Grundbegriffe der Informatik
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- Sara Bretz
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1 Grundbegriffe der Informatik Einheit 17: Quantitative Aspekte von Algorithmen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 1 / 72
2 Überblick Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Ignorieren konstanter Faktoren Notation für obere und untere Schranken des Wachstums Eine grauenhafte Schreibweise Rechnen im O-Kalkül Matrixmultiplikation Rückblick auf die Schulmethode Algorithmus von Strassen Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen Laufzeit von Teile-und-Herrsche-Algorithmen Ineinander geschachtelte Schleifen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 2 / 72
3 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 3 / 72
4 Zählen arithmetischer Operationen in Abhängigkeit von der Größe der Objekte im vorangegangenen Kapitel Addition von n n-matrizen: n 2 Multiplikation von n n-matrizen 2n 3 n 2 Berechnung der Wegematrix n n n3 + n 2 oder weniger... Idee: Anzahl durchgeführter Operationen «Laufzeit» der Algorithmen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 72
5 Ressourcen für Rechnungen Laufzeit/Rechenzeit Speicherplatzbedarf insbesondere für Zwischenergebnisse Komplexitätsmaße im Sinne von computational complexity Effizienz interessiert aber: «premature optimization is the root of all evil» (Knuth, 1974) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 5 / 72
6 O, Θ, Ω zur Notation asymptotischen Wachstums wichtiges Handwerkszeug zum Reden über und Ausrechnen von z. B. Laufzeiten insbesondere «kontrollierte Ungenauigkeiten» O: «Groß-O» eingeführt von Bachmann (oder früher) von Landau bekannt gemacht Ω, Θ von Knuth zumindest verbreitet GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 6 / 72
7 Insertionsort Wieviele Vertauschungen sind nötig? void sort(long[ ] a) { for (int i 1; i < a.length; i++) { insert(a, i); } } void insert(long[ ] a, int idx) { int i idx; // Tausche a[idx] nach links bis einsortiert while (i > 0 a[i 1] > a[i]) { // Elemente a[i 1] und a[i] vertauschen a[i 1] a[i]; i i 1; } } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 72
8 Insertionsort Wieviele Vertauschungen sind nötig? idx i void sort(long[ ] a) { for (int i 1; i < a.length; i++) { insert(a, i); } } void insert(long[ ] a, int idx) { int i idx; // Tausche a[idx] nach links bis einsortiert while (i > 0 a[i 1] > a[i]) { // Elemente a[i 1] und a[i] vertauschen a[i 1] a[i]; i i 1; } } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 72
9 Insertionsort Wieviele Vertauschungen sind nötig? idx i i void sort(long[ ] a) { for (int i 1; i < a.length; i++) { insert(a, i); } } void insert(long[ ] a, int idx) { int i idx; // Tausche a[idx] nach links bis einsortiert while (i > 0 a[i 1] > a[i]) { // Elemente a[i 1] und a[i] vertauschen a[i 1] a[i]; i i 1; } } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 72
10 Insertionsort Wieviele Vertauschungen sind nötig? idx i i i void sort(long[ ] a) { for (int i 1; i < a.length; i++) { insert(a, i); } } void insert(long[ ] a, int idx) { int i idx; // Tausche a[idx] nach links bis einsortiert while (i > 0 a[i 1] > a[i]) { // Elemente a[i 1] und a[i] vertauschen a[i 1] a[i]; i i 1; } } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 72
11 Insertionsort Laufzeitabschätzung? Laufzeit Anzahl Vergleiche Anzahl Vertauschungen (im wesentlichen...) Anzahl Schleifendurchläufe abhängig von Problemgröße n = a.length abhängig von konkreter Probleminstanz wenn a anfangs an sortiert: while-schleife wird überhaupt nicht ausgeführt. wenn a anfangs entgegengesetzt geordnet: Schleifenrumpf n 1 i=1 i = n(n 1)/2 mal ausgeführt GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 72
12 Ressourcenverbrauch wie detailliert? für jede Probleminstanz einzeln präzise aber oft unpraktikabel gröber: nur in Abhängigkeit von der «Problemgröße» wenn Ressourcenverbrauch für verschiedene Instanzen gleicher Größe unterschiedlich ist: bester Fall? (best case) Durchschnitt? (average case) schlechtester Fall? (worst case) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 72
