DOWNLOAD. Kreis, Zylinder und Prisma. Thomas Röser. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Stationenlernen Mathematik 8. Klasse

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1 DOWNLOAD Thomas Röser Kreis, Zylinder und Prisma Stationenlernen Mathematik 8. Klasse Thomas Röser 8. Klasse Bergedorfer Unterrichtsideen Bergedorfer Lernstationen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Stationenlernen Mathematik 8. Klasse Terme Lineare Gleichungen und Funktionen Prozentund Zinsrechnung Körper Stochastik

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3 5. Kreis, Zylinder und Prisma Laufzettel zum Stationenlernen Kreis, Zylinder und Prisma Station 1 Kreisumfang Station Kreisfläche Zusatzstation A Kreisringee Station 3 Wiederholung Rauminhalte von Prismen Zusatzstation B Hohlkörper Station 4 Oberflächen von Zylindern Zusatzstation statio C Zusammengesetzte Körper Station 5 Rauminhalte von Zylindern Zusatzstation D Netz und Schrägbild von Zylindern Station 6 Sachaufgaben Kommentare: 1

4 Station 1 Kreisumfang Aufgabe Aufgabe: Berechne die Kreisumfänge. Hinweis: Ergebnisse sollen auf zwei Nachkommastellen gerundet werden. 1. Vervollständige die Tabelle in deinem Heft, indem du die fehlenden Größen berechnest.. Miss den Radius/Durchmesser der Kreise und berechne den Umfang in deinem Heft. 3. Berechne den Umfang der Figuren in deinem Heft. Station Kreisfläche Aufgabe Aufgabe: Berechne die Kreisflächen. Hinweis: Ergebnisse sollen auf zwei Nachkommastellen gerundet werden. 1. Vervollständige die Tabelle in deinem Heft, indem du die fehlenden Größen berechnest.. Berechne die Fläche der folgenden Figuren (graue Markierung) in deinem Heft. 3. Berechne Radius, Durchmesser und Umfang mithilfe der vorgegebenen Angaben zu den Kreisflächen.

5 Station 3 Wiederholung Rauminhalte von Prismen Aufgabe Aufgabe: Übe und wiederhole das Berechnen des Rauminhaltes von Prismen. 1. Berechne in deinem Heft den Rauminhalt der folgenden Würfel bzw. Quader.. Berechne in deinem Heft den Rauminhalt der folgenden Körper. Die Höhe des Körpers beträgt jeweils 1,5 dm. Gib das Ergebnis in cm an. 3. Berechne die gesuchten Werte in deinem Heft. 4. Berechne den Rauminhalt des folgenden Fünfeckprismas bei einer Körperhöhe von 10 cm in deinem Heft. (Tipp: Zerlege die Figur in zwei einzelne elne Figuren). Station 4 Oberflächen von Zylindern Aufgabe Aufgabe: Berechne die Ober- und Mantelflächen von Zylindern. 1. Berechne die Ober- und Mantelflächen in deinem Heft und gib das Ergebnis in cm an.. Vergleiche die Ober- und Mantelflächen in deinem Heft und erkläre das Ergebnis. 3. Vervollständige die Tabelle auf dem Materialblatt. Hinweis: Zwei Formeln müssen zunächst umgestellt werden. 3

6 Station 5 Rauminhalte von Zylindern Aufgabe Aufgabe: Übe das Berechnen des Rauminhalts von Zylindern. 1. Berechne das Volumen der Zylinder in deinem Heft und gib das Ergebnis in cm 3 an.. Berechne den Radius bzw. die Höhe des Zylinders in deinem Heft. Stelle dafür zunächst die Formel nach h um. Gib die Ergebnisse in cm an. 3. Bearbeite die folgende Sachaufgabe in deinem Heft. Führe dafür die Rechnung durch und formuliere einen passenden Antwortsatz. Station 6 Sachaufgaben Aufgabe Aufgabe: Bearbeite die Sachaufgaben Bearbeite eite die Sachaufgaben nach dem folgenden Prinzip: Gegeben sind jeweils ein Sachverhalt, eine Frage oder eine Skizze. Deine Aufgabe ist es, die Rechnung durchzuführen, die entsprechende Formel aufzustellen und den Antwortsatz zu formulieren. 4

7 Zusatzstation A Kreisringe Aufgabe Aufgabe: Übe das Berechnen eines Kreisrings. 1. Berechne den Flächeninhalt der folgenden Kreisringe in deinem Heft. Gib das Ergebnis in cm an.. Überlege dir, wie die Formel lautet, wenn du mit dem Radius anstatt dem Durchmesser arbeitest und berechne in deinem Heft. Gib das Ergebnis in cm an. Zusatzstation B Hohlkörper Aufgabe Aufgabe: Übe das Berechnen von Hohlkörpern. 1. Berechne die gesuchten Größen eines Hohlzylinders in deinem Heft und gib das Ergebnis in cm, cm bzw. cm 3 an.. Berechne das Volumen der folgenden Hohlkörper bei einer Körperhöhe von 15 cm in deinem Heft. 5

