Datenstrukturen und Algorithmen

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1 Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 1/45 Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 3: Elementare Datenstrukturen (K10) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group April 2018

2 Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 2/45 Übersicht 1 Abstrakte Datentypen 2 Stapel und Warteschlangen 3 Verkettete Listen Einfach verkettete Listen Doppelt verkettete Listen 4 Binäre Bäume Traversierungen

3 Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 3/45 Übersicht 1 Abstrakte Datentypen 2 Stapel und Warteschlangen 3 Verkettete Listen Einfach verkettete Listen Doppelt verkettete Listen 4 Binäre Bäume Traversierungen

4 - Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 4/45 Abstrakte Datentypen Abstrakter Datentyp (ADT) Ein abstrakter Datentyp besteht aus: I Einer Datenstruktur (Menge von Werten) und I einer Menge von Operationen darauf. (z. B. Konstruktor, Zugri s- und Bearbeitungsfunktionen) Beispiele Baum, Kellerspeicher (stack), Liste, Warteschlange (queue), Prioritätswarteschlange (priority queue), Wörterbuch...

5 Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 5/45 Datenkapselung y Einsabe, Ausgabe ; Unterscheide zwischen Wien Spezifikation des ADTs: wie sich die Datenobjekte verhalten, und : Implementierung: wie dieses Verhalten programmtechnisch erreicht wird. 0 nicht

6 Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 5/45 Datenkapselung Unterscheide zwischen Spezifikation des ADTs: wie sich die Datenobjekte verhalten, und Implementierung: wie dieses Verhalten programmtechnisch erreicht wird. Datenkapselung (data encapsulation) Dieses Paradigma wird Kapselung (oder: Datenabstraktion) genannt: I Daten sind außerhalb des ADT nur über wohldefinierte Operationen -. zugänglich. I Die Repräsentation der Daten ist nur für die Implementierung relevant.

7 . - Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 6/45 Spezifikation von ADTs (I) Spezifikation eines ADTs # I Beschreibt wie sich die Operationen auf den Daten verhalten; I nicht jedoch die interne Repräsentation der Daten, Eingabe, Ausgebe I genauso wenig wie die Implementierung der Operationen.

8 Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 6/45 Spezifikation von ADTs (I) Spezifikation eines ADTs I Beschreibt wie sich die Operationen auf den Daten verhalten; I nicht jedoch die interne Repräsentation der Daten, I genauso wenig wie die Implementierung der Operationen. Beschreibung der Auswirkung von Operationen durch logische Aussagen: Vorbedingung (precondition) = Aussage, die vor Aufruf der Operation gelten muss. (Verpflichtung des Benutzers!) Nachbedingung (postcondition) Aussage, die als Ergebnis der Operation gelten wird. Grundlage für die Argumentation über die Korrektheit des ADTs.

9 Abstrakte Datentypen - -. Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 7/45. Spezifikation von ADTs (II) Beispiel = Die Operation void push(stack s, Element e) hat I die Vorbedingung: true (d. h. leere Aussage) und I die Nachbedingung: neuester Eintrag von s ist e. I ADTs sind durch ihre Spezifikation festgelegte Standard -Komponenten zum Aufbau unserer Algorithmen.

10 Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 8/45 Implementierung von ADTs Implementierung eines ADTs I Beschreibt die interne Repräsentation der Daten, und I die genaue Implementierung der Operationen. - =

11 Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 8/45 Implementierung von ADTs Implementierung eines ADTs I Beschreibt die interne Repräsentation der Daten, und I die genaue Implementierung der Operationen. Verschiedene Implementierungen von ADTs der selben Spezifikation ermöglichen es uns die Performance zu optimieren. Grundlage für die Argumentation über die E zienz des ADTs.

12 Abstrakte Datentypen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 8/45 Implementierung von ADTs Implementierung eines ADTs I Beschreibt die interne Repräsentation der Daten, und I die genaue Implementierung der Operationen. Verschiedene Implementierungen von ADTs der selben Spezifikation ermöglichen es uns die Performance zu optimieren. Grundlage für die Argumentation über die E Beispiel zienz des ADTs. Die Operation push(stack s, Element e) als Array-Implementierung: =p 1 void push(stack s, Element e) { 2 s.top = s.top + 1;,# stpfggf 3 s[s.top] = e; 4 } bevor An # machine

13 Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 9/45 Elementare Datenstrukturen Abstrakte Datentypen E zienz von Implementierungen Die E zienz einer ADT-Implementierung ist entscheidend. = 1. Die Zeitkomplexität der Operationen auf dem ADT. I Einfügen von Elementen, I Löschen von Elementen, I Suchen von Elementen. 2. Die Platzkomplexität der internen Datenrepräsentation.

