Geometrische Algorithmen Segmentschnitt
|
|
- Mathilde Ziegler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Folie 1 von 36 Geometrische Algorithmen Segmentschnitt Folie 2 von 36 Segmentschnitt Übersicht Zwei Segmente! Lage zweier Segmente! Prüfung auf Schnittfreiheit! Formeln zum Geradenschnitt! Feststellen des Schnitts durch Prüfen der Punktlage! Sonderfälle n Segmente! Paarweiser Schnitt! Reduktion von 2-dim auf 1-dim! Verfahren des Scan-Line " Vorgehen " Beispiel/Gegenbeispiel " Ausnutzung der Nachbarschaft " Ordnungsrelation " Beispiel zur dynamischen Ordnung " Vereinfachende Annahmen " Formulierung des Algorithmus " Datenstrukturen
2 Folie 3 von 36 Zwei Segmente Einfacher Fall Folie 4 von 36 Zwei Segmente Lage
3 Folie 5 von 36 Zwei Segmente Prüfung auf Schnittfreiheit I Erste Idee:! Berechnung der Geradengleichungen g und g' der Segmente s und s'! Berechnung des Schnittpunkts p von g und g'! Prüfen ob p in s und s' Folie 6 von 36 Zwei Segmente Formeln Gegeben: Endpunkte der Segmente Geradengleichung für zwei Punkte
4 Folie 7 von 36 Zwei Segmente Prüfung auf Schnittfreiheit II Erste Idee:! Berechnung der Geradengleichungen g und g' der Segmente s und s'! Berechnung des Schnittpunkts p von g und g'! Prüfen ob p in s und s' Problem:! vertikale Segmente! Vermeidung unangenehmer Sonderfälle Folie 8 von 36 Zwei Segmente Lage und Schnitt
5 Folie 9 von 36 Zwei Segmente Formulierung des Grundproblems Reduktion auf das Problem: P3, P4 liegen auf der gleichen / verschiedenen Seiten der durch g induzierten Geraden Folie 10 von 36 Zwei Segmente Prüfen der Punktlage! Berechnung der Determinante! Vorzeichen der Determinante gibt Auskunft über die Lage des Punktes zur Geraden. Wir unterscheiden 3 Fälle: " D > 0: P liegt links von g " D < 0: P liegt rechts von g " D = 0: P liegt auf g
6 Folie 11 von 36 Zwei Segmente Prüfen aller Punktlagen Definition: Unter der Voraussetzung, dass alle Determinanten!= 0 sind, schneiden sich g und g' genau dann, wenn S1 und S2 sowie S3 und S4 jeweils verschiedene Vorzeichen haben Folie 12 von 36 Zwei Segmente Sonderfälle Wenn alle Determinanten gleich Null sind, dann folgt daraus, daß alle vier Punkte kollinear sind. Falls eine Determinante Null ist:
7 Folie 13 von 36 n Segmente Allgemeiner Fall 1x Folie 14 von 36 n Segmente Paarweiser Schnitt! Naheliegendes Vorgehen: Überprüfe jedes Paar von Segmenten! wende den zuvor skizzierten Algorithmus auf diese Paare an! Wie viele Paare gibt es? " Beispiel für NRW, Massstab 1: * Schnitt der Kanten der Bahnstrecken mit dem Straßennetz: 8454 * = "! geht es auch schneller?! optimal wäre O(n * log n) (so schnell wie Sortieren) * Quelle: ArcDeutschland 500, ESRI
8 Folie 15 von 36 n Segmente Weitere Überlegungen! Was wissen wir, was können wir ausnutzen? " Vermeidung unnötiger Berechnungen, deren Ergebnis durch systematische Überlegung gewonnen werden kann! Was ist eine besonders einfache Variante dieses Problems? " alle Segmente liegen auf einer Geraden ( x-achse) " eindimensionale Problemstellung Können wir die allgemeine (schwierige) Variante auf die spezielle (einfache) zurückführen? Folie 16 von 36 n Segmente Reduktion von 2-dim auf 1-dim Überlappung der horizontalen Projektionen ist notwendig, aber nicht hinreichend für einen Schnitt 3x
9 Folie 17 von 36 n Segmente Was bringt die Reduktion?! Nur Segmente, deren horizontale Projektionen sich überlappen, können sich auch schneiden! Man kann die Prüfung auf diese Segmente einschränken! Überprüfen aller Segmente durch sequentielles Vorgehen von links nach rechts ( Scannen )! Scan-Line Folie 18 von 36 n Segmente Verfahren Scan-Line
