Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

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1 Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. Albert Einstein Heißluftballon: Wann hat er seine größte Höhe erreicht? sales sales line cost line breakeven point Skisprungschanze: Welche Steigung herrscht am Absprungpunkt? fied cost line 0 0 Absatzzahlen: Wann ist der Break-Even-Point erreicht? production capacit Das kennen Sie schon Ableitungen ganzrationaler Funktionen berechnen Tangentensteigungen berechnen Nullstellen berechnen Etremstellen mit dem Vorzeichenwechselkriterium bestimmen Gleichungsssteme lösen k Check-in: Zur Überprüfung, ob Sie die inhaltlichen Voraussetzungen beherrschen, siehe Seite

2 Achterbahn: Wo ist das steilste Gefälle? Umsatz: Zu welchem Zeitpunkt ist das größte Wachstum zu erwarten? Funktionen und Analsis analtische Geometrie und lineare Algebra Stochastik Argumentieren/ Kommunizieren Problemlösen Modellieren Werkzeuge In diesem Kapitel wird die Bedeutung der. Ableitung erklärt. wird die. Ableitung verwendet, um Etrem- und Wendestellen zu berechnen. lernen Sie, ganzrationale Funktionen zu vorgegebenen Bedingungen zu bestimmen. werden Funktionen und Ableitungsfunktionen untersucht, um Etremwertprobleme im Anwendungskontet zu lösen. werden Funktionenscharen untersucht. 7

3 Erkundungen Siehe Lerneinheit, 3 und auf den Seiten Regeln zur Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten Im Folgenden sind die Graphen von vier Funktionen sowie von den zugehörigen ersten und zweiten Ableitungen abgebildet. Die Graphen der vier Funktionen f, f, f 3 und f sind schwarz, die Gr aphen der ersten Ableitungen sind rot und die Graphen der zweiten Ableitungen sind grün. Die Graphen der ersten und zweiten Ableitungen sind jedoch nicht in der gleichen Reihenfolge abgebildet wie die zugehörigen Funktionsgraphen von f, f, f 3 und f. a) Was gehört zusammen? Begründen Sie. Skizzieren Sie den Graphen der dritten Ableitung. f f f f 3 3 A B C D 3 I II 3 III 3 IV f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) > 0 f ( 0 ) > 0 f ( 0 ) > 0 f ( 0 ) < 0 f ( 0 ) < 0 f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) < 0 b) Bilden Sie mithilfe der Bausteine auf den Kärtchen möglichst viele sinnvolle Wenn-Dann- Sätze. Die Bausteine können auch doppelt verwendet werden. Es dürfen auch zwei Bausteine in einem Bedingungssatz verknüpft werden ( Wenn und, dann ). Überprüfen Sie Ihre Sätze mithilfe der Beispiele aus Aufgabenteil a). f hat an der Stelle 0 ein lokales Maimum. f hat an der Stelle 0 ein lokales Minimum. f hat an der Stelle 0 ein lokales Maimum. Der Graph von f steigt an der Stelle 0. f hat an der Stelle 0 ein lokales Minimum. Der Graph von f steigt an der Stelle 0 an. Der Graph von f fällt an der Stelle 0. Der Graph von f fällt an der Stelle 0. 8 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

4 Erkundungen. Eine möglichst große Schachtel basteln Aus einem quadratischen Blatt mit den Maßen 0 cm 0 cm soll eine nach oben offene Schachtel gebastelt werden, die ein möglichst großes Volumen hat. Hierzu werden an den Ecken jeweils Quadrate ausgeschnitten und dann vier Rechtecke nach oben geklappt. Ausprobieren Nehmen Sie jeweils zu zweit ein Blatt Papier und schneiden Sie ein Quadrat mit den Maßen 0 cm 0 cm aus. Überlegen Sie nun, welche Maße die Schachtel haben könnte, damit das Volumen möglichst groß ist. Schneiden Sie die Quadrate entsprechend aus, erstellen Sie die Schachtel und berechnen Sie das Volumen Ihrer Schachtel. Ergebnisse vergleichen Tragen Sie die Ergebnisse, die im Kurs berechnet wurden, an der Tafel in Form einer Wertetabelle (vgl. Fig. ) zusammen. Was vermuten Sie aufgrund der Ergebnisse: Welche Maße müssen die ausgeschnittenen Quadrate haben, damit das Volumen möglichst groß ist? Weitere Berechnungen durchführen Ergänzen Sie Ihre Wertetabelle durch weitere Werte und stellen Sie Ihre Ergebnisse grafisch dar. Stellen Sie eine allgemeine Formel für das Volumen der Schachtel auf, bei dem Quadrate mit der Seitenlänge cm abgeschnitten werden. Berechnen Sie hiermit für welche abgeschnittenen Quadrate das Volumen der Schachtel maimal wird. 3. Funktionsgleichungen suchen Auftrag : Wer findet am schnellsten die Gleichungen? Versuchen Sie zu zweit, innerhalb einer vorgegebenen Zeit möglichst viele der gesuchten Funktionsgleichungen zu finden. Kontrollieren Sie Ihre Lösung mit dem GTR. Das Team, das am Ende in der Summe die höchste Belohnung erreicht, hat gewonnen. Gerade Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(7,5 5,5) und B(3,5,5). Parabel Der Graph einer quadratischen Funktion verläuft durch die Punkte A(0 ), B(6 ) und C( ). Funktion vom Grad 3 Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T(0 0) einen Tiefpunkt und in H( ) einen Hochpunkt. Siehe Lerneinheit 5, Seite 7 Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate cm cm 3 cm Siehe Lerneinheit 6, Seite 30 Volumen Fig. nline-code 7g3cj6 Schieberegler Diese Datei können Sie verwenden, um auf die Ergebnisse zu kommen oder um die Ergebnisse zu überprüfen. Smmetrischer Graph Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist smmetrisch zur -Achse, hat in H( ) einen Hochpunkt und in T(0 3) einen Tiefpunkt. Steile Parabel Der Graph einer quadratischen Funktion hat in T( ) einen Tiefpunkt und verläuft durch den Punkt P( 50). Gesucht ist die Normalform. Wendepunkt im Ursprung Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und in T( ) einen Tiefpunkt. Auftrag a) Vergleichen Sie im Kurs, wie Sie die Funktionsgleichungen gefunden haben. b) Überlegen Sie in Kleingruppen: Würden Sie die gleichen Preisgelder aussetzen oder andere? Begründen Sie. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 9

5 Wiederholung: Ableitung g 3 f h 3 In der Abbildung sehen Sie die Graphen dreier Funktionen. Béla ist verwirrt: Der rote Graph von g und der grüne Graph von h haben an der Stelle = 0 ein Etremum. Nun weiß er nicht, ob der blaue Graph von f zur Ableitungsfunktion von g oder von h gehört. Nutzen Sie weitere charakteristische Punkte, um Béla die Zusammenhänge zwischen den drei Graphen zu erklären. Für h < 0 ist Ø = [ 0 + h; 0 ]. Funktionen und ihre Eigenschaften wurden schon ausführlich betrachtet. Hier sollen zunächst einige wesentliche Begriffe und Regeln der Differenzialrechnung wieder aufgegriffen werden, um sie in den folgenden Lerneinheiten vertiefen und weiterentwickeln zu können. Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient Q Das Änderungsverhalten einer Funktion f auf f einem Intervall Ø = [ 0 ; 0 + h] wird durch den f ( 0 + h) f ( 0 ) Differenzenquotienten f ( 0 + h) f ( 0 ) beschrieben. Man kann damit die Steigung der Sekan- P h h te durch die Punkte P ( 0 f ( 0 ) ) und h Q ( 0 + h f ( 0 + h)) berechnen. Fig. Diese entspricht bei Anwendungen der mittleren Änderungsrate der zugehörigen Größe. lim _ f ( 0 + h) f ( 0 ) h 0 h = f ( 0 ). Sprich: Limes für h gegen null von Limes (lat.): die Grenze Die Potenzregel gilt auch für rationale Eponenten. Nachweis siehe S.. Momentane Änderungsrate und Ableitung Strebt der Differenzenquotient zwischen den Stellen 0 und 0 + h für h 0 gegen einen Grenzwert, dann heißt dieser Ableitung von f an der Stelle 0. Man schreibt f ( 0 ) = lim f ( 0 + h) f ( 0 ). f heißt dann an der Stelle h 0 h 0 differenzierbar. Die Gerade durch den Punkt P ( 0 f ( 0 )) mit Tangente Q der Steigung f ( 0 ) ist die Tangente im Punkt P. f Der Graph von f hat an der Stelle 0 die Steigung f ( 0 ). P f ( 0 + h) f ( 0 ) Bei Anwendungen wird die Ableitung auch als h momentane bzw. lokale Änderungsrate der zugehörigen Größe bezeichnet. 0 + h Fig. Die Ableitungsfunktion f ordnet jeder Stelle 0, an der f differenzierbar ist, f ( 0 ) zu. Die Bestimmung eines Funktionsterms für f mithilfe des Differenzenquotienten ist aufwendig. Mit seiner Hilfe erhält man aber die folgenden Ableitungsregeln: Potenzregel Für eine Funktion f mit f () = n, n * N, gilt: f () = n n. 0 Faktorregel Für eine Funktion mit f () = r g (), r * R, gilt: f () = r g (). Summenregel Für eine Funktion f mit f () = k () + h () gilt: f () = k () + h (). Graphen von Funktionen enthalten oft Abschnitte, in denen mit wachsenden -Werten die zugehörigen Funktionswerte nur zu- oder abnehmen. Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f werden im Folgenden deutlich. 0 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

6 Die Werte von f nehmen für < mit wachsendem zu, ebenso für < < 3 und <. f ist in diesen Intervallen streng monoton wachsend. Für < < und für 3 < < nehmen die Werte von f ab. f ist in diesen Intervallen streng monoton fallend (vgl. Fig. ).,, 3 und sind die Etremstellen von f; dort ändert sich jeweils das Monotonieverhalten von f. Betrachtet man den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion f (vgl. Fig. ) fällt auf: Ist f () > 0 für * Ø, dann ist f streng monoton wachsend in Ø; ist f () < 0 für * Ø, dann ist f streng monoton fallend in Ø (Monotoniesatz). 3 Fig. 3 > 0 = 0 < 0 = 0 > 0 = 0 < 0 = 0 > 0 Fig. Vorsicht: Die Umkehrung des Monotoniesatzes gilt nicht immer (Bsp. f () = 3 ). Hieraus ergibt sich das Vorzeichenwechselkriterium für Etremstellen: So hat f beispielsweise bei ein lokales Maimum, denn f hat an dieser Stelle eine Nullstelle und einen Vorzeichenwechsel (VZW) von + nach. Entsprechend hat f an der Stelle ein lokales Minimum, denn f hat an dieser Stelle eine Nullstelle und einen Vorzeichenwechsel von nach f(t) f Tangente Beispiel Interpretation einer Ableitung Ein Wagen bremst ab. t ist die Zeit in Sekunden, f (t) gibt die zurückgelegten Meter an. a) Bestimmen Sie mithilfe des Graphen (vgl. Fig. 3) die mittlere Änderungsrate von f auf dem Intervall [; 3] und die momentane Änderungsrate von f für t =. b) Interpretieren Sie die Aussagen f () = 6 und f () =. º º Lösung: a) Am Graphen kann man ablesen: f (3) = 8 und f () = 0. f (3) f () m_ m_ Also ist (3 ) s = s. Um die momentane Änderungsrate an der Stelle t = zu bestimmen, benötigt man f (). Durch Anlegen der Tangente erhält man näherungsweise: f () 8. b) f () = 6 bedeutet, dass der Wagen nach Sekunden 6 Meter zurückgelegt hat. f () = bedeutet, dass der Wagen bei Sekunde eine Geschwindigkeit von m_ s hat. Beispiel Die Ableitung bestimmen und ihren Graphen skizzieren a) Gegeben ist der Graph einer Funktion f (Fig. ). Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion und erläutern Sie Ihr Vorgehen. b) d Die Funktionsgleichung von f lautet f () = 3 3. Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion f mithilfe geeigneter Ableitungsregeln. Kontrollieren Sie mithilfe des GTR, ob der Graph von f dem von Ihnen skizzierten Graphen aus a) entspricht. º º Lösung: a) Die Steigung von f ist für < 0,5 sowie für > 0,5 positiv; der Graph von f muss also in diesen beiden Intervallen oberhalb der -Achse verlaufen. Zwischen 0,5 und 0,5 verläuft der Graph der Ableitungsfunktion f unterhalb der -Achse, weil die Steigung von f in diesem Intervall negativ ist. Bei = 0 beträgt die Steigung des Graphen von f etwa 3. Eine Skizze mit einem möglichen Verlauf des Graphen von f zeigt Fig. 5. b) f () = 3 (Summen-, Potenz- und Faktorregel). Der GTR zeigt den Graphen von f (Fig. 6). Fig t 6 Fig. 3 Fig. 3 Fig. 5 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

