Divide & Conquer. Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen
|
|
|
- Hannelore Katrin Günther
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Teile & Herrsche: Divide & Conquer Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen Probleme: Wie setzt man zusammen? [erfordert algorithmisches Geschick und Übung] Laufzeitanalse (Auflösen der Rekursion) [ist normalerweise nach Standardschema; erfordert ebenfalls Übung] 1
2 Divide & Conquer Teile & Herrsche: Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen Algorithmen: Merge Sort Quick Sort 2
3 = 3
4 = 4
5 Teile & Herrsche: Problem: Berechne das Produkt zweier n n Matrizen Eingabe: Matrizen X,Y Ausgabe: Matrix Z = X Y X = x x 1,1 2,1 x x 1,2 2,2 x x 1,3 2,3 x x 1,4 2,4 x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 x 4,1 x 4,2 x 4,3 x 4,4, Y = 1,1 2,1 3,1 1,2 2,2 3,2 1,3 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4 4,1 4,2 4,3 4,4 5
6 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] 2. for i 1 to n do 3. for j 1 to n do 4. Z[i][j] 0 5. for k 1 to n do 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 6
7 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) Laufzeit: 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] Θ(n²) 2. for i 1 to n do 3. for j 1 to n do 4. Z[i][j] 0 5. for k 1 to n do 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7
8 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) Laufzeit: 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] Θ(n²) 2. for i 1 to n do Θ(n) 3. for j 1 to n do 4. Z[i][j] 0 5. for k 1 to n do 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 8
9 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) Laufzeit: 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] Θ(n²) 2. for i 1 to n do Θ(n) 3. for j 1 to n do Θ(n²) 4. Z[i][j] 0 5. for k 1 to n do 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 9
10 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) Laufzeit: 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] Θ(n²) 2. for i 1 to n do Θ(n) 3. for j 1 to n do Θ(n²) 4. Z[i][j] 0 Θ(n²) 5. for k 1 to n do 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 10
11 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) Laufzeit: 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] Θ(n²) 2. for i 1 to n do Θ(n) 3. for j 1 to n do Θ(n²) 4. Z[i][j] 0 Θ(n²) 5. for k 1 to n do Θ(n³) 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 11
12 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) Laufzeit: 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] Θ(n²) 2. for i 1 to n do Θ(n) 3. for j 1 to n do Θ(n²) 4. Z[i][j] 0 Θ(n²) 5. for k 1 to n do Θ(n³) 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] Θ(n 3 ) 7. return Z 12
13 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) Laufzeit: 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] Θ(n²) 2. for i 1 to n do Θ(n) 3. for j 1 to n do Θ(n²) 4. Z[i][j] 0 Θ(n²) 5. for k 1 to n do Θ(n³) 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] Θ(n 3 ) 7. return Z Θ(1) 13
14 MatrixMultiplikation(Arra X, Y, n) Laufzeit: 1. new arra Z[1,..,n][1,..,n] Θ(n²) 2. for i 1 to n do Θ(n) 3. for j 1 to n do Θ(n²) 4. Z[i][j] 0 Θ(n²) 5. for k 1 to n do Θ(n³) 6. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] Θ(n 3 ) 7. return Z Θ(1) Θ(n³) 14
15 Teile und Herrsche: Matrix Multiplikation A B E F AE+ BG AF+ BH C D G H = CE+ DG CF+ DH Aufwand: 8 Multiplikationen von n/2 n/2 Matrizen 4 Additionen von n/2 n/2 Matrizen 15
