LAP Berufsmatura BM2 Mathematik 2. Juni 2016

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1 LAP Berufsmatura BM Mathematik. Juni 06 Abschlussprüfung 06 Mathematik BM Lösungen Material Hilfsmittel Zeit Arbeitsblätter, Häuschenblätter netzunabhängiger, nicht programmierbarer Taschenrechner, Formelblatt 0 Minuten Hinweise Beschriften Sie alle Häuschenblätter mit Ihrem Namen und Vornamen. Sie müssen nicht der Reihe nach arbeiten. Kennzeichnen Sie aber jede Aufgabe mit der entsprechenden Nummer und trennen Sie die nächste Nummer mit einer waagrechten Linie ab. Der Lösungsweg muss überall übersichtlich dargestellt werden; unbelegte Resultate werden nicht berücksichtigt! Mehrfachlösungen sind nicht gestattet; Ungültiges ist deutlich zu streichen. Die gültigen Endergebnisse sind deutlich zu kennzeichnen. Die Lösungen und Lösungswege sind auf die bereitgelegten Häuschenblätter zu schreiben, nur die Grafiken werden direkt auf den Aufgabenblättern erstellt. Bewertung Aufgabe mögliche Punktzahl Aufgaben 80 erreichte Punktzahl Note: Unterschrift ExpertIn Unterschrift ExpertIn

2 LAP Berufsmatura BM Mathematik. Juni 006. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen ( /0) Bestimmen Sie die die Definitions- und die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems in der Grundmenge G = R x R: () x x = 8 5 3y x 5 4x = y + y + x x = 8 D 5 3y x = R\ {/ 4 }, D y = R\ { 5 3 / } x(5 3y) (x )(5 3y) = 8(x ) 5x 3xy 5x + 3xy + 0 6y = 8x 6 6 = 8x + 6y 3 = 4x + 3y 3 () x 5 4x = y + y + 4xy + x 0y 5 = 4xy y + 8x 3 = 6x + 9y () = x + 3y () 3 = 4x + 3y () () 4 = x; x = 7 in () 3 = y; y = 5 L = {(7/ 5)}. Gleichungen und Ungleichungen ( /7) a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der folgenden Wurzelgleichung in G = R. (Die Definitionsmenge ist nicht verlangt.) (6) x x = 3 x x = 3 /( ) x x x + x = 9 / 4x 4 x x + x = 8 / 5x 4 x x = 8 5x / ( ) 4 x x = 5x 8 /( ) 6 x x = 5x 80x + 34 / 6x 0 = 9x 80x + 34 = x 0x + 36 = (x )(x 8) x = ; Probe: 0.5 = 3 = 3 falsch x = 8; Probe: = = 3 stimmt L = {8} Seite /8

3 LAP Berufsmatura BM Mathematik. Juni 006 b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der folgenden Exponentialgleichung in G = R. 5 = 5 x 5x 5 4 (5) 5 = 5 x 5x = 5 x (5 ) x (5 3 ) 4 5 = 5 x 5x 5 5 = 5 x+x = 5 x = x x = 4 L = {4} c) Geben Sie den Definitionsbereich D und die Lösungsmenge L der folgenden Ungleichung in G = Z an. (6) (3x 3x ) 4x (x + 5) x (5 8x) x 4x 3x 4x + x x + 8x x 4 3 x + 5x x x (3x 3x ) 4x (x + 5) x (5 8x) D = Z\{0} x L = { ; 3; 4; } Quadratische Funktionen ( /) Die Funktion y = 80 x x + 0 beschreibt die Form des Tragseils einer Hängebrücke 3 gemäss untenstehender Skizze, wobei x und y Distanzen in Metern bedeuten. y Tragseil Aufhängeseile x =Fahrbahn a) Wie viele Meter hängt das Tragseil an seiner tiefsten Stelle über der Fahrbahn? (3) b) In welcher Distanz zur Brückenmitte befinden sich die Aufhängeseile, die genau 8,04 Meter hoch sind? (4) c) Gegeben sei die Exponentialfunktion y = x (D = R + ). Bilden Sie die Umkehrfunktion und zeichnen Sie diese in das unten folgende Koordinatensystem ein. (4) Seite 3/8

4 LAP Berufsmatura BM Mathematik. Juni 006 Lösungen: a) Scheitelpunkt berechnen: y = x x 3 a = /80, b = -/3, c = 0 S( b b c ) a 4a S( ( 3 ) 80 S(30 5) 0 ( 3 ) ) 4 80 Die Brücke hängt an ihrer tiefsten Stelle 5 m oberhalb der Fahrbahn. b) x-wert berechnen: y = 80 x = 80 x 3 0 = x + 0 x + 0 x x 3 a = /80, b = -/3, c =.958 x, = b± b 4ac x = x = a 3 + 0, , =53.4 = 6.6 8,04 m hohe Aufhängevorrichtungen befinden sich 3,4 m vor und 3,4 m nach der Brückenmitte. c) y = x x = y lg (x) = lg (x) y lg () = y y = log lg () (x) Seite 4/8