7 Beispiel 3 Etrem- und Sattelpunkte bestimmen a) Gegeben ist die Funktion f mit f () = 0, Bestimmen Sie Etrem- und Sattelpunkte von f. b) d Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR. º º Lösung:. Ableitung und ihre Nullstellen berechnen. f () = = 0 Notwendige Bedingung: f () = = 0 Ausklammern ( + 3) = 0 Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also = 0 oder + 3 = 0, das heißt = 0 oder =,5. Mögliche Etremstellen von f sind daher =,5 und = 0.. Hinreichende Bedingung: f () = 0 und VZW von f an den Nullstellen und. Um diese Bedingung zu prüfen, genügt es bei ganzrationalen Funktionen, einen Wert aus dem jeweiligen Intervall in die erste Ableitung einzusetzen. Intervall <,5,5 < < 0 > 0 z. B. 0,5 0 f ( 0 ) < 0 0 > > 0 Steigung Graph von f An der Stelle =,5 liegt ein Vorzeichenwechsel von nach + vor, die Funktion besitzt also in T (,5 f (,5)) einen Tiefpunkt. Da an der Stelle = 0 kein VZW vorliegt, ist der Punkt S (0 f (0)) ein Sattelpunkt. Das Vorzeichen von f lässt dich auch direkt aus dem Funktionsterm von f folgern: VZ des. Faktors VZ des. Faktors: + 3 VZ des Produkts: ( + 3) = f () <,5 > 0 < 0 < 0,5 < < 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 >0 > Koordinaten bestimmen f (,5) = 0,5 (,5) + (,5) 3 + = 0,565, also ist T (,5 0,565) ein Tiefpunkt von f. f (0) =, also ist S (0 ) ein Sattelpunkt von f. b) siehe Fig.. Fig. 0 Weitere Aufgaben zum Üben finden Sie auf Seite (Aufgabe a und Aufgabe ). Aufgaben a) f (t) (t in Jahren, f (t) in Millionen) beschreibt die Zahl der Einwohner in Deutschland seit dem Jahr 995. f (6) f (5,5) Interpretieren Sie f (5) = 8,0 und _ 6 5,5 0,. Geben Sie jeweils die Einheit an. b) T (t) (t in Minuten, T (t) in C) beschreibt die Temperatur einer Schokolade bei ihrer Herstellung ab dem Beobachtungsbeginn t = 0. Was können Sie ausgehend von den folgenden Angaben über T (5) T (3) den Vorgang des Temperierens sagen? T () = 5; T (0) = 3; 5 3 =. c) v (t) (t in Sekunden, v (t) in Metern pro Sekunde) beschreibt die Geschwindigkeit eines Körpers ab dem Startzeitpunkt t = 0. Interpretieren Sie v (5) = 5 und v (8) = 6. Geben Sie jeweils die Einheiten an. Was bedeutet v (t)? Fig. Gegeben ist die Funktion f mit f () = 0,5 ( ) ( + ) + sowie ihr Graph (Fig. ). a) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f und erläutern Sie Ihr Vorgehen. b) d Bestimmen Sie den Term von f rechnerisch. Kontrollieren Sie mit dem GTR, ob der Graph von f dem von Ihnen skizzierten Graph aus a) entspricht. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

8 3 a) rdnen Sie jedem Funktionsgraphen f den Graphen seiner Ableitungsfunktion f zu. (A) (B) (C) (D) f () = cos () f () = ( + ) + f () = _ _ 3 f () = _ 5 _ () () f (3) () f f f b) d Bestimmen Sie die Gleichung von f rechnerisch und kontrollieren Sie mit dem GTR, ob Sie die Zuordnung richtig vorgenommen haben. An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f mit f () = + a) die Steigung m =, b) dieselbe Steigung wie der Graph von g mit g () = 3? 5 Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f () = 6 + 6,5, g () = und h () = 5 +. a) Bilden Sie jeweils die erste Ableitung. b) Bestimmen Sie rechnerisch die Etrempunkte der Graphen von f, g bzw. h. Skizzieren Sie anschließend den groben Verlauf der Graphen. c) d Überprüfen Sie Ihre Lösungen mit dem GTR. 6 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion g einer Funktion g (Fig. ). Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) g hat ein Etremum bei = 0. b) g hat einen Sattelpunkt bei =. c) g hat im Bereich - < < 3 zwei Etremstellen. d) g ist für < < 3 monoton steigend. e) Der Graph von g hat auf dem Intervall [ ; 3] einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. 7 Die Temperaturen an einem Frühlingstag lassen sich für 0 < t < (in Stunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f (t) = 0,0 t 3 + 0,3 t,08 t + 6,8 (in C) darstellen. a) An welcher Stelle hat die Tangente an den Graphen von f die Steigung? Was bedeutet dies im angegebenen Sachzusammenhang? b) Um welche Uhrzeit wird die Höchst- bzw. die Tiefsttemperatur des Tages erreicht? 3 3 g 3 Fig. 0 Eine weitere Aufgabe zum Üben finden Sie auf Seite (Aufgabe b, c). I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 3

9 8 Geben Sie den Term einer Funktion f an, für den gilt: a) Der Graph von f hat überall eine positive Steigung. b) Die Ableitung von f wird an genau einer Stelle 0. Zeit zu überprüfen 9 Ein Herd wird zum Backen vorgeheizt, bis er die vorgesehene Endtemperatur erreicht hat. Die Temperatur im Herd (in C) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) kann durch eine Funktion T beschrieben werden. a) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von T. b) Welches Vorzeichen hat T? c) Interpretieren Sie die Aussagen T (5) = 80 und T (0) = 9. 0 Gegeben ist die Funktion f mit f () = _ 8 ( + 3) ( ) sowie ihr Graph. a) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion und erläutern Sie Ihr Vorgehen. b) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Ableitungsfunktion mithilfe geeigneter Ableitungsregeln. Kontrollieren Sie mithilfe des GTR, ob der Graph von f dem von Ihnen skizzierten Graphen aus a) entspricht. 3 f 3 5 Fig. Gegeben ist die Funktion f mit f () = _ a) Bestimmen Sie f (). b) Bestimmen Sie die Punkte, in welchen der Graph von f die Steigung m = 3 hat. c) Geben Sie alle an, für die der Graph von f eine positive Steigung hat. Die Funktionen f und g mit g () = f () + c; c * R haben die gleiche Ableitung. Wie liegen die Graphen der beiden Funktionen zueinander? 3 Gilt immer gilt nie es kommt darauf an Entscheiden Sie sich bei jeder Aussage für eine der ptionen und begründen Sie Ihre Wahl. a) Wenn f auf einem Intervall Ø streng monoton fallend ist, ist f () < 0 für aus Ø. b) Eine Funktion zweiten Grades hat genau ein Etremum. c) Eine Funktion dritten Grades hat genau zwei Etremstellen. d) Wenn die Funktion f an einer Stelle eine waagerechte Tangente hat, hat sie dort ein Etremum. e) f ist eine ganzrationale Funktion. Der Grad von f ist um geringer als der von f. f) Die Anzahl der Etremstellen einer Funktion entspricht der Anzahl der Nullstellen ihrer Ableitung. d Die Temperatur T (in C) von Lebensmitteln, welche in einen kühlen Lagerraum gestellt å0 werden, wird durch die Funktion T mit T (t) = ; t º 0 (t in Stunden) modelliert. t + t + 5 a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate während der ersten beiden Stunden. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. b) Bestimmen Sie mit dem GTR die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t =. Interpretieren Sie auch dieses Ergebnis. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 03.

10 5 d Bläst man einen kugelförmigen Luftballon mit konstantem Luftstrom auf, so wächst der Radius des Ballons zu Beginn schneller als am Ende. Die Funktion r (V) gibt ungefähr die Abhängigkeit des Radius (in Metern) vom Volumen (in Litern) an: r (V) = _ 3 V. π a) Zeichnen Sie die Graphen von r und r mithilfe des GTR. b) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate für r im Intervall [0,5; ] und [;,5]. Interpretieren Sie das Ergebnis. c) Skizzieren Sie mithilfe des GTR die Tangente an der Stelle V 0 = und lesen Sie daraus die momentane Änderungsrate an dieser Stelle ab. 6 d In einer schwäbischen Kleinstadt findet jährlich ein Rennen mit getunten Bobbcars statt. Ein vergleichbarer Verlauf des Rennens kann näherungsweise durch die Funktion f mit f (t) = 0,0003 t 0,0 t 3 + 0,605 t angegeben werden, wobei 0 t 0 die Zeit in Sekunden ist, f (t) die zurückgelegten Meter. a) Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Bobbcar seine Höchstgeschwindigkeit? b) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit in der zweiten Hälfte des Rennens. Geben Sie sie in km_ h an. c) Betrachten Sie den Graphen der Ableitungsfunktion. Nach wie viel Metern hat die Strecke vermutlich ihre schärfste Kurve? 7 Der schwarz gezeichnete Graph ist vorgegeben. Der rote Graph soll den Graphen der ersten Ableitung, der blaue Graph den der zweiten Ableitung darstellen. Untersuchen Sie, wo dies zutrifft bzw. nicht zutrifft. a) b) c) _ V Kugel = 3 π r3 $ Eine weitere Aufgabe zum Vertiefen finden Sie auf Seite (Aufgabe 8). 8 In Fig. ist jeweils ein Graph der ersten Ableitungsfunktion f gegeben. a) Bestimmen Sie jeweils näherungsweise die Etremstellen von f im dargestellten Bereich mithilfe von Fig.. Handelt es sich um Hoch- oder Tiefpunkte? b) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f. () () (3) Auf die Einheit kommt es an von der Funktion zur Ableitung In vielen Sachzusammenhängen wird einer Zeit-, Längen- oder Höhenangabe eine andere Größe zugeordnet. Aus diesen Zuordnungen ergibt sich auch die Einheit der jeweiligen Änderungsrate. Sichten Sie verschiedene Kontetaufgaben und erstellen Sie eine Tabelle, die die verschiedenen Einheiten von Funktion und Ableitungsfunktion zuordnet. Fig. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 5

11 Die Bedeutung der zweiten Ableitung Rainer behauptet: Ich kann an der. Ableitung erkennen, ob eine Parabel vom Tp f () = a nach oben oder nach unten geöffnet ist. Untersuchen Sie, ob er Recht hat, und beschreiben Sie die Zusammenhänge. Geometrisch entspricht die erste Ableitung der Steigung des Funktionsgraphen. Auch für die zweite Ableitung gibt es eine geometrische Interpretation. f () > 0 f wächst streng monoton. Der Graph von f ist linksgekrümmt. f () < 0 f nimmt streng monoton ab. Der Graph von f ist rechtsgekrümmt. Der in Fig. dargestellte Teil des Graphen einer differenzierbaren Funktion f verläuft für < 0 linksgekrümmt. (Wenn der Graph eine Straße von oben betrachtet darstellen würde und man diese Straße mit einem Auto von links nach rechts entlang führe, dann würde man das Lenkrad in diesem Abschnitt ( < 0 ) nach links drehen.) In diesem Intervall werden die Tangentensteigungen und damit die Werte f () der ersten Ableitung von f mit zunehmenden -Werten größer. Für > 0 verläuft der Graph rechtsgekrümmt, die Werte f () der Ableitung von f werden mit zunehmenden -Werten kleiner. (vgl. Fig., Graph von f ) Das Krümmungsverhalten des Graphen von f lässt sich offensichtlich mithilfe des Änderungsverhaltens der ersten Ableitung, also mithilfe der zweiten Ableitung, bestimmen: Fig. f () > 0 (positiv) linksgekrümmt Die Funktion f ist auf einem Intervall Ø definiert und sowohl die Funktion f als auch ihre erste Ableitung f sind differenzierbar. Wenn im Intervall Ø f () > 0 gilt, dann ist der Graph von f in Ø linksgekrümmt. Wenn im Intervall Ø f () < 0 gilt, dann ist der Graph von f in Ø rechtsgekrümmt. f () < 0 (negativ) rechtsgekrümmt Damit der Graph einer Funktion f in einem Intervall linksgekrümmt ist, muss die zweite Ableitung aber nicht im gesamten Intervall positiv sein. Folgendes Beispiel zeigt, dass der Graph auch linksgekrümmt in einem Intervall sein kann, wenn es Stellen gibt, wo die zweite Ableitung null wird. Der Graph der Funktion f mit f () = ist linksgekrümmt, da die Ableitung f mit f () = 3 streng monoton zunehmend ist. f mit f () = ist aber nicht für alle aus R positiv, denn es gilt: f (0) = 0. 6 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

12 Beispiel Intervalle mit Links- und Rechtskrümmung Bestimmen Sie die Intervalle, auf denen der Graph der Funktion f mit f () = linksbzw. rechtsgekrümmt ist. Kontrollieren Sie mit dem GTR Ihre Ergebnisse. º º Lösung: f () = 3 6 und f () = 6 6 = 6 ( ). Es gilt: f () < 0 für < ; der Graph von f ist rechtsgekrümmt für < ; f () > 0 für > ; der Graph von f ist linksgekrümmt für >. In Fig. sieht man die Graphen von f (blau), f (rot) bzw. f (schwarz). Fig. Aufgaben Lesen Sie die Intervalle ab, in denen der Graph von f linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt ist. a) b) c) f f f Fig. zeigt den Graphen einer Funktion f. a) Geben Sie mithilfe der Stellen bis 7 die Intervalle an, in denen der Graph von f linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt ist. b) Der in Fig. dargestellte Graph der Funktion f besitzt die Gleichung f () = _ 9_ 8. Überprüfen Sie Teil a) rechnerisch. 3 Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten der Graphen von f. a) f () = + + b) f () = 3 c) f () = d) f () = + e) f () = 6 f) f () = _ + 3 g) f () = _ h) f () = _ _ + 3_ 3 i) f () = ( + ) ( ) 3 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Beschreiben Sie, welche Vorzeichen die erste und zweite Ableitung im dargestellten Bereich haben. Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f und f. a) b) c) d) f f Zeit zu überprüfen f 5 a) In welchen Intervallen ist der Graph in Fig. 3 links- bzw. rechtsgekrümmt? b) Zu dem Graphen der Funktion f in Fig. 3 gehört die Gleichung f () = _ _ 3. Überprüfen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f und vergleichen Sie Ihre Lösung mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a). f Fig. Kontrollieren Sie mit dem GTR, ob Ihre Ergebnisse stimmen können. 0 Eine weitere Aufgabe zum Üben befindet sich auf Seite (Aufgabe 3). Fig. 3 Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 03. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 7

13 6 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob f (), f () und f () in den markierten Punkten positiv, negativ oder null sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) f b) F c) f C f C D D B B E C A A A B 7 In Fig. ist der Graph der Funktion f gegeben. An welchen der markierten Stellen ist a) f () am größten bzw. am kleinsten, b) f () am größten bzw. am kleinsten, c) f () > 0 bzw. f () < 0? Begründen Sie jeweils. f 8 Skizzieren Sie nur mithilfe Ihres Wissens über Potenzfunktionen und Transformationen die Graphen der Funktionen f und g mit f () = ( + ) 3 und g () = ( ) +. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten der Graphen von f und g. 9 Die folgenden Aussagen sind alle falsch. Finden Sie geeignete Gegenbeispiele, um die Aussagen zu widerlegen. a) Wenn f streng monoton zunehmend ist, dann ist auch f streng monoton zunehmend. b) Wenn der Graph von f rechtsgekrümmt in Ø ist, dann gilt für alle aus Ø: f () < 0. c) Wenn f ( 0 ) = 0 ist, dann gilt: f ( 0 ) > 0 oder f ( 0 ) < 0. 0 Gilt immer gilt nie es kommt darauf an Entscheiden Sie sich bei jeder Aussage für eine der ptionen und begründen Sie Ihre Wahl. a) Wenn der Graph von g rechtsgekrümmt ist und der Graph von f linksgekrümmt ist, dann ist der Graph der Funktion h mit h () = g () + f () weder links- noch rechtsgekrümmt. b) Wenn der Graph von g rechtsgekrümmt ist und der Graph von f auch rechtsgekrümmt ist, dann ist der Graph von h mit h () = g () f () linksgekrümmt. c) Wenn der Graph von g linksgekrümmt ist, dann ist der Graph der Funktion h mit h () = g () ebenfalls linksgekrümmt. Zeit zu wiederholen Lineare Gleichungen lösen Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) + 5 = 3 b) _ + 3 = 3 + c) 3_ 5 = 0, 0,7 d) ( + ) = e) (3 ) = 5 f) _ ( _ _ 3 ) = 0,5 Quadratische Gleichungen lösen Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) = 0 b) 0,5 +,5 5 = 0 c) 5 = + d) + + = 0 e) = 0 f) _ 3 + _ 6 _ 6 = 0 Fig. 8 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen zu Zeit zu wiederholen Seite 03.