13 Ressourcenverbrauch wie detailliert? für jede Probleminstanz einzeln präzise aber oft unpraktikabel gröber: nur in Abhängigkeit von der «Problemgröße» wenn Ressourcenverbrauch für verschiedene Instanzen gleicher Größe unterschiedlich ist: bester Fall? (best case) oft total uninteressant Durchschnitt? (average case) schlechtester Fall? (worst case) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 72
14 Ressourcenverbrauch wie detailliert? für jede Probleminstanz einzeln präzise aber oft unpraktikabel gröber: nur in Abhängigkeit von der «Problemgröße» wenn Ressourcenverbrauch für verschiedene Instanzen gleicher Größe unterschiedlich ist: bester Fall? (best case) oft total uninteressant Durchschnitt? (average case) oft sehr schwer schlechtester Fall? (worst case) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 72
15 Ressourcenverbrauch wie detailliert? für jede Probleminstanz einzeln präzise aber oft unpraktikabel gröber: nur in Abhängigkeit von der «Problemgröße» wenn Ressourcenverbrauch für verschiedene Instanzen gleicher Größe unterschiedlich ist: bester Fall? (best case) oft total uninteressant Durchschnitt? (average case) oft sehr schwer schlechtester Fall? (worst case) oft angegeben mit dem Hinweis, dass es auch besser sein kann... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 72
16 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Bedarf an Rechenzeit und Speicherplatzbedarf wichtige Komplexitätsmaße oft Quantifizierung in Abhängigkeit von Problemgröße oft schlimmster Fall (worst case) gelegentlich ein «mittlerer» Fall (average case) Das sollten Sie üben: Abschätzen/ausrechnen wie oft ein Programmstück, z. B. ein Schleifenrumpf, durchlaufen wird. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 10 / 72
17 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Ignorieren konstanter Faktoren Notation für obere und untere Schranken des Wachstums Eine grauenhafte Schreibweise Rechnen im O-Kalkül Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 72
18 Warum keine exakten Angaben? Man will nicht. Man kann nicht. Man «soll» nicht. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 72
19 Warum keine exakten Angaben? Man will nicht. Faulheit Vergänglichkeit der genauen Werte bald neuer Prozessor mangelndes Interesse an genauen Werten Man kann nicht. Man «soll» nicht. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 72
20 Warum keine exakten Angaben? Man will nicht. Faulheit Vergänglichkeit der genauen Werte bald neuer Prozessor mangelndes Interesse an genauen Werten Man kann nicht. Unfähigkeit Unkenntnis von Randbedingungen Ungenauigkeiten im Algorithmus (??) Man «soll» nicht. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 72
21 Warum keine exakten Angaben? Man will nicht. Faulheit Vergänglichkeit der genauen Werte bald neuer Prozessor mangelndes Interesse an genauen Werten Man kann nicht. Unfähigkeit Unkenntnis von Randbedingungen Ungenauigkeiten im Algorithmus (??) Man «soll» nicht. Unabhängigkeit von konkreten Probleminstanzen Unabhängigkeit von Programmiersprache Unabhängigkeit von Prozessor GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 72
22 Wie ungenau wollen wir über Funktionen reden? Ignorieren konstanter Faktoren Motivation: Geschwindigkeitssteigerungen bei Prozessoren irrelevant nur obere (bzw. untere) Schranken Motivation: können nur schlechtesten Fall analysieren GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 72
23 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Ignorieren konstanter Faktoren Notation für obere und untere Schranken des Wachstums Eine grauenhafte Schreibweise Rechnen im O-Kalkül Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 14 / 72
24 Zu Notation und Redeweise Notation: R + : Menge der positiven reellen Zahlen (ohne 0) R + 0 : Menge der nichtnegativen rellen Zahlen, R+ 0 = R + {0}. betrachten Funktionen f : N 0 R + 0. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 72
25 Zu Notation und Redeweise Notation: R + : Menge der positiven reellen Zahlen (ohne 0) R + 0 : Menge der nichtnegativen rellen Zahlen, R+ 0 = R + {0}. betrachten Funktionen f : N 0 R + 0. Redeweisen: asymptotisches Wachstum oder größenordnungsmäßiges Wachstum von Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 72