14 Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 9/45 Elementare Datenstrukturen E Die E Abstrakte Datentypen zienz von Implementierungen zienz einer ADT-Implementierung ist entscheidend. 1. Die Zeitkomplexität der Operationen auf dem ADT. I Einfügen von Elementen, I Löschen von Elementen, I Suchen von Elementen. 2. Die Platzkomplexität der internen Datenrepräsentation. Üblicherweise ein Kompromiss zwischen Zeit- und Platze zienz: I Schnelle Operationen benötigen in der Regel zusätzlichen Speicherplatz. I Platzsparende Repräsentationen führen oft zu langsameren Operationen. Beispiel Implementierungen einer Prioritätswarteschlange (später). -

15 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 10/45 Übersicht 1 Abstrakte Datentypen 2 Stapel und Warteschlangen 3 Verkettete Listen Einfach verkettete Listen Doppelt verkettete Listen 4 Binäre Bäume Traversierungen

16 Elementare Datenstrukturen Stapel und Warteschlangen Beispiele für ADTs: Stapel (I) Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 11/45

17 - Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 12/45 Beispiele für ADTs: Stapel (II) Stapel (stack) Ein Stapel (Kellerspeicher) speichert # eine Ansammlung von Elementen und bietet folgende Operationen: I bool isempty(stack s) gibt true zurück, wenn s leer ist und andernfalls false. I void push(stack s, Element e) fügt das Element e in den Stapel s ein. I Element pop(stack s) entfernt das zuletzt eingefügte Element und - gibt es zurück; pop(s) benötigt einen nicht-leeren Stapel s. Ein Stapel bietet LIFO (last-in first-out) Semantik. " beads : ;o rbedingung

18 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 13/45 Beispiele für ADTs: Warteschlangen (I)

19 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 14/45 Beispiele für ADTs: Warteschlangen (II) Warteschlange (queue) Eine Warteschlange speichert eine Ansammlung von Elementen und bietet folgende Operationen: I bool isempty(queue q) gibt true zurück, wenn q leer ist, andernfalls false.. I void enqueue(queue q, Element e) fügt das Element e in die Warteschlange q ein. I Element dequeue(queue q) entfernt das schon am längsten in der Warteschlange vorhandene Element und gibt es zurück; benötigt daher eine nicht-leere Warteschlange q. Vorbedngnng Eine Warteschlange bietet FIFO (first-in first-out) Semantik. f-

20 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 15/45 Stapelimplementierung auf unbeschränkten Arrays = - Datenstnktnr fir die Implementing top

21 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 15/45 Stapelimplementierung auf unbeschränkten Arrays push(41) top top

22 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 15/45 Stapelimplementierung auf unbeschränkten Arrays push(41) push(11) top top top

23 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 15/45 Stapelimplementierung auf unbeschränkten Arrays : : push(41) push(11) pop() ^ :8 top top top top

24 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 16/45 Stapelimplementierung auf unbeschränkten Arrays 1 bool isempty(stack s) { 2 return (s.top == -1); 3 } 5 void push(stack s, Element e) { 6 s.top = s.top + 1; 7 s[s.top] = e; 8 } 10 Element pop(stack s) { 11 Element e = s[s.top]; 12 s.top = s.top - 1; 13 return e; 14 } PI beoor : rather qµ tp # top

25 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 16/45 Stapelimplementierung auf unbeschränkten Arrays 1 bool isempty(stack s) { 2 return (s.top == -1); 3 } I Die Laufzeit ist jeweils (1). 5 void push(stack s, Element e) { 6 s.top = s.top + 1; 7 s[s.top] = e; 8 } 10 Element pop(stack s) { 11 Element e = s[s.top]; 12 s.top = s.top - 1; 13 return e; 14 }

26 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 16/45 Stapelimplementierung auf unbeschränkten Arrays 1 bool isempty(stack s) { 2 return (s.top == -1); 3 } 5 void push(stack s, Element e) { 6 s.top = s.top + 1; 7 s[s.top] = e; 8 } 10 Element pop(stack s) { 11 Element e = s[s.top]; 12 s.top = s.top - 1; 13 return e; 14 } - I Die Laufzeit ist jeweils (1). I In pop muss der Fall eines leeren Stapels nicht berücksichtigt werden. Warum? i E()\{ Vorbedmgnng s sei nicht leer

