Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität
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1 Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1
2 Geometrisches Problem: Problem: Nächstes Paar Eingabe: n Punkte in der Ebene Ausgabe: Das Paar q,r mit geringstem Abstand Beispiel: 2
3 Geometrisches Problem: Problem: Nächstes Paar Eingabe: n Punkte in der Ebene Ausgabe: Das Paar q,r mit geringstem Abstand Beispiel: 3
4 Notation: d(q,r) bezeichnet Abstand zwischen q und r 4
5 Notation: d(q,r) bezeichnet Abstand zwischen q und r q d(q,r) r 5
6 Plan für 2D: Wie MergeSort nur im 2D 6
7 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate 7
8 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate Teile in der Mitte Q R 8
9 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate Teile in der Mitte Löse rekursiv R Q q* 2 q* 1 r* r* 2 1 9
10 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate Teile in der Mitte Löse rekursiv Füge zusammen Q R q* 1 q* 2 r* r*
11 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate Teile in der Mitte Löse rekursiv Füge zusammen Q Wir wissen: (q*,q*) ist nächstes Paar in Q. 1 2 q* 1 q* 2 11
12 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate Teile in der Mitte Löse rekursiv Füge zusammen RWir wissen: (r*,r*) ist nächstes Paar in R. 1 2 L r* r*
13 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate Teile in der Mitte Löse rekursiv Füge zusammen Q q* 1 q* 2 Wir wissen nicht: Gibt es Paare (q,r) mit q Q und r R, Rdie nah beieinander liegen?? r* r*
14 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate Teile in der Mitte Löse rekursiv Füge zusammen Problem: Es gibt sehr viele solche Paare. (Θ(n²) viele). Q q* 1 q* 2 Wir wissen nicht: Gibt es Paare (q,r) mit q Q und r R, Rdie nah beieinander liegen?? r* r*
15 Plan: Wie MergeSort nur im 2D Sortiere Punktmenge nach x-koordinate Teile in der Mitte Löse rekursiv Füge zusammen Problem: Es gibt sehr viele solche Paare. (Θ(n²) viele). Q q* 1 q* 2 Wir wissen nicht: Gibt es Paare (q,r) mit q Q und r R, Rdie nah beieinander liegen?? r* r* 2 1 Zeige: Es genügt O(n) geschickt gewählte Paare zu testen. 15
16 Definition: = min{d(q*, q* ), d(r*, r* )} Q R q* 1 q* 2 L r* 1 r* 2 16
17 Wichtige Beobachtung: Sind q,r Q, dann gilt d(p,r). Sind q,r R, dann gild d(p,r). Q R q* 1 q* 2 L r* r*
18 Lemma 7 Gibt es q Q und r R mit d(q,r) <, dann sind sowohl q als auch r höchstens von L entfernt. Q R q* 1 q* 2 L r* r*
19 Lemma 7 Gibt es q Q und r R mit d(q,r) <, dann sind sowohl q als auch r höchstens von L entfernt. Q R q* 1 q* 2 L r* r*
20 Was gewinnen wir? Alle Punkte können nahe an L liegen Q R q* 1 q* 2 L r* r*
21 Abhilfe: Wir wollen nur Paare (q,r) testen, wenn (a) q und r nah an L liegen und (b) q und r kleinen Abstand in y-richtung haben Q R q* 1 q* 2 L r* r*
22 Idee: Sortiere nahe Punkte nach y-koordinate Zeige: Liegen in dieser Sortierung mehr als c Punkte zwischen q und r, dann kann (q,r) nicht nächstes Paar sein q* 1 q* 2 r* r*
23 Idee: Sortiere nahe Punkte nach y-koordinate Zeige: Liegen in dieser Sortierung mehr als c Punkte zwischen q und r, dann kann (q,r) nicht nächstes Paar sein q q* 1 q* 2 r* r* c Punkte 1 2 dazwischen: Wir brauchen (q,r) nicht testen r 23
24 Idee: Sortiere nahe Punkte nach y-koordinate Zeige: Liegen in dieser Sortierung mehr als c Punkte zwischen q und r, dann kann (q,r) nicht nächstes Paar sein q q* 1 q* 2 r* r* c Punkte 1 2 dazwischen: Wir brauchen (q,r) nicht testen r Für welchen Wert c können wir dies zeigen? 24
25 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. q* 1 q* 2 r* r*
26 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. Beweis: Teile Nahbereich in Quadrate der Seitenlänge /2 auf Beh.: In jedem Quadrat ist nur ein Punkt. /2 /2 L 26
27 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. Beweis: Teile Nahbereich in Quadrate der Seitenlänge /2 auf Beh.: In jedem Quadrat ist nur ein Punkt. Beweis: Annahme: Zwei Punkte q,r in einem Quadrat /2 /2 L 27
28 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. Beweis: Teile Nahbereich in Quadrate der Seitenlänge /2 auf Beh.: In jedem Quadrat ist nur ein Punkt. Beweis: Annahme: Zwei Punkte q,r in einem Quadrat Dann ist d(q,r) 2/2 < /2 /2 L 28
