LAP Berufsmatura Mathematik 1. Juni 2015

Transkript

1 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0 Abschlussprüfung 0 Mathematik Lösungen Material Hilfsmittel Zeit Arbeitsblätter, Häuschenblätter netzunabhängiger, nicht programmierbarer Taschenrechner, Formelblatt 0 Minuten Hinweise Beschriften Sie alle Häuschenblätter mit Ihrem Namen und Vornamen. Sie müssen nicht der Reihe nach arbeiten. Kennzeichnen Sie aber jede Aufgabe mit der entsprechenden Nummer und trennen Sie die nächste Nummer mit einer waagrechten Linie ab. Der Lösungsweg muss überall übersichtlich dargestellt werden; unbelegte Resultate werden nicht berücksichtigt! Mehrfachlösungen sind nicht gestattet; Ungültiges ist deutlich zu streichen. Die gültigen Endergebnisse sind deutlich zu kennzeichnen. Die Lösungen und Lösungswege sind auf die bereitgelegten Häuschenblätter zu schreiben, nur die Grafiken werden direkt auf den Aufgabenblättern erstellt. Bewertung Aufgabe mögliche Punktzahl Aufgaben 00 erreichte Punktzahl Note: Unterschrift ExpertIn Unterschrift ExpertIn

2 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen ( /0) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems in der Grundmenge G = Q x Q: + 3 x 6 y+ = 7 6 = x 3 0y+ D x = Q\{3} D y = Q\ { } + 3 (x 3) y+ = 7 6 = x 3 (y+) + 3 0(x 3) (y+) = = 3 x 3 (y+) + 8 = 37 0(x 3) x = 37x 96 = 37x 8 = x + 3 = 7 y+ 3 y+ = 3 3 = 6y + = 6y y = L = {(8 )}. Gleichungen und Ungleichungen ( /6) a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Wurzelgleichung mit G = R. x + + 4x + 3 = 7 4x x + + 4x + 3 = 7 4x x + + x + 4x x + 3 = 7 4x x + 4x + 3 = 0x 4(x + )(4x + 3) = 00x + 0x + 3x + 4x + 80x + 60 = 00x + 0x + Probe: = 68x 84x 9 x ; = 84± x = 9 34 ; x = = 84± = 7 4 ; falsch = 7 4 ; stimmt L = { } Seite /9

3 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0 b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung mit G = R. x lg 9 + lg 8 x lg 4 = lg 6 x(lg 9 lg 4) = lg 6 lg 8 x = lg 6 lg 8 9 x lg 9 lg 4 = 8 4 x = 6 L = { } A c) Geben Sie den Definitionsbereich und die Lösungsmenge der folgenden Logarithmengleichung mit G = R an. log 4 (3x + 9) = log 4 (x + ) log 4 (3x + 9) = log 4 (x + ) D = {x R/x > } = log 4 [(x + ) (3x + 9)] 4 = (x + )(3x + 9) 04 = 3x + 9x + 3x + 9 3x + x 00 = 0 x ; = ± = ± 6 x = ; [x = 67 ] L = {} 3 3. Quadratische Funktionen ( /6) a) Eine Parabel geht durch die Punkte A(0/-), B(-6/8) und C(8/). Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Parabel. b) Gegeben sind die folgenden Funktionsgleichungen: Parabel p: y = 3 0 x + 6 x 9 Gerade g: y = 3 x + 9 b) Bestimmen Sie für die Parabel die Koordinaten des Scheitelpunktes, der Nullstellen und des Schnittpunktes mit der y-achse. (Nicht ganzzahlige Resultate sollen auf zwei Dezimalstellen genau angegeben werden.) b) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Funktionen. b3) Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen ins nachfolgende Koordinatensystem ein. Tragen Sie alle berechneten Punkte ein und beschriften Sie sie. Seite 3/9