16 Teile und Herrsche: Matrix Multiplikation A B E F AE+ BG AF+ BH C D G H = CE+ DG CF+ DH Aufwand: 8 Multiplikationen von n/2 n/2 Matrizen 4 Additionen von n/2 n/2 Matrizen Laufzeit: T(n) = 8 T(n/2) + Θ(n²) 16
17 Laufzeit: T(n) = 8 T(n/2) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² Matrix Multiplikation 17
18 Laufzeit: T(n) = 8 T(n/2) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² Matrix Multiplikation log a Fall 1: Laufzeit Θ(n b ) = Θ(n³) 18
19 Laufzeit: T(n) = 8 T(n/2) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² Matrix Multiplikation log a Fall 1: Laufzeit Θ(n b ) = Θ(n³) Formaler Beweis durch Induktion!! 19
20 Laufzeit: T(n) = 8 T(n/2) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² Matrix Multiplikation log a Fall 1: Laufzeit Θ(n b ) = Θ(n³) Formaler Beweis durch Induktion!! Nicht besser als einfacher Algorithmus 20
21 Teile und Herrsche (Algorithmus von Strassen): A C B D E G F H = AE+ BG AF+ CE+ DG CF+ BH DH Trick: P = A (F-H) P = (A+D) (E+H) 1 P = (A+B) H P = (B-D) (G+H) 2 P = (C+D) E P = (A-C) (E+F) 3 P = D (G-E)
22 Teile und Herrsche (Algorithmus von Strassen): A C B D E G F H = AE+ BG AF+ CE+ DG CF+ BH DH Trick: P = A (F-H) P = (A+D) (E+H) AE+BG = P + P - P + P 1 P = (A+B) H P = (B-D) (G+H) AF+BH = P + P P = (C+D) E P = (A-C) (E+F) CE+DG = P + P 3 P = D (G-E) CF+DH = P + P - P - P
23 Teile und Herrsche: Matrix Multiplikation A C B D E G F H = AE+ BG AF+ CE+ DG CF+ BH DH Trick: P = A (F-H) P = (A+D) (E+H) AE+BG = P + P - P + P 1 P = (A+B) H P = (B-D) (G+H) AF+BH = P + P P = (C+D) E P = (A-C) (E+F) CE+DG = P + P 3 P = D (G-E) CF+DH = P + P - P - P Multiplikationen!!!
24 Laufzeit: T(n) = 7 T(n/2) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² 24
25 Laufzeit: T(n) = 7 T(n/2) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² log a Fall 1: Laufzeit Θ(n b ) 25
26 Laufzeit: T(n) = 7 T(n/2) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² log a b log 7 Fall 1: Laufzeit Θ(n )=Θ(n 2 ) 26
27 Laufzeit: T(n) = 7 T(n/2) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² log a b log 7 2,81 2 Fall 1: Laufzeit Θ(n )=Θ(n ) = Θ(n ) Verbesserter Algorithmus! (Erheblicher Unterschied für große Eingaben) 27
28 Satz ,81 Das Produkt zweier n n n Matrizen kann in Θ(n ) Laufzeit berechnet werden. 28
16. All Pairs Shortest Path (ASPS)
. All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e
Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität
Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1 Geometrisches Problem: Problem: Nächstes Paar Eingabe: n Punkte in der Ebene Ausgabe: Das Paar q,r mit geringstem Abstand
Proseminar Effiziente Algorithmen
Proseminar Effiziente Algorithmen Kapitel 9: Divide & Conquer und Prof. Dr. Christian Scheideler WS 218 Generische Optimierungsverfahren: Systematische Suche lass nichts aus Divide and Conquer löse das
Algorithmen und Datenstrukturen SoSe 2008 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Algorithmen und Datenstrukturen SoSe 2008 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Algorithmen und Datenstrukturen Gesamtübersicht Organisatorisches / Einführung Grundlagen: RAM,
Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität
Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1 Klausur Wichtige Hinweise: 2.7.07, Beginn 9 Uhr Bitte spätestens 8:4 Uhr vor Ort sein Sporthalle + Audimax Informationen
Übung Algorithmen und Datenstrukturen
Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 017 Marc Bux, Humboldt-Universität zu Berlin Agenda 1. Vorrechnen von Aufgabenblatt 1. Wohlgeformte Klammerausdrücke 3. Teile und Herrsche Agenda 1.