29 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. Beweis: Teile Nahbereich in Quadrate der Seitenlänge /2 auf Beh.: In jedem Quadrat ist nur ein Punkt. Beweis: Annahme: Zwei Punkte q,r in einem Quadrat Dann ist d(q,r) 2/2 < /2 /2 Ein Quadrat ist entweder komplett links oder rechts von L. Also sind q,r beide in Q oder beide in R. Damit gilt d(q,r). L 29
30 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. Beweis: Seien mind. 15 Punkte zwischen q und r L /2 /2 30
31 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. Beweis: Seien mind. 15 Punkte zwischen q und r L Zwischen den beiden roten Punkten liegen 15 andere Punkte /2 /2 31
32 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. Beweis: Seien mind. 15 Punkte zwischen q und r Dann sind mindestens 3 Reihen Quadrate zwischen q,r, weil in jedem Quadrat höchstens ein Punkt ist /2 /2 L 32
33 Lemma 8 Liegen in der Sortierung mindestens 15 Punkte zwischen q und r, dann ist d(q,r) >. Beweis: Seien mind. 15 Punkte zwischen q und r Dann sind mindestens 3 Reihen Quadrate zwischen q,r, weil in jedem Quadrat höchstens ein Punkt ist Dann muss d(q,r) mindestens 3/2 > sein /2 /2 L 33
34 Der Algorithmus im Überblick: Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf 34
35 Der Algorithmus im Überblick: Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf Q L R 35
36 Der Algorithmus im Überblick: Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf Löse Problem rekursiv auf Q und R Q L R 36
37 Der Algorithmus im Überblick: Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf Löse Problem rekursiv auf Q und R Sortiere Punkte mit Abstand zu L höchstens nach y-koord. Q L R 37
38 Der Algorithmus im Überblick: Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf Löse Problem rekursiv auf Q und R Sortiere Punkte mit Abstand zu L höchstens nach y-koord. Teste alle Paare, deren Abstand in der Sortierung kleiner als 16 ist Q L R 38
39 Der Algorithmus im Überblick: Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf Löse Problem rekursiv auf Q und R Sortiere Punkte mit Abstand zu L höchstens nach y-koord. Teste alle Paare, deren Abstand in der Sortierung kleiner als 16 ist Q L R 39
40 Der Algorithmus im Überblick: Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf Löse Problem rekursiv auf Q und R Sortiere Punkte mit Abstand zu L höchstens nach y-koord. Teste alle Paare, deren Abstand in der Sortierung kleiner als 16 ist Q L R 40
41 Der Algorithmus im Überblick: Teile Punktmenge an Linie L in Q und R auf Löse Problem rekursiv auf Q und R Sortiere Punkte mit Abstand zu L höchstens nach y-koord. Teste alle Paare, deren Abstand in der Sortierung kleiner als 16 ist Q L R 41
42 NächstesPaar(P) 1. MergeSort(P, a, length[p]) Sortiere nach x-koordinate 2. return NächstesPaarRec(P,1,length[P]) 42
43 NächstesPaar(P) 1. MergeSort(P, a, length[p]) Θ(n log n) 2. return NächstesPaarRec(P,1,length[P]) 43
44 NächstesPaar(P) n=length[p] 1. MergeSort(P, a, length[p]) Θ(n log n) 2. return NächstesPaarRec(P,1,length[P]) T(n)+Θ(1) 44
45 NächstesPaar(P) 1. MergeSort(P, a, length[p]) Θ(n log n) 2. return NächstesPaarRec(P,1,length[P]) T(n)+Θ(1) T(n) + Θ(n log n) 45
46 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) 7. Zusammensetzen 46
47 NächstesPaarRec(P,a,c) Nächste Paare 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) 7. Zusammensetzen Rekursionsabbruch bei 2 oder 3 Punkten 47
48 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (Median) (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 Berechnung des mittleren Elements 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) 7. Zusammensetzen 48
49 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) 7. Zusammensetzen Rekursiver Aufruf für linke Hälfte 49
50 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) 7. Zusammensetzen Rekursiver Aufruf für rechte Hälfte 50
51 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) 7. Zusammensetzen Pseudocode für das Zusammensetzen der beiden Hälften 51
52 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) 7. Zusammensetzen Θ(1) 52
53 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) 7. Zusammensetzen Θ(1) Θ(1) 53
