Algorithmische Techniken für Geometrische Probleme

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1 Algorithmische Techniken für Geometrische Probleme Berthold Vöcking 14. Juni 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Die Sweepline-Technik Schnitte orthogonaler Liniensegmente Schnitte beliebiger Liniensegmente Überdeckte Fläche von achsenparallelen Rechtecken Divide-and-conquer Algorithmen Nächste Nachbarn Konvexe Hülle

2 1 Die Sweepline-Technik In diesem Abschnitt werden wir drei geometrische Probleme in der Ebene betrachten, für die wir mit Hilfe der sogenannten Sweepline-Technik Algorithmen konstruieren werden. Allgemein stellt man sich unter einer Sweepline eine vertikale Linie vor, die von links nach rechts kontinuierlich über die Ebene streicht, also vom negativen Unendlichen ins positive Unendliche wandert, und dabei jedes gegebene Objekt des betrachteten Problems irgendwann überstreicht. Das kontinuierliche Überstreichen aller Objekte ist natürlich nur eine anschauliche Darstellung für das was eigentlich auf dem Rechner durchgeführt wird. Tatsächlich berechnet der Algorithmus diskrete Ereignispunkte bezüglich einer virtuellen Sweepline, z.b. die Ereignispunkte zu denen die Sweepline einzelne Objekte erreicht bzw. diese wieder verläßt. Diese Ereignispunkte werden vom Algorithmus in der Reihenfolge abgearbeitet, in der die virtuelle Sweepline sie erreicht. 1.1 Schnitte orthogonaler Liniensegmente gegeben: n horizontale Liniensegmente und n vertikale Liniensegmente in der Ebene die sich jeweils untereinander nicht schneiden gesucht: alle Segmentpaare, die sich schneiden Die Segmente werden beschrieben durch ihre Anfangs- und Endpunkte in Form von (x, y)-koordinaten, wobei x die horizontale und y die vertikale Position bezeichnet. Wir stellen uns vor, dass die Sweepline kontinuierlich über die Ebene wandert und machen dabei die folgenden Beobachtungen. 1. Zu jedem Zeitpunkt gibt es eine (evtl. leere) Menge M von horizontalen Segmenten, die die Sweepline schneiden. M ändert sich genau dann, wenn ein Anfangs- oder Endpunkt eines horizontalen Segments erreicht wird. 2. Wir betrachten ein vertikales Segment s dessen Endpunkte die vertikalen Koordinaten y 1 und y 2 haben. Wenn die Sweepline s schneidet, haben alle horizontalen Segmente aus M, deren y-koordinate im Intervall [y 1, y 2 ] liegt, einen Schnittpunkt mit s. Nach dieser Erkenntnis wählen wir die x-koordinaten der Anfangs- und Endpunkte der horizontalen Segmente und die x-koordinaten der vertikalen Segmente als Ereignispunkte für den Algorithmus. 2

3 Algorithmus 1 1. Sortiere die x-koordinaten der Segmente. Bei Gleichheit stehen linke Endpunkte von horizontalen Segmenten vor vertikalen Segmenten und vertikale Segmente vor rechten Endpunkten von horizontalen Segmenten. 2. Initialisiere einen leeren 2-3-Baum. Dieser 2-3-Baum soll immer die oben erwähnte Menge M von horizontalen Segmenten enthalten, die gerade durch die Sweepline überschritten werden. Die Segmente werden in dem 2-3- Baum nach ihren y-koordinaten sortiert und sind zusätzlich durch eine doppelt verkettete Liste verknüpft. 3. Durchlaufe die in 1. gebildete Folge. Falls das linke Ende eines horizontalen Segments erreicht wird, füge dieses Segment in den 2-3-Baum ein. Falls das rechte Ende eines horizontalen Segments erreicht wird, entferne dieses Segment aus dem 2-3-Baum. Falls ein vertikales Segment s mit den y-koordinaten y 1 und y 2 erreicht wird, suche im 2-3-Baum das Segment, mit der kleinsten y- Koordinate die nicht kleiner als y 1 ist. Durchlaufe von dort aus die doppelt verkettete Liste, bis ein Segment erreicht ist, dessen y-koordinate größer als y 2 ist. Seien s 1... s k die in der Liste erreichten Segmente. Schreibe die Paare (s, s 1 ),..., (s, s k 1 ) in die Ausgabe. Laufzeit von Algorithmus 1 Beachte, dass die Ausgabe möglicherweise aus allen n 2 Segmentpaaren besteht. In diesem Fall ist die Laufzeit Ω(n 2 ). Dennoch möchten wir dem Algorithmus nicht grundsätzlich derartig viele Schritte erlauben, sondern nur dann falls die Ausgabelänge dieses wirklich erfordert. Ein derartiger Algorithmus wird ausgabesensitiv genannt. Bezeichne k die Anzahl der sich schneidenden Segmentpaare. Wir werden die Lauzeit in Abhängigkeit von der Eingabelänge n und der Ausgabelänge k beschreiben. Schritt 1: O(n log n). Schritt 2: O(1). Schritt 3: O(n log n + k). 3