27 Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 16/45 Elementare Datenstrukturen Stapel und Warteschlangen Stapelimplementierung auf unbeschränkten Arrays 1 bool isempty(stack s) { 2 return (s.top == -1); 3 } 5 void push(stack s, Element e) { 6 s.top = s.top + 1; 7 s[s.top] = e; 8 } 10 Element pop(stack s) { 11 Element e = s[s.top]; 12 s.top = s.top - 1; 13 return e; 14 } I Die Laufzeit ist jeweils (1). I In pop muss der Fall eines leeren Stapels nicht berücksichtigt werden. Warum? I Eine Implementierung als verkettete Liste vermeidet eine a priori Festlegung der Arraygröße.

28 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 17/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten - Arrays (I) = tail head I

29 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 17/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten Arrays (I) tail head head enq(0) tail

30 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 17/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten Arrays (I) tail head head head enq(0) enq(9) tail 9 tail

31 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 17/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten Arrays (I) tail head head head 0 17 head enq(0) enq(9) deq() tail 9 tail 9 tail

32 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 17/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten Arrays (I) tail head head head 0 17 head 0 head enq(0) enq(9) deq() deq() tail 9 tail 9 tail 9 tail

33 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 18/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten Arrays (II) 1 bool isempty(queue q) { 2 return (q.head == q.tail); 3 } 5 void enqueue( 6 Queue q, 7 Element e 8 ) { 9 q[q.tail] = e; 10 q.tail = (q.tail + 1) mod N; 11 } 13 Element dequeue(queue q) { 14 Element e = q[q.head]; 15 q.head = (q.head + 1) mod N; 16 return e; 17 } I Arraygröße N. Nero

34 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 18/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten Arrays (II) 1 bool isempty(queue q) { 2 return (q.head == q.tail); 3 } I Arraygröße N. I Die Laufzeit ist jeweils (1). 5 void enqueue( 6 Queue q, 7 Element e 8 ) { 9 q[q.tail] = e; 10 q.tail = (q.tail + 1) mod N; 11 } 13 Element dequeue(queue q) { 14 Element e = q[q.head]; 15 q.head = (q.head + 1) mod N; 16 return e; 17 }

35 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 18/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten Arrays (II) 1 bool isempty(queue q) { 2 return (q.head == q.tail); 3 } 5 void enqueue( 6 Queue q, 7 Element e 8 ) { 9 q[q.tail] = e; 10 q.tail = (q.tail + 1) mod N; 11 } I Arraygröße N. I Die Laufzeit ist jeweils (1). I Der Einfachheit halber werden Überläufe nicht abgefangen. 13 Element dequeue(queue q) { 14 Element e = q[q.head]; 15 q.head = (q.head + 1) mod N; 16 return e; 17 }

36 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 18/45 Warteschlangenimplementierung auf beschränkten Arrays (II) 1 bool isempty(queue q) { 2 return (q.head == q.tail); 3 } 5 void enqueue( 6 Queue q, 7 Element e 8 ) { 9 q[q.tail] = e; 10 q.tail = (q.tail + 1) mod N; 11 } 13 Element dequeue(queue q) { 14 Element e = q[q.head]; 15 q.head = (q.head + 1) mod N; 16 return e; 17 } I Arraygröße N. I Die Laufzeit ist jeweils (1). I Der Einfachheit halber werden Überläufe nicht abgefangen. I Die Queue ist voll gdw. q.head == (q.tail + 1) mod N. % tail µ head %

37 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 19/45 Die Prioritätswarteschlange (I) I Betrachte Elemente, die mit einem Schlüssel (key) versehen sind. I Jeder Schlüssel sei höchstens an ein Element vergeben. I Schlüssel werden als Priorität betrachtet. I Die Elemente werden nach ihrer Priorität sortiert. easy ED

38 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 19/45 Die Prioritätswarteschlange (I) I Betrachte Elemente, die mit einem Schlüssel (key) versehen sind. I Jeder Schlüssel sei höchstens an ein Element vergeben. I Schlüssel werden als Priorität betrachtet. I Die Elemente werden nach ihrer Priorität sortiert. Prioritätswarteschlange (priority queue) Eine Prioritätswarteschlange speichert eine Ansammlung von Elementen und bietet folgende Operationen: I bool isempty(priorityqueue pq) gibt true zurück, wenn pq leer ist, andernfalls false. =. I void insert(priorityqueue pq, Element e, int k) fügt das. Element e mit dem Schlüssel k in pq ein. e- I Element getmin(priorityqueue pq) gibt das Element mit dem kleinsten Schlüssel zurück; benötigt nicht-leere pq. - æ

