Algorithmen und Datenstrukturen

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1 1 Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2015/ Vorlesung Tiefensuche und topologische Sortierung Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I

2 2 2. Test = 72 % Test 1: 125/175 = 71 % Test 2: n = 155 Median = 14 arithm. Mittel = 13,1 Test 1: n = 175 Median = 14,5 arithm. Mittel = 14,2

3 3 3. Test Termin: Di, 19. Januar, 10:00 12:00 Uhr, Zuse-HS Themen: Binäre Suchbäume Rot-Schwarz-Bäume: R-S-Eigenschaften und log. Höhe Augmentieren von DS, insbes. von R-S-Bäumen Amortisierte Analyse Graphen und Breitensuche Viel Erfolg! Übrigens... Es kommen noch 2 Übungsblätter: #9 (19.1.) und #10 (26.1.). Denken Sie an die 50%-Marke für den Bonus (bzw. Übungsmodul oder Klausurzulassung in älteren Studienordnungen).

4 4? $ Maze-01 Grüningen hedge maze 1576 (destroyed) von RTH Eigenes Werk. Lizenziert unter CC BY-SA 3.0 über Wikimedia Commons

5 Tiefensuche Eingabe: Ausgabe: (un)gerichteter Graph G discovery time Besuchsintervalle ( ) (u.d/u.f ) DFS-Wald π u π v w 1/ 1/8 4/ 4/5 Klassifizierung der Graphkanten: Baumkanten (Kanten von G π ) Rückwärtskanten (R) finish time Kanten des DFS-Waldes (in Gegenrichtung) Nicht-Baumkanten zu einem Vorgängerknoten V R 2/ 2/7 3/ 3/6 K x y z weiss grau 9/12 9/ 10/11 10/ R 5 Farbe Zielknoten: Vorwärtskanten (V) Nicht-Baumkanten zu einem Nachfolgerknoten Kreuzkanten (K) Kanten, bei denen kein Endpunkt Vorgänger des anderen ist. schwarz und start.d < ziel.d schwarz und start.d > ziel.d

6 Tiefensuche Pseudocode DFS(Graph G = (V, E)) foreach u V do u.color = white u.π = nil time = 0 // globale Variable! foreach u V do if u.color == white then DFSVisit(G, u) DFSVisit(Graph G, Vertex u) time = time + 1 u.d = time; u.color = gray foreach v Adj[u] do if v.color == white then v.π = u; DFSVisit(G, v) time = time + 1 u.f = time; u.color = black u v w 1/8 V R 2/7 4/5 3/6 K x y z 9/12 10/11 R Laufzeit von DFS? DFSVisit wird nur für weiße Knoten aufgerufen. In DFSVisit wird der neue Knoten sofort gefärbt. DFSVisit wird für jeden Knoten genau 1 aufgerufen. DFS ohne if O(V ) Zeit DFSVisit ohne Rek. (out-) O(deg u) DFS gesamt O(V + E) Zeit 6

7 7 Tiefensuche Eigenschaften 3/6 y z s t 2/9 1/10 11/16 ( s 4/5 x 7/8 w ( z ( y (x x) y ) ( w w ) ) z 12/13 ) ( s t v ( ) ( ) v v u u 14/15 ) t u B y R x s t z v u V w K R time

8 Tiefensuche Sätze Satz. (Klammerntheorem) Nach DFS(G) gilt für {u, v} ( V 2) genau eine der Bedingungen (i) Besuchsintervalle disjunkt und Baumkanten enthalten weder u-v- noch v-u-weg. (ii) [u.d, u.f ] [v.d, v.f ] und Baumkanten enthalten v-u-weg. (iii) Wie (ii), nur umgekehrt. DFSVisit(Graph G, Vertex u) time = time + 1 u.d = time; u.color = gray foreach v Adj[u] do if v.color == white then v.π = u; DFSVisit(G, v) time = time + 1 u.f = time; u.color = black 8-17 Beweis. Wir betrachten zwei Fälle. 1. Fall: u.d < v.d. A) v.d < u.f,. d.h. v wurde entdeckt, als u noch grau war. v ist Nachfolger von u, d.h. es gibt einen u-v-weg. Wegen u.d < v.d gilt: v wurde später als u entdeckt. alle Kanten, die v verlassen, sind erforscht; v wird schwarz, bevor DFS zu u zurückkehrt und u schwarz macht [v.d, v.f ] [u.d, u.f ]

9 Tiefensuche Sätze Satz. (Klammerntheorem) Nach DFS(G) gilt für {u, v} ( V 2) genau eine der Bedingungen (i) Besuchsintervalle disjunkt und Baumkanten enthalten weder u-v- noch v-u-weg. (ii) [u.d, u.f ] [v.d, v.f ] und Baumkanten enthalten v-u-weg. (iii) Wie (ii), nur umgekehrt. DFSVisit(Graph G, Vertex u) time = time + 1 u.d = time; u.color = gray foreach v Adj[u] do if v.color == white then v.π = u; DFSVisit(G, v) time = time + 1 u.f = time; u.color = black 8-35 Beweis. Wir betrachten zwei Fälle. 1. Fall: u.d < v.d. 2. Fall: v.d < u.d. Symmetrisch! A) v.d < u.f. B) u.f < v.d. (Vertausche im Beweis u v.) Laut Code gilt u.d < u.f < v.d < v.f (siehe Code). [u.d, u.f ] [v.d, v.f ] = Keiner der beiden Knoten wurde entdeckt, während der andere noch grau war., d.h. keiner Nachf. des anderen.