4 Die Laufzeitschranke für Schritt 3 ergibt sich wie folgt. Da der 2-3-Baum nie mehr als n Objekte enthält, kosten die Operationen Einfügen, Entfernen und Suchen jeweils Zeit O(log n). Damit sind alle Kosten, bis auf die für das Entlangenlaufen der verketteten Blätter im 2-3-Baum verrrechnet. Die Kosten für diesen Vorgang sind O(k). Satz 1 Algorithmus 1 hat Laufzeit O(n log n + k). Diese Lauzeit ist fast optimal, denn Ω(n + k) ist eine offensichtliche Schranke für dieses Problem. 1.2 Schnitte beliebiger Liniensegmente gegeben: n Liniensegmente in der Ebene gesucht: alle Segmentpaare, die sich schneiden Wir nehmen an, dass kein Segment vertikal ist. Das erreichen wir, indem wir ggf. die Ebene um einen kleinen geeigneten Winkel drehen. Weiter nehmen wir zuerst an, dass sich maximal zwei Segmente in einem Punkt schneiden. Den allgemeinen Fall betrachten wir danach. Wir stellen uns wieder die Sweepline vor, die kontinuierlich über die Ebene wandert. Zu jedem Zeitpunkt x, wobei x die horizontale Position der Sweepline bezeichnet, gibt es eine Menge von Segmenten, die die Sweepline schneiden. Auf dieser Menge definieren wir die Ordnung > x. Es ist s 1 > x s 2, falls die Sweepline das Segment s 1 oberhalb vom Schnittpunkt mit dem Segment s 2 schneidet. Da diese Ordnung abhängig von x ist, kann sie sich mit der Zeit ändern. Sie ändert sich genau zu den folgenden Ereignispunkten. 1. Wenn der linke Endpunkt eines Segments erreicht wird, wird dieses Segment in die Ordnung eingefügt. 2. Wenn der rechte Endpunkt eines Segments erreicht wird, wird dieses Segment aus der Ordnung entfernt. 3. Wenn der Schnittpunkt zweier Segmente erreicht wird, vertauscht sich die Reihenfolge dieser Segmente bzgl. der Ordnung. 4