39 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 20/45 Die Prioritätswarteschlange (II) Prioritätswarteschlange (priority queue) (Forts.) I void delmin(priorityqueue pq) entfernt das Element mit dem kleinsten Schlüssel; benötigt nicht-leere pq. I Element getelt(priorityqueue pq, int k) gibt das Element e mit dem Schlüssel k aus pq zurück; k muss in pq enthalten sein. I void decrkey(priorityqueue pq, a Element e, int k) setzt den Schlüssel von Element e auf k; e muss in pq enthalten sein. k muss außerdem kleiner als der # bisherige Schlüssel von e sein. Wichtige Datenstruktur für Greedy-Algorithmen, Diskrete-Event-Simulationen, ' - vote

40 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 21/45 - Prioritätswarteschlange, unsortiert, auf beschränkten Arrays = tail head schwarz = Element; rot = Schlüssel

41 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 21/45 Prioritätswarteschlange, unsortiert, auf beschränkten Arrays tail head head ins(0,12) tail schwarz = Element; rot = Schlüssel

42 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 21/45 Prioritätswarteschlange, unsortiert, auf beschränkten Arrays tail head head head ins(0,12) ins(3,7) tail 3 7 tail schwarz = Element; rot = Schlüssel

43 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 21/45 Prioritätswarteschlange, unsortiert, auf beschränkten Arrays tail head ins(0,12) head head 12 8 ins(3,7) delmin() head tail 3 7 tail tail schwarz = Element; rot = Schlüssel

44 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 21/45 Prioritätswarteschlange, unsortiert, auf beschränkten Arrays tail head ins(0,12) FEE head head head ins(3,7) delmin() getelt(12) tail 3 7 tail tail schwarz = Element; rot = Schlüssel

45 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 22/45 Prioritätswarteschlange, sortiert, auf beschränkten Arrays = 0 - tail head

46 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 22/45 Prioritätswarteschlange, sortiert, auf beschränkten Arrays tail head head *o0 ins(0,12) tail

47 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 22/45 Prioritätswarteschlange, sortiert, auf beschränkten Arrays tail head 0 12 Otto head head ins(0,12) ins(3,7) tail 0 12 tail

48 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 22/45 Prioritätswarteschlange, sortiert, auf beschränkten Arrays tail head head head O - head ins(0,12) ins(3,7) delmin() tail 0 12 tail 0 12 tail

49 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 22/45 Prioritätswarteschlange, sortiert, auf beschränkten Arrays a ) tail head head head head 0 ins(0,12) ins(3,7) 0 delmin() getelt(12) tail 0 12 tail O 0 12 tail

50 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/45 Zwei Prioritätswarteschlangenimplementierungen { Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array isempty(pq) insert(pq,e,k) getmin(pq) delmin(pq) getelt(pq,k) decrkey(pq,e,k) - - I In Vorlesung 8 (Heapsort) werden wir eine weitere Implementierung kennenlernen. ú

51 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/45 Zwei Prioritätswarteschlangenimplementierungen Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array isempty(pq) (1) (1) insert(pq,e,k) getmin(pq) delmin(pq) getelt(pq,k) decrkey(pq,e,k) I In Vorlesung 8 (Heapsort) werden wir eine weitere Implementierung kennenlernen. ú

52 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/45 Zwei Prioritätswarteschlangenimplementierungen Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array isempty(pq) (1) (1) insert(pq,e,k) (1) (n) ú getmin(pq) delmin(pq) getelt(pq,k) decrkey(pq,e,k) ; :* Ii E, I In Vorlesung 8 (Heapsort) werden wir eine weitere Implementierung kennenlernen. ú Beinhaltet das Verschieben aller Elemente rechts von k.

53 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/45 Zwei Prioritätswarteschlangenimplementierungen Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array isempty(pq) (1) (1) insert(pq,e,k) (1) (n) ú getmin(pq) (n) 00 (1) delmin(pq) getelt(pq,k) decrkey(pq,e,k) I In Vorlesung 8 (Heapsort) werden wir eine weitere Implementierung kennenlernen. ú Beinhaltet das Verschieben aller Elemente rechts von k.

54 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/45 Zwei Prioritätswarteschlangenimplementierungen Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array isempty(pq) (1) (1) insert(pq,e,k) (1) (n) ú getmin(pq) (n) (1) delmin(pq) (n) ú (1) 00 getelt(pq,k) decrkey(pq,e,k) I In Vorlesung 8 (Heapsort) werden wir eine weitere Implementierung kennenlernen. ú Beinhaltet das Verschieben aller Elemente rechts von k.