10 Folie 19 von 36 n Segmente Vorgehen Scan-Line! horizontale Scan-Line über die Ebene schieben " aktive Elemente: Schnitt mit der Scan-Line " nur aktive Elemente können horizontale Überschneidungen haben " überprüfe aktive Elemente auf Schnittfreiheit! Problem: Wo sind die Haltepunkte der Scan-Line? " Anfangspunkt eines Segments " Endpunkt eines Segments " interessant sind also die x-koordinaten der Anfangs- und Endpunkte! 1. Schritt: sortiere alle Punkte nach aufsteigenden x-koordinaten " anders ausgedrückt: sortiere die x-koordinaten und statte jede x-koordinate mit einem Verweis auf den zugehörigen Punkt aus Folie 20 von 36 n Segmente Beispiel Scan-Line 11x
11 Folie 21 von 36 n Segmente Gegenbeispiel Scan-Line Zu viele Elemente gleichzeitig aktiv: 2x Folie 22 von 36 n Segmente Weitere Überlegungen zum Scan-Line! Scannen allein reicht nicht! zu viele Elemente gleichzeitig aktiv! wir können uns an jedem Haltepunkt der Scan-Line maximal ein oder zwei (oder konstant viele) Tests erlauben! also müssen wir sparen...! und zusätzliches Wissen einspeisen! nur benachbarte Segmente können sich schneiden
12 Folie 23 von 36 n Segmente Nachbarschaft 3x Folie 24 von 36 n Segmente Ausnutzung der Nachbarschaft! wie definiert man Nachbarschaft...!... so, daß man sehr schnell erkennt, ob zwei Segmente benachbart sind?
13 Folie 25 von 36 n Segmente Was ist Nachbarschaft? Folie 26 von 36 n Segmente Ausnutzung der Nachbarschaft! wie definiert man Nachbarschaft...!... so, daß man sehr schnell erkennt, ob zwei Segmente benachbart sind?! Nutzung der Scan-Line " Betrachte die Schnittpunkte der aktiven Segmente mit der Scan-Line " ordne die Segmente nach den y-koordinaten ihrer Schnittpunkte mit der Scan-Line " nenne diese Ordnung
14 Folie 27 von 36 n Segmente Ordnungsrelation 6x Folie 28 von 36 n Segmente Ordnung der Segmente! ist eine partielle Ordnung...!... die nur auf der Menge der aktiven Elemente definiert ist! die Ordnung zwischen zwei Elementen wird an ihren Schnittpunkten umgedreht " aus wird am Schnittpunkt s von a und b " diese Ordnung ist natürlich eindimensional " und für die aktiven Elemente vollständig " sie ist abhängig vom Haltepunkt x der Scan-Line " diese Ordnung ist also dynamisch und hängt von x als Parameter ab! tun wir vorübergehend so, als hätten wir diese Ordnung "im Griff"
15 Folie 29 von 36 n Segmente Beispiel Dynamische Ordnung 18x Folie 30 von 36 n Segmente Zusatzfrage Scan-Line Wann wird der Schnittpunkt S1 erkannt? Übung: Wird ein Schnittpunkt ggf. mehr als einmal erkannt? 1x
16 Folie 31 von 36 n Segmente Scan-Line: Vereinfachende Annahmen Annahme:! 2 Segmente schneiden sich höchstens in einem Punkt! in keinem Punkt schneiden sich mehr als 2 Segmente! die x-koordinaten aller Segmente sind paarweise verschieden! kein Segment ist vertikal Folie 32 von 36 n Segmente Algorithmus Scan-Line Input: S: eine Menge von Segmenten Output: die Schnittpunkte der Elemente von S Sei: T = Endpunkte der Segmente von S nach x- Koordinaten sortiert (Haltepunkte) L = // aktive Segmente von S while T do bestimme und entferne den nächsten Punkt p T x ist x-koordinate von p case: p ist linker Endpunkt von s fuege_ein(s,x,l) sl = vorgaenger(s,x,l) sr = nachfolger(s,x,l) schnitt(sl,s,t); schnitt(s,sr,t); p ist rechter Endpunkt von s sl = vorgaenger(s,x,l) sr = nachfolger(s,x,l) entferne(s,x,l) schnitt(sl,sr,t) p ist Schnittpunkt von s und t vertausche(s,t,l,x) // t < s sl = vorgaenger(t,x,l) sr = nachfolger(s,x,l) schnitt(sl,t,t) schnitt(s,sr,t)
17 Folie 33 von 36 n Segmente Algorithmus Scan-Line - Methoden fuege_ein(s,x,l): entferne(s,x,l): nachfolger(s,x,l): vorgaenger(s,x,l): schnitt(s,t,t): offene Probleme: fügt das Segment s in die Menge L ein entsprechend der Ordnung an der Stelle x entfernt das Segment s aus die Menge L an der Stelle x liefert den Nachfolger von s in L an der Stelle x, falls vorhanden liefert den Vorgänger von s in L an der Stelle x, falls vorhanden prüft s und t auf Schnitt. Berechnet ggf. den Schnittpunkt p und fügt ihn als neuen Haltepunkt in T ein. eine geeignete Datenstruktur für T eine geeignete Datenstruktur für L Prüfung auf Schnitt, Berechnung des Schnittpunkts Folie 34 von 36 n Segmente Datenstrukturen für T und S! Datenstrukur für T " AVL-Baum " letztes Semester! was ist ein AVL-Baum " erstens ein Suchbaum " zweitens ausgeglichen! Datenstruktur für L " AVL-Baum? " Problem: "Vorgänger"und "Nachfolger" finden das wird vom AVL-Baum nicht unterstützt " also: Variante des AVL-Baums # alle Informationen sind in Blättern (nicht in inneren Knoten) # die Blätter bilden eine doppelt verkettete Liste