5 Es gibt einen Unterschied zu den Ereignispunkten aus Algorithmus 1. Die Ereignispunkte aus 3. sind nicht direkt aus der Eingabe ablesbar sondern müssen explizit vom Algorithmus berechnet werden. Zwei Segmente, die sich in einem Punkt p schneiden, sind spätestens dann benachbart, wenn der letzte Ereignispunkt vor p erreicht wird. Daher reicht es aus, an jedem Ereignispunkt x nur Schnittpunkte für diejenigen Segmente zu berechnen, die bzgl. > x neue Nachbarn geworden sind. Algorithmus 2 1. Sortiere die Endpunkte der Segmente bzgl. der x-koordinate und füge sie in einen 2-3-Baum E ein. (E verwaltet die Ereignispunkte.) 2. Initialisiere einen 2-3-Baum L als leer. (L stellt immer den Zustand der Segmente bzgl. der Ordnung > x dar.) 3. Führe die Schritte 4. bis 7. durch, bis E leer ist. 4. Berechne p, das Minimum in E, und entferne p aus E. 5. Falls p linker Endpunkt eines Segments s ist: Füge s bzgl. der x-koordinate von p in L ein. s V = Vorgänger von s in L. s N = Nachfolger von s in L. Falls s V und s sich schneiden und dieser Schnittpunkt noch nicht in E enthalten ist, füge ihn in E ein. Falls s und s N sich schneiden und dieser Schnittpunkt noch nicht in E enthalten ist, füge ihn in E ein. 6. Falls p rechter Endpunkt eines Segments s ist: s V = Vorgänger von s in L. s N = Nachfolger von s in L. Entferne s aus L. Falls s V und s N sich schneiden und dieser Schnittpunkt noch nicht in E enthalten ist, füge ihn in E ein. 7. Falls p Schnittpunkt der Segmente s 1 und s 2 ist: 5

6 O.B.d.A. verlaufe s 1 links von p oberhalb von s 2. s V = Vorgänger von s 1 in L. s N = Nachfolger von s 2 in L. Vertausche die Reihenfolge von s 1 und s 2 in L. Falls s 1 und s N sich schneiden und dieser Schnittpunkt noch nicht in E enthalten ist, füge ihn in E ein. Falls s 2 und s V sich schneiden und dieser Schnittpunkt noch nicht in E enthalten ist, füge ihn in E ein. Falls sich k > 2 Segmente in einem Punkt p schneiden, verwalten wir die Segmentpaare nach folgender Konvention. (s 1, s 2 ) steht vor (s 3, s 4 ), falls s 1 links von p oberhalb von s 3 verläuft oder s 1 = s 3 und s 2 links von p oberhalb von s 4 verläuft. Damit findet der Algorithmus alle ( k 2) Segmentpaare, die sich in p schneiden. Laufzeit von Algorithmus 2 Schritt 1: O(n log n). Schritt 2: O(1). Schritt 3 bis 7: O((n + k) log n). Die Laufzeit für die Schritte 3 bis 7 ergibt sich wie folgt. Es gibt 2n + k 2n + ( n 2) 2n 2 Ereignispunkte. Damit ist die Tiefe des 2-3-Baums E höchstens log 2 (2n 2 ) = 2 log 2 n + 1. Der 2-3-Baums L enthält höchstens n Elemente. Seine Tiefe ist somit höchstens log 2 n. Die Operationen Einfügen, Entfernen und Suchen in diese Datenstrukturen verursacht somit höchstens Kosten O(log n). Für jeden einzelnen der n + k Ereignispunkte sind damit die Laufzeitkosten durch O(log n) beschränkt. Satz 2 Algorithmus 2 hat Laufzeit O((n + k) log n). 1.3 Überdeckte Fläche von achsenparallelen Rechtecken gegeben: n achsenparallele Rechtecke in der Ebene gesucht: die Fläche, die von der Vereinigung der Rechtecke überdeckt wird 6

