Mathematik I für Wirtschaftsinformatiker

Transkript

1 Zahlensysteme, Ungleichungen, Beträge

2 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Aufbau des Zahlensystems (I) Natürliche Zahlen N = {1, 2, 3,... } = Summe m + n und Produkt m n natürlicher Zahlen sind wieder natürliche Zahlen. Aber: Das Ergebnis von 3 5 = 2 liegt nicht in den natürlichen Zahlen. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } Ganze Zahlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Erweiterung von N um 0 und negative Zahlen = Subtraktion uneingeschränkt durchführbar. Aber: Das Ergebnis von 3 liegt nicht in den ganzen Zahlen. 5

3 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Aufbau des Zahlensystems (II) Rationale Zahlen (Brüche) Q = { p : p Z, q N} q = Division uneingeschränkt durchführbar (auÿer durch 0). Bsp.: x = 0, 43 = 0, = 43 ist eine rationale Zahl. 99 Aber: Umkehr des Quadrierens nicht immer möglich. x 2 = 2 x = 2 ist keine rationale Zahl (kann nicht als Bruch dargestellt werden). Reelle Zahlen R = {a, b 1 b 2 b 3... : a Z und b 1, b 2, b 3, {0, 1,..., 9}} Alle Zahlen, die sich auf dem Zahlenstrahl darstellen lassen. Reelle Zahlen, die nicht abbrechend und nicht periodisch sind, heiÿen irrationale zahlen. 2 = 1, bzw. e = lim m ( ) m = 2, sind irrationale Zahlen. m Es gilt N N 0 Z Q R

4 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Der Computer rechnet mit Zahlen nicht im Dezimalsystem (Zehnersystem) wie wir, sondern er verwendet als Darstellung das Dualsystem bzw. das Hexadezimalsystem. Zahlensystem Basis zulässige Ziern Dualsystem 2 0,1 Oktalsystem 8 0,1,2,3,4,5,6,7 Hexadezimalsystem 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Dezimalsystem 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A F stehen dabei für die Zahlen

5 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Darstellung als Dualzahl: Beispiele Zählen im Dualsystem: dezimal dual dezimal dual Wert der (Dual-)Zahl 1101 im Dezimalsystem: = = = Der Index gibt die Basis des verwendeten Zahlensystems an.

6 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Darstellung als Dualzahl Die Basis ist der Schlüssel für den Wert einer Zahl: Beispiel: 59, , x = ,1 + 0,06 + 0,003 = 59, Beispiel: 10, , x = , ,125 = 2, Wie lassen sich Dezimalzahlen als Dualzahl darstellen?

7 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl (I) Beispiel: Umwandlung von 41, in eine Dualzahl. Es wird zwischen dem ganzen und dem gebrochenen Teil (Nachkommastellen) unterschieden. Ganzer Teil: 41 (Divisionsmethode) 41 : 2 = 20 Rest 1 20 : 2 = 10 Rest 0 10 : 2 = 5 Rest 0 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der errechneten Reste von unten nach oben:

8 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl (II) Gebrochener Teil: 0,8125 (Multiplikationsmethode) 0, = 1, 625 Wert vor dem Komma 1 0, = 1, 25 Wert vor dem Komma 1 0, 25 2 = 0, 5 Wert vor dem Komma 0 0, 5 2 = 1, 0 Wert vor dem Komma 1 0, 0 2 = 0, 0 Wert vor dem Komma 0 Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der errechneten Reste von oben nach unten: 0, Insgesamt ergibt sich: 41, = ,

9 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl (III) Kontrolle: z i , i = z i 2 i , 0, 5 0, , z i 2 i = 41, 8125 i= 4

10 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Umwandlung einer Dualzahl in eine Oktal- bzw. Hexadezimalzahl (I) Dualzahlen sind im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang und schwer zu überschauen. Dies hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt (Basis 16). Da 16 eine Potenz von 2 ist (16 = 2 4 ), ist es besonders einfach möglich, Dualzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Dazu werden je vier Stellen der Dualzahl durch eine Hexadezimalstelle ersetzt. Die Länge der dargestellten Zahlen verringert sich dadurch um den Faktor vier. Analog geht man bei der Umrechnung ins Oktalsystem vor: 8 ist 2 3, daher werden je drei Stellen der Dualzahl durch eine Oktalstelle ersetzt.