18 Folie 35 von 36 Datenstruktur Variante des AVL-Baums mit einer doppelt verketteten Liste der Blätter für die Menge der aktiven Elemente Folie 36 von 36 Datenstruktur für die Haltepunkte!...mit den Operationen " Einfügen eines gefundenen Schnittpunktes " Finden und Entfernen des nächsten (also minimalen) Elements...!... genügt ein normaler AVL-Baum! obwohl man mit Kanonen auf Spatzen schießt! besser: ein Heap (wie bei Dijkstra)
Geometrische Algorithmen Segmentschnitt
Folie 1 von 36 Geometrische Algorithmen Segmentschnitt Folie 2 von 36 Segmentschnitt Übersicht Zwei Segmente Lage zweier Segmente Prüfung auf Schnittfreiheit Formeln zum Geradenschnitt Feststellen des
MehrGeometrische Algorithmen Einige einfache Definitionen: Ist ein Punkt in einem Polygon? Punkt-in-Polygon-Problem. Das Punkt-in-Polygon-Problem
Geometrische Algorithmen Einige einfache Definitionen: Punkt: im n-dimensionalen Raum ist ein n-tupel (n Koordinaten) Gerade: definiert durch zwei beliebige Punkte auf ihr Strecke: definiert durch ihre
MehrGeometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen Bin Hu Algorithmen und Datenstrukturen 2 Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Institut für Computergraphik und Algorithmen Technische Universität Wien Einführung
MehrKapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete
Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:
MehrAlgorithmische Geometrie 3. Schnitte von Liniensegmenten
Algorithmische Geometrie 3. Schnitte von Liniensegmenten JProf. Dr. Heike Leitte Computergraphik und Visualisierung Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 2. Konvexe Hülle 3. Schnitte von Liniensegmenten 4.
MehrStud.-Nummer: Datenstrukturen & Algorithmen Seite 1
Stud.-Nummer: Datenstrukturen & Algorithmen Seite 1 Aufgabe 1. / 16 P Instruktionen: 1) In dieser Aufgabe sollen Sie nur die Ergebnisse angeben. Diese können Sie direkt bei den Aufgaben notieren. 2) Sofern
MehrGeometrische Datenstrukturen
Geometrische Datenstrukturen 1. Rechteckschnitt 2. Segment Bäume 3. Intervall Bäume 4. Prioritätssuchbäume 1. Rechteckschnitt - Schwenke horizontale Scan-Line von oben nach unten. - Speichere die Schnitte
MehrGeometrische Algorithmen Voronoi-Diagramme. Lernmodul 7: Geo-Algorithmen und -Datenstrukturen - Voronoi-Diagramme
Folie 1 von 32 Geometrische Algorithmen Voronoi-Diagramme Folie 2 von 32 Voronoi-Diagramme Übersicht Problemstellung Animation zur Konstruktion eines Voronoi-Diagramms Definition, Eigenschaften eines Voronoi-Diagramms
MehrGeometrische Algorithmen Punkt-in-Polygon-Suche. Lernmodul 7: Geo-Algorithmen und -Datenstrukturen - Punkt-in-Polygon-Suche
Folie 1 von 51 Geometrische Algorithmen Punkt-in-Polygon-Suche Folie 2 von 51 Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht Praxisbeispiel/Problemstellung Zählen von Schnittpunkten Schnitt einer Halbgerade mit der
MehrAlgorithmische Geometrie: Schnittpunkte von Strecken
Algorithmische Geometrie: Schnittpunkte von Strecken Nico Düvelmeyer WS 2009/2010, 3.11.2009 3 Phasen im Algorithmenentwurf 1. Konzentration auf das Hauptproblem 2. Verallgemeinerung auf entartete Eingaben
MehrVoronoi-Diagramme INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie
Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 03.06.2014 1 Das Postamt-Problem b(p, q) = {x 2 R 2 : xp = xq } p q h(p, q) h(q, p) = {x