7 Wenn wir die Sweepline über die Ebene wandern lassen, haben wir zu jedem Zeitpunkt eine Menge von Rechtecken, die einen Schnitt der Länge l mit der Sweepline haben. l ändert sich, wenn ein Anfangs- oder Endpunkt eines Rechtecks erreicht wird. Daher wählen wir diese Punkte als Ereignispunkte. Seien das x 1,..., x 2n in sortierter Reihenfolge. Angenommen die Sweepline befindet sich im Intervall [x i 1, x i ]. Die überdeckte Fläche in diesem Intervall ist dann (x i x i 1 ) l. Wenn wir die in y-richtung überdeckten Intervalle der Rechtecke in einem Segmentbaum verwalten, haben wir l immer zur Verfügung. Algorithmus 3 1. Sortiere die Anfangs- und Endpunkte der Rechtecke nach ihren x-koordinaten zu x 1,..., x 2n. 2. x 0 := x 1, m := Initialisiere einen Segmentbaum für die y-koordinaten der Rechtecke. 4. Für i = 1,..., 2n: Berechne l, das Intervall an der Wurzel des Segmentbaums. m = m + l (x i x i 1 ). Falls x i Anfangspunkt des Rechtecks R ist, füge das in y-richtung überdeckte Intervall von R in den Segmentbaum ein. Falls x i Endpunkt des Rechtecks R ist, entferne das in y-richtung überdeckte Intervall von R aus dem Segmentbaum. Laufzeit von Algorithmus 3 Schritt 1 und 2: O(n log n). Schritt 3: Die Operationen auf dem Segmentbaum kosten Zeit O(log n). Insgesamt erhalten wir die Laufzeit O(n log n). Satz 3 Algorithmus 3 hat Laufzeit O(n log n). 7

8 2 Divide-and-conquer Algorithmen In diesem Abschnitt werden wir einen weiteren Standardansatz zur Lösung geometrischer Probleme in der Ebene kennen lernen. Divide-and-conquer Algorithmen zerlegen das Problem in Teilprobleme, die rekursiv berechnet werden. Aus den Lösungen der Teilprobleme wird dann die Lösung des gesamten Problems berechnet. 2.1 Nächste Nachbarn gegeben: n 2 Punkte in der Ebene gesucht: 2 Punkte mit minimalem Abstand Wir zerlegen die Menge der Punkte am Median M bzgl. der x-koordinaten der Punkte und berechnen die Punkte mit minimalem Abstand der Teilmengen rekursiv. Dadurch entstehen zwei Teilprobleme mit n bzw. n vielen Punkten. 2 2 Seien d 1 und d 2 die minimalen Abstände bzgl. der beiden Teilprobleme. Setze d = min{d 1, d 2 }. Beachte, möglicherweise gibt es noch Paare von Punkten die einen Abstand kleiner als d haben, nämlich solche Paare, die aus einem Punkt links und einem Punkt rechts vom Median bestehen. Allerdings kommen dazu nur Punkte in Frage, deren x-koordinaten im Intervall [M d, M + d] liegen. Sei p = (x, y) ein derartiger Punkt. Alle Punkte, deren Abstand zu p kleiner als d ist, müssen in dem Quadrat liegen, das durch die Punkte (M d, y d) und (M + d, y + d) aufgespannt wird. Wir konzentrieren uns auf die oberer Hälfte dieses Quadrates. Behauptung: Das Rechteck, das durch die Punkte (M d, y) und (M + d, y + d) aufgespannt wird, enthält neben p höchstens noch 7 weitere Punkte. Bevor wir die Behauptung beweisen, zeigen wir, wie wir sie zur Entwicklung eines effizienten Algorithmus verwenden können: Wir sortieren alle Punkte aus dem vertikalen Streifen [M d, M + d] bzgl. ihrer y-koordinaten. Dann berechnen wir für jeden Punkt aus diesem Streifen die Abstände zu seinen 7 Nachfolgern bzgl. dieser Sortierung und geben den kleinsten gefundenen Abstand aus. Aus der Behauptung folgt, dass wir auf diese Art und Weise das Paar mit dem minimalen Abstand im Streifen finden, falls es ein Paar mit Abstand kleiner als d im Streifen gibt, denn alle nicht betrachteten Punktepaare haben Abstand mindestens d. (Frage: Warum müssen wir, wenn wir den Punkt p behandeln, nicht auch explizit den Abstand dieses Punktes zu seinen Vorgängern berechnen?) 8

