DSAL - 4. Globalübung. Benjamin Kaminski, Tim Quatmann. 15. Mai 2018

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1 . Bis. VL iib DSAL - 4. Globalübung St_offf-Pra@bungo.B :S inkl. Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Mai 2018 inhl. G Zuliissige Hilfsmittec Ein seblst besohriebenes : Din All Blatt. Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

2 Agenda 1 Fixpunktinduktion 2 Mergesort 3 Heapsort 4 Prioritätswarteschlangen Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

3 Fixpunktinduktion Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

4 Fixpunktinduktion T( h ) = 1, ten < 16 TH = zt( Fat ) + T(L j ) + n %n< no, H=t+2ne%,e z.me#+icfzhtn 1* sort, 9, = If Has # eogd Eat + )) ( n. ( QYIKN =/, rtztefeog { dtznloydn ) LED ) + Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

5 2 - * Has = t.de?zni#dad+g+zae.gfeh+n=en+znloy.(= + eog 2. ( )) au ( + a + ( e% 2- l t 2 n log ( ) z a l > 2 + Xtznlg NEE > 2 + n log, ( au ) ttt zulgli 2+-2 e. n > -#E o > 2 - n E 0 E)) t nlogz ( %) + n E nlogz ( 9) tank Mloyz ( Y ffa4nz= n ttf, ( y

6 Mergesort Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

7 - Mergesort = :L siii At ( o n log (4) 's # + n 2nlog.CL Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

8 L Y k b HYBlelislplielii.IE#lBeTiHplieHL EtIln1BeDDpildDestiDtdthe5dtsYDDetDattetibegiBetdgeeolprgs@sJ.v NEED Bee bamsedideb re t le.ly#1bleleklilililhpst

9 Heapsort Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

10 Heaps Max-Heaps Schlüssel eines Knotens ist größer als die Schlüssel seiner Kinder (oder gleich) Alle Ebenen (abgesehen von evtl. der untersten) sind komplett gefüllt Die Blätter auf der untersten Ebene sind linksbündig angeordnet f' yjo Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

11 - Heaps Min-Heaps Schlüssel eines Knotens ist kleiner als die Schlüssel seiner Kinder (oder gleich) Alle Ebenen (abgesehen von evtl. der untersten) sind komplett gefüllt Die Blätter auf der untersten Ebene sind linksbündig angeordnet C. th, yd Auch Min Heaps Lassen Sick als Array represent ien Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

12 Heapify auf Max-Heaps Heapqidne,, 1 void heapify (int E[], int n, int pos) { 2 int next = 2 * pos + 1; 3 while (next < n) { 4 if (next + 1 < n && E[next + 1] > E[next]) { 5 next = next + 1; 6 } 7 if (E[pos] >= E[next]) { 8 break; 9 } 10 swap(e[pos], E[next]); 11 pos = next; 12 next = 2 * pos + 1; 13 } 14 } /\ 8 42 of!?!!! i!? 9 42 ' f gu. 1 Knoteniadexder Max - I 1 Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20 1 ' die Heapeigenschaft Verletzt

13 Heapify auf Min-Heaps 1 void heapify (int E[], int n, int pos) { 2 int next = 2 * pos + 1; 3 while (next < n) { 4 if (next + 1 < n && E[next + 1] < E[next]) { 5 next = next + 1; 6 } 7 if (E[pos] E[next]) { 8 break; 9 } 10 swap(e[pos], E[next]); 11 pos = next; 12 next = 2 * pos + 1; 13 } 14 } Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

14 Heapaufbau auf Max-Heaps " " Index Vom let 1 void buildheap (int E[]) { / zten 2 for (int i = E.length / 2-1; i >= 0; i--) { 3 heapify(e, E.length, i) 4 } 5 } : ml th 's g #' no 0 inneren Knots Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

15 Heapaufbau auf Max-Heaps und Min-Heaps 1 void buildheap (int E[]) { 2 for (int i = E.length / 2-1; i >= 0; i--) { 3 heapify(e, E.length, i) 4 } 5 } Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