MehrPunkt-in-Polygon-Suche Übersicht
Folie 1 von 43 Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht! Praxisbeispiel/Problemstellung! Zählen von Schnittpunkten " Schnitt einer Halbgerade mit der Masche " Aufwandsbetrachtung! Streifenkarte " Vorgehen und
MehrGeometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen Thomas Röfer Motivation Scan-line-Prinzip Konvexe Hülle Distanzprobleme Voronoi-Diagramm Rückblick Manipulation von Mengen Vorrangwarteschlange Heap HeapSort swap(a, 0, 4) 1 5
MehrMehrwegbäume Motivation
Mehrwegbäume Motivation Wir haben gute Strukturen (AVL-Bäume) kennen gelernt, die die Anzahl der Operationen begrenzen Was ist, wenn der Baum zu groß für den Hauptspeicher ist? Externe Datenspeicherung
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2. Dynamische Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Dynamische Datenstrukturen Algorithmen für dynamische Datenstrukturen Zugriff auf Variable und Felder durch einen Ausdruck: Namen durch feste Adressen referenziert Anzahl
MehrRotation. y T 3. Abbildung 3.10: Rotation nach rechts (analog links) Doppelrotation y
Die AVL-Eigenschaft soll bei Einfügungen und Streichungen erhalten bleiben. Dafür gibt es zwei mögliche Operationen: -1-2 Rotation Abbildung 3.1: Rotation nach rechts (analog links) -2 +1 z ±1 T 4 Doppelrotation
MehrInformatik II Prüfungsvorbereitungskurs
Informatik II Prüfungsvorbereitungskurs Tag 4, 23.6.2016 Giuseppe Accaputo g@accaputo.ch 1 Programm für heute Repetition Datenstrukturen Unter anderem Fragen von gestern Point-in-Polygon Algorithmus Shortest
MehrVoronoi Diagrams. Christian Wellenbrock. December 1, 2009
December 1, 2009 Das Voronoi Diagramm Problemstellung Gegeben: Menge der Zentren P = {p 1,..., p n } R 2 Das Voronoi Diagramm Problemstellung Gegeben: Menge der Zentren P = {p 1,..., p n } R 2 Gesucht:
MehrPunkt-in-Polygon-Suche Übersicht
Folie 1 von 19 Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht Praxisbeispiel/Problemstellung Zählen von Schnittpunkten Schnitt einer Halbgerade mit der Masche Aufwandsbetrachtung Streifenkarte Vorgehen und Eigenschaften
MehrVorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (18 Bäume: Grundlagen und natürliche Suchbäume) Prof. Dr. Susanne Albers Bäume (1) Bäume sind verallgemeinerte Listen (jedes Knoten-Element kann mehr
MehrVorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (23 Bruder-Bäume, B-Bäume) Prof. Dr. Susanne Albers Balancierte Bäume Eine Klasse von binären Suchbäumen ist balanciert, wenn jede der drei Wörterbuchoperationen
MehrGrundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny
Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 2 Datenstrukturen 2.1 Einführung Syntax: Definition einer formalen Grammatik, um Regeln einer formalen Sprache (Programmiersprache) festzulegen.
MehrWie wird ein Graph dargestellt?
Wie wird ein Graph dargestellt? Für einen Graphen G = (V, E), ob gerichtet oder ungerichtet, verwende eine Adjazenzliste A G : A G [i] zeigt auf eine Liste aller Nachbarn von Knoten i, wenn G ungerichtet
MehrDatenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen
MehrContainerDatenstrukturen. Große Übung 4
ContainerDatenstrukturen Große Übung 4 Aufgabenstellung Verwalte Kollektion S von n Objekten Grundaufgaben: Iterieren/Auflistung Suche nach Objekt x mit Wert/Schlüssel k Füge ein Objekt x hinzu Entferne
MehrBereichsabfragen II. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 17.07.2012 Objekttypen in Bereichsabfragen y0 y0 y x x0 Bisher
MehrDatenstrukturen und Algorithmen 2. Klausur SS 2001
UNIVERSITÄT PADERBORN FACHBEREICH 7 (MATHEMATIK INFORMATIK) Datenstrukturen und Algorithmen 2. Klausur SS 200 Lösungsansätze Dienstag, 8. September 200 Name, Vorname:...................................................