26 Zu Notation und Redeweise Notation: R + : Menge der positiven reellen Zahlen (ohne 0) R + 0 : Menge der nichtnegativen rellen Zahlen, R+ 0 = R + {0}. betrachten Funktionen f : N 0 R + 0. Redeweisen: asymptotisches Wachstum oder größenordnungsmäßiges Wachstum von Funktionen Definition: Funktion д : N 0 R + 0 wächst asymptotisch genauso schnell wie Funktion f : N 0 R + 0, wenn gilt: c,c R + : n 0 N 0 : n n 0 : c f (n) д(n) c f (n) schreibe f д oder f (n) д(n) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 72
27 Erläuterungen zur Definition von f д (1) c,c R + : n 0 N 0 : n n 0 : c f (n) д(n) c f (n) c f(x) c f(x) f(x) cf(x) 100 f(x) 10 0 cf(x) Achtung: kontinuierliche Funktionen gezeichnet, aber Definition für diskrete Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 72
28 Erläuterungen zur Definition von f д (2) c,c R + : n 0 N 0 : n n 0 : c f (n) д(n) c f (n) c f(x) c f(x) g(x) cf(x) 100 g(x) 10 0 cf(x) Achtung: kontinuierliche Funktionen gezeichnet, aber Definition für diskrete Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 17 / 72
29 Beispiel f : n 3n 2 und д : n 10 2 n 2. Behauptung: f д GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 72
30 Beispiel f : n 3n 2 und д : n 10 2 n 2. Behauptung: f д c f (n) д(n): für c = 10 3 und n 0 = 0 gilt n n 0 : c f (n) = n n 2 = д(n) д(n) c f (n) gilt z. B. für c = 1 und n 0 = 0: n n 0 : д(n) = 10 2 n 2 3n 2 = c f (n) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 72
31 Beispiel f : n 3n 2 und д : n 10 2 n 2. Behauptung: f д c f (n) д(n): für c = 10 3 und n 0 = 0 gilt n n 0 : c f (n) = n n 2 = д(n) д(n) c f (n) gilt z. B. für c = 1 und n 0 = 0: n n 0 : д(n) = 10 2 n 2 3n 2 = c f (n) Rechenregel Für jedes f : N 0 R + 0 gilt: a,b R + : af b f GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 72
32 Beispiel (2) f : x n 3 + 5n 2 und д : n 3n 3 n Behauptung f д GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 72
33 Beispiel (2) f : x n 3 + 5n 2 und д : n 3n 3 n Behauptung f д für n 0 ist f (n) = n 3 + 5n 2 n 3 + 5n 3 = 6n 3 = 9n 3 3n 3 9n 3 3n = 3(3n 3 n) = 3д(n) 1 also f (n) д(n) 3 Andererseits ist д(n) = 3n 3 n 3n 3 3(n 3 + 5n 2 ) = 3f (n) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 72
34 Nichtbeispiele für (1) betrachte f : n n 2 und д : n n 3 Behauptung: f д Begründung: sonst д(n) c f (n) (für... ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 72
35 Nichtbeispiele für (1) betrachte f : n n 2 und д : n n 3 Behauptung: f д Begründung: sonst д(n) c f (n) (für... ) für f (n) 0 äquivalent zu д(n)/f (n) c R + GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 72
36 Nichtbeispiele für (1) betrachte f : n n 2 und д : n n 3 Behauptung: f д Begründung: sonst д(n) c f (n) (für... ) für f (n) 0 äquivalent zu д(n)/f (n) c R + ab einem n 0 für jedes n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 72
37 Nichtbeispiele für (1) betrachte f : n n 2 und д : n n 3 Behauptung: f д Begründung: sonst д(n) c f (n) (für... ) für f (n) 0 äquivalent zu д(n)/f (n) c R + ab einem n 0 für jedes n aber д(n)/f (n) = n nicht beschränkbar GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 72
38 Nichtbeispiele für (2) betrachte f : n n 2 und д : n 2 n Behauptung: f д Begründung: für f д müsste insbesondere д(n)/f (n) c gelten (für...) Aber 2 n /n 2 kann durch keine Konstante beschränkt werden: einfache Grenzwertbetrachtung, oder betrachte die n i = 2 i+2 und zeige durch Induktion: i N 0 : 2 n i 4 i n 2 i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 21 / 72
39 Äquivalenzrelation Zeichen erinnert an das Gleichheitszeichen. Lemma Die Relation ist eine Äquivalenzrelation. Erinnerung: Eine Äquivalenzrelation ist per definitionem reflexiv, symmetrisch, transitiv. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 22 / 72
40 Relation ist reflexiv und symmetrisch Reflexitvität: f f für c = c = 1 und n 0 = 0 gilt: für jedes n n 0 ist c f (n) f (n) c f (n) Symmetrie: Wenn f д, dann auch д f Wenn für Konstanten c,c R +, n 0 N 0 und jedes n n 0 c f (n) д(n) c f (n), dann gilt für die gleichen n n 0 und die Konstanten d = 1/c und d = 1/c : d д(n) f (n) dд(n). GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 72
41 Relation ist reflexiv und symmetrisch Reflexitvität: f f für c = c = 1 und n 0 = 0 gilt: für jedes n n 0 ist c f (n) f (n) c f (n) Symmetrie: Wenn f д, dann auch д f Wenn für Konstanten c,c R +, n 0 N 0 und jedes n n 0 c f (n) д(n) c f (n), dann gilt für die gleichen n n 0 und die Konstanten d = 1/c und d = 1/c : d д(n) f (n) dд(n). GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 72