8 Zusatzstation C Zusammengesetzte Körper Aufgabe Aufgabe: Berechne Rauminhalt und Oberfläche zusammengesetzter Körper. 1. Berechne Rauminhalt und Oberflächeninhalt der folgenden Doppelzylinder in deinem Heft.. Die folgende Formel kann ebenfalls genutzt werden, um den Oberflächeninhalt eninh von Doppelzylindern zu bestimmen. Setze die Werte aus dem Beispiel in die Formel ein und vergleiche. Warum sind die Ergebnisse gleich? Erkläre. Zusatzstation D Netz und Schrägbild von Zylindern Aufgabe Aufgabe: Übe das Zeichnen en von Netz und Schrägbild bei Zylindern. 1. Zeichne das Schrägbild der folgenden Zylinder in dein Heft. Beachte, dass du nach oben genug Platz lassen musst.. Zeichne das Netz der folgenden Zylinder in dein Heft. Beachte auch hier, dass du nach oben genug Platz lassen musst. 6

9 Station 1 Kreisumfang Material Der Umfang U eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d. Folglich gehört zu einem Kreis mit doppelten Durchmesser der doppelte Umfang, bei dreifachem Durchmesser der dreifache Umfang, usw. Für den Umfang eines Kreises mit Radius r oder Durchmesser d gilt die Formel: U = π d, bzw. mit d = r: U = π r Beispiel: gegeben: d = 4 cm; r = cm gesucht: U 4 cm U = π d U = π 4 cm U = 1,57 cm Bemerkung: π (gesprochen: Pi), ist der 16. Buchstabe des griechischen Alphabets. Tippt man π auf dem Taschenrechner echne ein, so erhält man die Zahl 3,14159 In der Praxis wird aber auch oft nur mit 3,14 gerechnet. 1. a) b) c) d) e) f) g) r 5,5 m 1,6 km d 3,8cm 6,4 m 8,6 cm U 11,94 cm 1,13 mm 5,78 m. a) b) c) 3. a) b) 4 cm 6 m 4 cm 10 m 7

10 Station Kreisfläche Material Der Flächeninhalt A eines Kreises mit Radius r bzw. Durchmesser d berechnet man: A = π r bzw. A = π d 4, da r = d gilt. Beispiel: gegeben: d = 6 cm; r = 3 cm gesucht: A 6 cm A = π r A = π (3 cm) A = 8,7 cm Bemerkung: Ist z.b. A gegeben und r gesucht, so wird die Formel nach r aufgelöst. Um r aufzulösen, wird die Gegenoperation on zum Quadrieren, e das Radizieren (Wurzel ziehen), e angewandt. Es gilt : r = A π 1. U A r d a) 4,5 m b) 1,44 cm c) 0,8 mm d) 55,4 km 4 cm. a) b) 6 m 3 cm 3. a) A = 75 mm b) A = 010,9 m c) A = 3,38 km 8

11 Station 3 Material Wiederholung Rauminhalte von Prismen Den Rauminhalt V eines Prismas berechnet man als das Produkt aus der Grundfläche und der Körperhöhe, daher gilt: V = G h Körper. Prismen werden nach der Eckenzahl benannt, daher gibt es Dreiecks-, Vierecks- (z.b. Rauten-, und Trapezprisma), Fünfecks-, prismen. Quader und Würfel sind besondere Prismen. Beispiel zur Berechnung von Rauminhalten: Würfel: Quader: Dreiecksprisma: Trapezprisma: V = a 3 V = a b c V = g h h V= a + c h h Körper Körper 1. a) a = 30 cm b) a = 1,4 cm c) a =,3 cm; b =43 4,3 cm; c = 6,6 cm. a) b) c) d) 6 cm 1,7 cm 1, cm,5 cm 6 cm 3,5 cm 4, cm 6,8 cm 3. a) Ein Dreiecksprisma hat einen Rauminhalt von 108,31 cm. Die Grundseite ist 14,7 cm lang, die Höhe beträgt 9,9 cm. Bestimme die ekörperhöhe. b) Ein Trapezprisma hat einen Rauminhalt von 53 m. Die Körperhöhe beträgt 3 dm, die Höhe des Prismas 40 dm und die Seite a ist 3,7 m lang. Wie lang ist Seite c? Angabe in m, cm und dm. 4. 8,1 cm 3, cm 5,3 cm 5,5 cm 9