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (03 Verschiedene Algorithmen für dasselbe Problem) Prof. Dr. Susanne Albers Das Maximum-Subarray Problem Das Maximum-Subarray Problem: Gegeben: Folge
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung #6 Phillip Keldenich, Arne Schmidt 26.02.2017 Heute: Master-Theorem Phillip Keldenich, Arne Schmidt Große Übung 2 Vorbetrachtungen Wir betrachten rekursive Gleichungen
Das Divide - and - Conquer Prinzip. Quicksort Formulierung und Analyse des Prinzips Geometrisches Divide and Conquer - Closest-Pair - Segmentschnitt
Divide and Conquer Das Divide - and - Conquer Prinzip Quicksort Formulierung und Analyse des Prinzips Geometrisches Divide and Conquer - Closest-Pair - Segmentschnitt 2 Quicksort: Sortieren durch Teilen
Übung zu Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)
Übung zu Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2017 Rüdiger Göbl, Mai Bui Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München Fibonacci Zahlen Fibonacci Folge Die Fibonacci
1 Divide-and-Conquer-Algorithmen
1 Divide-and-Conquer-Algorithmen 1.1 Multiplikation ganzer Zahlen Wir multiplizieren zwei ganze Zahlen x und y, die in Binärdarstellung gegeben sind. Der Einfachheit halber nehmen wir an, die beiden Zahlen
G. Zachmann Clausthal University, Germany Die wichtigsten Entwurfsverfahren für Algorithmen:
lausthal Informatik II Divide & onquer. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Algorithmen-Design-Techniken Die wichtigsten Entwurfsverfahren für Algorithmen: 1. Divide and onquer
Kapitel 5: Paradigmen des Algorithmenentwurfs. Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Analyse der Laufzeit von Algorithmen 3. Untere Schranken für algorithmische Probleme 4. Sortier- und Selektionsverfahren 5. Paradigmen des Algorithmenentwurfs 6. Ausgewählte
Sortieren & Co. KIT Institut für Theoretische Informatik
Sortieren & Co KIT Institut für Theoretische Informatik 1 Formaler Gegeben: Elementfolge s = e 1,...,e n Gesucht: s = e 1,...,e n mit s ist Permutation von s e e 1 n für eine Totalordnung ` ' KIT Institut
Rekursionsbäume Aufstellen eines Baumes dessen Knoten die Laufzeit auf jeder Rekursionsstufe darstellen und Aufsummieren
Algorithmen und Datenstrukturen 74 3 Rekursionen Vor allem bei rekursiven Algorithmen besitzt die Laufzeitfunktion eine naheliegende rekursive Formulierung, d.h. die Laufzeitfunktion ist konstant für den
Grundlagen der Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 12
Grundlagen der Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 12 Christian Scheideler + Helmut Seidl SS 2009 28.06.09 Kapitel 12 1 Generische Optimierungsverfahren Techniken: Systematische Suche lass nichts aus
2. Algorithmische Methoden 2.1 Rekursion. 18. April 2017
2. Algorithmische Methoden 2.1 Rekursion 18. April 2017 Rekursiver Algorithmus Ein rekursiver Algorithmus löst ein Problem, indem er eine oder mehrere kleinere Instanzen des gleichen Problems löst. Beispiel
Grundlagen Theoretischer Informatik 3 SoSe 2012 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Grundlagen Theoretischer Informatik 3 SoSe 2012 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik 3 Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Algorithmenanalyse:
Formaler. Gegeben: Elementfolge s = e 1,...,e n. s ist Permutation von s e 1 e n für eine lineare Ordnung ` '
Sortieren & Co 164 165 Formaler Gegeben: Elementfolge s = e 1,...,e n Gesucht: s = e 1,...,e n mit s ist Permutation von s e 1 e n für eine lineare Ordnung ` ' 166 Anwendungsbeispiele Allgemein: Vorverarbeitung
Übersicht. 1 Einführung. 2 Suchen und Sortieren. 3 Graphalgorithmen. 4 Algorithmische Geometrie. 5 Textalgorithmen. 6 Paradigmen
Übersicht 1 Einführung 2 Suchen und Sortieren 3 Graphalgorithmen 4 Algorithmische Geometrie 5 6 Paradigmen Übersicht 5 Editdistanz (Folie 446, Seite 83 im Skript) Eingabe: Zwei Strings v und w Frage: Kommt
6 Quicksort. die mittlere Laufzeit Θ(n log n) beträgt und. die in der asymptotischen Notation verborgenen Konstanten sehr klein sind.
