Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin

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1 Departement Mathematik und Informatik Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin 16. März 2017 Baum-Implementierung Binary Heap Listen-ADT topologisches Sortieren J. Williams Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Uebersicht Binärer Baum-ADT: Implementierung mittels Verkettung (Binary) Heap-Baum maxheap, minheap (re-)heapify: swim(), sink() Listen-ADT partielle Ordnung vs totale Ordnung topolgische Sortieren

2 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Wiederholung Ceci est un arbre. Zeichne diesen Baum als Graphen. Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binärer Baum mittels Verkettung (1/3) Recap: einfach-/doppelt-verkettete Liste (EVL, DVL) 1 class EVL_Node { // für einfach verkettete Liste 2 private Object element; 3 private EVL_Node next; 4 //... 5 } 6 7 class DVL_Node extends EVL_Node { // doppelt verkettete Liste 8 private DVL_Node prev; 9 // }

3 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binärer Baum mittels Verkettung (2/3) Neue Klasse BB node für einen Knoten im binären Baum: 1 class BB_Node extends DVL_Node { 2 private BB_Node parent; 3 4 public BB_Node(Object e, BB_Node p, BB_Node l, BB_Node r) { 5 super(e, l, r); 6 parent = p; 7 } 8 } Das heisst vier Felder: prev, parent, next, element Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binärer Baum mittels Verkettung (3/3) Beispielbaum mit fünf Knoten, davon drei Blätter:

4 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binärer Baum - Traversierung (1/3) Abstrakte Traversierungsklasse, 3 Methoden visit *: 1 abstract class Traverse<E, R> { 2 3 R visit(bb_node<e>) { 4 TourResult<R> r = new TourResult<R>(); 5 visit_pre(node, r); 6 if (node.isinternal()) 7 r.left = visit(node.getleft()); 8 visit_in(node, r); 9 if (node.isinternal()) 10 r.right = visit(node.getright()); 11 visit_post(node, r); 12 return r.up; 13 } void visit_pre(bb_node<e>, TourResult<R> result){} 16 void visit_in(bb_node<e>, TourResult<R> result){} 17 void visit_post(bb_node<e>, TourResult<R> result){} 18 } Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binärer Baum - Traversierungs (2/3) Ausgabe eines binären Baumes mit Klammern: 1 class ParenthesisTour extends Traverse<Integer, Integer> { 2 3 visit_pre(bb_node<integer> node, TourResult<Integer> result) { 4 System.out.print("("); 5 } 6 7 visit_in(bb_node<integer> node, TourResult<Integer> result) { 8 System.out.print(node.getElem()); 9 } visit_post(bb_node<integer> node, TourResult<Integer> result) { 12 System.out.print(")"); 13 } } new ParenthesisTour().visit(root);

5 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binärer Baum - Traversierungs (3/3) Auswerten eines arithmetischen Ausdrucks (post-order): 1 class EvalArithExpr extends Traverse<Integer, Integer> { 2 3 visit_post(bb_node<integer> node, TourResult<Integer> result) { 4 if (node.isexternal()) 5 result.up = node.getelem(); 6 else { 7 int l = result.left; 8 int r = result.right; 9 if (node.getelem() == + ) result.up = l + r; 10 else if (node.getelem() == - ) result.up = l - r; 11 else if (node.getelem() == * ) result.up = l * r; 12 else if (node.getelem() == / ) result.up = l / r; 13 } 14 } } int value = new EvalArithExpr().visit(root); Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Recap: Binärer Baum Drei Typen Voller binärer Baum = jeder Knoten hat 0 oder 2 Kinder = normale Definition eines binären Baumes Kompletter binärer Baum = alle Ebenen sind vollständig gefüllt ausser evtl. die letzte Ebene wobei Blätter nur rechts fehlen Perfekter binärer Baum = = alle internen Knoten haben genau 2 Kinder und alle Blätter sind auf der gleichen Ebene

6 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binary Heap Motivation Drei-Summen-Problem: Aufbau einer Datenstruktur (sortiertes Feld) für die einmalige Beantwortung einer Frage ( Wieviele Triplets summieren auf 0? ). Neu: Gesucht sind Datenstrukturen, die vom Benutzer mehrfach verändert werden können, mit optimaler Laufzeit. Beispiel: Set, in Python: Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binary Heap Definition Definition Binary Heap (maxheap) Ein kompletter binärer Baum ist in Heap-Gestalt wenn für jeden Knoten gilt, dass sein Wert grösser-gleich den Werten der beiden Kinderknoten (falls vorhanden) ist.

7 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binary Heap Implementierung Es wäre naheliegend, einen Binary Heap mit verketteten Knoten-Objekten zu implementieren. Es geht einfacher und platzsparender wenn wir ausnutzen, dass der Baum komplett ist. Feld mit impliziter Datenstruktur Nummerierung der Knoten in BFS-Ordnung gibt Index. Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binary Heap (1/3) Manipulation eines Max Binary Heaps: Knoten-Wert verändern. Problem: Neuer Knotenwert kann Heap-Gestalt verletzen reheapifying Fall A: Neuer Wert (T) zu gross... muss deshalb nach oben wandern. Trick: Index des Parent von Knoten k ist k/2 1 swim(int k) 2 { 3 while (k > 1 && less(k/2, k)) { 4 exch(k/2, k); 5 k = k/2; 6 } 7 }

8 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binary Heap (2/3) Fall B: Neuer Wert (H) zu klein... muss deshalb nach unten wandern Trick: Indices der Kinder eines Knoten k sind 2k und 2k+1 1 sink(int k) 2 { 3 while (2*k <= N) { 4 int j = 2*k; 5 if (j < N && less(j, j+1)) j++; 6 if (!less(k, j)) break; 7 exch(k, j); 8 k = j; 9 } 10 } Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binary Heap (3/3) Mit swim() und sink() können wir das Einfügen eines Knotens und z.b. das Löschen des grössten Knotens behandeln.