14 3 Kriterien für Etremstellen Die zu den abgebildeten Graphen passenden Funktionen haben bei = ein lokales Minimum bzw. ein lokales Maimum. Skizzieren Sie jeweils die Graphen der zugehörigen ersten und zweiten Ableitung in der Nähe von = und beschreiben Sie die Unterschiede zwischen den Graphen von f bzw. f. Erklären Sie, warum sich die zweiten Ableitungen der beiden Funktionen bei = unterscheiden müssen. Prüfen Sie mit dem GTR an weiteren Beispielen, ob dort die gleichen Zusammenhänge zu beobachten sind Um Hoch- und Tiefpunkte des Graphen einer Funktion f zu bestimmen, wurde bisher das Vorzeichenwechselkriterium angewendet. Die erste Ableitung f einer Funktion f wurde auf einen Vorzeichenwechsel an ihren Nullstellen überprüft. Die Anwendung dieses Kriteriums ist oft umständlich. Im Folgenden wird nun ein weiteres Kriterium zur Bestimmung von Etremstellen erarbeitet. In Fig. erkennt man: Ist f ( 0 ) = 0 und der Graph von f in der Umgebung von 0 rechtsgekrümmt, so hat f an der Stelle 0 ein lokales Maimum. Ist f ( ) = 0 und der Graph von f in der Umgebung von linksgekrümmt, so hat f an der Stelle ein lokales Minimum. Da das Krümmungsverhalten mittels der zweiten Ableitung bestimmt werden kann, hat man ein zweites Kriterium zur Bestimmung von Etremstellen gefunden. Hochpunkt f ( 0 ) = 0 f () < 0 0 f () > 0 f ( ) = 0 f () < 0 f () > 0 f ( ) = 0 Tiefpunkt Fig. Notwendige Bedingung für Etremstellen: f () = 0 Hinreichende Bedingung für Etremstellen: f () = 0 und f () 0 Hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Etremstellen mithilfe der zweiten Ableitung Die Funktion f ist auf einem Intervall Ø definiert und sowohl die Funktion f als auch ihre erste Ableitung f sind differenzierbar. Wenn f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) < 0 ist, dann hat f an der Stelle 0 ein lokales Maimum f ( 0 ). Wenn f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) > 0 ist, dann hat f an der Stelle 0 ein lokales Minimum f ( 0 ). Gilt f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) = 0, so wendet man das Vorzeichenwechselkriterium an: Wenn f an der Stelle 0 einen VZW von + nach hat, dann hat f an der Stelle 0 ein lokales Maimum f ( 0 ). Wenn f an der Stelle 0 einen VZW von nach + hat, dann hat f an der Stelle 0 ein lokales Minimum f ( 0 ). Wenn f an der Stelle 0 keinen VZW hat, dann hat f an der Stelle 0 einen Sattelpunkt S ( 0 f ( 0 )). Fig. f () =, T (0 0) f (0) = 0 ist erfüllt f (0) 0 ist nicht erfüllt, VZW-Kriterium ist anwendbar. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 9

15 Um das Vorzeichen der Ableitung zwischen den Nullstellen der Ableitung zu bestimmen, reicht es bei ganzrationalen Funktionen einen -Wert in den jeweiligen Intervallen zu betrachten. Beispiel Bestimmen aller Etremwerte Untersuchen Sie die Funktion f mit f () = _ 8 _ auf Etremwerte. º º Lösung: f () = _ 3 ; f () = 3_. f () = 0 liefert _ ( ) = 0. Somit sind = und = 0 mögliche Etremstellen. Untersuchung für = : Es ist f ( ) = < 0; somit liegt bei H ( f ( )) ein Hochpunkt vor. -Koordinate von H bestimmen: f ( ) = _ 8 ( ) _ 3 ( )3 + = + 8_ 3 + = 5_ 3 = _ 3. Also ist H ( _ 3 ) ein Hochpunkt des Graphen von f. Untersuchung für = 0: Da f (0) = 0 ist, wird f auf Vorzeichenwechsel an der Stelle = 0 untersucht: < < 0 = 0 > 0 z. B. 0 0 f ( 0 ) 0,5 < 0 0,5 < 0 Steigung Graph von f Da kein VZW vorliegt, ist der Punkt S (0 f (0)) bzw. S (0 ) ein Sattelpunkt. Aufgaben Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen der Funktion f mithilfe der ersten und zweiten Ableitung. a) f () = 3 3 b) f () = 3 c) f () = _ 3 3 3_ + d) f () = e) f () = _ f) f () = _ Eine weitere Aufgabe zum Üben befindete sich auf Seite (Aufgabe ). Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f sowie die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f mithilfe der ersten und zweiten Ableitung. Skizzieren Sie anschließend den Graphen von f mithilfe dieser Information. Kontrollieren Sie Ihre Lösungen mit dem GTR. a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = _ 3 _ 3 3 e) f () = ( ) 3 f) f () = ( ) g) f () = ( ) ( ) h) f () = ( ) i) f () = ( + 6) ( ),5 3 Nach starken Regenfällen im Gebirge steigt der Wasserspiegel in einem Stausee an. Die in den ersten Stunden nach den Regenfällen festgestellte Zuflussgeschwindigkeit kann näherungsweise durch die Funktion f mit f (t) = 0,5 t 3 t + t beschrieben werden _ (t in Stunden, f (t) in m3 h ). Berechnen Sie die Nullstellen von f sowie die Koordinaten der Etrempunkte von f und erläutern Sie die Bedeutung der Ergebnisse.,0 0,5 0,5 f 3 Fig. Gegeben ist der Graph einer Ableitungsfunktion f (vgl. Fig. ). Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Begründen Sie. a) f hat im abgebildeten Bereich zwei Etremstellen. b) Die zweite Ableitung von f hat zwei Nullstellen. c) Es gilt f (0) > 0. d) Der Graph von f hat an der Stelle = 0 einen Hochpunkt. 0 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

16 5 Der Graph der Funktion f ist im Intervall Ø = [ 3; 3] gezeichnet. Was lässt sich über das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung in Ø aussagen? Begründen Sie. a) b) c) f Zeit zu überprüfen 6 Bestimmen Sie die Hoch- bzw. Tiefpunkte des Graphen der Funktion f. a) f () = b) f () = c) f () = ( ) f 7 Die Funktion f mit f (t) = 0,5 t 3 3 t + 9 t ( 0 t 6; t in Monaten; f (t) in 0 6 _ m3 Monat ) beschreibt näherungsweise die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Fluss. a) Berechnen Sie die Durchflussgeschwindigkeit für t = 0 und für t = 6. b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und erklären Sie die Bedeutung der Nullstellen im Sachzusammenhang. c) Berechnen Sie mithilfe der ersten und zweiten Ableitung die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f und erklären Sie die Bedeutung der Koordinaten im Sachzusammenhang. f 8 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f einer Funktion f (Fig. ). a) Welche Aussagen können Sie über die f Funktion f hinsichtlich der Etremstellen und des Krümmungsverhaltens des Graphen von f machen? Fig. b) Skizzieren Sie den Graphen von f und einen möglichen Graphen von f. $ Eine Aufgabe zum Vertiefen befindet sich auf Seite (Aufgabe 9). 9 Gegeben sind die Funktionen f mit f () = 0,5 3 und g mit g () = 0, 5 0,75. a) Zeigen Sie, dass die. Ableitungen von f und g die gleichen Nullstellen haben. b) Untersuchen Sie mithilfe der. Ableitung und mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums, ob die Graphen Hoch- oder Tiefpunkte besitzen und skizzieren Sie den Verlauf der Graphen. c) d Kontrollieren Sie die Ergebnisse aus a) und b) mit dem GTR. 0 a) Geben Sie eine ganzrationale Funktion vom Grad an, die genau ein lokales Maimum besitzt. b) Geben Sie zwei ganzrationale Funktionen vom Grad mit genau einer Etremstelle an. c) Geben Sie eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 an, die keine Etremstellen besitzt. d) Geben Sie eine Funktion an, die unendlich viele Etremstellen besitzt. e) d Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse aus a) bis d) mit dem GTR. Begründen Sie, dass für jede ganzrationale Funktion die folgende Aussage gilt. a) Ist f vom Grad, so hat f genau eine Etremstelle. b) Ist der Grad von f gerade und nicht null, so hat f mindestens eine Etremstelle. c) Wenn f drei verschiedene Etremstellen hat, so ist der Grad von f mindestens. d) Die Anzahl der Etremstellen ist gerade, wenn der Grad der Funktion ungerade ist, und ungerade, wenn der Grad der Funktion gerade ist. Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 03. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

17 Gilt immer gilt nie es kommt darauf an Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen immer zutreffen, nie zutreffen oder unter bestimmten Bedingungen zutreffen. Geben Sie diese Bedingungen ggf. an. a) Die zweite Ableitung einer nach oben geöffneten Parabel ist positiv. b) Wenn der Graph einer ganzrationalen Funktion zwei Etremstellen hat, dann ändert sich das Krümmungsverhalten zweimal. c) Wenn f () = 0 und f () = 3 ist, dann hat der Graph einen Tiefpunkt mit den Koordinaten T ( 3 ). d) Besitzt eine ganzrationale Funktion vierten Grades genau zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt, so ist der Graph ihrer zweiten Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel. e) Wenn bei einer ganzrationalen Funktion für alle -Werte f () > 0 gilt, dann kann der zugehörige Graph keine Hochpunkte haben. f) Wenn f (0) = 0 und f (0) = 0 gilt, dann hat der Graph von f bei = 0 einen Sattelpunkt. 3 An einer Wetterstation wurden an einem Tag folgende Temperaturen gemessen: Uhrzeit 0:00 3:00 6:00 9:00 :00 5:00 8:00 Temperatur in C 5 0, Die Funktion f mit f () = 0, ,37,7 + 5 soll für 0 8 verwendet werden, um näherungsweise die Entwicklung der Temperatur in C an diesem Tag von 0 bis 8 Uhr zu beschreiben. a) Untersuchen Sie, um wie viel Grad die Werte der Modellfunktion jeweils von den Messwerten abweichen. b) Stellen Sie aufgrund der Messwerte in der Tabelle eine Vermutung auf, wann es an diesem Tag am wärmsten bzw. am kältesten war. Welche maimale bzw. minimale Temperatur wurde vermutlich erreicht? c) Berechnen Sie mithilfe der ersten und zweiten Ableitung der Funktion f die höchste und niedrigste Temperatur in der Zeit von 0 Uhr bis 8 Uhr an diesem Tag. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b). d) Welche Temperatur könnte an diesem Tag um Uhr bzw. Uhr erreicht werden? Welche Temperatur liefert die Modellfunktion f für diese Zeitpunkte? e) Bewerten Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) bis d), ob es sinnvoll ist den Temperaturverlauf an diesem Tag mit der Funktion f zu untersuchen. Zeit zu wiederholen Nullstellen berechnen Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. a) f () = 3_ + b) f () = 8 + c) f () = ( + ) (3 6) d) f () = 3 e) f () = ( 5 + ) f) f () = Schnittpunkte berechnen Überprüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g sich schneiden und berechnen Sie ggf. den Schnittpunkt bzw. die Schnittpunkte. a) f () = + ; g () = _ 3 _ 3 b) f () = + ; g () = 3 c) f () = + 5 ; g () = 6,5 + 0 d) f () = _ 3 + _ ; g () = 7_ 6 _ 3 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen zu Zeit zu wiederholen Seite 03.

