Friesmuster in der Mathematik

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1 Friesmuster in der Mathematik Karin Baur Karl-Franzens-Universität Graz 7. Februar 03 Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 / 6

2 Muster I Muster Friese Ein Fries ist ein lineares Stilelement. Schmaler Streifen, oft dekorativ an Bauwerken. Dabei tritt ein Muster/ein Bildelement immer wieder auf, meist horizontal. Muster Fries Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 / 6

3 Beispiele Muster Friese Quelle: Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 3 / 6

4 Muster Parkettierungen Muster II Eine Parkettierung (Pflasterung) ist eine Überdeckung der Ebene durch sich wiederholende Teilflächen. Bei periodischen Parkettierenden wiederholen sich die Muster regelmässig, in zwei Richtungen in der Ebene. Zum Beispiel: damit: nicht: Spiegelungen, Verschiebungen, Rotationen, Gleitspiegelungen. 7 verschiedene Arten von periodischen Parkettierungen. lückenlos, ohne Überschneidungen Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 4 / 6

5 Muster Parkettierungen Beispiele (a) (b) (c) Alhambra M.C. Escher Hexagone, Quadrate und Dreiecke. (a) (b) (c) by regular polygons Karin Baur (Karl-Franzens-Universita t Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 5 / 6

6 Abbildungen Muster Friesgruppen Die Bewegungen in der Ebene, die ein Fries auf sich selbst abbilden heissen Symmetrien. Sie bilden die Friesgruppen. Immer drin: Verschiebung. Ausserdem: Spiegelungen, Rotationen, Gleitspiegelungen. Man unterscheidet sieben Arten von Symmetrien, abhänging davon, welche Bewegungen ein Fries erhalten. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 6 / 6

7 Symmetrien Muster Friesgruppen Verschiebungen (Pfeil) zusammen mit Rotationen (80 ) - (keine weiteren) horizontaler Achse Gleitspiegelung Rotat., Gleitspieg., vert. Achse vertikaler Spiegelungsachse... allen obigen... Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 7 / 6

8 Muster Friesgruppen Gleitspiegelung Eine Gleitspiegelung ist eine Kombination einer Spiegelung mit einer Verschiebung parallel zur Spiegelungsachse. echt: Verschiebung Nullvektor,unecht:Spiegelung Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 8 / 6

9 Friesmuster Conway-Coxeter Friesmuster Ein (Conway-Coxeter) Friesmuster ist ein unendlicher Streifen in der Ebene, gebildet aus endlich vielen Zeilen von positiven Zahlen, die versetzt untereinander angeordnet sind. Die erste und die letzte Reihe bestehen aus Einsen. Im Zahlenmuster soll zudem die Diamantregel gelten: Für jedes Quadrat a b c d sei ad bc =. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 9 / 6

10 Beispiel Friesmuster Die Ordnung des Friesmusters ist definiert als eins mehr als die Anzahl der Zeilen. Hier also : Ordnung 6. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 0 / 6

11 Friesmuster Eigenschaften Ein Friesmuster ist durch die zweite Zeile eindeutig gegeben (Diamantregel). Conway und Coxeter haben gezeigt: Ein Friesmuster der Ordnung n hat Periode n. Es ist invariant unter einer Gleitspiegelung. Je n aufeinanderfolgende Zahlen a, a,...,a n bestimmen das Friesmuster. Sie werden Quiddity-Zykel genannt. Ein Fundamentalbereich bestimmt es ebenso. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 / 6

12 Friesmuster Fundamentalbereich und Quiddity-Zykel (Friesmuster der Ordnung 6). Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 / 6

13 Friesmuster Beispiel Ordnung 5: Die Gleitspiegelung Wir nehmen ein Friesmuster mit positiven Zahlen x 0, x, x,... x 0 x x 4 x 6 x x 3 x 5 Nach der Diamantregel gilt: x 0 x =+x, x x 3 =+x, x x 4 =+x 3, x 3 x 5 =+x 4. Damit kann man zeigen, dass x 5 = x 0 und x 6 = x gilt. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 3 / 6

14 n-eck Triangulierungen Wir betrachten (regelmässige) Polygone mit n Ecken, geschreiben P n. Eine Triangulierung von P n ist eine Unterteilung das Vielecks in Dreiecke mit Hilfe von Diagonalen Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 4 / 6

15 Eigenschaften Triangulierungen Jede Triangulierung von P n benötigt n 3 Diagonalen, liefert n Dreiecke. Die Anzahl der verschiedenen Triangulierungen eines n-ecks 3 ist C n,diecatalan-zahlc n = ) n = (n 4)! ( (n 4) (n ) (n )!(n )! Anzahl Ecken C n für n 3 Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 5 / 6

16 Triangulierungen Triangulierungen und Friesmuster Triangulierung Quiddity-Zykel Sei T eine Triangulierung von P n.dieeckpunktevonp n werden durchnummeriert (Gegenuhrzeigersinn,,...,n). Sei a i die Menge der Dreiecke, die an die Ecke i anstossen (i =,...,n). Das gibt n positive Zahlen a,...,a n Z >0. Mindestens zwei Zahlen unter a,...,a n,sindgleicheins 4. Wir schreiben a,...,a n versetzt unter eine Zeile von Einsen. Mit Hilfe der Diamantregel berechnen wir weitere Zeilen. Conway-Coxeter (973): das liefert ein Friesmuster der Ordnung n, d.h. die (n )-te Zeile besteht aus lauter Einsen. Dieses Friesmuster ist eindeutig durch die Triangulierung festgelegt. 4 man sagt, jede Triangulierung habe mindestens zwei Ohren Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 6 / 6