Algorithmen und Datenstrukturen 132 6 Quicksort In diesem Abschnitt wird Quicksort, ein weiterer Sortieralgorithmus, vorgestellt. Trotz einer eher langsamen Worst-Case Laufzeit von Θ(n 2 ) ist Quicksort
Rekursion. Rekursive Funktionen, Korrektheit, Terminierung, Rekursion vs. Iteration, Sortieren
Rekursion Rekursive Funktionen, Korrektheit, Terminierung, Rekursion vs. Iteration, Sortieren Mathematische Rekursion o Viele mathematische Funktionen sind sehr natürlich rekursiv definierbar, d.h. o die
Rekursion. Rekursive Funktionen, Korrektheit, Terminierung, Rekursion vs. Iteration, Sortieren
Rekursion Rekursive Funktionen, Korrektheit, Terminierung, Rekursion vs. Iteration, Sortieren Mathematische Rekursion o Viele mathematische Funktionen sind sehr natürlich rekursiv definierbar, d.h. o die
Exponentiation: das Problem Gegeben: (multiplikative) Halbgruppe (H, ), Element a H, n N Aufgabe: berechne das Element
Problemstellung Banale smethode : das Problem Gegeben: (multiplikative) Halbgruppe (H, ), Element a H, n N Aufgabe: berechne das Element a n = } a a a {{ a } H n (schreiben ab jetzt a n statt a n ) Hinweis:
Exponentiation: das Problem
Problemstellung Exponentiation: das Problem Gegeben: (multiplikative) Halbgruppe (H, ), Element a H, n N Aufgabe: berechne das Element a n = } a a a {{ a } H n (schreiben ab jetzt a n statt a n ) Hinweis:
Algorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen Lerneinheit : Dynamisches Programmieren Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester.. Einleitung Diese Lerneinheit widmet sich einer
Algebraische und arithmetische Algorithmen
Kapitel 1 Algebraische und arithmetische Algorithmen 1.1 Das algebraische Berechnungsmodell Struktur: Körper (oder Ring) mit den Operationen +,,, (/) Eingabe: endliche Folge von Zahlen Ausgabe: endliche
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 10: Lineare Algebra Christian Scheideler WS 2008 19.02.2009 Kapitel 10 1 Überblick Notation Arithmetik auf großen Zahlen (Addition und Multiplikation)
Praktische Informatik I - Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2006/ Algorithmen und ihre formalen Eigenschaften, Datenstrukturen
1 Grundlagen 1.1 Algorithmen und ihre formalen Eigenschaften, Datenstrukturen Ein Algorithmus ist ein mit formalen Mitteln beschreibbares, mechanisch nachvollziehbares Verfahren zur Lösung einer Klasse
Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Die Teile-und-Beherrsche-Methode. Übersicht. Vorlesung 3: Rekursionsgleichungen (K4)
Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 3: (K4) 1 e für rekursive Algorithmen Prof. Dr. Erika Ábrahám 2 Theorie Hybrider Systeme Informatik 2 http://ths.rwth-aachen.de/teaching/ss-14/ datenstrukturen-und-algorithmen/
Algebraische und arithmetische Algorithmen
Kapitel 1 Algebraische und arithmetische Algorithmen 1.1 Das algebraische Berechnungsmodell Struktur: Körper (oder Ring) mit den Operationen +,,, (/) Eingabe: endliche Folge von Zahlen Ausgabe: endliche
Übung zu Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)
Übung zu Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Wintersemester 2012/13 Jakob Vogel Computer-Aided Medical Procedures Technische Universität München Komplexität von Programmen Laufzeit kann näherungsweise
Algorithmik Kap. 2: Laufzeit von Algorithmen
1. Motivation 1.1 Fallstudie: Sortieralgorithmen 1.2 Fallstudie: Selektionsalgorithmen 2. Laufzeit von Algorithmen 2.1 Grundlagen 2.2 3. Paradigmen des Algorithmenentwurfs 3.1 Dynamisches Programmieren
Kapitel 2: Analyse der Laufzeit von Algorithmen Gliederung
Gliederung 1. Motivation / Einordnung / Grundlagen 2. Analyse der Laufzeit von Algorithmen 3. Untere Schranken für algorithmische Probleme 4. Sortier- und Selektionsverfahren 5. Paradigmen des Algorithmenentwurfs
Datenstrukturen und Algorithmen (SS 2013)
Datenstrukturen und Algorithmen (SS 2013) Übungsblatt 4 Abgabe: Montag, 13.05.2013, 14:00 Uhr Die Übungen sollen in Gruppen von zwei bis drei Personen bearbeitet werden. Schreiben Sie die Namen jedes Gruppenmitglieds
2. Effizienz von Algorithmen
Effizienz von Algorithmen 2. Effizienz von Algorithmen Effizienz von Algorithmen, Random Access Machine Modell, Funktionenwachstum, Asymptotik [Cormen et al, Kap. 2.2,3,4.2-4.4 Ottman/Widmayer, Kap. 1.1]
19. Dynamic Programming I
495 19. Dynamic Programming I Fibonacci, Längste aufsteigende Teilfolge, längste gemeinsame Teilfolge, Editierdistanz, Matrixkettenmultiplikation, Matrixmultiplikation nach Strassen [Ottman/Widmayer, Kap.