18 Kriterien für Wendestellen Fährt man die abgebildete Küstenstraße mit dem Motorrad entlang, so befindet man sich abwechselnd in einer Links- beziehungsweise Rechtskurve. Kann man anhand des Streckenverlaufs voraussagen, wann das Motorrad nach links bzw. nach rechts oder gar nicht geneigt sein wird? Außer Null- und Etremstellen haben Funktionen oft weitere charakteristische Stellen, z. B. solche, an denen sich das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion ändert. Der blaue Graph in Fig. wechselt bei P von einer Rechts- in eine Linkskurve, der rote Graph in Fig. bei P von einer Links- in eine Rechtskurve. Die Funktion f ist auf einem Intervall Ø definiert, zweimal differenzierbar und 0 ist im Intervall Ø. Eine Stelle 0, bei der der Graph von f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekehrt, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt W ( 0 f ( 0 )) heißt Wendepunkt des zugehörigen Graphen. Fig. Die Graphen in Fig. legen für die Stelle 0 = nahe: Wendestellen von f entsprechen den Etremstellen von f. Die Bedingungen für Etremstellen von f lassen sich übertragen auf Etremstellen von f und damit auf Wendestellen von f. f f f Fig. Notwendige Bedingung für Wendestellen: f () = 0 Bestimmen von Wendepunkten:. Notwendige Bedingung: Lösungen der Gleichung f () = 0 bestimmen, um mögliche Wendestellen zu finden.. Hinreichende Bedingungen: i) Wenn f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) 0 ist, dann ist 0 eine Wendestelle von f. Falls f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) = 0 gilt, wendet man das VZW-Kriterium für Wendestellen an: ii) Wenn f ( 0 ) = 0 ist und f an der Stelle 0 einen VZW hat, dann hat f an der Stelle 0 eine Wendestelle. 3. -Koordinaten der Wendepunkte: Einsetzen der Wendestellen in f (). Hinreichende Bedingung für Wendestellen: f () = 0 und f () 0 Die Tangente im Wendepunkt wie in P (Fig. 3) heißt Wendetangente. Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente wie in P (Fig. 3) heißt Sattelpunkt. Fig. 3 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 3

19 Die größte momentane Änderungsrate wird dort erreicht, wo der Graph am steilsten ansteigt. Dies entspricht einem Maimum der Ableitungsfunktion W Die größte Änderungsrate von f bzw. der steilste Anstieg des Graphen wird hier im Wendepunkt von f erreicht. f Beispiel Wendepunkt mithilfe von f und f bestimmen, Wendetangente angeben Gegeben ist die Funktion f mit f () = _ 8 ( ). a) Zeigen Sie, dass der Graph von f genau einen Wendepunkt hat und berechnen Sie seine Koordinaten. b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente t im Wendepunkt und skizzieren Sie die Graphen von f und t. º º Lösung: a) Ableitungen bis f bilden und die Gleichung f () = 0 lösen. f () = _ 8 ( ), f () = _ 8 (6 + 6), f () = _ 8 6 = 3 _. Aus f () = 0 ergibt sich = 0. Damit ist = Nullstelle von f und der Graph von f hat höchstens einen Wendepunkt. Prüfen, ob f ( ) 0 ist und die -Koordinate f ( ) des Wendepunktes W bestimmen. f ( ) = _ 3 0; f ( ) = _ 8 (( ) ( ) 7) =. Die Stelle = ist Wendestelle von f. Der Graph von f hat genau einen Wendepunkt, dieser liegt bei W ( ). b) Steigung im Wendepunkt bestimmen. f ( ) = _ 8 (3 + 6 ( ) + 3) = 0 Die Tangente t im Wendepunkt verläuft parallel zur -Achse durch den Punkt W ( ). Sie hat also die Gleichung t () =. Die Wendestelle ist nicht nur Nullstelle von f, sondern zugleich Nullstelle von f. Der Wendepunkt W von f ist folglich ein Sattelpunkt (Fig. ). Beispiel d Wendepunkte im Anwendungskontet Die Funktion f mit f (t) = _ 3000 t3 + 3_ 0 t soll für 0 t 300 verwendet werden, um näherungsweise die zurückgelegte Strecke (in Metern) einer S-Bahn zwischen zwei Haltestellen zu beschreiben (t beschreibt die Zeit in Sekunden). a) Beschreiben Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion im Anwendungskontet. b) Bestimmen Sie die maimale Geschwindigkeit der S-Bahn. º º Lösung: a) Die Ableitung f (t) gibt die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde an. b) Gesucht ist das Maimum der Ableitungsfunktion. Mit dem GTR kann man sich den Graphen von f anzeigen lassen und das Maimum von f bestimmen (vgl. Fig. ). Dem Graphen kann man entnehmen, dass der Hochpunkt H ( 50,5) des Graphen von f das absolute Maimum in dem zu betrachtenden Intervall [0; 300] ist. An den Rändern des Definitionsbereichs gilt f (0) = 0 und f (300) = 0. Somit wird die maimale Geschwindigkeit nach 50 Sekunden erreicht und beträgt,5 m_ s. Fig. Fig. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

20 Beispiel 3 Der Fall f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) = 0 Untersuchen Sie, ob die Funktion f mit f () = an der Stelle 0 = 0 eine Wendestelle hat. º º Lösung: Ableitungen: f () = ; f () = und f () = Da f (0) = 0 und f (0) = 0, wird f () = 60 ( ) auf einen Vorzeichenwechsel an der Stelle 0 = 0 untersucht: nahe 0 = 0 und < 0 : nahe 0 = 0 und > 0 : 60 > 0; < 0; also 60 ( ) < > 0; < 0; also 60 ( ) < 0. An der Stelle = 0 ändert sich das Vorzeichen der. Ableitung folglich nicht. Somit ändert sich das Krümmungsverhalten von f nicht und an der Stelle 0 = 0 liegt keine Wendestelle vor (vgl. Fig. ). 3 Fig. Der Graph von f hat bei = einen Wendepunkt, aber nicht bei = 0. f Aufgaben Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen von f. a) f () = 3 + b) f () = + c) f () = 3 d) f () = e) f () = _ f) f () = 5 g) f () = h) f () = 3 3 i) f () = 3 ( + ) Bestimmen Sie den Wendepunkt des Graphen von f sowie die Gleichung der Wendetange. a) f () = 0, b) f () = c) f () = 0,5 3,5 d) f () = e) f () = f) f () = Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f. Geben Sie anschließend die Intervalle an, in denen der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist. Skizzieren Sie dann einen möglichen Graphen von f. a) f () = + b) f () = 6 c) f () = Weitere Aufgaben zum Üben befinden sich auf S eite (Aufgaben 5 und 6). $ Eine Aufgabe zum Vertiefen, bei der die Wendetangente eine Rolle spielt, befindet sich auf Seite (Aufgabe 8). d) f () = e) f () = f) f () = _ 30 6 _ g) f () = _ 60 6 _ _ 6 h) f () = ( 9) ( ) i) f () = ( ) 3 Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion f einer Funktion f (Fig. ). Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. a) Der Graph von f ist im Bereich 0,3 < < rechtsgekrümmt. b) Der Graph von f hat an der Stelle = eine Wendestelle. c) Der Graph von f hat an der Stelle = 0 einen Sattelpunkt. d) Der Graph von f ändert an der Stelle = 0,8 sein Krümmungsverhalten. f $ Weitere Aufgaben zum Vertiefen befinden sich auf Seite (Aufgabe 0 und ). Fig. 5 Forscher haben das Wachstum einer bestimmten Bakterienkultur in einer Petrischale beobachtet. Die von Bakterien bedeckte Fläche (in cm ) in Abhängigkeit der vergangenen Zeit (in h) seit dem Beobachtungsbeginn um 8 Uhr morgens kann im Zeitraum von 8 Uhr morgens bis Uhr mittags des darauf folgenden Tages näherungsweise durch die Funktion A mit A (t) = 0,005 t 3 + 0, t + 0,9 t + beschrieben werden. a) Bestimmen Sie die von Bakterien bedeckte Fläche um 3 Uhr morgens. b) Berechnen Sie die maimale Zunahme der von den Bakterien bedeckten Fläche. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 5

21 Zeit zu überprüfen 6 Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Wendepunkte und geben Sie die Gleichungen der Wendetangenten an. a) f () = 3 b) f () = _ + 3 c) f () = 5 0_ Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f einer Funktion f (Fig. ). Beschreiben Sie, welche Aussagen man über die Funktion f hinsichtlich der Etrem- und Wendestellen machen kann. 8 Die Anzahl der Besucher eines Schulfestes soll im Zeitraum von 7:30 Uhr bis 6:30 Uhr durch die Funktion f mit f (t) = t 3 + t 7 t + 8 beschrieben werden (t in Stunden, t = 7,5 entspricht der Uhrzeit 7:30 Uhr). a) Wann sind vermutlich am meisten Besucher auf dem Schulfest? b) Berechnen Sie, wann die Anzahl der Zuschauer auf dem Fest am schnellsten zunimmt. f Fig. $ Eine Aufgabe zum Vertiefen der Inhalte aus Aufgabe 9 befindet sich auf Seite 3 (Aufgabe ). 9 Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion f, der die folgenden Bedingungen erfüllt. a) Der Graph von f ist rechtsgekrümmt und besitzt keinen Wendepunkt. b) Der Graph von f hat genau einen Wendepunkt auf der -Achse, links davon ist der Graph rechtsgekrümmt und rechts davon linksgekrümmt. c) Der Graph von f hat einen Wendepunkt im Ursprung und genau einen Hoch- und Tiefpunkt. d) f und f haben nur negative Funktionswerte. e) f hat einen Wendepunkt im Ursprung und genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt. 0 Der Längsschnitt einer Piste in einer Skihalle kann für 0 50 näherungsweise durch die Funktion f mit f () = ,00 + 0, beschrieben werden (vgl. Fig. ). a) Berechnen Sie den Steigungswinkel am oberen Ende der Piste. b) Die Skihallenbetreiber behaupten, dass die Piste eine Steigung von bis zu 58 % besitzt. Haben die Betreiber Recht? c) Bestimmen Sie rechnerisch, an welcher Stelle das Gefälle der Piste am niedrigsten ist Fig. Zeit zu wiederholen Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabe mit dem GTR. Gleichungsssteme lösen a) Lösen Sie die folgenden Gleichungsssteme rechnerisch mithilfe eines geeigneten Lösungsverfahrens (Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren). () = + 6 () = 5 0 (3) + 3 = 5 () + 3 = 5 = = = = 5 b) Geben Sie je ein Beispiel für ein Gleichungssstem an, das keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen besitzt. 6 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen zu Zeit zu überprüfen und Zeit zu wiederholen Seite 03 0.

22 5 Etremwertprobleme mit Nebenbedingungen Mit einem 30 m langen Zaun soll ein rechteckiges Gehege gebaut werden. Man kann den Zaun so aufstellen, dass eine Seite durch eine Hauswand begrenzt wird. Dort braucht man keinen Zaun aufzustellen. Wie würden Sie die Maße des Geheges wählen? Welchen Flächeninhalt hätte das Gehege dann? Vergleichen Sie die Ergebnisse. Wer hat den größten Flächeninhalt erhalten? In vielen Anwendungssituationen ist der größte bzw. kleinste Wert gesucht, den eine Zielgröße annehmen kann. Wenn man durch einen geeigneten Ansatz (Modellbildung) aus mehreren Bedingungen eine Funktion bestimmen kann, die dieses Maimum oder Minimum erreichen soll, spricht man von Etremwertproblemen mit Nebenbedingung. Das Maimum oder Minimum lässt sich dann mithilfe der Ableitung bestimmen. Bei quadratischen Funktionen kann man dies auch durch die Bestimmung des Scheitelpunktes mithilfe einer quadratischen Ergänzung ermitteln. Dies wird an einem Beispiel erläutert. Aus einem dreieckigen Stück RQ einer Glasscheibe soll ein rechteckiges Stück mit einem möglichst großen Flächeninhalt wie in Fig. her- Q 5 ausgeschnitten werden. Dazu muss derjenige Punkt P (u v) auf der Strecke _ 3 = QR bestimmt werden, für den der Flächeninhalt des 3 eingezeichneten Rechtecks A = u v am größten ist. A hängt von den P(u v) Variablen u und v ab. Da P (u v) auf der Geraden durch P und Q liegt, gilt die Nebenbedingung v = _ 5 A 3 u + 5 für 0 u 3. R Setzt man die Nebenbedingung in A = u v ein, so gilt 3 5 A (u) = u ( _ 3 u + 5 ); 0 u 3. Fig. 5 Die Funktion A mit A (u) = u ( _ 3 u ) = _ 3 u + 5 u für 0 u 3 nennt man Zielfunktion. Um den maimalen Flächeninhalt zu erhalten, wird nun die Funktion A auf Etremstellen untersucht. Aus A (u) = _ 0 3 u + 5 = 0 und A (u) = _ 0 3 erhält man ein lokales Maimum für u =,5. Da der Graph von A eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist dort auch das globale Maimum. Aus diesem Grund erübrigt sich hier die Untersuchung der Ränder. Achtung Etremstellen können auch am Rand des Definitionsbereichs liegen. Strategie für das Lösen von Etremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Beschreiben der Zielgröße, die etremal werden soll, durch eine Formel. Diese kann mehrere Variablen enthalten.. Aufsuchen von Nebenbedingungen, die Abhängigkeiten zwischen den Variablen enthalten. 3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt (welche Variable zweckmäßig ist, zeigt oft erst die Bearbeitung). Angeben des Definitionsbereichs der Zielfunktion.. Untersuchen der Zielfunktion auf Etremwerte unter Beachtung der Ränder des Defini tionsbereichs. Formulieren des Ergebnisses. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 7

