Lösungen zu den Übungsaufgaben zu exponentiellem und beschränktem Wachstum mit Differenzialgleichungen. = a e mit a = f(0) = 400.

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Sophia Möller
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1 wwwmathe-aufgabencom Lösungen zu den Übungsaufgaben zu exponentiellem und beschränem Wachstum mit Differenzialgleichungen Aufgabe 1 a) Ansatz für die Wachstumsfunion: f(t) = a e mit a = f(0) = 400 2k 1 Außerdem gilt: f(2) = = 400 e k = ln75 = 2, ,5 ln(75) t Also gilt f(t) = 400 e (t in Stunden) 0,5 ln(75) 3 Nach 3 Stunden sind es f(3) = 400 e = Baerien 0,5ln(75) t Zeit, bis es Baerien sind: = 400 e t = 2, 237 Stunden b) Nach 2 Stunden = 120 Minuten sind es Baerien: 120k 1 f(120) = = 400 e k = ln75 = 0, Also gilt: 1 ln(75) t 120 f(t) = 400 e c) Der Bestand kann sich nicht halbieren, da er gemäß der Modellannahme wächst Zeitraum, in dem sich der Bestand verdoppelt = Verdoppelungszeit: 800 = 400 e ln(75) t t = 19,27 Minuten Aufgabe 2 a) Diese Funion muss man nicht zwangsläufig als Exponentialfunion zur Basiszahl e schreiben Es gilt: f(t) t = ,02 (t in Jahren) t 50 b) = ,02 ln = t ln(1,02) t = 24, Vor 24,36 Jahren hatte der Staat 50 Mio Einwohner t 100 c) = ,02 ln = t ln(1,02) t = 10, In 10,64 Jahren wird der Staat die 100 Mio-Grenze überschreiten Aufgabe 3 x a) Die Funion f(x) = ,88 beschreibt den Luftdruck in hpa wobei x die Höhe in 1000 Meter über dem Erdboden beschreibt Luftdruck in m Höhe: f(10) = ,88 10 = 282, 12 hpa 1

2 wwwmathe-aufgabencom b) Höhe, in der der Luftdruck auf die Hälfte gefallen ist: x 506,5 = ,88 ln0,5 = x ln0,88 x = 5,4222 Der Luftdruck ist in einer Höhe von 5422 Meter auf die Hälfte gefallen Aufgabe 4 Der Abbau des Medikaments wird durch ein exponentielles Wachstum beschrieben, da die Halbwertszeit konstant 6 Stunden beträgt a) Ansatz für die Zerfallsfunion: m(t) = m 0 e (m(t) = Menge des Medikaments im Körper nach t Stunden) 6k 1 Es gilt: 0,5 m0 = m0 e k = ln0,5 = 0, ,1155t Damit gilt für die Zerfallsfunion: m(t) = m 0 e b) Nach welcher Zeit befinden sich noch 0,8 m0 im Körper? 0,1155t 0,8 m0 = m0 e 0,1155t = ln(0,8) t = 1,93 Stunden Das Medikament sollte alle 1,93 Stunden eingenommen werden Aufgabe 5 Bei einer Baerienkultur wird die Anzahl der Baerien stündlich bestimmt: Zeit t (in h) Baerienzahl (in Mio) 7,1 7,7 8,3 9,0 9,7 10,5 11,3 7,7 8,3 9,0 9,7 10,5 11,3 a) Es gilt 1, 08 7,1 7,7 8,3 9,0 9,7 10,5 Also liegt angenähert exponentielles Wachstum vor mit einem stündlichen Zuwachs von p = 8% b) Die Wachstumsfunion lautet f(t) = c e 8 Es gilt k = ln 1 + = ln(1,08) = 0, und c = f(0) = 7, ,07696t Somit gilt f(t) = 7,1 e 0, ,5 c) Nach 2,5h: f(2,5) = 7,1 e = 8, 61 ; somit sind es Baerien 1 Stunde vor Beginn: 0,07696 ( 1) f( 1) = 7,1 e = 6, 57 ; somit sind es Baerien 2

3 wwwmathe-aufgabencom Aufgabe 6 8,7 Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit k = ln 1 = 0, ,091t a) Wachstumsfunion: f(t) = 100 e 0,091 6 Masse nach 6 Tagen: f(6) = 100 e = 57, 93 Gramm b) Halbwertszeit = Zeitdauer, bis sich ein bestimmter Bestand auf die Hälfte reduziert hat T ln2 = 7,62 Tage k Halbwertsz eit = Aufgabe7 Aus der Differenzialgleichung ergibt sich als Lösungsfunion d(t) = c e wobei t die Zeit in Minuten darstellt und d(t) die Temperaturdifferenz zwischen dem Kaffee und der Zimmertemperatur Die anfängliche Differenz beträgt 80 C 20 C = 60 C, also d(0) = 60 Die Differenz nach 20 Minuten beträgt 50 C 20 C = 30 C, also d(20) = 30 Ansatz für die Funion: d(t) = 60 e k 20 Mit d(20) = 30 folgt 30 = 60 e k = 0, 0347 und damit d(t) 0,0347t = 60 e Der Kaffee ist auf 30 C abgekühlt wenn sich die Differenz auf 10 C reduziert hat 0,0347t Ansatz: d(t) = 10 60e = 10 t = 51, 6 Minuten Aufgabe 8 a) Es handelt sich um einen exponentiellen Zerfall mit p k = ln 1 = ln(0,25) = 1, Die Differenzialgleichung lautet f (t) = 1,386 f(t) 1,386t b) Die Wachstumsfunion lautet f(t) = c e mit t = Wassertiefe in Meter und f(t) = Lichtintensität in t Meter Wassertiefe 1,386 In 1 m Tiefe: f(1) = c e = c 0, 25, also sind noch 25% der Anfangsintensität vorhanden (ergibt sich auch dire aus der Aufgabenstellung) 2,772 In 2 m Tiefe: f(2) = c e = c 0, 0625, also sind noch 6,25% der Anfangsintensität vorhanden 4,158 In 3 m Tiefe: f(3) = c e = c 0, 0156, also sind noch 1,56% der Anfangsintensität vorhanden 3