3.5 Schnelle Fouriertransformation (FFT, DFT)
3.5 Schnelle Fouriertransformation (FFT, DFT) 3.5.1 Grundlagen Ein Polynom P = i a ix i C[x] vom Grad n ist eindeutig durch seine Koeffizienten a i bestimmt, d.h. man hat eine Bijektion {Polynome C[x]
Algorithmenbegriff: Berechenbarkeit. Algorithmenanalyse. (Berechnung der Komplexität)
Über-/Rückblick Algorithmenbegriff: Berechenbarkeit Turing-Maschine RAM µ-rekursive Funktionen Zeit Platz Komplexität Algorithmentechniken Algorithmenanalyse (Berechnung der Komplexität) Rekursion Iteration
III Das Symmetrische Eigenwertproblem (SEP)
III Das Symmetrische Eigenwertproblem (SEP) III3 Algorithmen für symmetrische tridiagonale Eigenwertprobleme Sei im folgenden a b A = b a b b n a n b n b n a n R n n, zb nach Householder- oder Lanczos(im
19. Dynamic Programming I
495 19. Dynamic Programming I Fibonacci, Längste aufsteigende Teilfolge, längste gemeinsame Teilfolge, Editierdistanz, Matrixkettenmultiplikation, Matrixmultiplikation nach Strassen [Ottman/Widmayer, Kap.
Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 3.1 (P) Master-Theorem
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 3 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,
Beispiel: Quicksort. Theoretische Informatik III (Winter 2018/19) Prof. Dr. Ulrich Hertrampf. quicksort(a 1,...,a n ): IF n 2 THEN
Als zweites Beispiel betrachten wir ein weiteres Sortierverfahren, das unter dem Namen quicksort bekannt ist. Eingabe ist wieder ein Array a 1,...,a n AUFGABE: Sortiere a 1,...,a n nach vorgegebenem Schlüssel!
Informatik II, SS 2018
Informatik II - SS 2018 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 4 (30.4.2018) Sortieren IV Algorithmen und Komplexität Analyse Merge Sort Laufzeit T(n) setzt sich zusammen aus: Divide und Merge: O n
Teile und Herrsche Teil 2
Teile und Herrsche Teil 2 binär Suchen und schnell Multiplizieren Markus Fleck Manuel Mauky Hochschule Zittau/Görlitz 19. April 2009 Suchen in langen Listen (0, 1, 2, 7, 8, 9, 9, 13, 13, 14, 14, 14, 16,
Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012
Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Mariano Zelke Datenstrukturen 2/19 Das Teilfolgenproblem: Algorithmus A 3 A 3 (i, j bestimmt den Wert einer maximalen Teilfolge für a i,..., a j. (1 Wenn
Laufzeitanalyse (1) demogr. for (int j = 1; j Komplexität von Algorithmen:
Komplexität von Algorithmen: Ansatz: Beschreiben/erfassen der Komplexität über eine Funktion, zur Abschätzung des Rechenaufwandes abhängig von der Größe der Eingabe n Uns interessiert: (1) Wie sieht eine
Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / Vorlesung 9, Donnerstag 18.
Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2014 / 2015 Vorlesung 9, Donnerstag 18. Dezember 2014 (Teile und Herrsche, Mastertheorem) Junior-Prof. Dr.
Parallel Computing. Einsatzmöglichkeiten und Grenzen. Prof. Dr. Nikolaus Wulff
Parallel Computing Einsatzmöglichkeiten und Grenzen Prof. Dr. Nikolaus Wulff Vorüberlegungen Wann ist paralleles Rechnen sinnvoll? Wenn die Performance/Geschwindigkeit steigt. Wenn sich größere Probleme
Algorithmen I - Tutorium 28 Nr. 2
Algorithmen I - Tutorium 28 Nr. 2 11.05.2017: Spaß mit Invarianten (die Zweite), Rekurrenzen / Mastertheorem und Merging Marc Leinweber marc.leinweber@student.kit.edu INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse
Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher
Informatik II, SS 2016
Informatik II - SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 2 (22.4.2016) Sortieren II Algorithmen und Komplexität SelectionSort: Programm Schreiben wir doch das gleich mal als Java/C++ - Programm
Erinnerung VL vom
Erinnerung VL vom 09.05.2016 Analyse von Hashtabellen mit verketteten Listen Erwartete Laufzeit O(1) bei zuf. Hashfkt. und falls M O(m) Guter Ersatz (hier) für zuf. Hashfkt.: universelle Hashfunktionen
19. Dynamic Programming I
502 19. Dynamic Programming I Fibonacci, Längste aufsteigende Teilfolge, längste gemeinsame Teilfolge, Editierdistanz, Matrixkettenmultiplikation, Matrixmultiplikation nach Strassen [Ottman/Widmayer, Kap.