42 Relation ist reflexiv und symmetrisch Reflexitvität: f f für c = c = 1 und n 0 = 0 gilt: für jedes n n 0 ist c f (n) f (n) c f (n) Symmetrie: Wenn f д, dann auch д f Wenn für Konstanten c,c R +, n 0 N 0 und jedes n n 0 c f (n) д(n) c f (n), dann gilt für die gleichen n n 0 und die Konstanten d = 1/c und d = 1/c : d д(n) f (n) dд(n). GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 72
43 Relation ist transitiv Transitivität: wenn f д und д h, dann f h. gelte für Konstanten c,c R + und jedes n n 0 c f (n) д(n) c f (n) und für Konstanten d,d R + und jedes n n 1 dд(n) h(n) d д(n). Dann gilt für jedes n max(n 0, n 1 ) dc f (n) dд(n) h(n) d д(n) d c f (n), wobei auch die Konstanten dc und d c wieder positiv sind. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 24 / 72
44 Groß-Θ Θ (f ): Menge aller Funktionen, die zu gegebenem f im Sinne von äquivalent sind Also: Θ (f ) = { д f д } = { д c,c R + : n 0 N 0 : n n 0 : c f (n) д(n) c f (n) } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 72
45 einfache Rechenregel für Θ Rechenregel Für alle f : N 0 R + 0 und jedes Konstanten a,b R + gilt: Θ (af ) = Θ (b f ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 26 / 72
46 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Ignorieren konstanter Faktoren Notation für obere und untere Schranken des Wachstums Eine grauenhafte Schreibweise Rechnen im O-Kalkül Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 27 / 72
47 Obere und untere Schranken manchmal für Funktion nur obere (oder/und untere) Schranke bekannt Erinnerung: Anzahl Schleifendurchläufe bei Insertionsort Definition: O (f ) = {д c R + : n 0 N 0 : n n 0 : д(n) c f (n)} Ω (f ) = {д c R + : n 0 N 0 : n n 0 : д(n) c f (n)} gelegentlich auch д f falls д O (f ) д f falls д Ω (f ) Redeweise д wächst asymptotisch höchstens so schnell wie f (für д f ) д wächst asymptotisch mindestens so schnell wie f.(für д f ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 28 / 72
48 Beispiel (1) Es sei д : n n 7 und f : n n 8 Behauptung: д O (f ) Begründung: wähle c = und n 0 = 0 dann für jedes n 0: n 7 c n 8. in O ( ) usw. können große Konstanten stecken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 29 / 72
49 Beispiel (2) Was ist O (1)? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 72
50 Beispiel (2) Was ist O (1)? 1 steht für die konstante Funktion 1: n 1 Definition: alle Funktionen д, für die es c R + und n 0 N 0 gibt, so dass für jedes n n 0 gilt: д(n) c 1 = c alle Funktionen, die durch Konstante beschränkbar sind alle konstanten Funktionen aber auch Funktionen wie 3 + sin(n) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 72
51 Beispiel (3) n 2 /n nicht für große n durch Konstante beschränkbar also gilt nicht n 2 n aber n n 2 Relation ist also nicht symmetrisch für alle positive reelle Konstanten 0 < a < b gilt n a n b aber n b n a also n a O ( n ) b aber n b O (n a ) also n b Ω (n a ) aber n a Ω ( n ) b GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 72
52 Beispiel (4) 2 n /n 2 nicht für große n durch Konstante beschränkbar also gilt nicht 2 n n 2. aber n 2 2 n. für alle reellen Konstanten a und b, beide echt größer 1, gilt n a b n aber b n n a also n a O (b n ) aber b n O (n a ) also b n Ω (n a ) aber n a Ω (b n ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 72
53 Einfache Beobachtungen in Ungleichung д(n) c f (n) Konstante auf die andere Seite bringen liefert Rechenregel Für alle Funktionen f : N 0 R + 0 und д : N 0 R + 0 gilt: д O (f ) f Ω (д) also д f f д Man kann auch zeigen: Θ (f ) = O (f ) Ω (f ) also д f д f д f GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 72
54 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Ignorieren konstanter Faktoren Notation für obere und untere Schranken des Wachstums Eine grauenhafte Schreibweise Rechnen im O-Kalkül Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 34 / 72
55 Für die Lektüre leider unverzichtbar sehr unschöne Variante der O-Notation, aber weit verbreitet Man schreibt д(n) = O (f (n)) statt д(n) O (f (n)), д(n) = Θ (f (n)) statt д(n) Θ (f (n)), д(n) = Ω (f (n)) statt д(n) Ω (f (n)). Ausdrücke auf der linken Seite sind keine Gleichungen! Lassen Sie daher bitte immer große Vorsicht walten: GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 35 / 72