4 wwwmathe-aufgabencom 1,386t c) 1 Promille der ursprünglichen Intensität = 0,001 c 0,001c = c e 1,386t 0,001= e t = 4,984 Meter Ab ca 5 Meter ist die Lichtintensität weniger als 1 Promille der ursprünglichen Intensität Aufgabe 9 Aus dem Zufluss von 150 Liter Wasser und dem Abfluss von 0,25% des Wassers ergibt sich die Differenzialgleichung f (t) = 150 0,0025 f(t) Umformung der Differenzialgleichung: f (t) = 0,0025 (60000 f(t)) Es handelt sich hierbei um die Differenzialgleichung f (t) = k (S f(t)), also um ein beschränes Wachstum mit der Wachstumsgleichung f(t) = S + a e 0,0025t Daraus folgt: f(t) = a e Der Anfangsbestand beträgt 20 m³ = dm³ = Liter Wasser Also f(0) = a = a = Wachstumsfunion: f(t) = e 0,0025t Aufgabe 10 Die Geschwindigkeit m (t) ist proportional zur Menge des noch lösbaren Salzes, also zu 60 m(t) Damit ergibt sich als Differenzialgleichung m (t) = k (60 m(t)) mit k = 3 3t Es handelt sich somit um ein beschränes Wachstum mit m(t) = 60 + a e Da zu Beginn noch kein Salz gelöst ist, gilt m(0) = 0 und damit m(0) = 60 + a = 0 a = 60 3t Funionsgleichung: m(t) = e (Die Angabe von 100g ist überflüssig) 3t Dauer, bis 40 g gelöst sind: 40 = e t = 0, 366 Stunden = 22 Minuten Skizze: 4

5 wwwmathe-aufgabencom Aufgabe 11 Aufgrund der Zimmertemperatur gilt y U = 20 Außerdem gilt y (0) = 60 Damit ergibt sich 60 = 20 + a a = 40 Die Wachstumsfunion lautet y Zimmer (t) = e Nach 15 Minuten hat das Wasser eine Temperatur von y Zimmer (15) = 43, 66 C Nun wird das Wasser in den gestellt Da nun y U = 5 ist, muss für diesen Abkühlungsvorgang eine neue Wachstumsfunion aufgestellt werden Mit ykühlschran k (0) = 43, 66 gilt 43,66 = 5 + a a = 38, 66 Die Wachstumsfunion lautet y (t) = ,66 e Dauer, bis sich das Wasser auf 30 C abgekühlt hat: 30 = ,66 e t = 12,46 Minuten Insgesamt dauert es ,46 = 27,46 Minuten, bis sich das Wasser auf 30 C abgekühlt hat Nun soll das Wasser bereits nach 25 Minuten eine Temperatur von 30 C erreichen Zunächst wird das Wasser t* Minuten in das Zimmer gestellt Danach hat es die Temperatur y Zimmer(t*) = e Diese Temperatur y(t*) ist gleichzeitig die Anfangstemperatur, mit der das Wasser in den gestellt wird Für die neue Wachstumsfunion im gilt: y (0) = e = 5 + a a = e y (t) = 5 + ( e ) e Da die gesamte Dauer 25 Minuten betragen soll, kann sich das Wasser im nur noch 25 t* Minuten befinden In dieser Zeit soll es eine Temperatur von 30 C annehmen Also muss gelten: 25 = 15e y 0,875+ 0,035t* + 40e (25 t*) = = 5 + ( e 0,875 8,3255 = 15e 0,875+ 0,035t* ) e 0,035(25 t*) ln(0,555) = 0, ,035t * t * = 8,18 Minuten Das Wasser hätte man nach 8,18 Minuten in den stellen müssen Aufgabe 12 a) Pro Minute kommt 5 mg des Medikaments hinzu und 5% wird ausgeschieden Daraus ergibt sich die Differenzialgleichung f (t) = 5 0,05 f(t) b) Die Differenzialgleichung aus a) stellt ein beschränes Wachstum dar, denn: f (t) = 0,05 (100 f(t)) Aus dieser Differenzialgleichung lässt sich die Sättigungsgrenze von 100 mg ablesen, also ist langfristig 100 mg des Medikaments im Blut vorhanden 5

6 wwwmathe-aufgabencom Aufgabe 13 Da pro Minute 4m³ hinzufließen und 0,8% abfließen, lautet die Differenzialgleichung V (t) = 4 0,008 V(t) Es handelt sich um ein beschränes Wachstum, denn: V (t) = 0,008 (500 V(t)) 0,008t Als Lösungsfunion ergibt sich V(t) = a e Mit V(0) = 600 folgt 600 = a a = 100 0,008t Damit lautet die Funion V(t) = e Der Grenzwert des Wasservorrats entspricht der Sättigungsgrenze S = 500 m³ 6

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