Schnelle Multiplikation
Informationsblatt für die Lehrkraft Schnelle Multiplikation $&*&*& 999 3 x 3 =? 10001110 π/3 7 X 6 14 666 x 987 Informationsblatt für die Lehrkraft Thema: Schultyp: Vorkenntnisse: Bearbeitungsdauer: Schnelle
Algorithmen und Datenstrukturen 4. Vorlesung
Algorithmen und Datenstrukturen 4 Vorlesung Karl-Heinz Niggl 25 April 26 FG KTuEA, TU Ilmenau AuD 25426 Lösen von Rekursionsgleichungen Die worst-case Laufzeit T A eines rekursiven Algorithmus A ist oft
Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
Range-Search. Operationen: Welche Datenstrukturen sind geeignet? Arrays? Listen? AVL-Bäume? Splay-Bäume?
Algorithmische Geometrie Die Technik der Sweepline Range-Search (Folie 431, Seite 79 im Skript) Operationen: 1 Einfügen einer Zahl x 2 Löschen einer Zahl x 3 Ausgabe aller gespeicherter Zahlen in [a, b]
Isomorphismus. Definition Gruppen-Isomorphismus. Seien (G, +) und (G, ) Gruppen. Die Abbildung f : G G heißt Gruppen-Isomorphismus, falls gilt
Isomorphismus Definition Gruppen-Isomorphismus Seien (G, +) und (G, ) Gruppen. Die Abbildung f : G G heißt Gruppen-Isomorphismus, falls gilt 1 f ist bijektiv f (u + v) = f (u) f (v) für alle u, v G, die
Rückblick: divide and conquer
Rückblick: divide and conquer pi = (xi,yi) } p å } ' }d(p,p) p ''=min(, ') F 0/0 p./95 weitere Algorithmentechniken Greedy-Algorithmen dynamische Programmierung Backtracking branch and bound Heuristiken
Musterlösung zur 7. Übung
Universität des Saarlandes FR 6.2 Informatik Prof. Dr. Hans-Peter Lenhof Dipl. Inform. Andreas Hildebrandt Programmierung II, SS 2003 Musterlösung zur 7. Übung Aufgabe 1: Rekurrenz, Substitutionsmethode
Kürzeste Wege in Graphen
Kürzeste Wege in Graphen Algorithmische Paradigmen In diesem Abschnitt wollen wir nicht nur neue Algorithmen vorstellen, sondern auch den Blick auf Gemeinsamkeiten und prinzipielle Unterschiede zwischen
Informatik II, SS 2018
Informatik II - SS 2018 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 2 (23.4.2018) Sortieren II, Asymptotische Analyse, O-Notation Algorithmen und Komplexität Laufzeit Zeitmessung SelectionSort n 2 Laufzeit/n
2. Grundlagen. Beschreibung von Algorithmen durch Pseudocode. Korrektheit von Algorithmen durch Invarianten.
2. Grundlagen Beschreibung von Algorithmen durch Pseudocode. Korrektheit von Algorithmen durch Invarianten. Laufzeitverhalten beschreiben durch O-Notation. 1 Beispiel Minimum-Suche Eingabe bei Minimum
Build-Max-Heap. Build-Max-HeappAq. Satz Nach Ablauf von Build-Max-Heap ist A ein Heap. Build-Max-Heap hat Laufzeit Opnq.