12 Station 4 Oberflächen von Zylindern Material Der Zylinder setzt sich aus der rechteckigen Mantelfläche sowie der Grund-, und Deckfläche (zwei gleich große Kreise) zusammen. Flächeninhalt Mantel: M = U h (Umfang Höhe) Wegen U = π r gilt: M = π r h Grund-, Deckfläche: G = D = π r Oberfläche eines Zylinders: r D O = G + M mit G = π r O = π r + π r h ausgeklammertmert O = π r (r + h) h M r G Beispiel: Berechne den Oberflächeninhalt mit Radius r = 5 cm und h = 8 cm. O = π r (r + h) O = π 5 cm (5 cm + 8 cm) O = 408,41 cm 1. a) r = 3 cm; h = 6 cm b) d = 0,3 cm; h = 1 mm c) r = 0, m; h = 0,075 dm d) d = 78 mm; h = 3,1 cm. a) b) 4,4 cm 4,4 cm 13 cm 13 cm 3. a) b) c) d) r 5,4 cm 11,5 cm m h 10,6 m m M 45,8 cm 313,03 m 196 dm O 106,17 cm 9600 cm 10

13 Station 5 Rauminhalte von Zylindern Material r Um den Rauminhalt (Volumen) eines Zylinders zu berechnen, wird die Grundfläche mit der Höhe multipliziert und es gilt: h V = G h mit G = π r. Die umgestellte Formel für den Radius lautet: r = V π h Beispiel: Für einen Zylinder mit Radius 1,6 cm und Höhe 8 cm soll der Rauminhalt berechnet werden: V = G h V = π 1,6 cm 8 cm V = 64,34 cm 3 1. a) b) c) d) 1,5 m 1, cm 0,75 cm cm 5,1 cm 4,8 cm d = 65 mm h = 1,5 dm. a) V = 140 cm 3 ; h = 10 cm b) V = 318,5 cm 3 ; h = 8,7 cm c) V = 790 dm 3 ; r = 470 cm d) V = 56 cm ;d = 14 mm e) V = 38 dm 3 ; r = 14, cm f) V =,4 l; h = 1,5 cm 3. Eine zylinderförmige Regentonne hat die angegebenen Maße. 45 cm a) Wie viel Liter Wasser enthält die Tonne, wenn sie zu 90 % gefüllt ist? 140 cm b) Nach dem letzten Regenfall haben sich 55 l Wasser in der Tonne angesammelt. Wie hoch steht das Wasser? 11

14 Station 6 Material Sachaufgaben 1. Der Gartenteich von Familie Seibold ist kreisförmig und hat einen Durchmesser von 5,09 m. Er soll mit quadratischen Basaltsteinen (a = 15 cm) umrandet werden. Wie viele Steine werden mindestens benötigt, wenn diese aneinander liegen?. Maria behauptet: Wenn der Umfang eines Kreises derselbe ist wie der Umfang eines Quadrates mit Seitenlänge 5,5 cm, so hat der Kreis den größeren Flächeninhalt! Hat sie Recht? 3. Eine trapezförmige Baugrube von 0 m Länge wird ausgehoben. 9,80 m m 6, m a) Wie viel m 3 Erde sind in der Grube? b) Wie oft muss ein Bagger hin und her fahren, wenn er pro Tour 3,5 m 3 in seiner Schaufel mitnehmen kann? Konservendosen mit einem Durchmesser er von je 1 cm und einer Höhe von je 1 cm sollen eingefärbt werden. Dabei soll jede Dose 10 % schwarze und 5 % graue Farbe enthalten. Der Rest wird weiß gefärbt. Wie viel m schwarze, graue und weiße Farbe wird jeweils benötigt? 5. In einen zylindrischen Kessel passen 1375 l Flüssigkeit. Der Kessel ist zu 70 % gefüllt und die Flüssigkeit steht 3 m hoch. Wie breit ist der Kessel? Zeichne zunächst eine geeignete Skizze und trage die gegebenen und gesuchten Werte ein. 1

15 Zusatzstation A Material Kreisringe Ein Kreisring entsteht, wenn zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien/ Durchmessern, aber gemeinsamen Mittelpunkt gezeichnet werden. Um den Flächeninhalt (graue Fläche) eines Kreisrings zu berechnen, wird die Differenz der Flächeninhalte der beiden Kreise gebildet. D beschreibt den Außenradius (D = R), d den Innenradius (d = r). Beispiel: Gegeben: d =,7 cm; D = 4,1 cm A = π 4 (D d ) d D A = π 4 [(4,1 cm) ) (,7 cm) ] A = 7,48 cm 1. a) d = 4,6 cm; R = 0,345 dm b) r =,7 cm; D = 0,09 m c) d),1 cm 14,6 cm 33 mm 0,7 cm. a) b) 1 mm 4,5 cm 4,5 cm 0,173 m 13