11 Reelle Zahlen Dual-, Oktal-, Hexadezimalsystem Umwandlung einer Dualzahl in eine Oktal- bzw. Hexadezimalzahl (II) Beispiel: 41, = , Dualzahl = }{{} }{{} 001, }{{} }{{} = 51, 64 8 Oktalzahl 4 = 0010 }{{} 1001 }{{}, = 29, D 16 Hexadezimalzahl 2 9 }{{} 13 =D

12 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Ungleichungen (I) Anders als bei Gleichungen sind Terme der linken und der rechten Seite einer Ungleichung durch ein Ungleichheitszeichen (<,, oder >, ) verbunden. Oft ist es ratsam sich eine Ungleichung an einem Zahlenstrahl zu veranschaulichen. Beim Vergleich reeller Zahlen gilt stets genau einer der drei Fälle: a < b, a > b, a = b. a < b bedeutet a liegt auf dem Zahlenstrahl links von b.

13 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Ungleichungen (II) Was passiert, wenn ich auf beiden Seiten der Ungleichung dasselbe addiere? Die Punkte auf dem Zahlenstrahl rutschen nach rechts, der Abstand bleibt derselbe, linke Seite bleibt kleiner als rechte Seite. Was passiert, wenn ich auf beiden Seiten der Ungleichung dasselbe subtrahiere? Die Punkte auf dem Zahlenstrahl rutschen nach links, der Abstand bleibt (wie bei der Addition) derselbe, linke Seite bleibt kleiner rechte Seite. = Addition und Subtraktion sind Äquivalenzumformungen, bei denen sich nichts am Abstand ändert (das Ungleichheitszeichen bleibt unverändert).

14 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Ungleichungen (III) Was passiert, wenn ich beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziere bzw. durch dieselbe positive Zahl dividiere? Die Bildpunkte ändern ihre Entfernung, der Bildpunkt von a liegt aber weiterhin links vom Bildpunkt von b. Was passiert, wenn ich beide Seiten der Ungleichung mit (1) multipliziere? Dies bedeutet eine Spiegelung der Punkte am Nullpunkt, der Bildpunkt von a liegt nun rechts vom Bildpunkt von b. Das bedeutet, dass sich das Ungleichheitszeichen ändert: a < b = b < a

15 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Ungleichungen Als Fazit ergeben sich beim Multiplizieren und Dividieren Unterschiede zum Umgang mit Gleichungen: Gleichungen Ungleichungen a = b a < b a ± c = b ± c a ± c < b ± c { FU ac < bc für c > 0 ac = bc (für c 0) ac > bc für c < 0 Merke: Wird eine Ungleichung mit einer Variablen multipliziert, so ist eine Fallunterscheidung (FU) notwendig.

16 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel I Berechne die Lösungsmenge von x + 2 Fallunterscheidung: x (x 1). x 1 > 0 bzw. x > 1 = x (x 1) = 1 3 x x 7 3 x 7 2 Widerspruch zu x > 1 = L a = x 1 < 0 bzw. x < 1 = x (x 1) = 1 3 x x 7 3 x 7 2 Lösungsmenge L b = [ 72 ), 1

17 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel I (Forts.) Bezeichnungen für Intervalle: [a, b] = {x R : a x b} (a, b] = {x R : a < x b} (a, b) = {x R : a < x < b} (a, ) = {x R : a < x} Runde Klammer: Randpunkt gehört nicht zum Intervall Eckige Klammer: Randpunkt gehört zum Intervall Für unser Beispiel gilt damit die Lösungsmenge: L = L a L b = [ 72 ), 1

18 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel II Welche Lösung besitzt die Ungleichung 1 x 2 < 4? Tipp: Bringe Ausdruck in die Form einer Quadratischen Gleichung. 1 x 2 < 4 1 < 4x 2 Die Gleichung 4x 2 = 1 ist erfüllt für x 1 = 1; 2 x 2 = 1 2. Die Ungleichung ist erfüllt für alle x, die kleiner als 1 2 und gröÿer als 1 2 sind. x = 1 x 2 = 1 > 1 4 Test: x = 0 x 2 = 0 < 1 4 x = 1 x 2 = 1 > 1 4

19 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Ungleichungen: Beispiel III mit zwei Variablen Welche Lösung besitzt die Ungleichung x + 7 y 3? x + 7 y 3 x y 4 y 4 x y 4 + x = L = {(x, y) : y 4 + x} Randgerade: y = 4 + x

20 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Oft interessiert nur die absolute Abweichung von einem Wert, nicht das Vorzeichen (Bsp.: Messgenauigkeit von Instrumenten). Denition: Betrag von a { a falls a 0 a = a falls a < 0 oder a = a 2 Merke: Fallunterscheidungen sind notwendig!