56 Für die Lektüre leider unverzichtbar sehr unschöne Variante der O-Notation, aber weit verbreitet Man schreibt д(n) = O (f (n)) statt д(n) O (f (n)), д(n) = Θ (f (n)) statt д(n) Θ (f (n)), д(n) = Ω (f (n)) statt д(n) Ω (f (n)). Ausdrücke auf der linken Seite sind keine Gleichungen! Lassen Sie daher bitte immer große Vorsicht walten: Es ist falsch, aus д(n) = O (f 1 (n)) und д(n) = O (f 2 (n)) zu folgern, dass O (f 1 (n)) = O (f 2 (n)) ist. Es ist falsch, aus д 1 (n) = O (f (n)) und д 2 (n) = O (f (n)) zu folgern, dass д 1 (n) = д 2 (n) ist. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 35 / 72
57 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Ignorieren konstanter Faktoren Notation für obere und untere Schranken des Wachstums Eine grauenhafte Schreibweise Rechnen im O-Kalkül Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 36 / 72
58 Eine nützliche Rechenregel Ist д 1 f 1 und д 2 f 2, dann ist auch д 1 + д 2 f 1 + f 2. Ist umgekehrt д f 1 + f 2, dann kann man д in der Form д = д 1 + д 2 schreiben mit д 1 f 1 und д 2 f 2. Das schreiben wir auch so: Lemma Für alle Funktionen f 1, f 2 : N 0 R + 0 gilt: O (f 1 ) + O (f 2 ) = O (f 1 + f 2 ) Pluszeichen auf der linken Seite bedarf der Erläuterung... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 37 / 72
59 Komplexoperationen Sind M 1 und M 2 Mengen, deren Elemente man addieren bzw. multiplizieren kann, dann sei M 1 + M 2 = {д 1 + д 2 д 1 M 1 д 2 M 2 } M 1 M 2 = {д 1 д 2 д 1 M 1 д 2 M 2 } nichts Neues: analoge Definition des Produkts formaler Sprachen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 72
60 Komplexoperationen (2) Wenn eine der Mengen M i einelementig ist, lässt man manchmal die Mengenklammern darum weg. Beispiele mit Zahlenmengen statt {3} N 0 + {1} kürzer 3N mit Funktionenmengen statt { n 3 } + O ( n 2) kürzer n 3 + O ( n 2) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 39 / 72
61 Beweis von O (f 1 ) + O (f 2 ) = O (f 1 + f 2 ) : wenn für n n 01 gilt: д 1 (n) c 1 f 1 (n) und wenn für n n 02 gilt: д 2 (n) c 2 f 2 (n), dann für n n 0 = max(n 01, n 02 ) und c = max(c 1,c 2 ): д 1 (n) + д 2 (n) c 1 f 1 (n) + c 2 f 2 (n) c f 1 (n) + c f 2 (n) = c(f 1 (n) + f 2 (n)) : zu д O (f 1 + f 2 ) finde д 1 und д 2... : GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 40 / 72
62 Beweis von O (f 1 ) + O (f 2 ) = O (f 1 + f 2 ) : wenn für n n 01 gilt: д 1 (n) c 1 f 1 (n) und wenn für n n 02 gilt: д 2 (n) c 2 f 2 (n), dann für n n 0 = max(n 01, n 02 ) und c = max(c 1,c 2 ): д 1 (n) + д 2 (n) c 1 f 1 (n) + c 2 f 2 (n) c f 1 (n) + c f 2 (n) = c(f 1 (n) + f 2 (n)) : zu д O (f 1 + f 2 ) finde д 1 und д 2... : definiere д 1 (n) = д(n) falls д(n) c f 1 (n) c f 1 (n) falls д(n) > c f 1 (n) und д 2 (n) = д(n) д 1 (n) Der Rest ist einfache Rechnung. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 40 / 72
63 Weitere Regeln Rechenregel Wenn д 1 f 1 ist, und wenn д 1 д 2 und f 1 f 2, dann gilt auch д 2 f 2. Rechenregel Wenn д f ist, also д O (f ), dann ist auch O (д) O (f ) und O (д + f ) = O (f ). GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 41 / 72
64 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Definitionen von O (f ), Θ (f ), Ω (f ) Definitionen von,, Das sollten Sie üben: Anschauung für O (f ), Θ (f ), Ω (f ) rechnen mit O (f ), Θ (f ), Ω (f ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 42 / 72
65 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Matrixmultiplikation Rückblick auf die Schulmethode Algorithmus von Strassen Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 43 / 72
66 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Matrixmultiplikation Rückblick auf die Schulmethode Algorithmus von Strassen Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 44 / 72
67 Multiplikation von 2 2-Matrizen b 11 b 12 b 21 b 22 a 11 a 12 a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 a 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 Anzahl Multiplikationen: N mult (2) = = 8 Anzahl Additionen: N add (2) = 2 2 (2 1) = 4. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 45 / 72