54 NächstesPaarRec(P,a,c) Nächste Paare n=c-a 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) Θ(1) 4. b (a+c)/2 Θ(1) 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) T(n/2) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) T(n/2) 7. Zusammensetzen 54
55 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) Θ(1) 4. b (a+c)/2 Θ(1) 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) T(n/2) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) T(n/2) 7. Zusammensetzen Θ(n log n) 55
56 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) Θ(1) 4. b (a+c)/2 Θ(1) 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) T(n/2) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) T(n/2) 7. Zusammensetzen Θ(n log n) 2 T(n/2) +Θ(n log n) 56
57 NächstesPaarRec(P,a,c) 1. if b-a=1 then return (P[a],P[a+1]) 2. if b-a=2 then return nächstes Paar aus Θ(1) (P[a],P[a+1]), (P[a],P[a+2]), (P[a+1], P[a+2]) 4. b (a+c)/2 Θ(1) 5. (q*, q*) NächstesPaar(P, a, b) T(n/2) 6. (r*, r*) NächstesPaar(P, b+1, c) T(n/2) 7. Zusammensetzen Θ(n log n) Laufzeit: T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n log n) 2 T(n/2) +Θ(n log n) 57
58 Zusammensetzen 1. k=0 2. for i a to c do 3. if d(p[i],l) < min{d(q*,q*),d(r*,r*)} then 4. k k+1; R[k] P[a] 5. MergeSort(R,1,k) Sortiere nach y-koordinate 6. (q,r) (P[a], P[a+1]) 7. for i 1 to k do 8. for j 1 to 15 do 9. if i+j k then 10. if d(r[i],r[i+j])<d(q,r) then q R[i]; r R[i+j] 11. return nächstes Paar aus (q,r), (q*,q*), und (r*,r*)
59 Zusammensetzen 1. k=0 2. for i a to c do 3. if d(p[i],l) < min{d(q*,q*),d(r*,r*)} then 4. k k+1; R[k] P[a] 5. MergeSort(R,1,k) Sortiere nach y-koordinate 6. (q,r) (P[a], P[a+1]) 7. for i 1 to k do 8. for j 1 to 15 do 9. if i+j k then 10. if d(r[i],r[i+j])<d(q,r) then q R[i]; r R[i+j] 11. return nächstes Paar aus (q,r), (q*,q*), und (r*,r*) Alle Punkte mit Abstand höchstens zu L werden nach R kopiert 59
60 Zusammensetzen 1. k=0 2. for i a to c do R wird nach 3. if d(p[i],l) < min{d(q*,q*),d(r*,r*)} y-koordinate sortiert then 4. k k+1; R[k] P[a] 5. MergeSort(R,1,k) Sortiere nach y-koordinate 6. (q,r) (P[a], P[a+1]) 7. for i 1 to k do 8. for j 1 to 15 do 9. if i+j k then 10. if d(r[i],r[i+j])<d(q,r) then q R[i]; r R[i+j] 11. return nächstes Paar aus (q,r), (q*,q*), und (r*,r*)
61 Zusammensetzen 1. k=0 2. for i a to c do (q,r) wird mit 3. if d(p[i],l) < min{d(q*,q*),d(r*,r*)} initialisiert (hier kann then 4. k k+1; R[k] P[a] man jedes beliebige Paar verwenden) 5. MergeSort(R,1,k) Sortiere nach y-koordinate 6. (q,r) (P[a], P[a+1]) 7. for i 1 to k do 8. for j 1 to 15 do 9. if i+j k then 10. if d(r[i],r[i+j])<d(q,r) then q R[i]; r R[i+j] 11. return nächstes Paar aus (q,r), (q*,q*), und (r*,r*)
62 Zusammensetzen 1. k=0 2. for i a to c do 3. if d(p[i],l) < min{d(q*,q*),d(r*,r*)} then 4. k k+1; R[k] P[a] Für alle Punkte aus R teste, ob sie zusammen mit einem ihrer 15 Nachfolger ein besseres Paar bilden als das bislang gemerkte 5. MergeSort(R,1,k) Sortiere nach y-koordinate 6. (q,r) (P[a], P[a+1]) 7. for i 1 to k do 8. for j 1 to 15 do 9. if i+j k then 10. if d(r[i],r[i+j])<d(q,r) then q R[i]; r R[i+j] 11. return nächstes Paar aus (q,r), (q*,q*), und (r*,r*)
63 Zusammensetzen 1. k=0 2. for i a to c do 3. if d(p[i],l) < min{d(q*,q*),d(r*,r*)} then 4. k k+1; R[k] P[a] 5. MergeSort(R,1,k) Sortiere nach y-koordinate 6. (q,r) (P[a], P[a+1]) 7. for i 1 to k do 8. for j 1 to 15 do 9. if i+j k then 10. if d(r[i],r[i+j])<d(q,r) then q R[i]; r R[i+j] Gib das beste gefundene Paar zurück 11. return nächstes Paar aus (q,r), (q*,q*), und (r*,r*)
64 Laufzeit: T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n log n) T(n) = O(n log²n) [Substitutionsmethode] Satz 9 Das nächste Paar von n Punkten in der Ebene kann in O(n log²n) Zeit berechnet werden. Hinweis: Man kann die Laufzeit des Algorithmus relativ einfach auf O(n log n) verbessern. 64
65 Zusammenfassung Teile & Herrsche: Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen Probleme: Wie setzt man zusammen? [erfordert algorithmisches Geschick und Übung] Laufzeitanalyse (Auflösen der Rekursion) [ist normalerweise nach Standardschema; erfordert ebenfalls Übung] 65
66 Zusammenfassung Teile & Herrsche: Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen Algorithmen: MergeSort Binäre Suche Integer Multiplikation; Matrix Multiplikation Nächste Paare 66
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