21 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Beispiel: Betragsfunktion f (x) = x 2 1 Kritische Stellen sind Stellen, an denen der Betrag das Vorzeichen wechselt, hier: x 2 = 1 bzw. x = 1 oder x = 1. Anhand dieser Stellen kann die Fallunterscheidung vorgenommen werden. Fallunterscheidung: x 2 1 { x = 2 1 für x 1 und x 1 (x 2 1) für 1 < x < 1

22 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Beträgen: Beispiel (I) Gesucht: alle Zahlen, die sich von 5 um weniger als 0,5 unterscheiden. 5 x < 0, 5. Kritische Stelle: x = 5 Fallunterscheidung: 1) x 5 : 5 x < 0, 5 x > 4, 5 = L 1 = (4, 5; 5] 2) x > 5 : (5 x) < 0, 5 x < 5, 5 = L 2 = (5; 5, 5) Für die Lösungsmenge L gilt damit: L = L 1 L 2 = (4, 5; 5, 5)

23 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Beträgen: Beispiel (II) Gesucht: alle Lösungen der Ungleichung 3x x + 1 x Kritische Stellen: x 1 = 1 und x 2 = 0. Fallunterscheidung: a) x 0 : 3x x + 1 x x 1 3 = L a = [0; 1 3 ] b) 1 x < 0 : 3x x + 1 x x 1 3 = L b = [ 1 3 ; 0) c) x < 1 : 3x (x + 1) x 1 x = L c = Bei der Lösungsmenge muss die Annahme über den Wertebereich von x berücksichtigt werden. [ L = L a L b L c = 1 3 ; 1 ] 3

24 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Beträgen: Beispiel (III) Gesucht: alle Lösungen von y = x Fallunterscheidung: a) x 0, y 0 : y = x b) x 0, y < 0 : y = x y = x c) x < 0, y 0 : y = x d) x < 0, y < 0 : y = x y = x

25 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen: Beispiel y 2 + x 2 2 Kritische Stelle: y = 2 Fallunterscheidung: a) y 2 bzw. y 2 0: y 2 + x 2 2 y 4 x 2 L a = {(x, y) : 2 y 4 x 2 } b) y < 2 bzw. y 2 < 0: (y 2) + x 2 2 y x 2 L b = {(x, y) : x 2 y < 2} L = L a L b = {(x, y) : x 2 y 4 x 2 }

26 Rechnen mit Ungleichungen Rechnen mit Beträgen Rechnen mit Beträgen und Ungleichungen Rechnen mit Beträgen/Ungleichungen: Zusammenfassung Wann wird eine Fallunterscheidung notwendig? Funktion enthält... Fallunterscheidung (FU) Ungleichung: FU bei Multiplikation; falls Zahl neg., Ungleich-Zeichen dreht sich um Beträge: FU, wo Betrag das Vorzeichen wechselt f ( x ): x 0; x < 0 f ( x a, x b ): (drei Fälle) kritische Stellen: x = a; x = b Annahme: a < b x a; a < x < b; x b f ( x, y ): x 0, y 0 x < 0, y 0 (vier Fälle) x 0, y < 0 x < 0, y < 0

27 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Bei der linearen Optimierung handelt es sich um ein Verfahren zur Bestimmung des Minimums oder Maximums einer linearen Zielfunktion, wobei zusätzlich einschränkende Bedingungen (so genannte Randbedingungen in Form linearer Gleichungen oder Ungleichungen) erfüllt sein müssen. gehört zu den am meisten in der Praxis eingesetzten Entscheidungsmodellen, da eine Vielzahl praktischer Probleme zumindest angenähert durch eine Menge linearer Gleichungen und Ungleichungen beschrieben werden können.

28 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Erstellung eines Linearen Programms Bei der Formulierung/Erstellung linearer Programme sind drei Schritte zu vollziehen: 1. Identizierung der entscheidenden Variablen und Benennung jeder Variablen mit einem Symbol. 2. Identizierung der zu beachtenden Nebenbedingungen als Funktionen der Variablen. 3. Identizierung der Zielfunktion als Funktion der Variablen.