Mehr2.7.1 Inside-Test Konvexe Hülle Nachbarschaften Schnittprobleme
2.7 Geometrische Algorithmen 2.7.1 Inside-Test 2.7.2 Konvexe Hülle 2.7.3 Nachbarschaften 2.7.4 Schnittprobleme 1 2.7 Geometrische Algorithmen 2.7.1 Inside-Test 2.7.2 Konvexe Hülle 2.7.3 Nachbarschaften
MehrKonvexe Hülle. Abbildung: [Wikipedia]: Nicht-konvexe Menge (links), konvexe Menge (rechts) KIT Institut für Theoretische Informatik 510
Konvexe Hülle Definition konvexe Menge: Für je zwei beliebige Punkte, die zur Menge gehören, liegt auch stets deren Verbindungsstrecke ganz in der Menge. Abbildung: [Wikipedia]: Nicht-konvexe Menge (links),
MehrBereichsabfragen II. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 17.07.2012 Objekttypen in Bereichsabfragen y0 y x x0 Bisher
MehrGeradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden
Vorlesung Algorithmische Geometrie von Punkten und Geraden INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 12.06.2012 Dualitätsabbildung Bisher haben wir Dualität für planare
Mehr7. Sortieren Lernziele. 7. Sortieren
7. Sortieren Lernziele 7. Sortieren Lernziele: Die wichtigsten Sortierverfahren kennen und einsetzen können, Aufwand und weitere Eigenschaften der Sortierverfahren kennen, das Problemlösungsparadigma Teile-und-herrsche
Mehr1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert
Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume
MehrGeradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden
Vorlesung Algorithmische Geometrie von Punkten und Geraden INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 12.06.2012 Dualitätsabbildung Bisher haben wir Dualität für planare
MehrWiederholung. Datenstrukturen und. Bäume. Wiederholung. Suchen in linearen Feldern VO
Wiederholung Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Suchen in linearen Feldern Ohne Vorsortierung: Sequentielle Suche Speicherung nach Zugriffswahrscheinlichkeit Selbstanordnende Felder Mit Vorsortierung:
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 1
Algorithmen und Datenstrukturen 1 8. Vorlesung Martin Middendorf und Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik middendorf@informatik.uni-leipzig.de studla@bioinf.uni-leipzig.de Gefädelte
MehrKapitel 9 Algorithm. Geometrie. Kürzeste Abstände Konvexe Hülle
Kapitel 9 Algorithm. Geometrie Kürzeste Abstände Konvexe Hülle Überblick Teilgebiet der Informatik, in dem es um die Entwicklung effizienter Algorithmen und die Bestimmung der algorithmischen Komplexität
MehrDatenstrukturen. einfach verkettete Liste
einfach verkettete Liste speichert Daten in einer linearen Liste, in der jedes Element auf das nächste Element zeigt Jeder Knoten der Liste enthält beliebige Daten und einen Zeiger auf den nächsten Knoten
Mehr1 AVL-Bäume. 1.1 Aufgabentyp. 1.2 Überblick. 1.3 Grundidee
AVL-Bäume. Aufgabentyp Fügen Sie in einen anfangs leeren AVL Baum die folgenden Schlüssel ein:... Wenden Sie hierbei konsequent den Einfüge /Balancierungsalgorithmus an und dokumentieren Sie die ausgeführten
MehrÜbung 13 Algorithmen II
Michael Axtmann michael.axtmann@kit.edu http://algo2.iti.kit.edu/algorithmenii_ws16.php - 0 Axtmann: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
MehrVorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (22 - AVL-Bäume: Entfernen) Prof. Dr. Susanne Albers Definition von AVL-Bäumen Definition: Ein binärer Suchbaum heißt AVL-Baum oder höhenbalanziert,
MehrVorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (25 Sortieren vorsortierter Daten)
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (25 Sortieren vorsortierter Daten) 1 Untere Schranke für allgemeine Sortierverfahren Satz Zum Sortieren einer Folge von n Schlüsseln mit einem allgemeinen
MehrVorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (21 - Balancierte Bäume, AVL-Bäume) Prof. Dr. Susanne Albers Balancierte Bäume Eine Klasse von binären Suchbäumen ist balanciert, wenn jede der drei
MehrDatenstrukturen und Algorithmen
Datenstrukturen und Algorithmen VO INF.02031UF (2-4)-Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 7. Bäume Bäume als Datenstruktur Binärbäume Balancierte Bäume (2-4)-Bäume Anwendung: Mischbare Warteschlangen
MehrAlle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)).