23 Anmerkung: Maße eines Fußballfeldes: Länge: 90 m bis 0 m Breite: 5 m bis 90 m Beispiel Rechteck mit maimalem Inhalt Ein Sportstadion (Fig. ) mit einer 00 m langen Laufbahn soll so angelegt werden, dass die Fläche A des eingeschlossenen Fußballfeldes möglichst groß wird. º º Lösung: Fig.. Sind und die Längen des Rechtecks, so gilt A = (Fig. ).. Die Nebenbedingung lautet + π = 00 bzw. = 00 π = Å _ π (00 ). 3. Einsetzen ergibt die Zielfunktion A () = _ π (00 ) = _ Å π (00 ). Damit A 0 ist, muss der Definitionsbereich D A = [0; 00] sein.. Es ist A () = _ Å π (00 ) und A () = _ π < 0. Da A () = 0 nur für 0 = 00 gilt und A (00) < 0 ist, liegt bei 0 = 00 ein lokales Maimum von A vor. Dies ist gleichzeitig das globale Maimum, da der Graph von A eine nach unten geöffnete Parabel ist. Aus 0 = 00 erhält man = _ Å00 π 3,8. Ergebnis: Der Flächeninhalt des Rechtecks innerhalb der 00-m-Bahn ist maimal für = 00 und 3,8, d. h., das Feld wäre 00 m lang und ca. 63,68 m breit. Aufgaben Aus einem Draht der Länge 50 cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche von maimalem Inhalt umrandet. Berechnen Sie, wie die Länge und Breite zu wählen sind. d Ein rechteckiges Grundstück soll den Flächeninhalt 00 m erhalten. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit der Umfang des Rechtecks minimal wird? 3 Die rechte obere Ecke eines Rechtecks soll auf dem Graphen der Funktion f mit f () = 3 + liegen und die linke untere Ecke im Ursprung des Koordinatensstems. Die Seiten des Rechtecks liegen auf bzw. parallel zu den Koordinatenachsen. a) Erstellen Sie eine geeignete Skizze zu dem Sachverhalt. b) Bestimmen Sie die genaue Lage und Größe des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt. D C Gegeben ist die Funktion mit f () = + 9. Die Punkte A ( u 0), B (u 0), C (u f (u)) und D ( u f ( u)) mit 0 u 3 bilden ein Rechteck (vgl. Fig. ). a) Berechnen Sie, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Rechtecks maimal wird. b) Berechnen Sie, für welchen Wert von u der Umfang des Rechtecks maimal wird. A B f Fig. 5 Aus einem rechteckigen Stück Pappe der Länge 6 cm und der Breite 0 cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen (Fig. 3). Für welchen Wert von wird das Volumen maimal? Fig. 3 $ Eine Aufgabe zum Vertiefen (Untersuchung von Summen und Differenzen von Funktionen befindet sich auf Seite 3 (Aufgabe 3). 6 Ein Unternehmen verkauft T-Shirts zum Preis von 5 und macht dabei 8 Gewinn pro T-Shirt. Bei diesem Preis verkauft das Unternehmen täglich 500 T-Shirts. Eine Markt untersuchung hat ergeben, dass bei einer Preissenkung mehr T-Shirts verkauft werden können. Man geht davon aus, dass pro Euro Ermäßigung 80 T-Shirts mehr pro Tag verkauft werden. Berechnen Sie, um wie viel Euro man den Preis reduzieren sollte, damit der Gewinn am größten ist. 8 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

24 Zeit zu überprüfen 7 Gegeben ist die Funktion f mit f () = 6. Der Graph dieser Funktion schließt mit der -Achse eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck liegen, dessen Seiten auf bzw. parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Die beiden oberen Eckpunkte sollen auf dem Graphen liegen, die unteren Eckpunkte liegen auf der -Achse. a) Bestimmen Sie Nullstellen und Scheitelpunkt der Parabel und fertigen Sie eine Skizze der Parabel und des Rechtecks an. b) Berechnen Sie, wo die Eckpunkte liegen müssen, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat. 8 Eine Elektronikfirma verkauft monatlich 5000 Stück eines Bauteils zum Stückpreis von 5. Die Markforschungsabteilung dieser Firma stellt fest, dass sich der durchschnittliche monatliche Absatz bei jeder Stückpreissenkung von um jeweils 300 Stück erhöhen würde. Bei welchem Stückpreis sind die monatlichen Einnahmen am größten? 9 Wie müssen die Maße eines zlindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 000 ø gewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal ist? 0 Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen berfläche von 00 cm ein möglichst großes Volumen besitzen. Wie müssen die Maße des Kartons gewählt werden? Zeigen Sie, dass es keine weiteren Maima gibt. Die Funktionen f und g mit f () = 0,5 und g () = 0,5 begrenzen eine Fläche, in der ein zur -Achse smmetrisches Rechteck ABCD liegt. A und B liegen auf dem Graphen von f, die Punkte C und D auf dem Graphen von g. a) Bestimmen Sie die Scheitelpunkte der beiden Parabeln sowie deren Schnittpunkte und fertigen Sie eine Skizze mit den Parabeln und der Lage des Rechtecks an. b) Das Rechteck soll einen möglichst großen Flächeninhalt haben. Beschriften Sie die Skizze und stellen Sie die Zielfunktion mithilfe der Funktionsgleichungen von f und g auf. c) Berechnen Sie die Eckpunkte, für die der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird. Tipp zu Aufgabe 9: Schlagen Sie zunächst die Formeln für das Volumen, die Mantelfläche und die berfläche eines Zlinders in einer Formelsammlung nach.. Weiterführende Aufgaben zum Anwenden befinden sich auf Seite (Aufgaben 9 und 0). 6 R Die Punkte (0 0) und P (5 0) sowie Q ( 5 f (5) ), R ( u f (u) ) und S ( 0 f (0) ) des Graphen von f mit f () = 0, (0 5) bilden ein Fünfeck (Fig. ). Für welches u wird sein Inhalt maimal? S Q 3 a) Begründen Sie, warum für den Abstand A zweier Punkte A ( A A ) und B ( B B ) (Fig. ) die Formel _ AB = ( B A ) + ( B A ) gilt. b) Der Abstand der Punkte A und B wird maimal bzw. minimal, wenn _ AB maimal bzw. minimal wird. Begründen Sie diesen Zusammenhang. B A B Fig. c) Berechnen Sie, von welchem Punkt des Graphen von f der Punkt Q den kleinsten Abstand hat. () f () = + ; Q (0 0 ) () f () = ; Q ( 0,5) (3) f () = ; Q (3 0 ) B A P Fig. ( _ AB ) = ( B A ) + ( B A ) Zeit zu wiederholen Terme mit Klammern binomische Formeln Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Terme soweit wie möglich zusammen. a) ( + ) ( + ) b) ( + ) + c) ( + 3) ( 3) d) ( ) e) ( + ) ( 3) f) ( + ) Lösungen zu Zeit zu überprüfen und Zeit zu wiederholen Seite 0. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 9

25 6 Ganzrationale Funktionen bestimmen I B A C 0 II C 0,5 B A 0 III C A B 0 Für welche der drei Fälle I, II und III lässt sich durch die Punkte A, B und C der Graph einer ganzrationalen Funktion ersten bzw. zweiten Grades zeichnen? Bestimmen Sie, falls möglich, die zugehörige Funktionsgleichung. Vorgegebene Punkte eines Graphen sowie die Eigenschaften der Ableitungen kann man verwenden, um eine Funktionsgleichung zu einem Graphen zu bestimmen. Häufig lässt sich zu vorliegenden Daten nur eine Näherungskurve bestimmen. Dies wird auf Seite 3 erläutert. In einer Broschüre befindet sich der Graph einer Funktion, mit der die Einwohnerzahl eines Landes seit 990 sowie die mögliche Entwicklung in den nächsten Jahren dargestellt werden soll. Mithilfe der charakteristischen Punkte des Graphen (Fig. ) lässt sich die Gleichung einer Funktion bestimmen, mit der die Entwicklung der Einwohnerzahlen modelliert werden kann. Dem Graphen kann man entnehmen, dass die Einwohnerzahl im Jahr 990 etwa 80 Millionen betrug und dass man ein Maimum von etwa 83 Millionen im Jahr 05 erwartet. Prognose für die Entwicklung der Einwohnerzahl (in Millionen) Fig. Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Es ist auch möglich, die Funktionsgleichung zunächst in Scheitelpunktform zu bestimmen. Ansatz zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion Aufgrund des Verlaufs des Graphen lässt sich vermuten, dass sich die Entwicklung der Einwohnerzahlen durch eine quadratische Funktion modellieren lässt. Daher wählt man den Ansatz f () = a + b + c. Aufstellen eines linearen Gleichungssstems zur Berechnung der Parameter Um die Gleichung einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades zu bestimmen, müssen drei Parameter berechnet werden. Wenn man = 0 für das Jahr 990 wählt, hat der Graph einen Hochpunkt in H (5 83) und verläuft durch den Punkt P (0 80). Hieraus erhält man folgende drei Bedingungen: (I) Für = 0 erhält man den Funktionswert = 80, also muss gelten: f (0) = 80. (II) Für = 5 (entspricht 05) erhält man = 83, also muss gelten: f (5) = 83. (III) Bei = 5 liegt ein Hochpunkt H (5 83) vor. Also muss gelten: f (5) = 0. Mit f () = a + b + c und der Ableitungsfunktion f () = a + b erhält man: (I) f (0) = 80: a 0 + b 0 + c = 80 also c = 80 (II) f (5) = 83: a 5 + b 5 + c = 83 also 65 a + 5 b + c = 83 (III) f (5) = 0: a 5 + b = 0 also 50 a + b = 0 Der Graph von f ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt entspricht daher einem Hochpunkt. Aus (I) folgt unmittelbar c = 80. Somit ergibt sich für (II) und (III): (II) 65 a + 5 b = 3 (III) 50 a + b = 0 (II) 5 (III) 65 a = 3 :( 65) a = 0,008 Aus (III) folgt b = 50 a = 50 ( 0,008) = 0,, also f () = 0, , Hiermit ergibt sich z. B. f (5) 8, d. h. 8 Millionen als erwartete Bevölkerungszahl im Jahr I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

26 Strategie zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion. Überlegen, welchen Grad n die ganzrationale Funktion haben sollte, und die entsprechende Funktionsgleichung mit n + Parametern notieren.. Aufstellen geeigneter Gleichungen für f, f und f aus den vorliegenden Informationen. Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man mind. n + Gleichungen. 3. Lösen des linearen Gleichungssstems.. Funktionsgleichung notieren und kontrollieren. Die Kontrolle des Ergebnisses ist wichtig, da man bei gegebenen Etremoder Wendestellen nur die notwendige Bedingung verwendet (vgl. Aufgabe 0, Seite 33). Beispiel Smmetrie verwenden Bestimmen Sie eine mögliche Funktionsgleichung zu dem in Fig. dargestellten Graphen. º º Lösung:. Da der Graph dreimal die -Achse schneidet und einen Hoch- sowie einen Tiefpunkt besitzt, kann man vermuten, dass der Graph zu einer ganzrationalen Funktion dritten Grades gehört. Man erhält den Ansatz: f () = a 3 + b + c + d.. Der abgebildete Teil des Graphen ist punktsmmetrisch zum Ursprung. Wenn man davon ausgeht, dass der gesamte Graph punktsmmetrisch ist, enthält die Funktionsgleichung nur ungerade Eponenten. Es muss daher b = 0 und d = 0 gelten, damit die Summanden mit geraden Eponenten bzw. die Konstante d wegfallen. Man erhält also f () = a 3 + c. 3. Der Graph der Funktion hat in H ( ) einen Hochpunkt. Hieraus lässt sich mit dem Ansatz f () = a 3 + c und f () = 3 a + c das folgende lineare Gleichungssstem herleiten: (I) f () = : a + c = (II) f () = 0: 3 a + c = 0 (I) (II): a = : ( ) a = Mit (I) erhält man: c = 3. Also gilt: f () = Mit f () = und f () = 6 erhält man f () = 0 und f () = 6. Die oben bestimmte Funktion f hat also tatsächlich bei = einen Hochpunkt. Beispiel d Bestimmen der Parameter mit dem GTR Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T ( ) einen Tiefpunkt und in W ( ) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion. º º Lösung: Allgemeiner Ansatz für eine ganzrationale Funktion 3. Grades: f () = a 3 + b + c + d f () = 3 a + b + c f () = 6 a + b Aus den gegebenen Punkten ergeben sich folgende Bedingungen: Fig. f () =, also 8 a + b + c + d = f () = 0, also a + b + c + = 0 f () =, also a + b + c + d = f () = 0, also 6 a + b = 0 Der GTR liefert folgende Lösung (Fig. ): a =, b = 3, c = 0 und d = 3 Also gilt: f () = Zur Kontrolle kann man den Graphen von f zeichnen lassen und mit den gegebenen Werten vergleichen (Fig. 3). Fig. 3 H( ) 3 Fig. Wie man solche Gleichungsssteme auch ohne Taschenrechner lösen kann, wird in Kapitel VI auf den Seiten erläutert. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 3

27 Aufgaben Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion zweiten Grades, deren Graph durch die angegebenen Punkte verläuft. a) A ( 0); B (0 ); C ( 0) b) A (0 0); B ( 0); C ( 3) c) A (0,5); B ( 3 0); C ( ) d) A (0 ); B ( 3); C ( 6) e) A (0 ); B ( 5); C ( 5) f) A (0 0,5); B (,5); C ( 3 3,5) d Bestimmen Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion, deren Graph durch die Punkte A, B und C verläuft. a) A ( 3); B ( ); C (3 ) b) A ( ); B ( 3); C (3 7) c) A ( 0); B ( ); C ( 9) d) A ( ); B ( 0); C (6 0) e) A ( 0,5); B (3 0,5); C (5,5) f) A ( _ 3 ) ; B ( 5 _ 3 ) ; C ( 3 _ 3 ) 3 Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung. Überlegen Sie zunächst, welchen Grad die Funktion haben könnte. a) b) c) H(0 0) T( ) A(0 ) T( 3) 3 3 W(0 ) 3 T( ) d Bestimmen Sie jeweils die zugehörige Funktionsgleichung. a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch die Punkte A ( 3), B ( 7), C (3 7) und D ( 3). b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T ( ) einen Tiefpunkt und in H ( 3) einen Hochpunkt. c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch die Punkte A ( ), B (0 0), C ( ), D ( ) und E (3 96). d) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades hat im Punkt T ( 8) einen Tiefpunkt und verläuft durch die Punkte A (0 0), B ( 3) und C (3 5). 5 Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung. Überlegen Sie zunächst, welchen Ansatz Sie für die Funktion wählen und welche Smmetrieeigenschaften Sie ausnutzen können. a) b) c) W ( 0) 0 H( ) W 0 ( 0) T(0 0) T( ) T ( ) T 5 ( ) 0 3 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