29 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Erstellung eines Linearen Programms: Beispiel (I) Mischungsproblem: Ein Unternehmen produziert zwei Produkte A und B mit Hilfe von zwei Rohstoen, die nur in begrenzten Mengen verfügbar sind. Es soll aber möglichst viel Gewinn erzielt werden. Produkt A Produkt B Verfügbar Rohsto Rohsto Gewinn 5 4 Aus einer Marktanalyse weiÿ man, dass die maximale Nachfrage für Produkt B höchstens 2 Mengeneinheiten beträgt. Auÿerdem soll die Produktionsmenge für Produkt B höchstens eine Mengeneinheit mehr als die Produktionsmenge von Produkt A betragen. Um diese Problemstellung nun in die Form eines LP-Modells zu bringen, geht man wie folgt vor:

30 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Erstellung eines Linearen Programms: Beispiel (II) Mischungsproblem: 1. Identizierung und Benennung der Variablen: x 1 : Produktionsmenge Produkt A x 2 : Produktionsmenge Produkt B 2. Identizierung der Nebenbedingungen (NB): NB I: 6x 1 + 4x 2 24 (Verfügbarkeit von Rohsto 1) NB II: 1x 1 + 2x 2 6 (Verfügbarkeit von Rohsto 2) NB III: x x 1 (Obergrenze für Produktionsmenge von B) NB IV: 1x 2 2 (Maximale Nachfrage für Produkt B) NB V: Nichtnegativitätsbedingungen: x 1, x 2 0 (Mengen sind gröÿer Null) 3. Zielfunktion: Z = 5x 1 + 4x 2 (Gewinn)

31 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Erstellung eines Linearen Programms: Beispiel (III) Mischungsproblem: Das Lineare Programm lautet dann wie folgt: Max. Z = 5x 1 + 4x 2 3x 1 + 2x 2 12 x 1 + 2x 2 6 u. d. B. x 1 + x 2 1 x 2 2 x 1, x 2 0

32 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Lösung eines Linearen Programms (graphisch) Wir interpretieren die Zahlenpaare (x 1, x 2 ) als Punkte der xy-ebene. Zur Lösung eines linearen Programms werden folgende Schritte durchgeführt: 1. Einzeichnen des zulässigen Bereichs. 2. Einzeichnen einer Isoniveaulinie (Isoquante) für die Zielfunktion. Falls Maximum gesucht wird: Parallelverschieben der Isoniveaulinie bis zum Maximum. Falls Minimum gesucht wird: Parallelverschieben der Isoniveaulinie bis zum Minimum. 3. Berechnen der exakten Koordinaten des Optimums.

33 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Der zulässige Bereich Der zul. Bereich wird aus den Nebenbedingungen erstellt. Jede Gleichung beschreibt eine Gerade in der xy-ebene. Jede Ungleichung (der Nebenbedingungen) beschreibt eine Halbebene in der xy-ebene. Den Rand dieser Halbebene erhalten wir aus der Ungleichung, wenn wir das - oder -Zeichen durch = ersetzen. Durch Einsetzen eines Testpunkts in die Ungleichung erhalten wir die gesuchte Halbebene. Beispiel: Der Rand der Halbebene x 1 + 2x 2 6 ist gegeben durch x 1 + 2x 2 = 6. Durch Einsetzen erhält man: der Ursprung (0, 0) gehört zur gesuchten Halbebene.

34 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Der zulässige Bereich In unserem Beispiel sieht der zulässige Bereich folgendermaÿen aus:

35 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Die Isoniveaulinie Gegeben: Zielfunktion, im Beispiel: Z = 5x 1 + 4x 2. Für jeden Wert c bestimmt die Funktion 5x 1 + 4x 2 = c eine Gerade. Alle Punkte dieser Geraden erfüllen Zielwert = c, diese Gerade heiÿen Isoniveaulinien. Alle Isoniveaulinien (d.h. Geraden für c R) sind parallel. Es genügt eine Isoniveaulinie, z. B. für c = 0 zu zeichnen. Alle anderen Isoniveaulinien erhalten wir durch Parallelverschiebung. Beispiel: Isoniveaulinien der Zielfunktion Z = 5x 1 + 4x 2 : c = 0 : 5x 1 + 4x 2 = 0 = x 2 = 5 4 x 1 c = 20 : 5x 1 + 4x 2 = 20 = x 2 = x 1 c = 40 : 5x 1 + 4x 2 = 40 = x 2 = x 1