16 Zusatzstation B Hohlkörper Material D d h Das Volumen von ausgehöhlten Körpern berechnet man als Differenz der einzelnen Volumina. Dabei gilt: D = R, d = r Beispiel: Berechne das Volumen und die Oberfläche des Hohlzylinders mit Höhe eh=1 10 cm, Außendurchmesser D = 5 cm und Innendurchmesser d =, cm. V = π h 4 (D d ) oder V = π (R r ) h V = π 10 [(5 cm) (, cm) ] 4 V = 158,34 cm 3 O = ( π R ) + ( π R h) ( π r ) + ( π r h) O = ( π,5 ) + ( π,5 10) ( π 1,1 ) + ( π 1,1 10) O = 57,86 cm Bemerkung: e Die obigen Formeln gelten en für Hohlzylinder. Im Allgemeinen gilt für Hohlkörper die Formel: V = V 1 V 1. a) gegeben: h = 7,4 cm; D = 10,6 cm; r = 4,3 cm gesucht: V, O b) gegeben: eben: h = 1,08 m; R = 7 cm; d = 4, dm gesucht: V, O c) gegeben: en: V =, cm 3 ; R = 6 cm; r = 9,9 cm gesucht: h, O d) gegeben: V = 381,79 cm 3 ; D = 3 cm; d = 1,6 cm gesucht: h, O ) a) b) c) 5, cm,5 cm 1,8 cm 7 cm,5 cm 7,3 cm 8,5 cm 7,5 cm 6,5 cm 14

17 Zusatzstation C Zusammengesetzte Körper Material Das Volumen zusammengesetzter Körper wird aus der Summe der einzelnen Volumina gerechnet, daher gilt: V = V 1 + V Beispiel: 1) weißer Zylinder: r 1 = 6 cm, h 1 = 8 cm ) grauer Zylinder: r = 3 cm, h = 4 cm Um das Volumen eines Doppelzylinders zu berechnen, en, wird das Volumen beider Teile addiert. Für den Oberflächeninhalt l werden die einzelnen n Oberflächen addiert und der doppelte Inhalt der Grenzfläche A Kreis subtrahiert. V 1 = π r 1 h 1 V = π r h O = O 1 + O A Kreis = 603,19 cm V 1 = 904,78 cm 3 V 113,1 O 1 = π r 1 (r 1 + h cm 1 ) = 57,79 = 1 cm 3 V = 1017,88 cm 3 O = π r (r + 131,95 cm h ) = A Kreis = π r = 56,55 cm A Kreis ( 1 reis 1. a) r 1 = 4 cm, h 1 = 5 cm, r = cm, h = 3 cm b) r 1 = 6, cm, h 1 = 1, cm, r =,5 cm, h = 1,6 cm c) d 1 = 13 cm, h 1 = 3,6 cm, d = 15 cm, h = 1 cm. Formel: O = π (r 1 h 1 + r h + r 1 ) 15

18 Zusatzstation D Material Netz und Schrägbild von Zylindern Deckfläche r Deckfläche Höhe h Mantelstrecke Mantel h Radius r Grundfläche d = r r Grundfläche Um ein Schrägbild (linke Grafik) zu zeichnen n gehst du so vor: 1. Zeichne eine waagerechte Gerade (Länge: d) und markiere den Mittelpunkt.. Zeichne im Mittelpunkt eine senkrechte Gerade nach oben und unten (Länge: d ). 3. Verbinde alle vier Eckpunkt zu einem schrägen Kreis. 4. Trage am rechten und linken Eckpunkt die Höhe ein (Höhe: h) )und verbinde. 5. Schritt 1 bis 3 für die Deckfläche wiederholen. 6. Senkrechte und waagerechte e Geraden im Kreis wegradieren und den Zylinder beschriften. Um ein Netz (rechte Grafik) zu zeichnen gehst du so vor: 1. Zeichne einen Kreis mit Durchmesser ser d.. Zeichne an den Kreis ein Rechteck mit Höhe h und Länge d π. 3. Zeichne einen weiteren eren Kreis mit Durchmesser d an das Rechteck. 4. Beschrifte. 1) a) d = 5 cm; h = 4 cm b) d = 3,5 cm; h =,5 cm c) r = 1,5 cm; h = 6 cm ) a) d = 5 cm; h = 4 cm b) d = 7 cm; h = 3 cm c) r = 1 cm; h =,7 cm 16

19 Abschließende Bündelung des Stationenlernens Material Aufgaben zur Wiederholung Wiederholung der Stationen 1 6 sowie der Zusatzstationen A D 1. Bestimme Umfang U und Fläche A der folgenden Figuren. a) b) 1,6 m 14 cm 40 cm 80 cm. 6,8 cm 4,5 cm 8,4 cm a) Wie groß ist der Verschnitt, der beim Ausstanzen stanze dieses Kreises übrig bleibt? (Angabe in m ) b) Wie groß ist der Verschnitt der beim Ausstanzen dieses Hohlkörpers übrig bleibt, wenn der Körper eine Höhe von 113 mm m hat? (Angabe in m 3 ) 3. Trage die fehlenden enden Werte in der gesuchten Einheit in die Tabelle auf dem Materialblatt ein. r d h M O V a),4 cm cm 10,3 cm cm cm cm 3 b) 1,6 cm cm cm 60,4 cm cm cm 3 c) cm 18,4 cm cm cm dm 0,91 dm 3 d) cm m 7,8 cm mm mm 589,1 cm 3 e) cm 10, cm dm dm 333,33 cm 3 l 4. Eine Litfaßsäule hat einen Radius von 60 cm und eine Oberfläche von 15,46 m. a) Wie viel m 3 Luft passen in die Säule? b) Wie teuer ist der Anstrich der Säule, wenn 1 m Farbe 1,10 kostet. 5. Eine mittlere Pizza hat einen Durchmesser von cm, eine große Pizza 34 cm. Wie groß ist der Flächenunterschied und um wie viel Prozent ist die Fläche der zweiten Pizza größer als die Fläche der ersten? 17