28 Zeit zu überprüfen 6 a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades, deren Graph durch A (0 3), B ( ) und C ( 3) verläuft. b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Punkt W (0 ) einen Wendepunkt und im Punkt T ( 0) einen Tiefpunkt besitzt. c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph smmetrisch zur -Achse ist und durch A (0 ), B ( ) und C ( 5) verläuft. 7 Eine Firma möchte eine Rutsche konzipieren. In Fig. ist das seitliche Profil der Rutsche dargestellt, das durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschrieben werden soll. Der zugehörige Graph hat in A (0 3) seinen höchsten Punkt und besitzt in B ( 3 0,3) seinen tiefsten Punkt. In diesen beiden Punkten verläuft die Rutsche waagerecht, d. h., die Steigung ist hier null. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, die für 3 0 das Profil der Rutsche beschreibt. b) Berechnen Sie den Punkt, in dem die Rutsche am steilsten ist. Fig. 8 a) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph die -Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in P ( 3 0) parallel zu = 6 ist. b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in P ( ) einen Etrempunkt und in Q (0 ) einen Wendepunkt hat. c) Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt W (0 0) mit der -Achse als Wendetangente hat und den Tiefpunkt A ( ) besitzt. 9 Begründen Sie, dass es für folgende Bedingungen keine ganzrationale Funktion gibt. a) Der Grad von f ist ; Nullstellen = und = ; Maimum für = 0. b) Der Grad von f ist 3; Etremstellen = 0 und = 3; Wendestelle für =. c) Der Grad von f ist 3; f ungerade; Wendestelle = ; Hochpunkt bei =. d) Der Grad von f ist ; f gerade; Hochpunkt bei = ; Tiefpunkt bei =. e) Der Grad von f ist 3; Tiefpunkt T ( ); Hochpunkt H (5 0). 0 Eine ganzrationale Funktion dritten Grades soll im Punkt T ( ) einen Tiefpunkt haben und im Punkt W (0 0) einen Wendepunkt. Ma hält diese Aufgabe für unlösbar. Untersuchen Sie, ob Ma Recht hat. Ein Brückenbogen überspannt einen 50 m breiten Geländeeinschnitt. In A und B setzt der Brückenbogen senkrecht an den Böschungen auf (vgl. Fig. ). Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensstem, bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion. Grades und berechnen Sie die Höhe des Brückenbogens. Bei einer Zirkusvorführung wird ein Feuerball unter einem Winkel von 5 aus einer Kanone abgeschossen und landet in einem 5 m entfernten Wasserbehälter, der gegenüber der Kanonenöffnung 3,75 m höher steht. a) Bestimmen Sie eine geeignete Funktion, welche die Flugbahn des Balles beschreibt. b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Vorführung in einem 6 m hohen Saal stattfinden kann. 5 A 50 m 5 B Fig. $ Vertiefende Aufgaben zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen befinden sich auf Seite 3 (Aufgaben, 5 und 6). Wenn alle Eponenten einer ganzrationalen Funktion gerade bzw. ungerade sind, so spricht man auch von einer geraden bzw. ungeraden Funktion.. Eine weiterführende Aufgabe zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen im Sachzusammenhang befindet sich auf Seite (Aufgabe 0). Für die Steigung m gilt bei einem gegebenen Steigungswinkel α: m = tan (α) 0 Eine Übungsaufgabe zur Funktionsbestimmung im Sachzusammenhang befindet sich auf Seite (Aufgabe 7). Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 0. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 33

29 INF Aufgaben 3, nline-code bw5n57 Auslaufendes Wasser Ein Modellierungsprojekt, bei dem man mit verschiedenen Funktionen versucht, vorherzusagen, wann ein Wasserbehälter ausgelaufen sein wird. Ausführliche Hinweise zu den Befehlen des GTR finden Sie im Anhang unter 8. (auf den Seiten 95 bzw. 509). Trendlinien mit dem GTR Zu einem Punktdiagramm kann man mit dem GTR oder einem Tabellenkalkulationsprogramm am PC eine Trendlinie bestimmen lassen. Hierzu gibt man die Koordinaten der Messwerte ein und lässt den Rechner die Trendlinie berechnen. Man kann hierbei wählen, welchem Funktionstp die Trendlinie entsprechen soll (z. B. lineare Funktion, quadratische Funktion, ). Der Rechner bestimmt dann nach einem vorgegeben Rechenverfahren die Funktionsgleichung. Das Ergebnis ist die beste Näherungsfunktion von diesem Funktionstp, die sich aufgrund dieses Rechenverfahrens ergibt. 3 d Entwicklung von Einwohnerzahlen In Fig. ist die Entwicklung der Einwohnerzahl der Stadt Remscheid im Bergischen Land dargestellt. a) Erstellen Sie mit dem GTR ein Punktdiagramm zu den Daten aus der Tabelle. b) Bestimmen Sie zu den Daten mit dem GTR eine ganzrationale Näherungskurve ersten, zweiten und dritten Grades. Verwenden Sie die Funktionen, um die Einwohnerzahl im Jahr 975 zu schätzen. c) Eignen sich die Funktionen aus b) für eine Prognose der Einwohnerzahl im Jahr 05, 050 bzw. 00? Begründen Sie. d) Suchen Sie im Internet nach Daten zur Einwohnerzahl anderer Städte und bearbeiten Sie hierzu die Aufgabenteile a) bis c). d Projekt: Schuhgrößen und Körpergrößen a) Führen Sie in Ihrem Kurs eine Umfrage durch, in der Sie für jeden Schüler die Körpergröße (- Wert) und Schuhgröße (-Wert) notieren. b) Erstellen Sie zu Ihren Daten mit dem GTR ein Punktdiagramm und bestimmen Sie mit dem GTR eine lineare und eine quadratische Trendlinie. c) Welche Schuhgrößen würden sich mit den Trendlinien für eine,0 m große (55 cm kleine) Person ergeben? Zeit zu wiederholen Einwohner der Stadt Remscheid Jahr Einwohner Fig. 5 Geraden im Koordinatensstem Gegeben sind die beiden linearen Funktionen f und g mit f () = und g () = _ 3 + _ 3. a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensstem ein. b) Entnehmen Sie der Zeichnung den Schnittpunkt der beiden Geraden sowie die Schnittpunkte der Geraden mit der -Achse. c) Überprüfen Sie die Ergebnisse aus b) durch geeignete Rechnungen. d) Die beiden Geraden bilden mit der -Achse ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. 3 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen zu Zeit zu wiederholen Seite 0.

30 7 Funktionen mit Parametern Finja behauptet: Die Graphen der Funktion f mit f a () = a a sehen alle gleich aus. Es ist hierbei ganz egal, was man für a einsetzt. Überprüfen Sie, was Finja hiermit meinen könnte und beschreiben Sie die Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Graphen für unterschiedliche Werte von a. Welche Unterschiede und Gemeinsamkeiten lassen sich bei den Graphen der Funktionen g, h und i mit g a () = + a + a, h a () = a a und i a () = a 3 a feststellen? 3 3 Fig. Funktionen, die nicht nur von einer Variablen, sondern auch von Parametern abhängen, sind im Kontet linearer oder quadratischer Funktionen bekannt. So verändert sich z. B. der Graph der linearen Funktion f b mit f b () = + b mit dem Parameter b. Die Graphen von f b haben alle die Steigung und verlaufen parallel zueinander. Der Parameter b gibt an, wo die -Achse geschnitten wird. Er kann beliebig gewählt werden, wird aber wie eine Zahl und nicht als Variable betrachtet. Im Folgenden werden ganzrationale Funktionen mit Parametern genauer untersucht. Aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge a (in cm) soll eine oben offene Schachtel hergestellt werden (vgl. Fig. ). Haben die Einschnitte die Länge (in cm), so erhält man für das Volumen V (in cm 3 ): V = (a ) = 3 a + a a Fig.. Dabei hängt das Volumen V von und a ab. Geht man von einem quadratischen Stück Pappe der festen Länge a aus, so ist das Volumen V nur noch eine Funktion der Variablen, d. h. V a () = (a ) a_ mit D Va = ]0; [. V a ist eine Schar von Funktionen, a ist der Parameter der Funktionenschar. Fig. 3 zeigt den Graphen von V a für verschiedene Werte von a. Man erkennt, dass alle G raphen durch den Ursprung verlaufen und dass es eine weitere Nullstelle gibt. Für jeden Wert von a gibt es eine Schachtel mit maimalem Volumen. Fig. 3 Je größer a ist, desto größer ist auch das maimale Volumen. Außerdem verschiebt sich die Lage des Hochpunktes und der weiteren Nullstelle für zunehmendes a nach rechts. Aufgrund der dargestellten Funktionsgraphen kann man vermuten, dass bei = a_ eine Nullstelle liegt und dass das maimale Volumen bei = a_ 6 erreicht wird. a Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion f a, die jedem den Funktionswert f a () zuordnet. Die Funktionen f a bilden eine Funktionenschar. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 35

31 Fig. Beispiel Analsieren einer Funktionenschar Gegeben ist für a > 0 die Funktionenschar f a mit f a () = a. a) Skizzieren Sie die Graphen der Schar für a = ; ; 3;. b) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. Was bewirkt eine Erhöhung des Parameters? º º Lösung: a) Mit dem GTR kann man mehrere Graphen gleichzeitig darstellen (Fig. ). b) Gemeinsamkeiten der Graphen: Alle Graphen sind Parabeln und haben genau einen Tiefpunkt, der auf der -Achse liegt. Alle Graphen sind smmetrisch zur -Achse. Unterschiede und Einfluss des Parameters: Die Schnittpunkte mit der -Achse rücken mit wachsendem a weiter auseinander. Der Schnittpunkt mit der -Achse liegt mit zunehmendem a weiter unten. Aufgaben d Gegeben ist die Funktionenschar f t (mit t > 0). Zeichnen Sie die Graphen der Schar für t = ; ; 3; mit dem GTR. Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. Was bewirkt eine Erhöhung des Parameters? a) f t () = t + b) f t () = + t c) f t () = t d) f t () = ( + t) 3 e) f t () = t 3 t f) f t () = t t 3 g) f t () = sin (t ) h) f t () = sin ( t) $ Eine vertiefende Aufgabe zur Untersuchung der Bedeutung eines Parameters im Sachzusammenhang befindet sich auf Seite (Aufgabe 8). d Wird ein Ball von m Höhe in einem Winkel von 5 gegenüber der Horizontalen geworfen, _ so kann dessen Flugbahn mit dem Graphen der Funktion mit f v () = + 0 v ; v * R+ modelliert werden. Hierbei ist v ( in s ) der Betrag der Abwurfgeschwindigkeit, (in m) die horizon- m_ tale Entfernung vom Abwurfpunkt und f v () (in m) die jeweilige Höhe über dem Boden. a) Skizzieren Sie den Graphen von f v für v = 5, v = 0, v = 5 und v = 0. b) Beschreiben Sie, was eine Erhöhung des Wertes für v im Kontet bewirkt. Zeit zu überprüfen 3 d Die Funktion f mit f d (t) = ( d d _ t ) ( 80 + t_ 6 ) gibt für 0 t 30 näherungsweise die Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Tag einer Pflanze nach t Tagen an. Der Parameter d mit 0 d 500 gibt hierbei an, wie viel mø eines Spezialdüngers täglich während des betrachteten Zeitraums verwendet werden, um das Wachstum der Pflanze zu fördern. a) Zeichnen Sie mit dem GTR die Graphen von f d für d = 0, d = 00, d = 00, d = 300, d = 00 und d = 500 und beschreiben Sie den Einfluss einer Erhöhung der Düngermenge auf das Wachstum. b) Bestimmen Sie mit dem GTR den Wert für d, der aufgrund der Funktion f d ein maimales Wachstum der Pflanze zur Folge hat. d Ein Seil für eine Bergseilbahn soll zwischen zwei Masten gespannt werden. Die Höhe (in Metern) des durchhängenden Seils über dem Meeresspiegel wird durch die Funktion f c mit _ + c f c () = c (0 500; c ) beschrieben, wobei die horizontale Entfernung in Metern vom Startpunkt angibt. a) Zeichnen Sie mithilfe des GTR den Graphen von f c für verschiedene Parameter c. b) Beschreiben Sie die Bedeutung des Parameters c. c) Bestimmen Sie aufgrund der Zeichnungen aus Aufgabenteil a) die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen von f c verlaufen. Welche Bedeutung haben diese Punkte im Kontet? d) Untersuchen Sie mit dem GTR für welche Werte von c der Graph von f c einen Tiefpunkt im Intervall [0; 500] hat. 36 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 05.

