Geometrie. Hallo Welt! für Fortgeschrittene Simon Kuhnle. 11. Juli

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1 Geometrie Hallo Welt! für Fortgeschrittene 2008 Simon Kuhnle 11. Juli 2008 Simon Kuhnle Geometrie / 33

2 Übersicht Übersicht 1 Grundlagen 2 ccw 3 Konvexe Hülle 4 Closest Pair 5 Bereichssuche Simon Kuhnle Geometrie / 33

3 Geraden Grundlagen Unendlich lange, gerade Linie Strecke: Linie, begrenzt zwei Punkten Geradengleichung: y = mx + t m ist die Steigung der Geraden. m = y 2 y1 = tan(ϕ) x2 x1 Simon Kuhnle Geometrie / 33

4 Dreiecke Grundlagen Satz von Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 sin α = Gegenkathete Hypotenuse cos α = Ankathete Hypotenuse tan α = Gegenkathete Ankethete Simon Kuhnle Geometrie / 33

5 Kreise Grundlagen Pi Umfang U = 2πr Fläche A = πr 2 M d r Simon Kuhnle Geometrie / 33

6 Polygone Grundlagen Denition Ein Polygon ist ein Vieleck bestehend aus n Punkten P = (P 1, P 2,..., P n ), P i R, 1 i n die durch Strecken miteinander verbunden eine geschlossene Figur ergeben. Beispiele Simon Kuhnle Geometrie / 33

7 Konvex Grundlagen Sternförmige und konvexe Polygone Sternförmige Polygone haben einen Punkt von dem aus jeder Punkt sichtbar ist Bei konvexen Polygonen kann man von allen Punkten aus jeden Punkt sehen Simon Kuhnle Geometrie / 33

8 Punkt im Polygon Grundlagen Bendet sich ein Punkt X innerhalb eines Polygons? Punkt P auÿerhalb des Polygons suchen Zähle die Schnittpunkte mit den Kanten des Polygons Ungerade: innerhalb des Polygons Gerade: auÿerhalb des Polygons Sonderfälle P liegt auf einem Eckpunkt des Polygons Auf der Strecke zwischen P und X liegt eine Kante Simon Kuhnle Geometrie / 33

9 CCW CCW ccw bool ccw(punktp 1, PunktP 2, PunktP 3 ); P 1 P 2 P 3 gegen den/im Uhrzeigersinn? Kreuzprodukt der drei Punkte gibt die Richtung an Kreuzprodukt gröÿer 0: im Uhrzeigersinn Kreuzprodukt kleiner 0: gegen den Uhrzeigersinn Kreuzprodukt gleich 0: Kollinear Simon Kuhnle Geometrie / 33

10 ccw CCW Simon Kuhnle Geometrie / 33

11 CCW Code CCW / Kreuzprodukt der drei Punkte ergibt die Richtung / int ccw(p1, p2, p3) { int ccw; / (p1 p0) x (p2 p0) / ccw = (p2.x p1.x) (p3.y p1.y) (p3.x p1.x) (p2.y p1.y); } if (ccw > 0) return 1; else if (ccw < 0) return 1; else return 0; Simon Kuhnle Geometrie / 33

12 CCW Punkt im konvexen Polygon ccw für konvexe Polygone Um herauszunden ob ein Punkt in einem Polygon liegt, von dem wir wissen, dass dieses konvex ist (z.b. Dreieck), reicht es zu überprüfen, ob die ccw-werte gleich sind. Mit den Punkten des Dreiecks a, b, c und dem gesuchten Punkt p ccw(a, b, p) == ccw(b, c, p) == ccw(c, a, p) Simon Kuhnle Geometrie / 33

13 Intersect CCW Schneiden sich zwei Geraden? Richtung (ccw) der 4 Endpunkte berechnen Es kann sein, dass einer der Punkte auf der anderen Geraden liegt Überprüfe ob dieser Punkt genau zwischen zwei Endpunkten liegt Simon Kuhnle Geometrie / 33