68 Multiplikation von n n-matrizen mit Blockaufteilung n sei gerade Verwendung von Blockmatrizen der Größe n/2 n/2 B 11 B 12 B 21 B 22 A 11 A 12 A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 A 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 Mitteilung: Das ist auch die Produktmatrix! 8 Multiplikationen von Blockmatrizen und 4 Additionen von Blockmatrizen. Anzahl elementarer Operationen N mult (n) = 8 N mult (n/2) und N add (n) = 8 N add (n/2) + 4 (n/2) 2 = 8 N add (n/2) + n 2. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 46 / 72
69 Multiplikation von 2 k 2 k -Matrizen (n 2 k «ähnlich») aus N mult (n) = 8 N mult (n/2) folgt (Induktion) N mult (2 k ) = 8 N mult (2 k 1 ) = 8 8 N mult (2 k 2 ) = = 8 k N mult (1) = 8 k = (2 3 ) k = (2 k ) 3 = n 3 Aus N add (n) = 8 N add (n/2) + n 2 folgt N add (2 k ) = 8 N add (2 k 1 ) + 4 k = 8 8 N add (2 k 2 ) k k = = 8 8 N add (2 k 2 ) k + 4 k = = 8 k N add (2 0 ) + (2 k ) 4 k = = 2 k 4 k 4 k = n 3 n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 72
70 Multiplikation von 2 k 2 k -Matrizen nichts neues Das wussten wir doch schon: N mult (n) = n 3 N add (n) = n 3 n 2 und? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 48 / 72
71 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Matrixmultiplikation Rückblick auf die Schulmethode Algorithmus von Strassen Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 49 / 72
72 Die Idee von Volker Strassen (1969) B 11 B 12 B 21 B 22 A 11 A 12 C 11 C 12 A 21 A 22 C 21 C 22 Einträge C ij des Produktes ergeben sich auch so: C 11 = M 1 + M 4 M 5 + M 7 C 12 = M 3 + M 5 C 21 = M 2 + M 4 C 22 = M 1 M 2 + M 3 + M 6 wobei M 1 = (A 11 + A 22 )(B 11 + B 22 ) M 2 = (A 21 + A 22 )B 11 M 3 = A 11 (B 12 B 22 ) M 4 = A 22 (B 21 B 11 ) M 5 = (A 11 + A 12 )B 22 M 6 = (A 21 A 11 )(B 11 + B 12 ) M 7 = (A 12 A 22 )(B 21 + B 22 ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 72
73 Die Idee von Strassen (2) C 11 = M 1 + M 4 M 5 + M 7 C 12 = M 3 + M 5 C 21 = M 2 + M 4 C 22 = M 1 M 2 + M 3 + M 6 wobei M 1 = (A 11 + A 22 )(B 11 + B 22 ) M 2 = (A 21 + A 22 )B 11 M 3 = A 11 (B 12 B 22 ) M 4 = A 22 (B 21 B 11 ) M 5 = (A 11 + A 12 )B 22 M 6 = (A 21 A 11 )(B 11 + B 12 ) M 7 = (A 12 A 22 )(B 21 + B 22 ) 18 Additionen statt 4 7 Multiplikationen statt 8 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 72
74 Die Idee von Strassen (3) 18 Additionen statt 4 7 Multiplikationen statt 8 ja und? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 52 / 72
75 Die Idee von Strassen (3) 18 Additionen statt 4 7 Multiplikationen statt 8 ja und? ganze Blockmatrizen: Additionen sind viel «billiger» als Multiplikationen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 52 / 72
76 Aufwandsabschätzung für den Algorithmus von Strassen Anzahl elementarer Operationen: N mult (n) = 7 N mult (n/2) N add (n) = 7 N add (n/2) + 18 (n/2) 2 = 7 N add (n/2) n 2 Für den Fall n = 2 k ergibt sich: N mult (2 k ) = 7 N mult (2 k 1 ) = 7 7 N mult (2 k 2 ) = analog N add (n) Θ(n log 2 7 ) = 7 k = (2 log 2 7 ) k = n log 2 7 n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 53 / 72
77 Aufwandsabschätzung für den Algorithmus von Strassen Anzahl elementarer Operationen: N mult (n) = 7 N mult (n/2) N add (n) = 7 N add (n/2) + 18 (n/2) 2 = 7 N add (n/2) n 2 Für den Fall n = 2 k ergibt sich: N mult (2 k ) = 7 N mult (2 k 1 ) = 7 7 N mult (2 k 2 ) = analog N add (n) Θ(n log 2 7 ) = 7 k = (2 log 2 7 ) k = n log 2 7 n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 53 / 72
78 Aufwandsabschätzung für den Algorithmus von Strassen Anzahl elementarer Operationen: N mult (n) = 7 N mult (n/2) N add (n) = 7 N add (n/2) + 18 (n/2) 2 = 7 N add (n/2) n 2 Für den Fall n = 2 k ergibt sich: N mult (2 k ) = 7 N mult (2 k 1 ) = 7 7 N mult (2 k 2 ) = analog N add (n) Θ(n log 2 7 ) = 7 k = (2 log 2 7 ) k = n log 2 7 n Gesamtzahl elementarer Operationen ist also in Θ(n log 2 7 ) + Θ(n log 2 7 ) = Θ(n log 2 7 ) Θ(n ) besser als n 3 für große n! GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 53 / 72
79 Matrizenmultiplikation geht es noch schneller? Coppersmith und Winograd (1990): O ( n ) der konstante Faktor ist groß Vassilevska Williams (2012): noch ein bisschen schneller unklar: Genügen O ( n 2) Operationen? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 54 / 72
80 Teile und herrsche engl. divide and conquer «zerhacke» Probleminstanz in kleinere Teile mehr oder weniger viele bearbeite Teile rekursiv nach gleichen Verfahren konstruiere aus Teilergebnissen das Resultat für die ursprüngliche Eingabe GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 55 / 72