32 8 Funktionenscharen untersuchen 3 Johanna behauptet: Die Hoch- oder Tiefpunkte _ der Parabeln mit f a () = a liegen alle auf einer Geraden. Überprüfen Sie, ob Johanna Recht hat und bestimmen Sie ggf. eine passende Geradengleichung Fig. Die Koordinaten der charakteristischen Punkte einer Funktionenschar hängen häufig von einem Parameter ab. Wenn man die Graphen der 5 _ Funktionenschar f a mit f a () = 3 a (a > 0) betrachtet, stellt man z. B. fest, dass der Tiefpunkt für zunehmende Werte von a immer 0 weiter rechts und immer weiter unten im Koordinatensstem liegt. Die Koordinaten des 5 0 Tiefpunktes der Funktionenschar lassen sich auch in Abhängigkeit des Parameters a mithilfe der Ableitungen berechnen. Fig. _ Aus f a () = a = ( _ a ) =0 erhält man = 0 oder = a als mögliche Etremstellen. Mit f a () = _ a erhält man: f a (0) = < 0. f a hat also ein lokales Maimum bei = 0. f a ( a) = > 0. f a hat also ein lokales Minimum bei = a. _ Da f a (0) = 0 und f a ( a) = 3 a ( a)3 ( a) = _ 3 a 8 a3 a = 8_ 3 a a = _ 3 a gilt, sind die Koordinaten des Hochpunktes H (0 0) unabhängig von a, während die Koordinaten des Tiefpunktes T a ( _ a 3 ) a von dem Parameter a abhängen. Beim Ableiten der Funktion f a wird der Parameter a wie eine Zahl behandelt. Die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen einer Funktionenschar hängen häufig von dem Parameter ab. Für die Berechnung der Punkte werden die Parameter der Funktion wie eine Zahl behandelt. Beispiel Untersuchung einer Funktionenschar Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = a + 8 a 6. a) Zeigen Sie, dass die Graphen von f a alle durch den Punkt S ( 0) verlaufen. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes der Graphen von f a in Abhängigkeit von a. c) Skizzieren Sie die Graphen von f a für a = und a =. º º Lösung: a) Es gilt: f () = a + 8 a 6 =6 8 a + 8 a 6 = 0. Also verlaufen alle Graphen der Funktionenschar f a durch S ( 0). b) f () = a; f () =. Auflösen von f () = a = 0 ergibt = a. Da f (a) = > 0 gilt, hat der Graph bei = a einen Tiefpunkt. Es gilt f (a) = a a + 8 a 6= a + 8 a 6. Also T (a a + 8 a 6). c) Für a = erhält man T ( 9), für a = T ( ). (Graphen von f und f siehe Fig. 3). f f A B Fig. 3 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 37

33 Aufgaben Gegeben ist die Funktionenschar f a (a > 0). Bestimmen Sie die Ableitung von f sowie die Steigung des Graphen an der Stelle = 0. Für welchen Wert von a beträgt die Steigung des Graphen? a) f a () = + a b) f a () = a 3 3 a c) f a () = a 3 + a d) f a () = a + + (a _ 3) e) f a () = a + _ a + a f) f a () = + ( a_ _ 3 ) + Bestimmen Sie die Etrempunkte des Graphen von f a in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt einer der Etrempunkte auf der -Achse? a) f a () = a + b) f a () = a 3 _ 3 a + c) f a () = 3 3 a d) f a () = 3 3 a + e) f a () = 3 3 a + a 3 _ f) f a () = a_ 3 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = + 3 a 6 a +. a) Zeigen Sie, dass alle Graphen von f a durch den Punkt P ( 0) verlaufen. b) Bestimmen Sie die Etrempunkte des Graphen von f a in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt der Etrempunkt auf der -Achse bzw. auf der -Achse? c) Skizzieren Sie den Graphen für a = und a =. Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente. Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a ()= a 3 + a (a 0). a) Begründen Sie, dass alle Graphen der Funktionenschar punktsmmetrisch zum Ursprung verlaufen. b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von f a durch die Punkte P ( 0) und Q ( 0) verlaufen. c) Zeigen Sie, dass alle Graphen von f a genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von f a und berechnen Sie, für welchen Wert von a diese Tangente die Steigung m = 8 hat. Zeit zu überprüfen _ 5 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = a (a 0). a) Zeigen Sie, dass alle Graphen von f a durch den Ursprung verlaufen und bestimmen Sie weitere Schnittpunkte mit der -Achse in Abhängigkeit von a. b) Berechnen Sie die Koordinaten der Etrempunkte des Graphen von f a in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a hat f a einen Hochpunkt bzw. Tiefpunkt? Begründen Sie. c) Skizzieren Sie die Graphen von f a für a = und a =. 6 Gilt immer gilt nie es kommt darauf an Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = a + a + (a 0). Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen immer gelten, nie gelten oder von dem Wert des Parameters a abhängen. Begründen Sie. a) Der Graph von f a hat keine Wendestelle. b) Der Graph von f a hat einen Hochpunkt. c) Der Graph hat von f a schneidet die -Achse im Punkt A (0 ). d) Der Graph von f a schneidet die -Achse zweimal. e) Der Graph von f a ist eine nach oben geöffnete Parabel. f) Die Steigung der Tangente an der Stelle = 0 ist größer als an der Stelle =. g) Der Graph von f a verläuft durch den Punkt P (0 0). 38 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 05.

34 INF Aufgaben 7 rtskurven charakteristischer Punkte bei Funktionenscharen _ Für die Tiefpunkte der Graphen von f a mit f a () = Durchläuft der Parameter a alle zugelassenen Werte, so liegen alle Tiefpunkte auf einer Kurve (vgl. Fig. ). Diese Kurve heißt rtskurve oder rtslinie der Tiefpunkte T a. Eine Gleichung hierzu erhält man wie folgt:. Schritt: -Koordinate des Tiefpunktes nach dem Parameter umformen: Mit = a erhält man a = _.. Schritt: Einsetzen des Terms in die -Koordinate des Tiefpunktes: a = _ in = _ 3 a ergibt = _ 3 ( _ ) _ = 3 _ _ = 3 Alle Tiefpunkte liegen auf dem Graphen der Funktion g mit g () = _ 3. 3 a 3 (mit a > 0) gilt T a ( a _ 3 ) a T T g () = _ 3 f f f 3 g T 3 Fig. rtskurven bzw. rtslinien sind nicht immer Funktionen (vgl. Aufgabe ) 7 Gegeben ist die Funktionenschar f t (t * R 0 ). Bestimmen Sie den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von t sowie die zugehörige rtskurve. Skizzieren Sie die Graphen für t = und t =. a) f t () = + t + b) f t () = t + t c) f t () = t + d) f t () = t + e) f t () = + t + t f) f t () = t 3 + t + t g) Beschreiben Sie, welchen Einfluss der Parameter t bei den Funktionen aus den Aufgabenteilen a) bis f) jeweils auf den Verlauf des Graphen hat. 8 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = a 3 + (a 0). a) Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von f a einen Wendepunkt haben. b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wendepunkte der Schar alle auf einer Parabel liegen und bestimmen Sie die zugehörige Gleichung. 9 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = a. a) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktionenschar für a 0 keinen Hochpunkt haben. b) Bestimmen Sie für a > 0 die rtskurve der Tiefpunkte und Wendepunkte der Schar. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P ( f ()). Für welchen Wert von a beträgt die Steigung 0,5? $ Eine vertiefende Aufgabe zur Untersuchung von Funktionenscharen befindet sich auf Seite (Aufgabe 7). 0 Wird ein Ball von einer Höhe von m in einem Winkel von 5 gegenüber der Horizontalen geworfen, so kann dessen Flugbahn mit dem Graphen der Funktion mit _ f v () = + 0 v ; v * R+ m_ modelliert werden. Hierbei ist v ( in s ) der Betrag der Abwurf geschwindigkeit, (in m) die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt und f v () (in m) die jeweilige Höhe über dem Boden. Auf welcher rtskurve befinden sich die Hochpunkte der Graphen? Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = a. a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Tiefpunkte der Graphen von f a in Abhängigkeit von a. b) Begründen Sie, warum die rstlinie der Tiefpunkte keine Funktion ist. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 39

35 INF Aufgaben 5 Fig. Gemeinsame Punkte der Graphen einer Funktionenschar Teilweise verlaufen alle Graphen einer Funktionenschar durch einen oder mehrere gemeinsame Punkte. Der Funktionswert an dieser Stelle hängt dann nicht vom Parameter ab. Um mögliche gemeinsame Punkte zu finden, kann man zwei unterschiedliche Namen a bzw. a (a a ) für den Parameter wählen und prüfen, ob die Gleichung f a () = f a () eine Lösung besitzt, die nicht vom Parameter abhängt. Für die Funktionenschar f a mit f a () = 3 a + a erhält man folgende Rechnung: Aus f a () = f a () (a a ) folgt: 3 a + a = 3 a + a 3 + a + a = a + a a + a a a = a a (a a ) = a a :(a a ) = a a _a a = Funktionswerte zweier beliebiger Funktionen der Schar mit a und a müssen gleich sein. Durch Auflösen nach erhält man die -Koordinate des Schnittpunktes zweier beliebiger Funktionen der Schar. Die Lösung hängt nicht von a oder a ab. = ; = f a () = 0; f a ( ) = 0. Also verlaufen alle Graphen durch S ( 0) und S ( 0) (vgl. Fig. ). Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a () = 3 + a a (a * R). a) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar. b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und die zugehörige rtskurve. 3 Gegeben ist die Funktionenschar f t mit f t () = 3 t (t * R + ). a) Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte der Schar in Abhängigkeit von t und skizzieren Sie den Graph für t = 0,5. b) Auf welcher rtskurve liegen alle Hoch- und Tiefpunkte der Schar? c) Bestimmen Sie rechnerisch die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar. d) Berechnen Sie die Steigung des Graphen im Ursprung in Abhängigkeit von t. Für welchen Wert von t beträgt dort die Steigung? Gegeben ist die Funktionenschar f k mit f k (t) = 0,5 t 3,5 k t + 6 k t 6 t + 50 (k * R). a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Etrempunkte in Abhängigkeit von k. b) d Für welche Werte von k liegt der Tiefpunkt des Graphen unterhalb der -Achse? c) Zeigen Sie rechnerisch, dass sich alle Graphen der Funktionenschar in zwei Punkten schneiden und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte. d) Die Funktionen f 3 und f 5 geben für t * [0; ] näherungsweise die Geschwindigkeit in km/h von zwei Zugvögeln während eines Fluges an (t entspricht der Zeit in Stunden). Untersuchen Sie mithilfe der Ergebnisse aus a) bis c) und ggf. weiterer Überlegungen oder Rechnungen, welcher Vogel innerhalb dieses Zeitraums im Durchschnitt schneller fliegt. 5 d a) Gegeben ist die Funktionenschar f k mit f k () = ( k + 3 k). Skizzieren Sie mithilfe des GTR den Graphen von f k für verschiedene Parameter k zwischen 5 und 5. b) Welche Vermutung über gemeinsame Punkte aller Scharkurven haben Sie? Überprüfen Sie Ihre Vermutung rechnerisch. c) Welche Vermutung über die Anzahl der Etrempunkte haben Sie? Überprüfen Sie Ihre Vermutung rechnerisch. Zeit zu wiederholen 6 Schnittpunkte von Funktionsgraphen Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g mit f () = und g () =. 0 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen zu Zeit zu wiederholen Seite 05.

36 Wiederholen Vertiefen Vernetzen 0 Wiederholen und Üben In dem nebenstehenden Diagramm wird die Entwicklung der Temperatur in C an einem 6 Temperatur in C Frühlingstag veranschaulicht. a) Berechnen Sie mithilfe von Werten, die Sie dem Diagramm entnehmen, die mittlere Änderungsrate der Temperatur von 0 Uhr bis Uhr und von 0 Uhr bis Uhr. b) Lesen Sie ab, wann die Temperatur am stärksten ansteigt. Wie hoch ist die Temperaturzunahme zu diesem Zeitpunkt etwa? c) Bestimmen Sie näherungsweise die Steigung der Tangente an den Graphen für = Uhrzeit Fig. ( Uhr). Erklären Sie, welche Bedeutung die Steigung der Tangente hat. nline-code 5mj6ra Kopiervorlage Checkliste Mithilfe eines Selbsteinschätzungsbogens (Checkliste mit Hilfen) kann man sich einen Überblick verschaffen, was man gut kann bzw. noch üben muss. Ein Auto beschleunigt. Die Strecke (in m), die das Auto nach t Sekunden zurückgelegt hat, kann näherungsweise durch die Funktion f (t) = t beschrieben werden. a) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos innerhalb der ersten 0 Sekunden. b) Berechnen Sie die momentane Geschwindigkeit des Autos nach 0 Sekunden. 3 Fig. zeigt den Graphen einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Begründen Sie. a) Die Ableitung von f hat im dargestellten Bereich drei Nullstellen. b) Die zweite Ableitung von f hat im dargestellten Bereich drei Nullstellen. c) f ( ) < 0. d) f (3) > 0. e) f () = 0. f) f (0) < 0. Fig. Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f und skizzieren Sie dann den Graphen. a) f () = + 3 b) f () = c) f () = 0, ,5 d) f () = _ e) f () = f) f () = _ 3 3 _ + _ f 3 5 Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von f. a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = _ 3 3 e) f () = 3 + f) f () = _ 5 _ Die Funktion f beschreibt die Geschwindigkeit eines Autos ( in s ) in Abhängigkeit von der Zeit t (in s). Geben Sie jeweils die mathematischen Beschreibungen an. m a) In den ersten zehn Sekunden nimmt die Geschwindigkeit gleichmäßig von 0 auf 0 _ zu. s b) Nach 30 Sekunden wird für fünf Sekunden abgebremst. c) Die stärkste Zunahme der Geschwindigkeit ist nach 5 Sekunden. m _ Lösungen auf Seite I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

37 Wiederholen Vertiefen Vernetzen nline-code q7s6hh Stroboskopaufnahmen 7 d Die Flugbahn eines Balles verläuft annähernd parabelförmig. Der Ball erreicht nach einem Meter eine Höhe von,9 m, nach m eine Höhe von 3,9 m und nach 3 m eine Höhe von,86 m. a) Bestimmen Sie eine Funktion, die die Flugbahn des Balles modelliert. b) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe, die maimale Höhe sowie die Weite des Wurfes. $ Vertiefen und Anwenden 8 Gegeben ist die Funktion f mit f () = _ _ +. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt des Graphen. b) Welchen Flächeninhalt schließt die Tangente mit den positiven Koordinatenachsen ein? 9 Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitung f einer Funktion f (Fig. ). Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie. a) f ist streng monoton zunehmend. b) Der Graph von f hat einen Wendepunkt an der Stelle = 0. c) Der Graph von f ist für > 0 linksgekrümmt. d) Der Graph von f ist für > 0 linksgekrümmt. 0 Gegeben sind die Graphen der Ableitungen der Funktionen f, g und h. f Fig. 5 f 5 g 5 h Fig. Fig. 3 Fig. a) Auf welche der Ausgangsfunktionen f, g oder h treffen die Aussagen zu? Begründen Sie. () Der Graph der Ausgangsfunktion hat weder Hoch- noch Tiefpunkte. () Der Graph der Ausgangsfunktion hat einen Sattelpunkt. (3) Der Graph der Ausgangsfunktion hat einen Wendepunkt. () Die Ausgangsfunktion hat genau eine Etremstelle. (5) Die Steigung im Wendepunkt des Graphen der Ausgangsfunktion ist positiv. (6) Der Graph der Ausgangsfunktion ist im Intervall [0; ] streng monoton fallend. b) Skizzieren Sie für * [0; ] jeweils einen möglichen Graphen der Ausgangsfunktionen f, g und h. Gilt immer gilt nie es kommt darauf an Entscheiden Sie sich bei jeder Aussage für eine der ptionen und begründen Sie Ihre Wahl. a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades hat keinen Wendepunkt. b) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat genau einen Wendepunkt. c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades hat n Wendepunkte. d) Bei ganzrationelen Funktionen liegt zwischen zwei Etrempunkten ein Wendepunkt. e) Zwischen zwei Wendepunkten eines Funktionsgraphen liegt ein Etrempunkt. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen auf Seite