C. Komusiewicz 3.1 Sortieren und Selektion: Heap-Sort 45 Build-Max-Heap Aufgabe: Baue unsortiertes Array A der Länge n in einen Max-Heap um Idee: Blätter stehen in Artn{2u ` 1..ns und sind bereits zu Beginn
IX. Das symmetrische Eigenwertproblem (SEP)
IX. Das symmetrische Eigenwertproblem (SEP IX.3. Algorithmen für symmetrische tridiagonale Matrizen Sei a b. b A =........ a n b n (IX. b n a n z. B. nach Householder- oder Lanczos-Triagonalisierung (Kapitel
Datenstrukturen und Algorithmen
Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 27.10.2011 stefan.klampfl@tugraz.at 1 Wiederholung Wir vergleichen Algorithmen anhand des ordnungsmäßigen Wachstums von T(n), S(n), Asymptotische Schranken: O-Notation:
Gierige Algorithmen Interval Scheduling
Gierige Algorithmen Interval Scheduling IntervalScheduling(s,f). n length[s] 2. A {} 3. j 4. for i 2 to n do 5. if s[i] f[j] then 6. A A {i} 7. j i 8. return A Gierige Algorithmen Interval Scheduling Beweisidee:
Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik (9. Sitzung)
Tutorium 23 Grundbegriffe der Informatik (9. Sitzung) Tutor: Felix Stahlberg SOFTWARE DESIGN AND QUALITY GROUP Source: pixelio.de KIT The cooperation of Forschungszentrum Karlsruhe GmbH and Universität
9. Rekursion. 1 falls n 1 n (n 1)!, andernfalls. Experiment: Die Türme von Hanoi. Links Mitte Rechts. Mathematische Rekursion
Experiment: Die Türme von Hanoi. Rekursion Mathematische Rekursion, Terminierung, der Aufrufstapel, Beispiele, Rekursion vs. Iteration Links Mitte Rechts Mathematische Rekursion Viele mathematische Funktionen
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 25. Vorlesung Dynamisches Programmieren Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Klausurvorbereitung Tipp: Schreiben Sie sich alle Fragen
1. Übung zur Vorlesung Algorithmentechnik am
1. Übung zur Vorlesung Algorithmentechnik am 23.10.2008 1/ 52 Übersicht Organisatorisches Landau-Symbole & Laufzeiten Amortisierte Analyse Rekursionsauflösung Heaps und Fibonacci Heaps 2/ 52 Organisatorisches
Übungen zu Algorithmentechnik WS 09/10
Übungen zu Algorithmentechnik WS 09/10 1. Kurzsitzung Thomas Pajor 22. Oktober 2009 1/ 25 Eure Übungsleiter Tanja Hartmann t.hartmann@kit.edu Raum 306, Gebäude 50.34 Thomas Pajor pajor@kit.edu Raum 322,
Informatik II, SS 2016
Informatik II - SS 2016 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 3 (27.4.2014) O-Notation, Asymptotische Analyse, Sortieren III Algorithmen und Komplexität Selection Sort Algorithmus SelectionSort (informell):
Top-down Bottom-up Divide & Conquer Dynamisches Programmieren Caching (Memoization) Branch-and-Bound Greedy
2.2 Entwurfsparadigmen Top-down Bottom-up Divide & Conquer Dynamisches Programmieren Caching (Memoization) Branch-and-Bound Greedy 1 Top-Down Zerlege das gegebene Problem in Teilschritte Zerlege Teilschritte
Wiederholung. Divide & Conquer Strategie
Wiederholung Divide & Conquer Strategie Binäre Suche O(log n) Rekursives Suchen im linken oder rechten Teilintervall Insertion-Sort O(n 2 ) Rekursives Sortieren von a[1..n-1], a[n] Einfügen von a[n] in
Übung Algorithmen I
Übung Algorithmen I 20.5.15 Christoph Striecks Christoph.Striecks@kit.edu (Mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann und Sebastian Schlag.) Roadmap Organisation Mergesort, Quicksort Dual Pivot Quicksort
1.3 Erinnerung: Mergesort
Mergesort 1.3 Erinnerung: Mergesort Um n Zahlen/Objekte a 1,..., a n zu sortieren, geht der Mergesort-Algorithmus so vor: Falls n n 0 : Sortiere mit einem naiven Algorithmus (z. B. Insertion Sort). Sonst:
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 17: Quantitative Aspekte von Algorithmen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut
Bitte füllen Sie den untenstehenden Abschnitt nicht aus
Institut für Informatik Prof. Dr. Michael Böhlen Binzmühlestrasse 14 8050 Zurich Telefon: +41 44 635 4333 Email: boehlen@ifi.uzh.ch AlgoDat Midterm1 Frühjahr 2014 28.03.2014 Name: Matrikelnummer: Hinweise
VL-04: Rekursionsgleichungen. (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger
VL-04: Rekursionsgleichungen (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger SS 2017, RWTH DSAL/SS 2017 VL-04: Rekursionsgleichungen 1/37 Organisatorisches Vorlesung: Gerhard Woeginger (Zimmer
Bemerkung: der goldene Schnitt ϕ ist die positive Lösung der Gleichung: x 2 = 1 + x
Rekursive Definition der Fibonacci-Zahlen Erste Werte f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n 1 + f n 2 (n 2) n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 25... f n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55... 75025... Exakte Formel (de Moivre, 1718)
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Martin Hofmann Sommersemester 2009 1 Überblick über die Vorlesung Was sind Algorithmen, wieso Algorithmen? Ein Algorithmus ist eine genau festgelegte Berechnungsvorschrift,