9 Nun kommen wir zum Beweis der Behauptung. Das betrachtete Rechteck hat Höhe d und Breite 2d. Wir teilen das Rechteck in acht disjunkte Quadrate mit Seitenlänge jeweils d/2 ein, vier Quadrate links und vier rechts des Medians. Der maximal mögliche Abstand zweier Punkte in einem derartigen Teilquadrat ist (d ) 2 ( ) 2 d + = d < d. Da nun aber die Teilquadrate jeweils vollständig links oder rechts des Medians liegen, können sie keine zwei Eingabepunkte enthalten, deren Abstand ja mindestens d ist. Die acht Teilquadrate können also jeweils höchstens einen der Eingabepunkte enthalten, woraus sich die Behauptung ergibt. Wir fassen den oben beschriebenen Algorithmus noch einmal zusammen. Algorithmus 4 1. Rekursionsende: Falls S 3, so berechne den minimalen Abstand und gebe das zugehörige Punktepaar aus. Stopp. 2. Divide: Sonst teile die Menge der Punkte bzgl. des Medians M in zwei Teilmengen S 1 und S 2 auf. Berechne rekursiv die Punkte mit minimalem Abstand aus S 1 und S 2. Sei d der kleinere der berechneten Abstände und (p, p ) das zugehörige Punktepaar. 3. Conquer: Sortiere alle Punkte aus dem vertikalen Streifen [M d, M + d] bzgl. ihrer y-koordinate. Bestimme den Abstand eines jeden Punktes in diesem Streifen zu seinen 7 Nachfolgern bzgl. der Sortierung. Falls der kleinste dieser Abstände kleiner als d ist, so gib das zugehörige Punktepaar aus, sonst gib das Paar (p, p ) aus. Laufzeit von Algorithmus 4 O.B.d.A. sei n eine Zweierpotenz. (Ansonsten runde zur nächsten Zweierpotenz auf.) Bei naiver Implementierung erhalten wir die Rekursionsgleichung ( n ) T (n) = 2 T + O(n log n). 2 Der additive Term O(n log n) entsteht dabei sowohl durch das Sortieren der Punkte bzgl. ihrer x-koordinate zur Bestimmung des Medians in Schritt 2 als auch 9

10 durch das Sortieren der Punkte im vertikalen Streifen um den Median bzgl. ihrer y-koordinate in Schritt 3. Die obige Rekursionsgleichung ergibt eine Laufzeit von O(n log 2 n). Wir zeigen nun, wie man durch eine geschickte Implementierung die Laufzeit O(n log n) erreichen kann. Dazu müssen wir nur zeigen, wie man die Schritte 1 und 3 so realisieren kann, dass jedem Teilproblem nur Laufzeitkosten O(n) statt O(n log n) zugerechnet werden müssen. Die Bestimmung des Medians in Schritt 2 sollte wie folgt realisiert werden. In einem Preprocessing sortieren wir alle n Punkte in Zeit O(n log n) bzgl. ihrer x- Koordinate und schreiben sie in ein Array. An den rekursiven Aufruf übergeben wir dann jeweils den ersten und letzten Index der zugehörigen Punkte in diesem Array. Die Kosten für das Sortieren fallen also nur einmal an. Der Median in einem vorsortierten Array kann in Zeit O(1) bestimmt werden. Wir zeigen nun noch wie die Sortierung der Punkte im Streifen um den Median in Zeit O(n) durchgeführt werden kann. Der Trick ist, dass wir nicht nur die Punkte im Streifen sortieren sondern alle Punkte des jeweiligen Teilproblems. Die sortierte Teilfolge der Punkte im Streifen kann dann aus der sortierten Folge aller Punkte in Zeit O(n) herausgefiltert werden. Die Sortierung aller Punkte erfolgt analog zum Mergesort-Verfahren: Wir stellen sicher, dass die rekursiven Aufrufe in Schritt 2 bereits zwei bzgl. der y-koordinate sortierte Teilfolgen zurückliefern. Diese Teilfolgen können dann in Zeit O(n) zu einer sortierten Gesamtfolge verschmolzen werden kann. Unter Vernachlässigung des Preprocessing ergibt sich nun die Rekursionsgleichung ( n ) T (n) = 2 T + O(n), 2 die sich zu T (n) = O(n log n) löst. Satz 4 Algorithmus 4 hat die Laufzeit O(n log n). 2.2 Konvexe Hülle Die konvexe Hülle einer Punktmenge P entspricht dem kleinsten Polygon, das alle Punkte aus P enthält. gegeben: n 1 Punkte in der Ebene gesucht: die Menge der Eckpunkte der konvexen Hülle 10