10 9 Einschub: Vorlesungsumfrage Nutzen Sie die Vorlesungsbefragung zu konstruktiver Kritik! Von besseren Vorlesungen profitieren Sie (wenn Sie die nächste Veranstaltung bei mir hören) Ihre Nachfolger (im nächsten Wintersemester) ich (Gute Lehre macht Spaß! Gute Klausurergebnisse auch!) Vielen Dank! JETZT! Suchen Sie in Ihrem stud-mail-konto nach einer von EvaSys! Folgen Sie dem Link und geben Sie die TAN ein.

11 10 Tiefensuche in ungerichteten Graphen Satz. G ungerichtet G hat nur Baum- und Rückwärtskanten. Beweis. Sei uv (kurz für {u, v}) eine beliebige Kante von G. O.B.d.A. gilt u.d < v.d. Dann entdeckt DFS v und färbt v schwarz, bevor u schwarz gefärbt wird (da v Adj[u]). Falls DFS uv zum ersten Mal von u nach v überschreitet, ist v zu diesem Zeitpunkt weiss. Dann ist uv Baumkante. Andernfalls ist uv R-Kante, da u schon (und immer noch) grau ist, wenn uv zum 1. Mal überschritten wird (und zwar von v nach u).

12 11-7 Ablaufplanung Kante bedeutet: Unterhose vor Hose anziehen! Hose Unterhose Socken Schuhe Gürtel Schal Uhr T-Shirt Anorak Pulli Aufgabe: Finde Ablaufplan d.h. Reihenfolge der Knoten, so dass alle Einschränkungen erfüllt sind (z.b. T-Shirt vor Pulli). Topologische Sortierung: Lineare Ordnung der Knoten, so dass aus (u, v) E folgt: u kommt vor v.

13 11-2 Ablaufplanung Kante bedeutet: Unterhose vor Hose anziehen! 1/8 Hose Gürtel Unterhose Socken 19/20 Schuhe 2/7 3/4 Uhr 5/6 9/10 14/15 Schal T-Shirt 11/18 13/16 Anorak Pulli 12/17 Idee: Nutze Tiefensuche! Alle Kanten sind Sortiere Knoten nach absteigenden f -Zeiten. DFS-Besuchsintervalle nach rechts gerichtet. 19/20 Socken 11/18 T-Shirt 12/17 Pulli 13/16 Anorak 14/15 Schal Uhr 9/10 Unterhose 1/8 Hose 2/7 Gürtel 5/6 Schuhe 3/4

14 12 Topologisch sortieren Topologische Sortierung: Lineare Ordnung der Knoten, so dass aus (u, v) E folgt: u kommt vor v. TopologicalSort(DirectedGraph G) L = new List() DFS(G) mit folgender Änderung: Wenn ein Knoten schwarz gefärbt wird, häng ihn vorne an die Liste L an. return L Laufzeit? O(V + E) Korrekt? Wann funktioniert s? Def. Ein (gerichteter) Graph ist kreisfrei, wenn er keinen (gerichteten) Kreis enthält.

15 13 Kreisfrei keine R-Kanten Lem. Beweis. v W u Ein gerichteter Graph G ist kreisfrei DFS(G) liefert keine Rückwärtskanten. Sei G kreisfrei. Angenommen DFS(G) liefert R-Kante (u, v). Dann ist u Nachfolger von v im DFS-Wald. D.h. G enthält einen gerichteten v-u-weg W. Aber dann ist W (u, v) ein gerichteter Kreis. DFS(G) liefere keine R-Kanten. Ang. G enthält trotzdem Kreis C = v 1,..., v k. Sei v i der 1. Knoten in C, den DFS(G) erreicht. Es gibt einen Weg von v i nach v i 1 in G. DFS gelangt zu v i 1, solange v i grau ist. (v i 1, v i ) ist R-Kante.

16 14 Korrektheit von TopologicalSort Satz. Sei G ein gerichteter kreisfreier Graph. Dann liefert TopologicalSort(G) eine topologische Sortierung von G. Beweis. Sei L = v n, v n 1,..., v 1 = TopologicalSort(G). Dann gilt v 1.f < v 2.f < < v n.f. Sei (u, v) Kante von G. Zu zeigen: v.f < u.f Welche Farbe hat v, wenn DFS (u, v) überschreitet? v grau (u, v) ist R-Kante v weiß v schwarz zu Lemma: G kreisfrei! v Nachfolger von u v.f < u.f u.f noch nicht gesetzt, v.f gesetzt v.f < u.f

17 15 Vergleich Durchlaufstrategien für Graphen Breitensuche Tiefensuche Laufzeit O(V + E) O(V + E) Ergebnis BFS-Baum, d.h. kürzeste Wege d- und f -Werte, z.b. für top. Sortierung Datenstruktur Schlange Rekursion bzw. Stapel Vorgehen nicht-lokal lokal