38 Wiederholen Vertiefen Vernetzen Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion f, der die folgende Bedingung erfüllt. a) Der Graph von f ist rechtsgekrümmt und besitzt keinen Hochpunkt. b) Der Graph von f hat einen Sattelpunkt auf der -Achse, links davon ist der Graph rechtsgekrümmt und rechts davon linksgekrümmt. c) Der Graph von f hat einen Hochpunkt im Ursprung und genau einen Wendepunkt. d) f und f haben nur positive Funktionswerte. e) f hat einen Hochpunkt, aber keine Nullstellen und keinen Tiefpunkt. f) Der Graph von f ist eine Parabel und es gilt f (3) =, f (3) = sowie f (3) < 0. 3 Gegeben sind f und g mit f () = 0,5 + und g () = +. a) Für welchen Wert * [0; ] wird die Summe der Funktionswerte maimal bzw. minimal? Geben Sie für f, g und f + g die globalen Etremwerte an und erläutern Sie, ob es sich um ein inneres Etremum oder ein Rand etremum handelt. b) Beantworten Sie die Fragestellungen aus a) für die Differenz der Funktionswerte. a) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Ursprung einen Hochpunkt besitzt und durch die Punkte A ( 0) und B ( ) verläuft. b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in W (0 3) einen Wendepunkt und in T ( ) einen Tiefpunkt hat. c) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph smmetrisch zur -Achse und durch die Punkte A (0 ), B ( ) und C ( 5) verläuft. d) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph punktsmmetrisch zum Ursprung ist und in H (3 5) einen Hochpunkt hat. 5 d a) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in T ( ) einen Tiefpunkt besitzt und durch die Punkte A (0 ) und B ( ) verläuft. b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in W ( ) einen Wendepunkt hat und durch die Punkte A (0 ) und B (3 ) verläuft. c) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph in T (0 ) einen Tiefpunkt besitzt und durch die Punkte A ( ), B ( ) und C ( 3) verläuft. d) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph smmetrisch zur -Achse ist, in T ( ) einen Tiefpunkt hat und durch den Punkt A ( 5) verläuft. 6 Durch das Zentrum Z eines Dorfes führt eine geradlinige Hauptstraße. Es soll eine Umgehungsstraße gebaut werden, die smmetrisch zur Nord-Süd-Achse des Dorfes verläuft, in A und B tangential in die geradlinige Hauptstraße mündet und 500 m nördlich vom Dorfzentrum durch den Punkt C führt (vgl. Fig., eine Längeneinheit entspricht km). Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, die den Verlauf der Umgehungsstraße für beschreiben könnte.,5 0,5 A( 0,5) C(0 ) Z(0 0,5) B( 0,5),5 0,5 0,5 N Fig. Lösungen auf Seite I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 3

39 Wiederholen Vertiefen Vernetzen 7 Gegeben sind f a und g a mit f a () = _ 6 3 a _ und g a () = _ a + _ 3 a (a > 0). a) Zeigen Sie, dass die Nullstellen von f a und g a für alle a > 0 übereinstimmen. b) Bestimmen Sie die Hochpunkte der Graphen von g a in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie, für welche Werte von a der Hochpunkt der Graphen von g a oberhalb der Geraden g mit g () =,5 liegt. c) Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte von f a sowie die rtskurve der Tiefpunkte. 8 d Bei einer Zentralheizung wird die Temperatur im Heizkessel in Abhängigkeit von der Außentemperatur gesteuert. Der Zusammenhang zwischen der Außentemperatur (in C) und der Temperatur im Heizkessel wird durch eine Heizkurve beschrieben. Diese Heizkurve kann durch einen Regler in ihrer Steilheit s verändert werden. Für die Temperatur H s (in C) im Heizkessel gilt: H s () = s ( 0,00 0,09 +,) + 5 mit 0 s 0 und a) Skizzieren Sie für s = 9, und 8 die Heizkurven in ein gemeinsames Koordinatensstem. b) Die Werkseinstellung ist s =. Wie hoch ist dann die Kesseltemperatur bei einer Außentemperatur von 0 C bzw. 5 C? Wie wirkt sich eine Erhöhung von s auf die Kesseltemperatur aus? c) Bei welcher Außentemperatur beträgt in der Werkseinstellung die Kesseltemperatur 80 C?. Vernetzen und Erforschen 9 Johann muss bei der Gesellenprüfung zum Steinmetz folgende Aufgabe bearbeiten: Von einer rechteckigen Sandsteinplatte mit den Maßen 50 cm 00 cm 6 cm (Länge Breite Tiefe) ist durch einen Transportunfall eine Ecke abgebrochen. Die Bruchstelle wurde bereits etwas begradigt (vgl. Fig. ). Erstellen Sie aus dieser Platte eine möglichst große rechteckige Tischplatte. Fig. 0 Wird ein Papierstreifen wie in Fig. im Punkt F waagerecht eingeklemmt und im gleich hohen Punkt L lose aufgelegt, biegt er sich etwas durch. a) Führen Sie eigene Versuche mit unterschiedlichen Papiersorten durch. Begründen F L Sie, wes halb im Punkt L ein Wendepunkt ist, Fig. wenn man den Papierstreifen als Graphen einer Funktion betrachtet. b) Bei einem Abstand der Bücher von 0 cm zwischen F und L ergab sich für einen Streifen in der Mitte zwischen F und L eine Durchbiegung von,5 cm. Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensstem und bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion, welche die Form des Papierstreifens beschreiben könnte. Welchen Grad muss die Funktion mindestens haben? Begründen Sie. c) Berechnen Sie mit der Funktion aus b) die größte Durchbiegung des Papierstreifens. -Liter-Milchtüten haben zum Teil die Form einer quadratischen Säule. Diese Tüten sind aus einem einzigen rechteckigen Stück Pappe durch Falten und Verkleben hergestellt. Fig. 3 zeigt das Netz einer solchen Tüte. Die Tüten werden bis cm unter dem oberen Rand gefüllt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der verwendeten Pappe als Funktion der Grundkantenlänge. Ist die reale Milchtüte hinsichtlich des Material verbrauchs optimiert? Begründen Sie. Fig. 3 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen auf Seite

40 Rückblick Bestimmung lokaler Etremstellen. f und f werden bestimmt.. Notwendige Bedingung f ( 0 ) = 0 wird untersucht. 3. Hinreichende Bedingung: Wenn f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) < 0 ist, dann hat f bei 0 ein lokales Maimum f ( 0 ). Wenn f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) > 0 ist, dann hat f bei 0 ein lokales Minimum f ( 0 ). Wenn f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) = 0 ist, dann prüft man das VZW-Kriterium: Hat f an der Stelle 0 einen VZW von + nach, so hat f an der Stelle 0 ein lokales Maimum f ( 0 ). von nach +, so hat f an der Stelle 0 ein lokales Minimum f ( 0 ). f () = 3 3 f () = 3 3 = 3 ( + ) ( ); f () = 6 Notwendige Bedingung: f () = 0 Aus 3 ( + ) ( ) = 0 folgt = ; =. Hinreichende Bedingung für und prüfen: f ( ) = 6 < 0, also besitzt f ein lokales Maimum bei =. f ( ) =, also Hochpunkt H ( ). f () = 6 > 0, also besitzt f ein lokales Minimum bei =. f () =, also Tiefpunkt T ( ). Links- und Rechtskurve Wenn f () > 0 in Ø ist, dann ist der Graph von f in Ø linksgekrümmt. Wenn f () < 0 in Ø ist, dann ist der Graph von f in Ø rechtsgekrümmt. Bestimmung von Wendestellen. f, f und f werden bestimmt.. Notwendige Bedingung f ( 0 ) = 0 wird untersucht. 3. Hinreichende Bedingung: Wenn f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) 0 ist, dann hat f an der Stelle 0 eine Wendestelle. Wenn f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) = 0 ist, dann prüft man das VZW-Kriterium: Hat f an der Stelle 0 einen VZW, so hat f an der Stelle 0 eine Wendestelle. Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt. f () = 6 > 0 für > 0. Der Graph f () = 3 3 von f ist also für > 0 linksgekrümmt. H( ) f () = 6 < 0 für < 0; somit ist der Graph von f für < 0 rechtsgekrümmt. f () = 0 liefert = 0. Es ist f (0) = 6 0, somit ist 3 = 0 Wendestelle. W(00) T( ) Fig. Bestimmen ganzrationaler Funktionen. Den Grad der Funktion festlegen und die entsprechende Funktionsgleichung mit allgemeinen Parametern notieren.. Aufstellen geeigneter Bedingungen mithilfe von f, f und f. Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man mindestens n + Bedingungen, aus denen man n + lineare Gleichungen erhält. 3. Lösen des linearen Gleichungssstems.. Berechnete Parameter in die Funktionsgleichung einsetzen und das Ergebnis überprüfen. Funktionenscharen Enthält ein Funktionsterm außer der Funktionsvariablen noch einen Parameter t, so gehört zu jedem t eine Funktion f t. Die Funktionen f t bilden eine Funktionenschar. Beim Ableiten wird der Parameter wie eine Zahl behandelt. rtskurven Eine Kurve, auf der z. B. alle Tiefpunkte der Graphen einer Funktionenschar f t liegen, nennt man rtskurve der Tiefpunkte. Zum Bestimmen der rtskurve berechnet man zunächst die Koordinaten des Tiefpunktes in Abhängigkeit des Parameters t und eliminiert dann aus der Darstellung der - und -Koordinaten den Parameter t. Man erhält eine Gleichung mit den Variablen und. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat in H (0 ) einen Hoch- und in W ( ) einen Wendepunkt. Ansatz: f () = a 3 + b + c + d f () = 3 a + b + c f () = 6 a + b Etremstelle bei = 0: f (0) = 0, also c = 0 Hochpunkt in H (0 ): f (0) =, also d = Wendestelle für = : f () = 0, also 6 a + b = 0 Wendepunkt W ( ): f () =, also a + b + = Man erhält als Lösung f () = f t () = 3 t mit t * R + f t () = 3 t ; f t () = 6 Die Graphen von f t haben für t > 0 in T t ( t 6 t 3 ) Tiefpunkte. Auflösen von = t nach t ergibt t = 0,5. Einsetzen in = 6 t 3 liefert die rtskurve: = 6 (0,5 t) 3 = 6 0,5 t 3 = 3. I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 5

41 Training Gegeben ist die Funktion f mit f () = + 3. a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie die Nullstellen der Ableitungsfunktionen f und f. Deuten Sie die Ergebnisse. b) Untersuchen Sie, ob der Graph von f smmetrisch ist, und skizzieren Sie seinen Verlauf. c) Skizzieren Sie ebenfalls die Graphen von f und f. Gegeben ist eine Funktion f mit f () = _ a) Welches Verhalten zeigt f für und für? b) In welchen Punkten schneidet der Graph von f die Koordinatenachsen? Gibt es Etrem- und Wendepunkte? Begründen Sie. c) Leiten Sie aus den zu Teilaufgabe b) erhaltenen Ergebnissen Aussagen zur Monotonie und zum Krümmungsverhalten ab. 3 Die Entwicklung der Preise für Baugrundstücke in einer deutschen Großstadt in Euro pro Quadratmeter kann für die Jahre 000 bis 009 näherungsweise durch die Funktion f mit f () = 0, 3 +, beschrieben werden, wobei = 0 dem Jahr 000 und = 9 dem Jahr 009 entspricht. a) Bestimmen Sie rechnerisch mithilfe der Funktion f, in welchem Jahr die Grundstückspreise am höchsten waren und wie hoch der Höchstpreis im Zeitraum von 000 bis 009 war. b) Untersuchen Sie rechnerisch mithilfe der Funktion f, wann die Grundstückspreise im Zeitraum von 000 bis 009 am meisten angestiegen sind. c) d In einer Zeitung aus dem Jahre 009 steht, dass die Grundstückspreise während einer Immobilienkrise von 007 bis 009 gesunken seien. Man gehe jedoch davon aus, dass sich die Preise in den Jahren 00 und 0 ungefähr auf dem Niveau von 009 halten können. Überprüfen Sie, ob die Funktion f geeignet ist, den in der Zeitung beschriebenen Verlauf für die Jahre 00 und 0 zu beschreiben. In Fig. ist für die erste Stunde eines Radrennens die Strecke in km dargestellt, die ein Radfahrer bis zum Zeitpunkt t (in Stunden) zurückgelegt hat. Mithilfe der Funktion f mit f (t) = t 3 + 6,3 t + 0,9 t kann man näherungsweise den bis zum Zeitpunkt t zurückgelegten Weg berechnen. a) Bestimmen Sie f (0,5) sowie f (0,5) und erläutern Sie, welche Bedeutung diese Werte im Sachzusammenhang haben. Wie könnte man im Sachzusammenhang Unterschiede zwischen den Werten von f (0,5) und f (0,5) erklären? 5 b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der 0 Radfahrer die höchste Geschwindigkeit erreicht und geben Sie die Höchstgeschwindigkeit an. 5 c) d Die Ursprungsgerade g (t) = 0,65 t kann 0 ebenfalls verwendet werden, um die bis zum 5 0 Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke näherungsweise zu bestimmen. Begründen Sie, warum 0 5 die Funktion g besser geeignet ist als f, um die 0 0, 0, 0,6 0,8 Strecke zu schätzen, die der Rennfahrer im Fig. weiteren Rennverlauf nach t Stunden zurückgelegt hat. 5 Der Punkt C (a f (a)) liegt auf dem Graphen der Funktion f mit f () = + 5. Berechnen Sie den Wert für a > 0, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A (0 0), B (a 0) und C möglichst groß wird. 6 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen auf Seite 09.