20 5. Kreis, Zylinder und Prisma Lösungen Station 1: Kreisumfang 1.. a) b) c) d) e) f) g) r 1,9 cm 5,5 m 0,18 mm 3, m 1,6 km 0,9 m 4,13 cm d 3,8 cm 11 m 0,36 mm 6,4 m,5 km 1,84 m 8,6 cm u 11,94 cm 34,56 m 1,13 mm 0,11 m 7,9 km 5,78 m 5,95 cm a) U = d U = d U = d U = 6 cm U = 4,5 cm U = 3,75 cm U = 18,85 cm U = 14,14 cm U = 11,78 cm 3. a) Die Figur besteht aus einem em Quadrat und einem Halbkreis: Quadrat: U = 3 a U = 3 4 cm U= 1 cm Halbkreis: U = d 4 cm U = U = 6,8 cm Summe Quadrat und Halbkreis: 1 cm + 6,8 cm = 18,8 cm b) Die Figur besteht aus einem Rechteck und zwei gleich großen Halbkreisen (ganzer Kreis). Rechteck: eck: U = b U = 10 m U = 0 m Zwei Halbkreise : U = d U = 6 m U = 18,85 m Summe Rechteck und zwei Halbkreise: 0 m + 37,7 m = 38,85 m 18

21 Station a) : Kreisfläche b) U A r d a) 8,7 m 63,6 m 4,5 m 9 m b) 39,08 cm 11,54 cm 6, cm 1,44 cm d) 1 6,39 km 55,4 km 4, 1 km 8,4 km c) 0,8 mm 34,4 mm 3,31 mm 6,6 mm 1. 3 g h a) Dreieck: A = 4 4 cm 3 cm A = = 6 cm c) d) Kreis: 10 A = r : 8 A = ( cm) : = 6,8 cm Gesamt: Dreieck + Kreis cm 6 + 6,8 cm = 1,8 cm b) 10 ganzer 8 Kreis: A 6 = 8 r 10 : A = (3 cm) : = 14,14 cm kleiner Kreis = kleiner Kreis : A = r 1 A = (1,5 cm) = 707 7,07 cm Gesamt: Differenz ganzer Kreis zwei kleine Halbkreise: 14,14 cm 7,07cm = 7,07 cm 4 Station 3: Grundform einer linearen Funktion kennen a) A = 75 mm b) A = 010,9 m a) fallend: r = f l A g 4 r, = g 5 4,89 ; steigend: mm; g 1, g, g ; 3 r = fl A ; r = 5,3 m b) linear: g 3, d g 4 =, g9,78 5 ; proportional: mm g 1, g d = 50,6 m c) gu 1 : = b = 0; d; U = g30,7 : b = mm 0; g 3 : b = 1; U = g 4 : b d; = U,5; = 158,96 gm 5 : b = 0,5 d) g 1 hat den größten Wert bei m, g 3 den kleinsten c) A = 3,38 km r = f l A ; r = 10,13 km d = 0,6 km U = d; U = 63,65 km 19

22 Station 3: Wiederholung Rauminhalte von Prismen 1. a) V = a 3 b) V = a 3 c) V = a b c V = (30 cm) 3 V = (1,4 cm) 3 V =,3 cm 4,3 cm 6,6 cm V = 7000 cm 3 V = 1906,6 cm 3 V = 65,7 cm 3. a) V = g h h Körper b) V = a h Körper 6 cm 6 cm V = 15 cm V = (3,5 cm) 15 cm V = 70 cm 3 V = 183,75 cm 3 c) V = a + c h h Körper d) V = a b c 4,1 cm + 1,7 cm V = 1, cm 15 cm V = 6,8 cm,5 cm 15cm V = 5, cm 3 V = 55 cm 3 3. Zur Berechnung müssen die beiden Formeln umgestellt werden. a) V = g h h Körper b) V = a + c h h Körper h = Körper V V c = a r g h h h Körper 108,31 cm3 53 m h Körper = c = 3 9,9 cm 3,7 m 4 m,3 m 14,7 cm h Körper = 14,13 cm c = 7,8 m = 78, dm = 78 cm h Kö 4. Die Figur kann in ein Dreieck und ein Trapez zerlegt egt werden. 8,1 cm 3, cm 5,3 cm 5,5 cm Dreieck: Trapez: V = g h h Körper V = a + c h h Körper 8,1 cm 3, cm 5,5 cm + 8,1 cm V = 10 cm V = V = 19,6 cm 3 V = 360,4 cm 3 V Gesamt = V Dreieck + V Trapez V Gesamt = 490 cm 3 5,3 cm 10 cm 0