8. Untere Schranken für Sortieren Alle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)). Werden nun gemeinsame Eigenschaften dieser Algorithmen untersuchen. Fassen gemeinsame
MehrDatenstrukturen Teil 2. Bäume. Definition. Definition. Definition. Bäume sind verallgemeinerte Listen. Sie sind weiter spezielle Graphen
Bäume sind verallgemeinerte Listen Datenstrukturen Teil 2 Bäume Jeder Knoten kann mehrere Nachfolger haben Sie sind weiter spezielle Graphen Graphen bestehen aus Knoten und Kanten Kanten können gerichtet
MehrDefinition Ein Heap (priority queue) ist eine abstrakte Datenstruktur mit folgenden Kennzeichen:
HeapSort Allgemeines Sortieralgorithmen gehören zu den am häufigsten angewendeten Algorithmen in der Datenverarbeitung. Man hatte daher bereits früh ein großes Interesse an der Entwicklung möglichst effizienter
MehrGeometrie 1. Roman Sommer. Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen
Geometrie 1 Roman Sommer Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Grundlagen Punkte, Vektoren Schreibweise: Skalar: Vektor: Komponente: Punkt: (spitzer) Winkel zw. zwei Vektoren:
MehrÜbersicht. Rot-schwarz Bäume. Rot-schwarz Bäume. Beispiel. Eigenschaften. Datenstrukturen & Algorithmen. Rot-schwarz Bäume Eigenschaften Einfügen
Datenstrukturen & Algorithmen Übersicht Rot-schwarz Bäume Eigenschaften Einfügen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Rot-schwarz Bäume Binäre Suchbäume sind nur effizient wenn Höhe des Baumes
MehrInformatik II Vorlesung am D-BAUG der ETH Zürich
Informatik II Vorlesung am D-BAUG der ETH Zürich Vorlesung 9, 2.5.2016 [Nachtrag zu Vorlesung : Numerische Integration, Zusammenfassung Objektorientierte Programmierung] Dynamische Datenstrukturen II:
MehrWas bisher geschah. 1. Zerlegung in monotone Polygone 2. Triangulierung der monotonen Teilpolygone
Was bisher geschah Motivation, Beispiele geometrische Objekte im R 2 : Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon, ebene Zerlegung in Regionen (planare Graphen) maschinelle Repräsentation geometrischer
Mehr13. Binäre Suchbäume
1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),
MehrPolygontriangulierung
Vorlesung Algorithmische Geometrie Polygone triangulieren LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 26.04.2011 Das Kunstgalerie-Problem
MehrBinärbäume: Beispiel
Binärbäume Als Beispiel für eine interessantere dynamische Datenstruktur sehen wir uns jetzt Binärbäume an Ein Binärbaum wird rekursiv definiert: Er ist leer oder besteht aus einem Knoten (die Wurzel des
MehrGeometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen
Geometrie I Sebastian Redinger 01.07.2015 Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 2 Gliederung
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen I Bruder-Bäume
Algorithmen und Datenstrukturen I Bruder-Bäume Prof. Dr. Oliver Braun Letzte Änderung: 11.12.2017 10:50 Algorithmen und Datenstrukturen I, Bruder-Bäume 1/24 Definition ein binärer Baum heißt ein Bruder-Baum,
MehrHallo Welt für Fortgeschrittene
Hallo Welt für Fortgeschrittene Geometrie II Tiago Joao Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Inhalt Koordinatenkompression Beispiel: SafeJourney Typische compress-funktion Bereichssuche
MehrBerechnung von Abständen
3. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 3.4. Es sei G = (V, E) ein Graph. Der Abstand d(v, w) zweier Knoten v, w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w.