17 Triangulierungen Triangulierungen und Friesmuster Beispiel (a,...,a 6 )=(,, 3,,, 3) Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 7 / 6

18 Triangulierungen Triangulierungen Friesmuster Triangulierungen und Friesmuster Haben Triangulierung von P n Friesmuster der Ordnung n. Drehungen einer Triangulierung verändern das Friesmuster nicht. Umkehrung: Conway und Coxeter haben auch gezeigt, dass jedes Friesmuster der Ordnung n von einer Triangulierung eines n-ecks kommt. Der Quiddity-Zykel ist gerade die Anzahl der Dreiecke an den Eckpunkten von P n. J.H. Conway, H.S.M. Coxeter. Triangulated polygons and frieze patterns,math.gaz.,57:87-94,973. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 8 / 6

19 Triangulierungen Friesmuster und Determinanten Ein Friesmuster der Ordnung n liefert eine n n Matrix: Diese Matrix ist symmetrisch. Ihre Einträge sind nichtnegative ganze Zahlen. Sie hängt vom Friesmuster bzw. von entsprechenden der Triangulierung des n-ecks ab. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 9 / 6

20 Beispiel n =6 Triangulierungen Friesmuster und Determinanten liefert M = Man berechnet: det M = 6. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 0 / 6

21 Triangulierungen Invarianz der Determinante Friesmuster und Determinanten Satz (Broline-Crowe-Isaacs, 974) Sei T eine Triangulierung von P n und M(T ) die Matrix des entsprechenden Friesmusters. Dann gilt: det M(T )= ( ) n Die Matrix ist also unabhänging von der Wahl der Triangulierung! D. Broline, D.W. Crowe, M. Isaacs. The geometry of frieze patterns. Geom. Ded., 3:7-76, 974. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 / 6

22 Triangulierungen Beschriftungen einer Triangulierung Beweis für das Resultat von BCI Es sei T eine Triangulierung von P n, i ein Eckpunkt von P n.wir schreiben zur Ecke i eine Null hin. Zu jeder Ecke, die mit i direkt verbunden ist (via Diagonalen, Rand) schreiben wir eine Eins hin. Weiter dann: sind in einem Dreieck zwei Eckpunkte beschriftet, so kriegt der dritte als Label die Summe der beiden Zahlen. Wir schreiben [i, j] fürdas Label, das j unter dem Ausgangspunkt i kriegt. Zum Beispiel: [i, i] =0,[i, i ] = [i, i +]= [3, ] = [3, ] = [3, 4] =, [3, 6] =, [3, 5] = 3 Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 / 6

23 Triangulierungen Beweis für das Resultat von BCI Hilfsresultate Es ist [i, i +]=a i+, die Zahl der Dreiecke an der Ecke i. Die Label erfüllen die Diamantregel: [i, j] [i +, j +]=[i +, j] [i, j +]+(füri j). Damit bilden die Labels genau das Friesmuster der Triangulierung. Lemma Ist i ein Ohr von T und j / {i, i, i +} so gilt: [j, i ] + [j, i +]=[j, i] Begründung Da i ein Ohr ist, ist (i, i, i +)daseinzigedreieckandieser Ecke. Für die Beschriftungen von j aus ist also Definition das Label [j, i] ani gerade die Summe der Beschriftungen an i, i +, d.h. [j, i ] + [j, i +]. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 3 / 6

24 Triangulierungen Beweis (Determinantenresultat) Beweis für das Resultat von BCI Über Induktion (Anzahl der Eckpunkte). 0 Im Fall n = 3 ist die Matrix immer gleich, M = 0, esist 0 det M =und ( ) 3 =. Sei also n > 3 und die Behauptung stimme für Friesmuster der Ordnung n. Die Triangulierung hat mindestens zwei Ohren, sei i ein solcher Eckpunkt von P n. Wir entwickeln die Determinante nach der i-ten Spalte. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 4 / 6

25 Triangulierungen Beweis für das Resultat von BCI Beweis, Fortsetzung Es ist [i, i] =0undesgilt(Spalteni undi +): [j, i ] + [j, i +] = [j, i] j i [i, i ] + [i, i +] = += Wir bilden eine neue Matrix M: vonderi-ten Spalte ziehen wir die (i )-te und die (i + )-te Spalte ab. Die Matrix M ist fast gleich wie M, nur stehen in der i-ten Spalte eine (Zeilei) undnullensonst. M 0 sei die Matrix, die durch Streichen der Zeile i und der Spalte i entsteht. Da i ein Ohr ist, ist M 0 die Matrix der Triangulierung vom Polygon ohne dieses Ohr. Für M 0 gilt (Induktionsvoraussetzung) det M 0 = ( ) n 3. Es ist det M =det M und nach der Spaltenentwicklung gilt det M =( ) i+i+ det M 0 = ( ) n. Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 5 / 6

26 Literatur Triangulierungen Beweis für das Resultat von BCI D. Broline, D.W. Crowe, M. Isaacs. The geometry of frieze patterns. Geom. Ded., 3:7-76, 974. J.H. Conway, H.S.M. Coxeter. Triangulated polygons and frieze patterns, Math. Gaz., 57:87-94, 973. Und zusätzlich Ausführliche Diskussion von Catalanzahlen: R. P. Stanley Enumerative Combinatorics, CambridgeStudiesinAdvanced Mathematics (6), 99 Mehr Details zu verschiedenen Teilen dieses Vortrags: H. Vogel, Die Determinante eine Friesmusters, ZeitschriftWurzel0, erhältlich unter baurk/hvogel-friesmuster.pdf Karin Baur (Karl-Franzens-Universität Graz) Friesmuster in der Mathematik 7. Februar 03 6 / 6