81 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: bei algorithmischen Problemen kann man überraschende Dinge tun teile und herrsche Rekursionsformel für Abschätzung von (z. B.) Laufzeiten Das sollten Sie üben: in dieser Vorlesung: rechnen mit O ( ), Θ ( ), Ω ( ) spätestens in kommenden Semestern: rekursive Algorithmen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 72
82 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen Laufzeit von Teile-und-Herrsche-Algorithmen Ineinander geschachtelte Schleifen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 57 / 72
83 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen Laufzeit von Teile-und-Herrsche-Algorithmen Ineinander geschachtelte Schleifen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 58 / 72
84 Laufzeit von Teile-und-Herrsche-Algorithmen manchmal Problem der Größe n zerhackt in konstante Anzahl a von Teilproblemen gleicher Größe n/b sinnvollerweise a 1 und b > 1 aus Teilergebnissen Gesamtergebnis zusammengesetzt Zerhacken vorher und Zusammensetzen hinterher kosten f (n) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 59 / 72
85 Laufzeit von Teile-und-Herrsche-Algorithmen manchmal Problem der Größe n zerhackt in konstante Anzahl a von Teilproblemen gleicher Größe n/b sinnvollerweise a 1 und b > 1 aus Teilergebnissen Gesamtergebnis zusammengesetzt Zerhacken vorher und Zusammensetzen hinterher kosten f (n) Abschätzung (z. B.) der Laufzeit T (n) liefert Rekursionsformel, die «grob gesagt» die Form hat ( n ) T (n) = at + f (n) b GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 59 / 72
86 Laufzeit von Teile-und-Herrsche-Algorithmen manchmal Problem der Größe n zerhackt in konstante Anzahl a von Teilproblemen gleicher Größe n/b sinnvollerweise a 1 und b > 1 aus Teilergebnissen Gesamtergebnis zusammengesetzt Zerhacken vorher und Zusammensetzen hinterher kosten f (n) Abschätzung (z. B.) der Laufzeit T (n) liefert Rekursionsformel, die «grob gesagt» die Form hat ( n ) T (n) = at + f (n) b genau genommen n/b oder n/b + c oder... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 59 / 72
87 Laufzeit von Teile-und-Herrsche-Algorithmen manchmal Problem der Größe n zerhackt in konstante Anzahl a von Teilproblemen gleicher Größe n/b sinnvollerweise a 1 und b > 1 aus Teilergebnissen Gesamtergebnis zusammengesetzt Zerhacken vorher und Zusammensetzen hinterher kosten f (n) Abschätzung (z. B.) der Laufzeit T (n) liefert Rekursionsformel, die «grob gesagt» die Form hat ( n ) T (n) = at + f (n) b genau genommen n/b oder n/b + c oder... gesucht: explizite Formel für T (n) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 59 / 72
88 Mastertheorem bescheidener hätte auch gereicht drei Kochrezepte, in denen f (n) und log b a vorkommen: Fall 1: Wenn f (n) O ( n (log b a) ε ) für ein ε > 0 ist, dann ist T (n) Θ ( n log b a). Fall 2: Wenn f (n) Θ ( n log b a) ist, dann ist T (n) Θ ( n log b a log n ). Fall 3: Wenn f (n) Ω ( n (log b a)+ε ) für ein ε > 0, und wenn es eine Konstante d gibt mit 0 < d < 1, so dass für jedes hinreichend große n gilt af (n/b) d f (n), dann ist T (n) Θ (f (n)). Achtung: Diese Fallunterscheidung ist nicht vollständig! GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 60 / 72
89 Mastertheorem bei Multiplikation von Matrizen Schulmethode a = 8 Multiplikationen von n/2 n/2matrizen: also b = 2 log b a = 3 zusätzlicher Aufwand: 4 kleine Matrixadditionen, also f (n) = 4 n 2 /4 = n 2 f (n) O ( n 3 ε ) (z. B. für ε = 1) Mastertheorem, Fall 1: T (n) Θ ( n 3) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 61 / 72
90 Mastertheorem bei Multiplikation von Matrizen Schulmethode a = 8 Multiplikationen von n/2 n/2matrizen: also b = 2 log b a = 3 zusätzlicher Aufwand: 4 kleine Matrixadditionen, also f (n) = 4 n 2 /4 = n 2 f (n) O ( n 3 ε ) (z. B. für ε = 1) Mastertheorem, Fall 1: T (n) Θ ( n 3) Algorithmus von Strassen a = 7 Multiplikationen von n/2 n/2matrizen: also b = 2 log b a zusätzlicher Aufwand: 18 kleine Matrixadditionen, also f (n) = 18 n 2 /4 Θ ( n 2) f (n) O ( n log b a ε ) = O ( n log 2 7 ε ) (z. B. für ε = 0.1) Mastertheorem, Fall 1: T (n) Θ ( n log 2 7) = Θ ( n ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 61 / 72