Mehr1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie
Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/3, Folie 1 2010 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI
MehrEINI LogWing/WiMa. Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Vorlesung 2 SWS WS 17/18
EINI LogWing/ Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Vorlesung 2 SWS WS 17/18 Dr. Lars Hildebrand Fakultät für Informatik Technische Universität Dortmund lars.hildebrand@tu-dortmund.de
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Heapsort
Algorithmen und Datenstrukturen 2 5 Heapsort In diesem Kapitel wird Heapsort, ein weiterer Sortieralgorithmus, vorgestellt. Dieser besitzt wie MERGE-SORT eine Laufzeit von O(n log n), sortiert jedoch das
MehrDatenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 6 FS 14
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 2. April
Mehr3. Minimale Spannbäume. Definition 99 T heißt minimaler Spannbaum (MSB, MST) von G, falls T Spannbaum von G ist und gilt:
3. Minimale Spannbäume Sei G = (V, E) ein einfacher ungerichteter Graph, der o.b.d.a. zusammenhängend ist. Sei weiter w : E R eine Gewichtsfunktion auf den Kanten von G. Wir setzen E E: w(e ) = e E w(e),
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume
Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Überblick Einführung Einfügen und Löschen Einfügen
MehrInformatik II, SS 2014
Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 13 (18.6.2014) Binäre Suchbäume IV (Rot Schwarz Bäume) Algorithmen und Komplexität Rot Schwarz Bäume Ziel: Binäre Suchbäume, welche immer
Mehr8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können.
8. A & D - Heapsort Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. Genauer werden wir immer wieder benötigte Operationen durch Datenstrukturen unterstützen.
MehrUberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 1
Vorlesung Geometrische Algorithmen Sichtbarkeitsgraphen und kurzeste Wege Sven Schuierer Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale
Mehr2. November Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37
2. November 2011 Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37 Satz von Erdős und Gallai Eine Partition einer natürlichen Zahl ist genau dann die Gradfolge
MehrFüllen von Primitiven
Füllen von Primitiven Basisproblem der 2D-Graphik Anwendung: füllen beliebiger Flächen (Polygone, Freiformkurven) Darstellung von Buchstaben dicke Primitive (Linien, Kreise, Kurven), Teilproblem in der
MehrÜbung Algorithmen I
Übung Algorithmen I 10.5.17 Sascha Witt sascha.witt@kit.edu (Mit Folien von Lukas Barth, Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag und Christoph Striecks) Roadmap Listen Skip List Hotlist Amortisierte
MehrOrganisatorisches. Programmierpraktikum Das Canadian Traveller Problem. Organisatorisches. Organisatorisches
Organisatorisches Programmierpraktikum Das Canadian Traveller Problem Rainer Schrader Birgit Engels Anna Schulze Zentrum für Angewandte Informatik Köln. April 006 Prof. Dr. Rainer Schrader Tel.: 470-600
MehrPunktlokalisierung. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK
Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 22.05.2012 Nachtrag: Dynamische Bereichsabfragen Letzte Woche: kd-trees und Range-Trees
MehrDatenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 4 FS 15
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 18. März
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen SoSe 2008 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Algorithmen und Datenstrukturen SoSe 2008 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Algorithmen und Datenstrukturen Gesamtübersicht Organisatorisches / Einführung Grundlagen: RAM,
MehrGrundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen
Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00
MehrDas Voronoi Diagramm. 1. Definition. 2. Eigenschaften. 3. Größe und Speicherung. 4. Konstruktion. 5. Verwendung
Das Voronoi Diagramm 1. Definition 2. Eigenschaften 3. Größe und Speicherung 4. Konstruktion 5. Verwendung Das Voronoi- Diagramm Voronoi Regionen Euklidische Distanz: d(p,q) = (px-qx)^2+(py-qy)^2 Das Voronoi-Diagramm
Mehr2. Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung
2 Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 2 Woche: Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 24/ 44 Zwei Beispiele a 0
Mehr13. Bäume: effektives Suchen und Sortieren
Schwerpunkte Aufgabe und Vorteile von Bäumen 13. Bäume: effektives Suchen und Sortieren Java-Beispiele: Baum.java Traverse.java TraverseTest.java Sortieren mit Bäumen Ausgabealgorithmen: - Preorder - Postorder
MehrTU München, Fakultät für Informatik Lehrstuhl III: Datenbanksysteme Prof. Alfons Kemper, Ph.D.