14 Intersect CCW bool intersect (p1, p2, p3, p4) { d1 = ccw(p3, p4, p1); d2 = ccw(p3, p4, p2); d3 = ccw(p1, p2, p3); d4 = ccw(p1, p2, p4); if ((d1 > 0 && d2 < 0) (d1 < 0 && d2 > 0) (d3 > 0 && d4 < 0) (d3 < 0 && d4 > 0)) return true ; else if ((d1 == 0 && onsegment(p3, p4, p1)) (d2 == 0 && onsegment(p3, p4, p2)) (d3 == 0 && onsegment(p1, p2, p3)) (d4 == 0 && onsegment(p1, p2, p4)) return true ; else return false ; } bool onsegment(pi, pj, pk) { if (min(pi.x, pj.x) <= pk.x <= max(pi.x, pj.x) && min(pi.y, pj.y) <= pk.y <= max(pi.y, pj.y) return true ; return false ; Simon } Kuhnle Geometrie / 33

15 Intersect CCW Simon Kuhnle Geometrie / 33

16 Konvexe Hülle Konvexe Hülle Denition Die Konvexe Hülle ist das kleinste Polygon P, bei dem alle Punkte eines Polygons X entweder innerhalb des Polygons P oder auf der Grenze von P liegen. Simon Kuhnle Geometrie / 33

17 Konvexe Hülle Konvexe Hülle Algorithmen zur Berechnung der Konv. Hülle n = Anzahl der Punkte, h = Anzahl der Punkte auf der Hülle Einwickeln (auch bekannt als Jarvi's march) O(n h) Durchsuchen nach Graham O(n log h) Simon Kuhnle Geometrie / 33

18 Einwickeln Konvexe Hülle Idee Einwickeln mit einer Schnur Algorithmus 1 Startpunkt S auswählen. Wichtig: dieser muss sicher Teil der Hülle sein (z.b. der Punkt P mit dem kleinsten y-wert) 2 Schnur parallel zur x-achse spannen und solange gegen den Uhrzeigersinn gehen, bis die Schnur den nächsten Punkt berührt. 3 Wiederhole 2. bis Punkt P = Startpunkt S Simon Kuhnle Geometrie / 33

19 Graham Scan Konvexe Hülle Algorithmus 1 Startpunkt suchen (Punkt mit dem kleinsten y-wert) 2 Punkte nach Winkel sortieren. Bei Punkten mit gleichem Winkel wird nur der Punkt berücksichtigt, der am weitesten vom Startpunkt entfernt ist. 3 Ist ccw(p 1, P 2, P neu ) kleiner Null (d.h. wir biegen links ab) ist der Punkt P neu Teil der Hülle, rechts abbiegen bedeutet der letzte Punkt vor P neu (P 2 ) iegt raus und wir überprüfen nochmals die ccw. 4 Aufwand ergibt sich durch die Sortierung Simon Kuhnle Geometrie / 33

20 Graham Scan Konvexe Hülle Simon Kuhnle Geometrie / 33

21 Graham Scan Konvexe Hülle s.sortbyangle(); // Nach Winkel sortieren stack.push(s. get (0)); // Punkt mit dem kleinsten y Wert stack.push(s. get (1)); stack.push(s. get (2)); int ct = 3; for ( int i = 3; i < n; i++) { // ct 2 = vorletztes Element, ct 1 = letzte Element // i aktuelles Element (noch nicht auf dem Stack!) while (ccw(stack.get(ct 2), stack.get(ct 1), s.get( i )) > 0) { stack.pop(); ct ; } stack.push(s. get( i )); ct++; } Simon Kuhnle Geometrie / 33

22 Closest-Pair-Problem Closest Pair Was? Bei einer Punktmenge von mehr als 2 Punkten das Paar nden, welches am nähesten beieinander liegt. Aufwand Naiver Ansatz sehr aufwändig ( n 2) = O(n 2 ) Besser: Teile und Herrsche O(n log n) Simon Kuhnle Geometrie / 33