91 Wo sind wir? Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Groß-O-Notation Matrixmultiplikation Asymptotisches Verhalten implizit definierter Funktionen Laufzeit von Teile-und-Herrsche-Algorithmen Ineinander geschachtelte Schleifen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 62 / 72
92 Weitere Anwendung des Mastertheorems Eingabewert n N 0 x n; i 0; while x 2 do i + +; x x div 2; od Ausgabewert i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 72
93 Weitere Anwendung des Mastertheorems Eingabewert n N 0 x n; i 0; while x 2 do i + +; x x div 2; od Ausgabewert i Wert von i am Ende? Anzahl D(n) Schleifendurchläufe GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 72
94 Weitere Anwendung des Mastertheorems Eingabewert n N 0 x n; i 0; while x 2 do i + +; x x div 2; od Ausgabewert i Wert von i am Ende? Anzahl D(n) Schleifendurchläufe man sieht: D(n) = 0 falls n D(n/2) sonst GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 72
95 Weitere Anwendung des Mastertheorems Eingabewert n N 0 x n; i 0; while x 2 do i + +; x x div 2; od Ausgabewert i Wert von i am Ende? Anzahl D(n) Schleifendurchläufe man sieht: D(n) = 0 falls n D(n/2) sonst Mastertheorem: a = 1, b = 2, f (n) = 1 log b a = 0, also Fall 2: f (n) Θ ( n 0) also D(n) Θ (log n) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 63 / 72
96 Hier ist das Mastertheorem nicht anwendbar Eingabewert n N 0 x n; i 0; while x 2 do i + +; x x 2; od Ausgabewert i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 64 / 72
97 Hier ist das Mastertheorem nicht anwendbar Eingabewert n N 0 x n; i 0; while x 2 do i + +; x x 2; od Ausgabewert i Anzahl Schleifendurchläufe D(n) = 0 falls n D(n 2) sonst Kochrezept nicht anwendbar GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 64 / 72
98 Einfache for-schleifen D 0; for i 0 to n 1 do S[i] V 1 [i] + V 2 [i] D + +; od Anzahl Schleifendurchläufe offensichtlich: D(n) = n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 65 / 72
99 Geschachtelte for-schleifen D 0; for i 0 to n 1 do E 0; for j 0 to n 1 do C[i, j] A[i, j] + B[i, j] E + +; od D D + E; od GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 66 / 72
100 Geschachtelte for-schleifen D 0; for i 0 to n 1 do E 0; for j 0 to n 1 do C[i, j] A[i, j] + B[i, j] E + +; od D D + E; od Anzahl Durchläufe innerer Schleifenrumpf insgesamt E(i, n) = n n 1 n 1 D(n) = E(i, n) = n = n 2 i=0 i=0 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 66 / 72
101 Geschachtelte for-schleifen D 0; for i 0 to n 1 do E 0; for j 0 to i do C[i, j] A[i, j] + B[i, j] E + +; od D D + E; od GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 67 / 72
102 Geschachtelte for-schleifen D 0; for i 0 to n 1 do E 0; for j 0 to i do C[i, j] A[i, j] + B[i, j] E + +; od D D + E; od Anzahl Durchläufe innerer Schleifenrumpf insgesamt E(i, n) = i + 1 n 1 n 1 D(n) = E(i, n) = i + 1 = i=0 n(n + 1) 2 i=0 Θ ( n 2) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 67 / 72
103 Rechenzeiten reale Rechenzeiten für T (n) Schritte, wenn jeder Schritt 1 ns benötigt T (n) n log 2 (n) 3.32 ns 6.64 ns 9.97 ns ns ns ns n 3.16 ns ns ns ns ns 1.00 µs n ns ns 1.00 µs µs µs 1.00 ms n log 2 (n) ns ns 9.97 µs µs 1.66 ms ms n ns µs 1.00 ms ms s 0.27 h n µs 1.00 ms 1.00 s 0.27 h d a 1.01 n 1.10 ns 2.70 ns µs 1.1 n 2.59 ns µs 2 n 1.02 µs n n 10 s GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 68 / 72
104 Rechenzeiten e x 1.11 x x 2 x GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 69 / 72
105 Rechenzeiten (2) x x GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 70 / 72
106 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Mastertheorem: Kochrezepte zum Nachschlagen des asymptotischen Wachstums nach einem einfachen Rezept rekursiv definierter Funktionen ineinandergeschachtelte Schleifen Das sollten Sie üben: Mastertheorem anwenden Schleifen «auseinander nehmen» GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 71 / 72
107 Zusammenfassung Komplexitätsmaße Laufzeitbedarf Speicherplatzbedarf Abschätzung asymptotischen Wachstums «bis auf konstante Faktoren» nach oben mit O ( ) nach oben und unten mit Θ ( ) nach unten mit Ω ( ) algorithmisches Prinzip Teile und Herrsche (divide and conquer) am Beispiel Matrixmultiplikation Mastertheorem GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 72 / 72
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