55 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/45 Zwei Prioritätswarteschlangenimplementierungen Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array isempty(pq) (1) (1) insert(pq,e,k) (1) (n) ú getmin(pq) (n) (1) delmin(pq) (n) ú (1) getelt(pq,k) 0 (n) (log n) = = decrkey(pq,e,k) I In Vorlesung 8 (Heapsort) werden wir eine weitere Implementierung kennenlernen. ú Beinhaltet das Verschieben aller Elemente rechts von k. Mittels binärer Suche.

56 Stapel und Warteschlangen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 23/45 Zwei Prioritätswarteschlangenimplementierungen Implementierung Operation unsortiertes Array sortiertes Array isempty(pq) (1) (1) insert(pq,e,k) (1) (n) ú getmin(pq) (n) (1) delmin(pq) (n) ú (1) getelt(pq,k) (n) (log n) decrkey(pq,e,k) (n) (n) ú Q Q I In Vorlesung 8 (Heapsort) werden wir eine weitere Implementierung kennenlernen. ú Beinhaltet das Verschieben aller Elemente rechts von k. Mittels binärer Suche.

57 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 24/45 Übersicht 1 Abstrakte Datentypen 2 Stapel und Warteschlangen 3 Verkettete Listen Einfach verkettete Listen Doppelt verkettete Listen 4 Binäre Bäume Traversierungen

58 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 25/45 Einfach verkettete Listen Einfach verkettete Liste Eine einfach verkettete Liste ist eine rekursive, dynamische Datenstruktur. I Elemente bestehend aus Schlüssel k sowie Zeiger auf ein nachfolgendes Element I Listen können dynamisch erweitert werden I head zeigt auf das erste Element der Liste next head =

59 - Verkettete Listen... Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 26/45 Listen (I) Liste (ADT) Eine Liste speichert eine Ansammlung von Elementen mit fester Reihenfolge und bietet folgende Operationen: I void insert(list l, Element x, int k) fügt das Element x mit dem Schlüssel k in die Liste ein. I void remove(list l, int k) entfernt ein Vorkommen eines Elements mit Schlüssel k aus der Liste, falls mindestens ein solches Element in der Liste existiert. = - I Element search(list l, int k) gibt das Element mit dem übergebenen Schlüssel k zurück und null falls es kein derartiges Element gibt. =

60 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 27/45 Listen (II) Liste (Forts.) I Element minimum(list l) gibt das Element mit dem kleinsten Schlüssel zurück. = I Element maximum(list l) gibt das Element mit dem höchsten Schlüssel zurück. I Element successor(list l, int k) gibt das Nachfolgerelement des Elements mit Schlüssel k zurück. = I Element predecessor(list l, int k) gibt das Vorgängerelement des Elements mit Schlüssel k zurück.

61 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 28/45 Listen (III) Liste (Untertypen) Die Elementreihenfolge kann auf unterschiedliche Arten definiert werden wie z. B. durch folgende (strengere) Spezifikationen der insert Operation: I void insert(list l, Element x, int k) fügt das Element x mit ± dem Schlüssel k am Anfang der Liste ein (entspricht z. B. LinkedList Klasse in Java, wenn man die Methode addfirst als insert Operation verwendet). I void insert(list l, Element x, int k) fügt das Element x mit dem Schlüssel k sortiert nach Schlüsseln in die Liste ein (z. B. bei einer Skiplist). I void insert(list l, Element x, int k) fügt das Element x mit dem Schlüssel k am Ende der Liste ein (entspricht z. B. List Interface in Java, wenn man die Methode add als insert Operation verwendet). Wenn keine näheren Angaben gemacht werden, gehen wir in dieser Vorlesung meist von der ersten dieser drei Spezifikationen aus.