3. Suchen. Das Suchproblem. Suche in Array. Lineare Suche. 1 n. i = n Gegeben Menge von Datensätzen.
Das Suchproblem Gegeben Menge von Datensätzen. 3. Suchen Beispiele Telefonverzeichnis, Wörterbuch, Symboltabelle Jeder Datensatz hat einen Schlüssel k. Schlüssel sind vergleichbar: eindeutige Antwort auf
Suchen und Sortieren Sortieren. Mergesort
Suchen und Mergesort (Folie 142, Seite 55 im Skript) Algorithmus procedure mergesort(l, r) : if l r then return fi; m := (r + l)/2 ; mergesort(l, m 1); mergesort(m, r); i := l; j := m; k := l; while k
Modul Algorithmik, T-Katalog
Modul Algorithmik, T-Katalog Sommersemester 2017 Steffen Lange 1/1, Folie 1 2017 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik Organisatorisches u Vorlesung Folien im Netz u Übung eine Übung alle 14 Tage
Schulmethode zur Multiplikation von n-stelligen Binärzahlen a und b: (evtl. fallen Zeilen weg, wenn das zugehörige Bit des Multiplikators 0 ist).
4-1 4. Algorithmen auf Zahlen Themen: Multiplikation von binären Zahlen Matrixmultiplikation 4.1 Multiplikation ganzer Zahlen Schulmethode zur Multiplikation von n-stelligen Binärzahlen a und b: n=8: aaaaaaaa
1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit ** i=1
Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit ** (a) Im schlimmsten Fall werden für jedes Element
Vorlesung Algorithmische Geometrie Konvexe Hülle in R 3
Vorlesung Algorithmische Geometrie Konvexe Hülle in R 3 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 15.07.2014 1 Wdh: Konvexe Hülle in R 2 (VL1) Def: Eine Menge S R 2
Übung Algorithmen und Datenstrukturen
Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2016 Patrick Schäfer, Humboldt-Universität zu Berlin Organisation Vorlesung: Montag 11 13 Uhr Marius Kloft RUD 26, 0 115 Mittwoch 11 13 Uhr Marius Kloft
Endliche Automaten. Minimierung. Karin Haenelt. Karin Haenelt, 2004, FSA-Minimierung, ( )
Endliche Automaten Minimierung Karin Haenelt 1 Inhalt Vorteile eines Minimalautomaten Fälle für die Minimierung Minimierungsalgorithmus für deterministische endliche Automaten (mit totaler Übergangsfunktion)
Einführung in die Informatik I
Einführung in die Informatik I Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Nikolaus Wulff Berechenbarkeit Im Rahmen der Turingmaschine fiel zum ersten Mal der Begriff Berechenbarkeit. Ein Funktion f heißt
Alle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)).
8. Untere Schranken für Sortieren Alle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)). Werden nun gemeinsame Eigenschaften dieser Algorithmen untersuchen. Fassen gemeinsame
Vorlesung Programmieren
Vorlesung Programmieren 11 Rekursion Jun.-Prof. Dr.-Ing. Anne Koziolek Version 1.1 ARBEITSGRUPPE ARCHITECTURE-DRIVEN REQUIREMENTS ENGINEERING (ARE) INSTITUT FÜR PROGRAMMSTRUKTUREN UND DATENORGANISATION
2. Hausübung Algorithmen und Datenstrukturen
Prof. Dr. Gerd Stumme, Folke Eisterlehner, Dominik Benz Fachgebiet Wissensverarbeitung 7.4.009. Hausübung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 009 Abgabetermin: Montag, 04.05.009, 10:00 Uhr 1
Vorlesung Algorithmische Geometrie Konvexe Hülle im R 3
Vorlesung Algorithmische Geometrie Konvexe Hülle im R 3 LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Andreas Gemsa 26.06.2012 Prüfung! Termine: 20. Juli 27.