9 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Binary Heap Erfindung und Anwend. Binary Heap-Datenstruktur von J. Williams 1964 als Teil des heapsort() Sortier-Algorithmus vorgestellt. heapsort, auch für sog. priority queues Verwalten von geordneten ( sortiert ) Listen Siehe Text zur Python library heapq implementiert min binary heap heapq.heapify(x) Transform list x into a heap, in-place, in linear time. 1 >>> import heapq 2 >>> data = [1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0] 3 >>> print data 4 [1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0] 5 >>> heapq.heapify(data) 6 >>> print data 7 [0, 1, 2, 6, 3, 5, 4, 7, 8, 9] Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Listen-ADT (1/4) Vorhin gesehen: eine heapified Liste hat gute Laufzeiteigenschaften für Einfügen, Entfernen etc. Gewünscht: Listen-ADT Frage: Was sind gute Methode einer Liste? gut = effiziente Implementierung (siehe Beispiel links) Nicht zu verwechseln mit der Implementierungstechnik der einfach- und doppelt verketteten Liste

10 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Listen-ADT (2/4) In Python: append(x) extend(l) insert(i, x) remove(x) pop([i]) index(x) count(x) sort() reverse() Am Listenende einfügen Um ganze Liste erweitern An der Position i einfügen x aus Liste entfernen Das i.te Element entfernen Index von x bestimmen Häufigkeit von x bestimmen Liste sortieren Liste umkehren Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Listen-ADT (3/4) In Java zwei verschiedene Klassen: ArrayList, LinkedList Ist Zugriff auf Element an Stelle i effizient? Beispiel-Methoden für Java-Listen (von collections geerbt): shuffle() // zufällige Permutation der Elemente sort() uvm

11 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Listen-ADT (4/4) Beispiel Benutzung des Java-Listen-ADTs: Lottozahlen generieren 1 List<Integer> list1 = new ArrayList<Integer>(); 2 List<Integer> list2 = new ArrayList<Integer>(); 3 4 for (int i=1; i<=45; i++) 5 list1.add(i); // aus diesen Zahlen wird gezogen 6 7 for (int serie=1; serie <=10; serie++) { 8 Collections.shuffle(list1); // Ziehung der Zahlen 9 list2 = list1.sublist(0, 6); // Extraktion 10 Collections.sort(list2); // hübsch anordnen 11 System.out.println("Serie " + serie + ":" + list2); 12 } Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Partielle Ordnung (1/3) Intro Im Binary Heap sind Knoten nicht sortiert (z.b. Geschwisterknoten), aber es gibt eine partielle Ordnung zu den Kinder-Knoten Allgemein: Betrachte Menge von partiell geordneten Elementen, z.b. K 1 K 2, K 2 K 4, K 4 K 6, K 2 K 10, K 4 K 8, K 6 K 3, K 1 K 3, K 3 K 5, K 5 K 8, K 7 K 5, K 7 K 9, K 9 K 4, K 9 K 10

12 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Partielle/Totale Ordnung (2/3) Def Definition Eine partielle Ordnung einer Menge S ist eine Relation zwischen Elementen von S, die folgende Eigenschaften (Axiome) erfüllt: Für beliebige x, y aus S gilt: 1. wenn x y und y z, dann x z (Transitivität) 2. wenn x y, dann nicht y x (Asymmetrie) 3. nicht x x (Irreflexivität) (1) und (2) garantieren, dass Graph keine Schleifen hat. Wenn zusätzlich gilt, dass 4. entweder x y oder y x, dann ist die Ordnung total. Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Partielle Ordnung (1/3) Einbettung Eine partielle Ordnung kann in eine lineare (=totale) Ordnung eingebettet werden. topologisches Sortieren Beispiel von vorhin: Es kann mehrere Einbettungen geben.

13 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Topologisches Sortieren (1/3) Algo Gegeben sei eine nichtleere, partiell geordnete Menge S und L eine leere Liste: 1. Wähle in S ein Element x, das keinen Vorgänger besitzt. (mind 1 Element existiert, sonst hat es eine Schleife) 2. Hänge x an L an. 3. Entferne x aus S. 4. Wiederhole ab Schritt 1 bis S leer ist. 5. L ist eine lineare Einbettung der partiellen Ordnung (topologisch sortierte Menge). Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Topologisches Sortieren (2/3) Anwend Studienplanung (Reihenfolge der Belegung von Vorlesungen, die Voraussetzungen haben) Abhängigkeitsgraph von Libraries: Gewisse Libraries können erst geladen werden, wenn andere schon im System installiert sind. Beispiel Mozilla Browser: Abfolgeplanung in der Logistik, Projektplanung

14 Algorithmen und Datenstrukturen, FS März / 27 Topologisches Sortieren (3/3) Implementierungen Siehe Graphenalgorithmen Python: toposort Library 1 >>> from toposort import toposort, toposort_flatten 2 >>> list(toposort({2: {11}, : {11, 8, 10}, : {11, 3}, : {7, 5}, : {7, 3}, 7... })) 8 [{3, 5, 7}, {8, 11}, {2, 10}, {9}] 2 hängt von 11 ab; 9 von 11, 8 und 10; etc In Unix: tsort