23 Station 4: Oberflächen von Zylindern 1. a) b) M = r h M = 3 cm 6 cm M = r h M = 0,15 cm 1, cm M = 113,1 cm M = 1,13 cm O = r (r + h) O = r (r + h) O = 3 cm (3 cm + 6 cm) O = 0,15 cm (0,15 cm + 1, cm) O = 169,65 cm O = 1,7 cm c) d) M = r h M = 5,5 cm 0,75 cm M = r h M = 3,9 cm 3,1 cm M = 5,9 cm M = 75,96 cm O = r (r + h) O = r (r + h) O = 5,5 cm (5,5 cm + 0,75 cm) O = 3,9cm (3,9 cm + 3,1 cm) O = 15,98 cm O = 171,53 cm. a) b) M = r h M = 6,5 cm 4,4 cm M = r h M =, cm 13 cm M = 179,7 cm M = 179,7 cm O = r (r + h) O = r (r + h) O = 6,5 cm (6,5 cm + 4,4 cm) O =, cm (, cm + 13 cm) O = 445,16 cm O = 10,11 cm Erklärung: Die Mantelfläche ist gleich, da das Produkt aus r h denselben Wert hat. Die Oberfläche ist verschieden, da die Radien und folglich auch Grund- und Deckflächen unterschiedlich sind. 1

24 3. Zur Berechnung müssen zuerst Formeln umgestellt werden: O = r (r + h) M = r h h = M r r = M r a) b) c) d) r 5,4 cm 4,7 m 11,5 cm 0,4 m h 1,55 cm 10,6 m 3, cm 0,78 m M 45,8 cm 313,03 m 31, cm 196 dm O 609,03 cm 451,8 m 106,17 cm 9600 cm Station 5: Rauminhalte von Zylindern 1. a) b) c) V = G h V = G h V = G h V = (4,8 cm) 1, cm V = (75 cm) 150 cm V = (0,75 cm) 5,1 cm V = 883,06 cm 3 V = ,66 cm 3 V = 9,01 cm 3 d) V = G h V = (3,5 cm) 15 cm V = 497,75 75 cm 3. Die Formel nach h umgestellt lautet: h = V r a) b) c) r = f ll V r = f ll V h h r = f 140 cm llll 3 10 cm r = f 318,5 cm llll 3 8,7 cm h = h = V r cm3 (470 cm) r =,11 cm r = 3,41 cm h = 1,14 cm d) e) f) V h = r h = V r h = 56 cm 3 (0,7 cm) h = cm 3 (14, cm) r = fll V h r = 400 cm flllll 3 1,5 cm h = 36,38 cm h = 59,99 cm r = 7,8 cm

25 3. a) Rechnung: 1. Teil gegeben: r = 45 cm; h = 140 cm gesucht: V V = G h V = (45 cm) 140 cm V = ,5 cm 3 = 890,64 dm 3 = 890,64 l. Teil gegeben: G = 890,64 l; p = 90 % W = 890,64 90 % : 100 % = 801,58 l gesucht: W Antwort: In der Regentonne sind 801,58 l Wasser. b) Rechnung: gegeben: r = 45 cm; V = cm 3 V h = r cm3 h = (45 cm) h = 40,08 cm gesucht: h Antwort: Das Wasser steht 40,08 cm hoch. Station 6: Sachaufgaben 1. Rechnung: U = d U = 5,09 m U = 15,99 9m Anzahl der Steine: 15,99 m : 0,15 m = 106,60 Antwort: Es werden mindestens 107 Steine benötigt.. Rechnung: U Quadrat = 4 a U Kreis = d U = 4 5,5 cm cm = d umstellen nach d U= cm cm d = d = 7 cm 3

26 A Quadrat = a A Kreis = d 4 A = (5,5 cm) A = 7 4 A = 30,5 cm A = 38,48 cm Antwort: Maria hat mit ihrer Behauptung Recht, die Fläche des Kreises ist um 8,3 cm größer als die Fläche des Quadrates. 3. a) Rechnung: V = G h, wobei die Grundform hier ein Trapezprisma ist, daher gilt: A Trapez = a + c 9,80 m + 6,0 m V = m 0 m V = 30 m 3 h Antwort: In der Grube sind 30 m 3 Erde. b) Rechnung: 30 m 3 : 3,5 m 3 = 91,43 Antwort: Der Bagger muss 9 mal hin und her fahren. 4. Rechnung: 1. Teil O = p r (r + h) O = 6 cm (6 cm + 1 cm) O = 678,58 cm. Teil Schwarz: gegeben: G = 678,58 cm, p = 10 %, gesucht: W W = 678,58 10 % : 100 % = 67,58 cm 67,58 cm 50 Dosen = 3379 cm = 0,34 m Grau: gegeben: G = 678,58 cm, p = 5 %, gesucht: W W = 678,58 5 % : 100 % = 169,65 cm 169,65 cm 50 Dosen = 848,5 cm = 0,85 m Weiß: gegeben: G = 678,58 cm, p = 65 %, gesucht W W = 678,58 65 % : 100 % = 441,08 cm 441,08 cm 50 Dosen = 054 cm =,1 m Antwort: Es werden 0,34 m schwarze, 0,85 m graue und,1 m weiße Farbe benötigt. 4