5 LAP Berufsmatura BM Mathematik. Juni Finanzmathematik ( /7) a) Welches Kapital muss eine Stiftung anlegen, wenn sie in 0 Jahren ein ungefähres Stiftungsvermögen von CHF angehäuft haben will und sie mit einem Zinssatz von 0.75% rechnen kann (runden Sie auf CHF 000. genau)? () b) Ein Kapital von CHF wird fest zu.5% verzinst. Nach 5 Jahren wird eine Einzahlung gemacht. Danach läuft das Konto weitere 5 Jahre. Damit hat sich ein Vermögen von CHF angehäuft. Wie hoch war die Einzahlung? (3) c) Wie viele Jahre muss ein Kapital von CHF 000. zu.5% verzinst werden, damit es auf CHF anwächst. () a) k 0 = = Es müssen CHF angelegt werden. b) k 5 = = k 0 = = Die Einzahlung betrug CHF c) n = lg9.45 lg000 lg.05 =.936 Es muss 3 Jahre angelegt werden. 5. Textaufgaben ( /6) Eine Badewanne kann durch eine Kaltwasser- sowie eine Warmwasserzuleitung gefüllt und durch den Ablauf entleert werden. Ist bei geschlossenem Abfluss nur die Kaltwasserleitung offen, dauert das Füllen der leeren Badewanne 5 Minuten, die Warmwasserleitung alleine füllt die leere Badewanne in Minuten. Der Ablauf alleine entleert die volle Badewanne in 0 Minuten. Nun wird die leere Badewanne bei geschlossenem Ablauf durch die voll aufgedrehten beiden Zuleitungen gefüllt. Weil das Badewasser zu heiss ist, wird in den letzten drei Minuten die Heisswasserzuleitung geschlossen und dafür der Abfluss maximal geöffnet. Wie lange dauert so das Füllen der Badewanne? Lösen Sie mit Hilfe einer Gleichung. Kaltwasserzuleitung Füllzeit Entleerungszeit 5 Min. Warmwasserzuleitung Min. Abfluss 0 Minuten Anteil pro Min Dauer in Minuten X+3 5 x 3 0 x + x = / x + 5x + 9 = 60 9x = 57; x = 6.33 Das Füllen der Badewanne dauert 9.33 Minuten. Seite 5/8

6 LAP Berufsmatura BM Mathematik. Juni Lineare Funktionen ( /3) In Ihrem letzten Urlaub haben Sie viele tolle Fotos geschossen. Einige von diesen möchten Sie nun als Fotoposter an die Wand hängen. Bei fotocolor.ch kostet ein solches Poster im Format 35x50 cm CHF.. Für eine Bestellung ab 0 solchen Ausdrucken offeriert Ihnen fotocolor.ch einen Rabatt von 37.5% auf jedes bestellte Poster. Bei printpicture.ch bezahlen Sie für 4 Poster CHF 38. und für Poster CHF 94.. a) Geben Sie die Funktionsgleichungen für die Angebote von fotocolor.ch und printpicture.ch an. (6) b) Zeichnen Sie anschliessend diese Funktionsgleichungen ins folgende Koordinatensystem ein. (4) c) fotocolor.ch: Ab welcher Anzahl lohnt es sich schon, auf das Angebot mit den 37.5% Rabatt umzusteigen, anstatt den anderen Tarif zu zahlen? () d) Für welche Anzahl an Postern ist printpicture.ch günstiger als fotocolor.ch? Lesen Sie aus Ihrer Grafik ab oder berechnen Sie! () a) Sei x die Anzahl Poster und y der Preis in CHF: b) fotocolor.ch yf = x für 0 x < 0 yf = 7.5x für x 0 printpicture.ch m = = 56 = = b; b = 0 yp = 7x+0 3 c) fotocolor.ch Angebot : Start bei 0 Postern y f = = 75 Schnittpunkt: y f = 75 = x; x = 6.5. Ab 7 Poster schon Angebot wählen. d) printpicture ist zwischen und 9 und dann ab 0 Postern günstiger. Seite 6/8

7 LAP Berufsmatura BM Mathematik. Juni Algebraische Umformungen ( /0) a) Vereinfachen Sie den folgenden Logarithmus-Term so weit wie möglich: (5) lg( 000uv 4 ) lg u lg(0v ) b) Vereinfachen Sie und geben Sie das Ergebnis ohne negative und ohne gebrochene Exponenten an. (5) Lösungen: a) 4 a 7 3 a 5 u 0v a a a 80 lg( 000uv 4 ) lg u lg(0v ) = lg ( 000uv 4 ) = lg (00uv) = lg (0 u v ) = lg0 + lg (u v ) = + lg (u v ) = + lgu + lgv oder lg( 000uv 4 ) lg u lg(0v ) = lg lgu + 4 lgv lg (u ) (lg0 + lgv) = 3 + lgu + 4 lgv lgu lgv = + lgu + lgv u oder falls die Klammer vergessen wird lg( 000uv 4 ) lg u lg(0v ) = lg lgu + 4 lgv lg (u ) lg0 + lgv = 3 + lgu + 4 lgv lgu + lgv = + lgu + 6 lgv 4 a 7 3 a 5 50 a 80 4 b) a 3 = a 7 5 a3 a a5 a 3 = a 4 a a 8 5 a5 a 3 a5 = a = a = = 30 a a Seite 7/8

8 LAP Berufsmatura BM Mathematik. Juni Datenanalyse ( /6) Folgende Tabelle zeigt die Leistungen einer Klasse bei einer Prüfung in Mathematik. Note Anzahl Prüfungen a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel (auf Hundertstel genau) und den Median der Prüfungsergebnisse. () b) Bestimmen Sie die Standardabweichung der Daten (auf Hundertstel genau). (4) Lösungen: a) Durchschnitt: Median =. Wert = 4. 5 = 97 = 4.7 = 4. 3 b) Varianz: (6 4.) +5 (5 4.) +6 (4.5 4.) +3 (4 4.) +4 (3.5 4.) + (3 4.) + ( 4.) =.049 Standardabweichung:.049 =.05 =. 05 = Seite 8/8