23 Teile und Herrsche Closest Pair Teile Punktmenge wird durch eine senkrechte Linie in zwei Hälften geteilt, so dass die linke und die rechte Menge die gleiche Anzahl an Punkten besitzen Herrsche Rekursiver Aufruf auf die linke/rechte Hälfte. Minimaldistanz d = min(d links, d rechts ) Zusammenfügen Nachdem wir den minimalen Abstand d aus dem Bereich einer der beiden Hälften gefunden haben, bleibt das Problem, dass ein noch kleinerer Abstand zwischen zwei Punkten aus unterschiedlichen Hälften existieren könnte! Simon Kuhnle Geometrie / 33

24 Teile und Herrsche Closest Pair Vorgehen Array anlegen, in dem nur Punkte enthalten sind, die maximal d (nach links und rechts in x-richtung) von der Trennlinie entfernt sind (der Grenzbereich) Für jeden Punkt dieses Arrays wird nun im Umkreis von d nach anderen Punkten gesucht und die Entfernung d' dafuer berechnet maximal 7 Punkte pro untersuchten Punkt des Arrays falls ein d' kleiner als d ist, haben wir eine neue Minimaldistanz gefunden (ansonsten bleibt d die Minimaldistanz) Simon Kuhnle Geometrie / 33

25 Teile und Herrsche Closest Pair Simon Kuhnle Geometrie / 33

26 Bereichssuche Bereichssuche Was? Aunden aller Datensätze (Punkte) mit bestimmten Attributen (d.h. innerhalb eines Intervalls). Wie? 1-dimensional Sortieren und im Intervall suchen Binärbaum erstellen 2- bzw. N-dimensional Projektion Gitterverfahren 2-dimensionale bzw. k-dimensionale Bäume Simon Kuhnle Geometrie / 33

27 Gitterverfahren Bereichssuche Vorgehen Aufteilen des Bereichs in gleich groÿe Quadrate Alle Punkte innerhalb eines Quadrats in einer Liste speichern Suche auf Quadrate beschränkt, die durch den Suchbereich überdeckt werden Problem: Wahl der Gröÿe Zu groÿ: Viele Punkte pro Quadrat Zu klein: Viele (leere) Quadrate Simon Kuhnle Geometrie / 33

28 Bereichssuche Aufwand Gitterverfahren Aufwand Im besten Fall: O(M), M = Anzahl der Punkte eines Quadrats Worst-case: O(n) Simon Kuhnle Geometrie / 33

29 Gitterverfahren Bereichssuche Simon Kuhnle Geometrie / 33

30 2D-Bäume Bereichssuche Idee Einen Binärbaum aus den Punkten erstellen, mit den x- und y-koordinaten als Schlüssel Einfügen Wurzel wählen Nächsten Punkt wählen y-wert gröÿer als der y-wert der Wurzel rechts einfügen y-wert kleiner links einfügen Nächsten Punkt einfügen an Hand des x-wertes relativ zur Wurzel und an Hand des y-wertes des darauf folgenden Knotens (falls vorhanden) Ständiger Wechsel zwischen x- und y-wert Simon Kuhnle Geometrie / 33

31 2D-Bäume Bereichssuche Simon Kuhnle Geometrie / 33

32 Mehr Dimensionen Bereichssuche Verfahren auch für mehr Dimensionen möglich Problem beim Gitterverfahren: sinnvolle gröÿe für die Gitter kd-bäume: Bäume entarten sehr schnell Simon Kuhnle Geometrie / 33

33 Literatur Literatur 1 T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest: Introduction to Algorithms 2nd Ed, The MIT Press, R.Sedgewick: Algorithms in C++, Addison-Wesley, 1984 Simon Kuhnle Geometrie / 33