62 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 29/45 Listen umdrehen { 1 void reverse(list l) { 2 last = l.head; * 3 pos = last.next; * 4 last.next = null; 6 while(pos!= null){ last pos 7 tmp = pos.next; 8 pos.next = last; 9 last = pos; head 10 pos = tmp; % next + 11 } - 13 { l.head = last; T 14 }

63 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 29/45 Listen umdrehen 1 void reverse(list l) { 2 last = l.head; 3 pos = last.next; 4 last.next = null; 6 while(pos!= null){ 7 tmp = pos.next; 8 pos.next = last; 9 last = pos; { 10 pos = tmp; 11 } last pos. In 13 l.head = last; 14 }

64 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 29/45 Listen umdrehen 1 void reverse(list l) { 2 last = l.head; 3 pos = last.next; 4 last.next = null; 6 while(pos!= null){ 7 tmp = pos.next; - 8 pos.next = last; 9 last = pos; 10 pos = tmp; 11 } * ney last pos tmp Ft 13 l.head = last; 14 }

65 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 29/45 Listen umdrehen 1 void reverse(list l) { 2 last = l.head; 3 pos = last.next; 4 last.next = null; 6 while(pos!= null){ 7 tmp = pos.next; 8 pos.next = last; 9 last = pos; 10 pos = tmp; 11 } 13 l.head = last; 14 } tag X pos last pos tmp

66 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 29/45 Listen umdrehen 1 void reverse(list l) { 2 last = l.head; 3 pos = last.next; 4 last.next = null; 6 while(pos!= null){ 7 tmp = pos.next; 8 pos.next = last; 9 last = pos; 10 pos = tmp; 11 } 13 l.head = last; 14 } pos/last tmp

67 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 29/45 Listen umdrehen 1 void reverse(list l) { 2 last = l.head; 3 pos = last.next; 4 last.next = null; 6 while(pos!= null){ 7 tmp = pos.next; 8 pos.next = last; 9 last = pos; 10 pos = tmp; 11 } { 13 l.head = last; 14 } last0 0 tmp/pos in ±*o

68 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 29/45 Listen umdrehen 1 void reverse(list l) { 2 last = l.head; 3 pos = last.next; 4 last.next = null; 6 while(pos!= null){ 7 tmp = pos.next; 8 pos.next = last; 9 last = pos; 10 pos = tmp; 11 } 13 l.head = last; 14 } last pos

69 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 30/45 Doppelt verkettete Listen Doppelt verkettete Liste Eine doppelt verkettete Liste kann sowohl vorwärts als auch rückwärts durchlaufen werden. Sie implementiert den ADT Liste. I Elemente besitzen neben Schlüssel und Nachfolgender einen weiteren Zeiger auf das vorherige Element. I Zusätzlicher Zeiger tail zeigt auf das letzte Element der Liste g next prev head tail

70 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten Implementierung Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) remove(l,k) search(l,k) minimum(l) maximum(l) successor(l,k) predecessor(l,k) { - -

71 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten 133*7-1*1.31 # I Implementierung In Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) (1) (1) remove(l,k) search(l,k) minimum(l) maximum(l) successor(l,k) predecessor(l,k)

72 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten Implementierung Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) (1) (1) remove(l,k) (n) (n) = search(l,k) = = minimum(l) maximum(l) successor(l,k) predecessor(l,k)

73 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten Implementierung Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) (1) (1) remove(l,k) (n) (n) search(l,k) (n) (n) minimum(l) maximum(l) successor(l,k) predecessor(l,k)

74 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten Implementierung Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) (1) (1) remove(l,k) (n) (n) search(l,k) (n) (n) minimum(l) (n) (n) maximum(l) successor(l,k) predecessor(l,k)

75 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten Implementierung Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) (1) (1) remove(l,k) (n) (n) search(l,k) (n) (n) minimum(l) (n) (n) maximum(l) (n) (n) successor(l,k) predecessor(l,k)

76 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten Implementierung Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) (1) (1) remove(l,k) (n) (n) search(l,k) (n) (n) minimum(l) (n) (n) maximum(l) (n) (n) successor(l,k) O (n) (n) predecessor(l,k)

77 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten Implementierung Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) (1) (1) remove(l,k) (n) (n) search(l,k) (n) (n) minimum(l) (n) (n) maximum(l) (n) (n) successor(l,k) (n) (n) predecessor(l,k) (n) (n)

78 Verkettete Listen Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 31/45 Laufzeiten Implementierung Operation einfach verkette Liste doppelt verkettete Liste insert(l,x,k) (1) (1) remove(l,k) (n) (n) search(l,k) (n) (n) minimum(l) (n) (n) maximum(l) (n) (n) successor(l,k) (n) (n) predecessor(l,k) (n) (n) I Suchen eines Schlüssels erfordert einen Durchlauf der gesamten Liste. Gibt es andere Möglichkeiten, die Daten zu organisieren?

