygons Q (aus R²) mit ganzzahligen Ecken ist durch gegeben, wobei n in und n rd die Anzahlen der ganzzahligen Punkte im Inneren bzw. auf dem Rand von Q sind.

13 Aussage: Die Fläche eines elementaren Dreiecks beträgt ½. Hilfslemma

14 Hilfslemma Aussage: Die Fläche eines elementaren Dreiecks beträgt ½. Ein konvexes Polygon ist elementar, wenn seine Ecken ganzzahlig sind, aber es keine Gitterpunkte enthält.

15 Beweisidee Beweis Hilfslemma aus elementarem Dreieck gebildetes elementares Parallelogramm Seiten des Parallelogramms sind Basis des Gitters Z² Determinantenberechnung mithilfe von Einheitsbasis Parallelogramm hat Flächeninhalt 1 Beweis Satz von Pick Triangulierung := Polygonunterteilung in elementare Dreiecke von Flächeninhalt ½ Anzahl Dreiecke abhängig von Kanten- und Knotenanzahl Eulerscher Polyedersatz

16 Beweis Hilfslemma elementares Dreieck Δ p2 p1 p0

17 Beweis Hilfslemma elementares Dreieck Δ Spiegelungs-Abbildung im Mittelpunkt der Strecke p1 nach p2: p1+p2-p0 p2 p1 p0

18 Beweis Hilfslemma elementares Dreieck Δ Spiegelungs-Abbildung im Mittelpunkt der Strecke p1 nach p2: p1+p2-p0 Parallelogramm P bestehend aus p0, p1, p2, p1+p2-p0 (gespiegelt-p0) p1 p2 p0

19 Beweis Hilfslemma elementares Dreieck Δ Spiegelungs-Abbildung im Mittelpunkt der Strecke p1 nach p2: p1+p2-p0 Parallelogramm P bestehend aus p0, p1, p2, p1+p2-p0 (gespiegelt-p0) p1 p2 p0 zz.: P ist ebenfalls elementar

20 Beweis Hilfslemma konvexes Polygon elementar, wenn Ecken ganzzahlig und keine Gitterpunkte innerhalb p1+p2-p0 p2 p1 p0

21 Beweis Hilfslemma konvexes Polygon elementar, wenn Ecken ganzzahlig und keine Gitterpunkte innerhalb P ist symmetrisch bzgl. der Abbildung jeder Punkt von P bildet auf einen der 4 Punkte im Parallelogramm ab p1+p2-p0 p2 p1 p0

22 Beweis Hilfslemma konvexes Polygon elementar, wenn Ecken ganzzahlig und keine Gitterpunkte innerhalb P ist symmetrisch bzgl. der Abbildung jeder Punkt von P bildet auf einen der 4 Punkte im Parallelogramm ab das Z²-Gitter ist symm. bzgl. der Abbildung jeder Punkt des Gitters bildet auf einen anderen Gitterpunkt ab nur ganzzahlige Punkte werden addiert und subtrahiert p1 p2 p1+p2-p0 p0

23 Beweis Hilfslemma konvexes Polygon elementar, wenn Ecken ganzzahlig und keine Gitterpunkte innerhalb P ist symmetrisch bzgl. der Abbildung jeder Punkt von P bildet auf einen der 4 Punkte im Parallelogramm ab das Z²-Gitter ist symm. bzgl. der Abbildung jeder Punkt des Gitters bildet auf einen anderen Gitterpunkt ab nur ganzzahlige Punkte werden addiert und subtrahiert p1 p2 p1+p2-p0 keine Gitterpunkte in P, da durch Spiegelung keine weiteren Punkte innerhalb entstehen können p0

24 Beweis Hilfslemma konvexes Polygon elementar, wenn Ecken ganzzahlig und keine Gitterpunkte innerhalb P ist symmetrisch bzgl. der Abbildung jeder Punkt von P bildet auf einen der 4 Punkte im Parallelogramm ab das Z²-Gitter ist symm. bzgl. der Abbildung jeder Punkt des Gitters bildet auf einen anderen Gitterpunkt ab nur ganzzahlige Punkte werden addiert und subtrahiert p1 p2 p1+p2-p0 keine Gitterpunkte in P, da durch Spiegelung keine weiteren Punkte innerhalb entstehen können p0 P ist elementar, da ganzzahlige Ecken und innerhalb keine Gitterpunkte