TU München, Fakultät für Informatik Lehrstuhl III: Datenbanksysteme Prof. Alfons Kemper, Ph.D. Blatt Nr. 11 Hausaufgabe 1 Übung zur Vorlesung Grundlagen: Datenbanken im WS13/14 Henrik Mühe (muehe@in.tum.de)
MehrGeometrie 1. Christian Bay Christian Bay Geometrie / 46
Geometrie 1 Christian Bay 02.07.2013 Christian Bay Geometrie 1 02.07.2013 1 / 46 Inhaltsverzeichnis Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle Christian Bay Geometrie 1 02.07.2013 2 / 46 Geometrie
MehrDatenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen VO 708.031 Um was geht es? Datenstrukturen Algorithmen Algorithmus Versuch einer Erklärung: Ein Algorithmus nimmt bestimmte Daten als Input und transformiert diese nach festen
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Universität Innsbruck Institut für Informatik Zweite Prüfung 16. Oktober 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Name: Matrikelnr: Die Prüfung besteht aus 8 Aufgaben. Die verfügbaren Punkte für jede Aufgabe
MehrCopyright, Page 1 of 8 AVL-Baum
www.mathematik-netz.de Copyright, Page 1 of 8 AVL-Baum 1. Motivation und Einleitung Das Suchen, Einfügen und entfernen eines Schlüssels in einem zufällige erzeugten binären Suchbaum mit N Schlüsseln ist
MehrTeil 1: Suchen. Ausgeglichene Bäume B-Bäume Digitale Suchbäume. M.O.Franz, Oktober 2007 Algorithmen und Datenstrukturen - Binärbäume 1-1
Teil : Suchen Problemstellung Elementare Suchverfahren Hashverfahren Binäre Suchbäume (Wiederholung aus Prog 2) Bäume: Begriffe, Eigenschaften und Traversierung Binäre Suchbäume Gefädelte Suchbäume Ausgeglichene
MehrÜbung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie
Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 8. Mai 2012 B. Rieck (CoVis)
MehrAbstrakter Datentyp (ADT): Besteht aus einer Menge von Objekten, sowie Operationen, die auf diesen Objekten wirken.
Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen/ Einfache Beispiele Abstrakter Datentyp (ADT): Besteht aus einer Menge von Objekten, sowie Operationen, die auf diesen Objekten wirken. Datenstruktur (DS): Realisierung
MehrÜbung Algorithmen und Datenstrukturen
Übung Algorithmen und Datenstrukturen Sommersemester 2017 Patrick Schäfer, Humboldt-Universität zu Berlin Agenda 1. Sortierte Listen 2. Stacks & Queues 3. Teile und Herrsche Nächste Woche: Vorrechnen (first-come-first-served)
MehrDatenstrukturen und Algorithmen D-INFK
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik Peter Widmayer
Mehr6. Algorithmen der Computer-Geometrie
6. Algorithmen der Computer-Geometrie 1. Einführung 2. Schnitt von zwei Strecken 3. Punkt-in-Polygon-Test 4. Schnitt orthogonaler Strecken 5. Punkteinschlussproblem Geo-Informationssysteme 146 6.1 Computer-Geometrie
MehrTeil VII. Hashverfahren
Teil VII Hashverfahren Überblick 1 Hashverfahren: Prinzip 2 Hashfunktionen 3 Kollisionsstrategien 4 Aufwand 5 Hashen in Java Prof. G. Stumme Algorithmen & Datenstrukturen Sommersemester 2009 7 1 Hashverfahren:
MehrVorlesung Datenstrukturen
Vorlesung Datenstrukturen Heaps Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 469 Prioritätswarteschlange Problem Häufig ist das Prinzip einer einfachen Warteschlangen-Datenstruktur
Mehr3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel
3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36
MehrGrundlagen zur Delaunay-Triangulierung und zur konvexen Hülle. zum Begriff des Voronoi-Diagramms (vgl. auch Vorlesung "Algorithmische Geometrie"):
Grundlagen zur Delaunay-Triangulierung und zur konvexen Hülle zum Begriff des Voronoi-Diagramms (vgl. auch Vorlesung "Algorithmische Geometrie"): 1 Erzeugung des Voronoi-Diagramms (siehe Vorlesung "Algorithmische
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität
MehrVorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg 19.04.2011
Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 19.04.2011 Überlagern von Kartenebenen Beispiel: Gegeben zwei
Mehr4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)
Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine
MehrAlgorithmen & Komplexität
Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg
Mehr1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie
Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/2, Folie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI
Mehr5. Bäume und Minimalgerüste
5. Bäume und Minimalgerüste Charakterisierung von Minimalgerüsten 5. Bäume und Minimalgerüste Definition 5.1. Es ein G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. H = (V,E ) heißt Gerüst von G gdw. wenn H ein
Mehr186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 1. Übungstest WS 2010/11 26. November 2010
Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 1. Übungstest WS 2010/11 26.
Mehr