79 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 32/45 Übersicht 1 Abstrakte Datentypen 2 Stapel und Warteschlangen 3 Verkettete Listen Einfach verkettete Listen Doppelt verkettete Listen 4 Binäre Bäume Traversierungen

80 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 33/45 Binärbäume

81 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 34/45 Binärbäume Intuition Binärbaum Intuition Betrachte einen binären Baum: O I Jedes Element bekommt zwei Zeiger (left und right) zuden nachfolgenden Elementen. I Man erhält in etwa folgende Datenstruktur: Vater/Mutter von B und C 0A 12 Schlüssel Linkes Kind von A B0 6 left right OC 225 Rechtes Kind von A

82 - Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 35/45 - Binärbäume Definition Definition (Binärbaum) Ein Binärbaum (binary tree) ist ein gerichteter, zykelfreier Graph (V, E) - mit Knoten (nodes, allgemein: vertices) V und gerichteten Kanten (edges) E V V. - I Es gibt genau einen ausgezeichneten Knoten, die Wurzel (root). I Alle Kanten zeigen von der Wurzel weg. I Der Ausgangsgrad (out-degree) jedes Knotens ist höchstens 2. I Der Eingangsgrad eines Knoten ist 1, bzw. 0 bei der Wurzel. I Sonderfall: Baum mit V = E =?. go # 0 biiar

83 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 36/45 Binärbäume Begri e (I) 102 Wurzel Ebene 0 Höhe des Binärbaums = innerer Knoten Ebene 1 Ebene 2 Ebene 3 Blatt

84 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 37/45 Binärbäume Begri e (II) Definition (Binärbaum Begri e) I Ein Knoten mit leerem linken und rechten Teilbaum heißt Blatt (leaf). I Die Tiefe (depth) (auch: Ebene / level) eines Knotens ist sein Abstand, d. h. die Pfadlänge, von der Wurzel. I Die Höhe (height) eines Baumes ist die maximale Tiefe seiner Blätter.

85 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 37/45 Binärbäume Begri e (II) Definition (Binärbaum Begri e) I Ein Knoten mit leerem linken und rechten Teilbaum heißt Blatt (leaf). I Die Tiefe (depth) (auch: Ebene / level) eines Knotens ist sein Abstand, d. h. die Pfadlänge, von der Wurzel. I Die Höhe (height) eines Baumes ist die maximale Tiefe seiner Blätter. Beispiel (Vorteile von binären Bäumen) Angenommen, man möchte 31 Elemente vorhalten: Ebene 0 (Wurzel) enthält 1 Element Gesamt: Ebene 1 enthält 2 Elemente 3 Ebene 2 enthält 4 Elemente 7 Ebene 3 enthält 8 Elemente 15 Ebene 4 enthält 16 Elemente 31

86 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 37/45 Binärbäume Begri e (II) Definition (Binärbaum Begri e) I Ein Knoten mit leerem linken und rechten Teilbaum heißt Blatt (leaf). I Die Tiefe (depth) (auch: Ebene / level) eines Knotens ist sein Abstand, d. h. die Pfadlänge, von der Wurzel. I Die Höhe (height) eines Baumes ist die maximale Tiefe seiner Blätter. Beispiel (Vorteile von binären Bäumen) Angenommen, man möchte 31 Elemente vorhalten: Ebene 0 (Wurzel) enthält 1 Element Gesamt: Ebene 1 enthält 2 Elemente 3 Ebene 2 enthält 4 Elemente 7 Ebene 3 enthält 8 Elemente 15 Ebene 4 enthält 16 Elemente 31 Ein Element kann in 5 Schritten (statt 31) erreicht werden.

87 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 38/45 Einige Fakten über binäre Bäume II { a ei Lemma (Übung) I Ebene d enthält höchstens 2 d Knoten. I Ein Binärbaum mit Höhe h kann maximal 2 h+1 1 Knoten enthalten. I Enthält er n Knoten, dann hat er mindestens Höhe Álog(n+1)Ë 1 (log log 2 ).

88 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 38/45 Einige Fakten über binäre Bäume h=4 2h " - ^ = 31 Lemma (Übung) I Ebene d enthält höchstens 2 d Knoten. I Ein Binärbaum mit Höhe h kann maximal 2 h+1 1 Knoten enthalten. I Enthält er n Knoten, dann hat er mindestens Höhe Álog(n+1)Ë 1 (log log 2 ). Definition (vollständig) Ein Binärbaum heißt vollständig, wenn er bei Höhe h alle 2 h+1 1 Knoten - enthält.