4 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0 a) c = 36a 6b = 9 a b = 3 36a 6b = 8 64a + 8b = 6a + b = 0. 64a + 8b = 8a = 3. a = b = 8b = 6 b = 3 4 y = 8 x 3 x 4 b) Scheitelpunkt: xs = b 6 a = =, ys = ( ) + 6 ( ) 9 = 3; S( / 3) 0 Nullstellen: 0 = 3 0 x + 6 x 9 x, = 4± 4 4 ( 6) a 3x + x 8 = 0 x + 4x 6 = 0 = 4± 40 a x =.6, x =.6; N(. 6/0) N(. 6/0) Schnittpunkt mit der y-achse: Sy(0/ 9 ) b) 3 0 x + 6 x 9 = 3 x + 9 3x + x 8 = x x + 7x 08 = 0 x + 9x 36 = 0 (x + )(x 3) = 0 x =, y = 3 ( ) + 9 = 7 x = 3, y = = 9 = 4. S( /7) S( 3/4. ) b3) Punkte eingezeichnet und beschriftet Seite 4/9

5 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0 4. Lineare Optimierung ( /6) Ein Blumengeschäft lanciert eine neue Linie von Blumensträussen. Ihre beiden Spitzenprodukte Love (x) und Luck (y) sollen dabei den Hauptteil des Umsatzes machen. Love soll einen Verkaufspreis von CHF 0. und Luck einen solchen von CHF 70. haben. Von den Love-Sträussen können täglich höchstens 360 Stück verkauft werden. Von der Sorte Luck sollen aber höchstens ein Drittel weniger verkauft werden als von der Sorte Love. Auf der anderen Seite sollen von Love höchstens 0% mehr Sträusse als von Luck abgesetzt werden. Insgesamt muss das Unternehmen aber von beiden zusammen mindestens 600 Sträusse verkaufen. a) Erstellen Sie für das Blumengeschäft die Definitionen, das Ungleichungssystem und die Zielfunktion für den maximalen Umsatz (keine Umformungen verlangt). b) Durch Veränderungen am Markt ergeben sich für die Blumen neu folgende Definitionen, Ungleichungssysteme und Zielfunktion für den maximalen Umsatz: Love: x G = N 0 Χ N 0 Luck: y a: y x + 40; b: x 400; c: y x + 6; d: y x; e: y 60 3 Z = 30x + 90y; c) Zeichnen Sie die Situation in das unten folgende Koordinatensystem ein, kennzeichnen Sie das Planungspolygon und bestimmen Sie mit Hilfe von z 0 den Punkt für die Produktion mit maximalem Umsatz. a) Love: x A G = N 0 Χ N 0 Luck: y a: x 360 b: y x 3 c: x.y d: x + y 600 Z = 0x + 70y 4 Seite /9

6 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0 b) c) x + 6 = x x = 304; x = 09; y = = 3; P max(09/3) Z = = 3 0 Der maximale Umsatz beträgt CHF 3 0. bei 09 Love- und 3 Luck- Sträussen.. Finanzmathematik ( /7) a) Welches Kapital hatte ein Bankkunde zu Beginn angelegt, wenn das Konto nach 0 Jahren einen Saldo von CHF aufweist? Dabei hat er nach den ersten 8 Jahren CHF 000. abgehoben. Die Bank gewährte dem Kunden immer einen Zinssatz von 0.7%. vor Jahren: K 0 = = gerundet vor 0 Jahren: K 0 = = gerundet Das Kapital betrug CHF Seite 6/9