16 Sortie Heapsort 1 void heapsort (int E[]) { 2 buildheap(e); 3 for (int i = E.length - 1; i > 0; i--) { 4 swap(e[0], E[i]); s 5 heapify(e, i, 0); * 6 } 11 7 } 8.9 Max Hearst Aafst. Sort icrung Min Heaps Absf. rang Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

17 Prioritätswarteschlangen Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

18 Heapsort Anwendung: Prioritätswarteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 21/24 Erinnerung: Die Prioritätswarteschlange (I) ( sic he VL ) I Betrachte Elemente, die mit einem Schlüssel (key) versehen sind. I Jeder Schlüssel sei höchstens an ein Element vergeben. I Schlüssel werden als Priorität betrachtet. I Die Elemente werden nach ihrer Priorität sortiert.

19 Heapsort Anwendung: Prioritätswarteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 22/24 Erinnerung: Die Prioritätswarteschlange (II) Prioritätswarteschlange (priority queue) I void insert(priorityqueue pq, Element e, int k) fügt das Element e mit dem Schlüssel k in pq ein. I Element getmin(priorityqueue pq) gibt das Element mit dem kleinsten Schlüssel zurück; benötigt nicht-leere pq. I void delmin(priorityqueue pq) entfernt das Element mit dem kleinsten Schlüssel; benötigt nicht-leere pq. I Element getelt(priorityqueue pq, int k) gibt das Element e mit dem Schlüssel k aus pq zurück; k muss in pq enthalten sein. I void decrkey(priorityqueue pq, Element e, int k) setzt den Schlüssel von Element e auf k; e muss in pq enthalten sein. k muss außerdem kleiner als der bisherige Schlüssel von e sein. Mit Heaps ist eine e ziente Implementierung möglich.

20 Heapsort Anwendung: Prioritätswarteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/24 Drei Prioritätswarteschlangenimplementierungen Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array Heap isempty(pq) (1) (1) (1) insert(pq,e,k) (1) (n) ú (log(n)) getmin(pq) (n) (1) (1) delmin(pq) (n) ú (1) (log(n)) getelt(pq,k) (n) (log(n)) (n) decrkey(pq,e,k) (1) (n) ú (log(n)) ú Beinhaltet das Verschieben aller Elemente rechts von k. Mittels binärer Suche.

21 Prioritätswarteschlangen mit Min-Heaps Annahmen: Die Elemente in der Warteschlange sind Integer Element b= Schlüssel Prioritätswarteschlange wird als Integer-Array E repräsentiert E entspricht einem Min-Heap. int getmin (int E[]) { // Gebe das kleinste Element zurueck } return E[ 0 ], Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

22 . Prioritätswarteschlangen mit Min-Heaps void delmin (int E[]) { // Loesche das kleinste Element Inf n = E. length - 7, ' Swap I E [ 0 ], E[hD ) Eni :p :iiy hi%. ' Dmc test } 3 11 *n gig ' 92 ' g 4 11 / 1 Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

23 ' Prioritätswarteschlangen mit Min-Heaps void insert (int E[], int k) { // Fuege k ein } Int pos = E. length I E. resize ( Post 7) I E[P S]=Ki while ( pos > o ){ int prev =L 4 A 3 ' Ecternknoten if ( E[ PITY pos ) > =E[ prer ] ) ){ break, } wap ( E [ pos ],EEprerD ; flgthis prev ; post 3 tig to Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20 9

24 Prioritätswarteschlangen mit Min-Heaps void insert (int E[], int k) { // Fuege k ein int pos = E.length; E.resize(pos + 1); E[pos] = k; while (pos > 0) { 7 int prev = floor(pos/2) if (E[pos] >= E[prev]) { break; } swap(e[pos], E[prev]); pos = prev; } } Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20

25 Nächster Termin Nächste Vorlesung Freitag, 18. Mai, 13:15 (H01). Nächste Globalübung Dienstag 29. Mai, 14:15 (Aula 1). Benjamin Kaminski, Tim Quatmann Datenstrukturen und Algorithmen 15. Mai / 20