89 Binäre Bäume Traversierung Traversierung Eine Traversierung ist ein Baumdurchlauf mit folgenden Eigenschaften: 1. Die Traversierung beginnt und endet an der Wurzel. 2. Die Traversierung folgt den Kanten des Baumes. Jede Kante wird genau zweimal durchlaufen: Einmal von oben nach unten und danach von unten nach oben Die Teilbäume eines Knotens werden in festgelegter Reihenfolge (zuerst linker, dann rechter Teilbaum) besucht. 4. Unterschiede bestehen darin, bei welchem Durchlauf man den Knoten selbst (bzw. das dort gespeicherte Element) besucht. eg Dr lire ; e. e. r Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 39/45

90 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } ee. Beispiel Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

91 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel ( Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

92 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

93 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( ( Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

94 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8 Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

95 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/ Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

96 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4 Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

97 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4) Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

98 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4)) Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

99 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4)) + Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

100 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4)) + ( Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

101 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4)) + (3 Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

102 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4)) + (3 ú Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

103 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4)) + (3 ú 5 Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

104 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4)) + (3 ú 5) Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

105 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 40/45 Inorder-Traversierung + ú / void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 "(" 4 inorder(node.left); 5 print(node); 6 inorder(node.right); 7 ")" 8 } 9 } Beispiel (( (8/4)) + (3 ú 5)) Linearisierung Eine Aufzählung aller Elemente eines Baumes in der Reihenfolge einer bestimmten Traversierung (ohne Klammern) nennt man Linearisierung.

106 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 41/45 Preorder, Inorder, Postorder (I) + / 8 4 ú void inorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 inorder(node.left); 4 print(node); 5 inorder(node.right); 6 } 7 } Beispiel (Inorder) 8 / ú 5

107 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 41/45 Preorder, Inorder, Postorder (I) + / 8 4 ú void preorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 print(node); 4 preorder(node.left); 5 preorder(node.right); 6 } 7 } Beispiel (Inorder) 8 / ú 5 Beispiel (Preorder) + / 84ú 35

108 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 41/45 Preorder, Inorder, Postorder (I) + / 8 4 ú void postorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 postorder(node.left); 4 postorder(node.right); 5 print(node); 6 } 7 } Beispiel (Inorder) 8 / ú 5 Beispiel (Preorder) + / 84ú 35 Beispiel (Postorder Umgekehrte Polnische Notation (RPN)) 84/ 35ú + neg

109 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 42/45 Preorder, Inorder, Postorder-Traversierung 1 void preorder(node node) { 2 if (node!= null) { 3 visit(node); 4 preorder(node.left); 5 preorder(node.right); 6 } 7 } 16 void postorder(node node) { 17 if (node!= null) { 18 postorder(node.left); 19 postorder(node.right); 20 visit(node); 21 } 22 } 9 void inorder(node node) { 10 if (node!= null) { 11 inorder(node.left); 12 visit(node); 13 inorder(node.right); 14 } 15 } Komplexität (n), wobei n die Anzahl der Knoten ist.

110 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 43/45 Preorder, Inorder, Postorder (II) Satz Ist von einem (unbekannten) Binärbaum mit eindeutigen Werten sowohl die Inorder-Linearisierung als auch entweder die Preorder- oder die Postorder-Linearisierung gegeben, dann ist der Baum eindeutig bestimmt. Beispiel (Rekonstruktion aus Inorder- und Preorder-Linearisierung) Inorder:

111 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 43/45 Preorder, Inorder, Postorder (II) Satz Ist von einem (unbekannten) Binärbaum mit eindeutigen Werten sowohl die Inorder-Linearisierung als auch entweder die Preorder- oder die Postorder-Linearisierung gegeben, dann ist der Baum eindeutig bestimmt. Beispiel (Rekonstruktion aus Inorder- und Preorder-Linearisierung) Inorder: Preorder:

112 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 43/45 Preorder, Inorder, Postorder (II) Satz Ist von einem (unbekannten) Binärbaum mit eindeutigen Werten sowohl die Inorder-Linearisierung als auch entweder die Preorder- oder die Postorder-Linearisierung gegeben, dann ist der Baum eindeutig bestimmt. Beispiel (Rekonstruktion aus Inorder- und Preorder-Linearisierung) Inorder: Preorder:

113 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 44/45 Zusammenfassung I ADTs: Spezifikation und Implementierung I Stapel, Warteschlangen, Prioritätswarteschlangen I einfach und doppelt verkettete Listen I Binäre Bäume

114 Binäre Bäume Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 45/45 Nächste Vorlesung Nächste Vorlesung Freitag 27. April, 13:15 (H01). Bis dann!