27 5. Skizze:? V = 1375 l? 3 m Rechnung: gegeben: G = 1375 l; p = 70 %; gesucht: W W = % : 100 % = 96,5 l Proportionale Zuordnung (je mehr Liter im Kessel, desto höher) 96,5 l 3 m 1375 l x m ,5 = 4,9 m Die Höhe des Kessels beträgt 4,9 m. r = f ll V h 1375 l fllll 4,9 m r = 31,95 cm; d = 0,639 m Antwort: Der Kessel ist 0,639 m breit. Zusatzstation A: Kreisringe 1. a) A = (D d 4 d ) b) A = 4 (D d ) A = 4 ((6,9 cm) (4,6 cm) ) A = 4 ((9, cm) (5,4 cm) ) A = 0,77 cm A = 43,57 cm c) A = 4 (D d ) d) A = 4 (D d ) A = 4 ((9, cm) (5 cm) ) A = 4 ((3,3 cm) (0,7 cm) ) A = 178,79 cm A = 8,17 cm 5

28 . Rechnest du mit dem Radius, so lautet die Formel: A = (R r ) a) A = (R r ) b) A = (R r ) A = ((9 cm) (4,5 cm) ) A = ((8,65 cm) (6,55 cm) ) A = 190,85 cm A = 100,8 cm Zusatzstation B: Hohlkörper 1. Benutze für a), b) eine der Formeln; V = h 4 (D d ); V = (R r ) h Stelle für c), d) eine der beiden Formeln nach h um. a) V = (R r ) h b) V = (R r ) h V = ((5,3 cm) (4,3 cm) ) 7,4 cm V = ((7 cm) (1 cm) ) 108 cm V = 3,18 cm 3 V = , cm 3 O = (R + r) (R r + h) O = (R + r) (R r + h) O = (5,3 cm + 4,3 cm) (5,3 cm 4,3 cm + 7,4 cm) O = 506,68 cm O = 34381,59 cm c) d) V h = (R r ), cm h= 3 ((6 cm) (9,9 cm) ) h = 1, cm V h = 4 (D d ) h = 381,79 cm 3 4 ((3 cm) (1,6 cm) ) h = 4,7 cm O = (R + r) (R r + h) O = (R + r) (R r + h) O = 3906,81 cm O = 86,56 cm. a) Quader: Zylinder: V 1 = a b c V = r h V 1 = 8,5 cm 7 cm 15 cm V = (,6 cm) 15 cm V 1 = 89,50 cm 3 V = 318,56 cm 3 V = V 1 V V = 89,50 cm 3 318,56 cm 3 = 573,94 cm 3 6

29 b) Zylinder: Rechtecksäule: V 1 = r h V = a c V 1 = (3,75 cm) 15 cm V = (,5 cm) 15 cm V 1 = 66,68 cm 3 V = 93,75 cm 3 V = V 1 V V = 66,68 cm 3 93,75 cm 3 = 568,93 cm 3 c) Quader: Zylinder (5-fach): V 1 = a b c V = 5 r h V 1 = 6,5 cm 7,3 cm 15 cm V = 5 (0,9 cm) 15 cm V 1 = 711,75 cm 3 V = 190,85 cm 3 V = V 1 V V = 711,75 cm 3 190,85 cm 3 = 50,90 cm 3 Zusatzstation C: Zusammengesetzte Körper 1. a) V 1 = r 1 h 1 V = r h O = O 1 + O Kreis 63,9 cm A = V 1 = 51,33 cm 3 V = 37,7 cm 3 O 1 (r 1 + h 1 ) = 6, cm 1 = r V = 89,03 cm 3 O r (r + h ) = 6,83 cm = A Kreis = r = 5,13 cm b) V 1 = 1473,3131 cm V = 31,4 14 cm 3 O 1 = r 1 (r 1 + h 1 ) = 716,79 cm V 1 = r 1 h 1 V = r h O = O 1 + O A Kreis = 741,9 cm V = 1504,73 cm 3 O = r (r + h ) = 64,4 cm A Kreis = r = 39,7 cm c) V 1 = r 1 h 1 V = r h O = O 1 + O A Kreis = 547,59 cm V 1 = 477,83 cm 3 V = 176,71 cm 3 O 1 = r 1 (r 1 + h 1 ) = 41,5 cm V = 654,54 cm 3 O = r (r + h ) = 400,55 cm A Kreis = r 1 = 65,46 cm. Die Werte aus dem Beispiel sind: 1) Weißer Zylinder: r 1 = 6 cm, h 1 = 8 cm ) Grauer Zylinder: r = 3 cm, h = 4 cm 7