25 Beweis Hilfslemma Parallelogramme pflastern die Ebene

26 Beweis Hilfslemma Parallelogramme pflastern die Ebene

27 Beweis Hilfslemma Parallelogramme pflastern die Ebene

28 Beweis Hilfslemma Parallelogramme pflastern die Ebene, indem parallele Seiten aneinander gelegt werden

29 Beweis Hilfslemma Parallelogramme pflastern die Ebene, indem parallele Seiten aneinander gelegt werden Eine Gitterbasis ist ein Paar linear unabh. Vektoren f1, f2, für die gilt:

30 Beweis Hilfslemma Parallelogramme pflastern die Ebene, indem parallele Seiten aneinander gelegt werden Eine Gitterbasis ist ein Paar linear unabh. Vektoren f1, f2, für die gilt: (p1-p0, p2-p0) ist Gitterbasis, denn p1-p0, p2-p0 sind nicht lin. abhängig jeder Punkt wird erreicht

31 Beweis Hilfslemma z.z.: Fläche des von a, b aufgespannten Parallelogramms

32 Beweis Hilfslemma z.z.: Fläche des von a, b aufgespannten Parallelogramms

33 Beweis Hilfslemma z.z.: Fläche des von a, b aufgespannten Parallelogramms

34 Beweis Hilfslemma z.z.: Fläche des von a, b aufgespannten Parallelogramms

35 Beweis Hilfslemma z.z.: Fläche des von a, b aufgespannten Parallelogramms

36 Beweis Hilfslemma z.z.: Fläche des von a, b aufgespannten Parallelogramms

37 Beweis Hilfslemma z.z.: Fläche des von a, b aufgespannten Parallelogramms

38 Beweis Hilfslemma Aus Linearer Algebra bekannt: Für zwei Basen und gilt: es ex. eine umkehrbare, ganzzahlige Matrix Q mit:

39 Beweis Hilfslemma Aus Linearer Algebra bekannt: Für zwei Basen und gilt: es ex. eine umkehrbare, ganzzahlige Matrix Q mit: det(q) und det(q ¹) sind ganzzahlig, da Q ganzzahlig

40 Beweis Hilfslemma Aus Linearer Algebra bekannt: Für zwei Basen und gilt: es ex. eine umkehrbare, ganzzahlige Matrix Q mit: det(q) und det(q ¹) sind ganzzahlig, da Q ganzzahlig Multiplikationssatz besagt:

41 Beweis Hilfslemma Aus Linearer Algebra bekannt: Für zwei Basen und gilt: es ex. eine umkehrbare, ganzzahlige Matrix Q mit: det(q) und det(q ¹) sind ganzzahlig, da Q ganzzahlig Multiplikationssatz besagt:

42 Beweis Hilfslemma Aus Linearer Algebra bekannt: Für zwei Basen und gilt: es ex. eine umkehrbare, ganzzahlige Matrix Q mit: det(q) und det(q ¹) sind ganzzahlig, da Q ganzzahlig Multiplikationssatz besagt:

43 Beweis Hilfslemma Aus Linearer Algebra bekannt: Für zwei Basen und gilt: es ex. eine umkehrbare, ganzzahlige Matrix Q mit: det(q) und det(q ¹) sind ganzzahlig, da Q ganzzahlig Multiplikationssatz besagt:

44 Beweis Hilfslemma aus folgt, dass

45 Beweis Hilfslemma aus folgt, dass alle Gitterbasen besitzen die gleiche Determinante

46 Beweis Hilfslemma aus folgt, dass alle Gitterbasen besitzen die gleiche Determinante Für Einheitsmatrix E gilt:

47 Beweis Hilfslemma aus folgt, dass alle Gitterbasen besitzen die gleiche Determinante Für Einheitsmatrix E gilt: jede Gitterbasis besitzt die Determinante 1