7 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0 b) Wie hoch war der Zinssatz eines Kapitals von CHF 000., welches in Jahren auf CHF angewachsen ist? Der Zinssatz betrug 0.8% q = = c) Wie lange muss eine Maschine mit einem Kaufpreis von CHF degressiv abgeschrieben werden, bis sie noch maximal den symbolischen Wert von CHF. hat, wenn der Abschreibungssatz 30% des jeweiligen Buchwertes beträgt?? n = lg lg lg 0.7 = 3.79 Die Maschine wird in 36 Jahren abgeschrieben worden sein. 6. Textaufgaben ( /7) Ein Käufer erwarb vor zwei Jahren Aktien zum Preis von CHF 00. pro Stück. Erfreut stellte er fest, wie der Wert der Aktien während des ersten Jahres stieg. Im zweiten Jahr aber erfolgte ein massiver Kursverlust und eine Aktie hat jetzt noch einen Kurswert CHF Dabei haben die Aktien im zweiten Jahr vier Mal so viel Prozent an Wert verloren, wie sie im ersten Jahr dazu gewonnen haben.. a) Wie viele Prozent haben die Aktien im ersten Jahr gewonnen? b) Wie viele Prozent haben sie insgesamt verloren? a). Jahr: p = 00 + p 00. Jahr : 00 + p (00+p) 4p 00 = 30.0 / p 000p 0p = = 0p + 00p 9 89 p, = 00± p =. ; [p =.. ] Der Zuwachs betrug im ersten Jahr.%. = 00± b) = 60. Verlust insgesamt: % Seite 7/9

8 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0 7. Lineare Funktionen ( /) Ein Reiseunternehmen will Ferien für eine Woche Kreta anbieten und hat dazu Offerten von zwei Hotels eingeholt. Hotel Aphrodite Beach verlangt eine Pauschale von CHF ; darin eingeschlossen sind 00 Übernachtungen. Jede zusätzliche Übernachtung kostet CHF 60. mehr. Im Hotel Blue Sea müssen für 0 Übernachtungen CHF 760. und für 00 Übernachtungen CHF bezahlt werden. Es wird auch eine Reservationstaxe verlangt. Ab 30 Übernachtungen reduziert sich der Preis für jede weitere Übernachtung um %. a) Erstellen Sie die Funktionsgleichungen für die Angebote der beiden Hotels. b) Tragen Sie den Sachverhalt ins folgende Koordinatensystem ein. c) Wie gross ist bei Angebot Blue Sea die Reservationstaxe? d) Für welche Übernachtungszahlen ist die Offerte von Aphrodite Beach und für welche die Offerte von Blue Sea günstiger? a) Angebot A: x 00 y A = x > 00 y A = 60(x 00) y A = 60x 000 b) Angebot B: m = = 64; 760 = b; b = 480 x 30 y B = 64x x > 30 y B = 48(x 30) y B = 48x + 60 Alternative: b) + Punkt d) Punkt c) Sie liegt bei CHF d) 600x 000 = 48x + 60 x = 4 60; x = 380; y = = x = 4 000; x = A wählt man zwischen und 380 Tagen und sonst B. Seite 8/9

9 LAP Berufsmatura Mathematik. Juni 0 8. Algebraische Umformungen ( /3) a) Fassen Sie den folgenden Term zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfachen Sie: log a (x 4 y ) log a (x y) log a(y + x ) log a (x 4 y ) log a (x y) log a(y + x (x + y) (x y) ) = log a (x y) (x + y) = log a (x + y) (x y) b) Vereinfachen Sie: 4x 6x x 3x 4x 6x x 3x = 4(x 4x + 4) 6(x + x 8) = 4(x ) (x ) = 6(x )(x + 4) 4(x + 4) oder x 4(x + 4) c) Vereinfachen Sie: 3x+4 + x x+6 x 6 6x 6x+8 3x+4 + x x+6 x 6 6x = 3x+4 + 6x+8 (x+3) x (x 3) 6x = (x 3)(3x+4)+( x)(x+3) x(x 3) = 6(x+3) (x+3)(x 3) 3x +4x 9x +x+6 x 3x x +6x (x+3)(x 3) = 6 = 3 (x+3)(x 3) (x+3)(x 3) d) Berechnen Sie folgenden Logarithmus: 4 log b ( b 6 7) 4 log b ( b 6 7) = log b (b8) 6 = 3 4 Seite 9/9