30 Eingesetzt in die Formel: O = (r 1 h 1 + r h + r 1 ) O = (6 cm 8 cm + 3 cm 4 cm + (6 cm) ) = 603,19 cm Erklärung: Wird die Klammer mit ausmultipliziert, liefert dies: O = r 1 h 1 + r h + r 1. Die Formel r h beschreibt die Mantelfläche, daher gilt: O = M weiß + M grau + G 1 Das ist richtig, weil die Oberfläche aus zwei Kreisen, einem Kreisring und zwei Zylindermänteln besteht. Zusatzstation D: Netz und Schrägbild Zylinder 1. Vorgehensweise zu a) c) ist die gleiche. Musterbeispiel: 1) ) 3) M M M 4) 5) 6) h M M r. Vorgehensweise zu a) c) ist die gleiche. Musterbeispiel: 1) ) 3) 4) r M h M M M r 8

31 Abschließende Bündelung des Stationenlernens 1. a) Großer Halbkreis: Zwei kleine Halbkreise: U = d : A = r : U = d A = r U = 14 cm : A = (7 cm) : U = 7 cm A = (3,5 cm) U = 1,99 cm A = 76,79 cm U = 1,99 cm A = 38,48 cm U Gesamt: 1,99 cm + 1,99 cm = 43,98 cm; A Gesamt: 76,97 cm + 38,48 cm = 115,45 cm b) Großer Halbkreis: Kleiner Halbkreis: U = d : A = r : U = d : A = r : U = 160 cm : A = (80 cm) : U = 40 cm : A = (0 cm) : U = 51,33 cm A = 10053,1 cm U = 6,83 cm A = 68,3 cm Offener Halbkreis: U = d : A = r : U = 80 cm : A = (40 cm) : U = 15,67 cm A = 513,8 cm U Gesamt : Großer Halbkreis + Offener Halbkreis + Kleiner Halbkreis + 40 cm: 51,33 cm + 15,67 cm + 6,83 cm + 40 cm = 479,83 cm A Gesamt : Großer Halbkreis Offener Halbkreis + Kleiner Halbkreis: 10053,1 cm 513,8 cm + 68,3 cm = 8168,14 cm. a) Dreieck: 1 = g h 8,4 cm 6,8 cm A ; A 1 = ; A = 8,56 cm 1 Kreis: A = r ; A = (,55 cm) ; A 15,90 cm = A = A 1 A ; A = 8,56 cm 15,90 cm ; A = 1,66 cm ; A = 0,0013 m Antwort: Der Verschnitt beträgt t0,0013 m. b) Dreiecksprisma: h 8,4 cm 6,8 cm ecksp sma: V h Körper ; V 1 = 11,3 cm; V 1 = 3,78 cm 3 1 = g Zylinder: V h; V = (,5 cm) 11,3 cm; V = 179,7 cm 3 = r V = V V ; V = 3,78 cm 3 179,7 cm 3 ; V = 143,06 cm 3 ; V = 0,0014 m 3 1 Antwort: Der Verschnitt beträgt 0,00014 m r d h M O V a),4 cm 4,8 cm 10,3 cm 155,3 cm 191,51 cm 186,38 cm 3 b) 1,6 cm 5, cm 7,61 cm 60,4 cm 1600 cm 3795,56 cm 3 c) 9, cm 18,4 cm 3,4 cm 197,7 cm 7,3 dm 0,91 dm 3 d) 4,9 cm 0,098 m 7,8 cm 4014 mm mm 589,1 cm 3 e) 5,1 cm 10, cm 0,53 dm 1,7 dm 333,33 cm 3 0,43 l 9

32 4. a) Rechnung: Durch Umstellen der Formeln (siehe Aufgabe 3)) erhält man h = 3,5 m; M = 13, m und V = 3,96 m 3 Antwort: Es passen 3,96 m 3 Luft in die Säule. b) Rechnung: Für den Anstrich wird die Mantelfläche m = 13, m benötigt. 13, m 1,1 = 14,5 Antwort: Der Anstrich der Säule kostet 14, Rechnung: A = 4 (D d ) ; A = 4 ((34 cm) ( cm) ) ; A = 57,79 cm Antwort: Der Flächenunterschied beträgt 57,79 cm. m. Rechnung: A groß = (34 cm) 4 = 907,9 cm A groß = ( cm) = 380,13 cm 4 gegeben: geben: G = 380,13 cm W = 57,79 cm gesucht: p =? p = 57, % : 380,13 = 138,84 % Antwort: Die Fläche der zweiten Pizza ist um 138,84 % größer. 30

33 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit. 015 Persen en Verlag, Hamburg AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprü ft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag ü bernimmt deshalb keine Gewähr fü r die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH Bestellnr.: 3478DA5