48 Beweis Hilfslemma aus folgt, dass alle Gitterbasen besitzen die gleiche Determinante Für Einheitsmatrix E gilt: jede Gitterbasis besitzt die Determinante 1 jedes Basisparallelogramm besitzt Flächeninhalt 1

49 Beweis Hilfslemma aus folgt, dass alle Gitterbasen besitzen die gleiche Determinante Für Einheitsmatrix E gilt: jede Gitterbasis besitzt die Determinante 1 jedes Basisparallelogramm besitzt Flächeninhalt 1 Δ hat Flächeninhalt ½

50 Beweis Satz von Pick Bekannt: aus Hilfslemma: Jedes elementare Dreieck besitzt Flächeninhalt ½

51 Beweis Satz von Pick Bekannt: aus Hilfslemma: Jedes elementare Dreieck besitzt Flächeninhalt ½ Eulerscher Polyedersatz: Für (...) planare Graphen gilt:, wobei n = Anzahl der Knoten, e = Anz. der Kanten und f = Anz. der Flächen des Graphen

52 Beweis Satz von Pick Bekannt: aus Hilfslemma: Jedes elementare Dreieck besitzt Flächeninhalt ½ Eulerscher Polyedersatz: Für (...) planare Graphen gilt:, wobei n = Anzahl der Knoten, e = Anz. der Kanten und f = Anz. der Flächen des Graphen Jedes ganzz. Polygon besitzt eine Unterteilung in elementare Dreiecke mit Verwendung jedes Knotens (auf dem Rand und im Polygon)

53 Beweis Satz von Pick Bekannt: aus Hilfslemma: Jedes elementare Dreieck besitzt Flächeninhalt ½ Eulerscher Polyedersatz: Für (...) planare Graphen gilt:, wobei n = Anzahl der Knoten, e = Anz. der Kanten und f = Anz. der Flächen des Graphen Jedes ganzz. Polygon besitzt eine Unterteilung in elementare Dreiecke mit Verwendung jedes Knotens (auf dem Rand und im Polygon) Dass diese immer existiert sehen wir im Beweis des Museumswächterproblems

54 Beweis Satz von Pick Dreiecksunterteilung von Polygon Q interpretiert als f-1 Dreiecke der Fläche ½ auf planarem, unbegrenztem Graphen

55 Beweis Satz von Pick Dreiecksunterteilung von Polygon Q interpretiert als f-1 Dreiecke der Fläche ½ auf planarem, unbegrenztem Graphen

56 Beweis Satz von Pick Dreiecksunterteilung von Polygon Q interpretiert als f-1 Dreiecke der Fläche ½ auf planarem, unbegrenztem Graphen Anzahl der Dreiecke: e in (Kante in Q): gehört zu zwei Dreiecken e rd (Rand-Kante): gehört zu einem Dreieck

57 Beweis Satz von Pick Dreiecksunterteilung von Polygon Q interpretiert als f-1 Dreiecke der Fläche ½ auf planarem, unbegrenztem Graphen Anzahl der Dreiecke: e in (Kante in Q): gehört zu zwei Dreiecken e rd (Rand-Kante): gehört zu einem Dreieck Anzahl Dreiecke

58 Beweis Satz von Pick Anzahl Dreiecke

59 Beweis Satz von Pick Anzahl Dreiecke

60 Beweis Satz von Pick Anzahl Dreiecke

61 Beweis Satz von Pick Anzahl Dreiecke

62 Beweis Satz von Pick Anzahl Dreiecke

63 Beweis Satz von Pick Anzahl Dreiecke Euler:

64 Beweis Satz von Pick Anzahl Dreiecke Euler:

65 Beweis Satz von Pick Anzahl Dreiecke Euler:

66 Beweis Satz von Pick

67 Beweis Satz von Pick

68 Beweis Satz von Pick

69 Beweis Satz von Pick

70 Beweis Satz von Pick

71 Beweis Satz von Pick

72 Beweis Satz von Pick

73 Beweis Satz von Pick

74 Beweis Satz von Pick

75 Vielen Dank