11 Algorithmus 5 1. Falls n = 1, so gib den einen Punkt zurück. Sonst zerlege die Menge der Punkte am Median M bzgl. der x-koordinaten der Punkte und berechne rekursiv die Lösung C l für das linke Teilproblem und die Lösung C r für das rechte Teilproblem. 2. Bestimme die obere gemeinsame Tangente beider Polygone. Die Tangente liegt in beiden Polygonen jeweils an einem Eckpunkt an. Den tangierten Eckpunkt in C l nennen wir o l und den tangierten Eckpunkt in C r nennen wir o r. Bestimme auch die untere gemeinsame Tangente beider Polygone. Die tangierten Eckpunkte nennen wir u l und u r. 3. Aus der Menge der Eckpunkte für C l entfernen wir alle Eckpunkte, die im Uhrzeigersinn zwischen o l und u l liegen. Aus der Menge der Eckpunkte für C r entfernen wir alle Eckpunkte, die im Uhrzeigersinn zwischen u r und o r liegen. Die verbleibenden Punkte (inklusive o l, o r, u r, u l ) werden ausgegeben. Die Berechnung der Tangenten in Schritt 2 ist zeitkritisch. Wir beschreiben diesen Vorgang für die obere Tangente. Die untere Tangente kann analog berechnet werden. Wie können die Punkte o l und o r effizient berechnet werden? - Initial setzen wir o l auf die obersten Eckpunkte von C l bzw. C r, d.h. die Eckpunkte mit größter y-koordinate. Dies sind jedoch möglicherweise nicht die Punkte an denen die Tangente anliegt. Zum Auffinden der wahren Tangentenpunkte wenden wir nun wiederholt die folgenden Regeln an, bis keine der Regeln mehr zutrifft. Ausw ärtsdrehung im rechten Polygon: Falls die Verlängerung der Linie von o l nach o r in C r hineinragt, so verschiebe o r im Urzeigersinn um einen Eckpunkt nach rechts. Ausw ärtsdrehung im linken Polygon: Falls die Verlängerung der Linie von o r nach o l in C l hineinragt, so verschiebe o l entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn um einen Eckpunkt nach links. Einw ärtsdrehung im rechten Polygon: Falls die Linie von o l nach o r das Polygon C r schneidet, so setze o r entgegengesetzt dem Urzeigersinn um einen Eckpunkt nach links. 11

12 Einw ärtsdrehung im linken Polygon: Falls die Linie von o l nach o r das Polygon C l schneidet, so setze o l im Urzeigersinn um einen Eckpunkt nach rechts. Beachte, dieser Prozess terminiert, da sich der Schnittpunkt der Linie zwischen o r und o l mit der Mediansenkrechten von Iteration zu Iteration nach oben verschiebt. Laufzeit von Algorithmus 5 In einem Preprocessing werden die Punkte nach der x-koordinate sortiert. Das Preprocessing kann in Zeit O(n log n) durchgeführt werden. Danach kann Schritt 1 in Zeit O(1) durchgeführt werden. Schritt 3 kann offensichtlich in Zeit O(n) durchgeführt werden. Für den zeitkritischen Schritt 2 gilt ebenfalls eine oberer Schranke von O(n), da Auswärtsdrehungen (im Gegensatz zu Einwärtsdrehungen) niemals rückgängig gemacht werden, so dass höchstens O(n) Drehungen durchgeführt werden. (Beweis: Übungsaufgabe.) Unter Vernachlässigung des Preprocessings ergibt sich somit die folgende Rekursiongleichung ( n ) T (n) = 2 T + O(n). 2 Diese Gleichung löst sich zu T (n) = O(n log n). Satz 5 Algorithmus 5 hat die Laufzeit O(n log n). 12