36 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Parallelverschieben Eine gezeichnete Isoniveaulinie wird solange parallelverschoben, bis der Rand des zulässigen Bereichs erreicht wird. Maximum oder Minimum (Test: ist der Zielwert eines anderen Punktes des zulässigen Bereichts gröÿer oder kleiner). Die Isonutzenlinie wird solange in die andere Richtung parallelverschoben, bis der Rand des zulässigen Bereichs erreicht wird. Minimum oder Maximum.

37 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Parallelverschieben Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass das Optimum entweder in einem Punkt oder in einer Strecke angenommen wird. Dieser Punkt (bzw. die Endpunkte dieser Strecke) ist der Schnittpunkt zweier Begrenzungsgeraden. Die (exakte) Lösung wird durch den Schnitt der aus der Zeichnung ersichtlichen Begrenzungsgeraden berechnet. Im Beispiel liegt das gesuchte Maximum im Schnittpunkt der Geraden 3x 1 + 2x 2 = 12 und x 1 + 2x 2 = 6. Die Koordinaten sind x 1 = 3, x 2 = 1, 5 Der max. Gewinn beträgt 5x 1 + 4x 2 = , 5 = 21.

38 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Lösbarkeit Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die abhängig sind vom zulässigen Bereich und von der Zielfunktion: Es gibt genau eine Lösung (Lösung ist eine Ecke) Es gibt unendlich viele Lösungen (sind zwei benachbarte Punkte Lösung, so auch die gesamte Verbindungsstrecke) Es gibt keine Lösung, weil der zulässige Bereich in Richtung Optimum unbeschränkt ist. Es gibt keine Lösung, weil der zulässige Bereich leer ist (d. h. es gibt keinen Punkt, der alle Nebenbedingungen erfüllt.

39 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Lösung eines Linearen Programms allgemein Die graphische Lösung ist nur dann möglich, wenn man den zulässigen Bereich und die Zielfunktion zeichnen kann. Dies geht mit zwei, max. drei Entscheidungsvariablen. Bei mehreren Variablen muss eine analytische Lösung gefunden werden. Für die allgemeine Lösung halten wir fest: Das Optimum liegt stets (auch) auf einer Ecke. Bei zwei Entscheidungsvariablen sind die Ecken Schnittpunkte von zwei Geraden, d. h. Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen. Bei n Variablen sind die Eckpunkte Lösungen eines Systems von jeweils n Gleichungen.

40 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Allgemein: Lineares Programm mit zwei Variablen Ein lineares Programm mit zwei Entscheidungsvariablen ist allgemein gegeben durch Max. Z = αx 1 + βx 2 a 1 x 1 + b 1 x 2 c 1 a 2 x 1 + b 2 x 2 c 2 u. d. B. a 3 x 1 + b 3 x 2 c 3... a n x 1 + b n x 2 c n Zielfunktion Lösungsmenge jeder Ungleichung ist eine Halbebene, also der Bereich unter oder über der Gerade a i x 1 + b i x 2 = c i.

41 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Allgemein: Lineares Programm mit zwei Variablen Die Eckpunkte ergeben sich als Schnitt zweier Grenzgeraden, d.h. als Lösung von a i x 1 + b i x 2 = c i a j x 1 + b j x 2 = c j Durch die Zielfunktion werden Geraden bestimmt, für die die Zielfunktion den gleichen Wert annimmt (Z = γ). Die optimale Lage der Geraden αx 1 + βx 2 = γ ergibt sich durch Parallelverschiebung. Die Lösung liegt in einem Eckpunkt (falls die Lösungsmenge beschränkt ist) oder auf der Strecke zwischen zwei Ecken. Rechenstrategie: Berechne Zielfunktion in allen Eckpunkten und vergleiche die Werte. Im optimalen Punkt ist die Zielfunktion maximal.

42 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Beispiel: Lösung durch Berechnung der Eckwerte Eckenmethode für das Beispiel Mischungsproblem: Die Werte der Zielfunktion 5x 1 + 4x 2 an den Eckpunkten stehen in folgender Tabelle: (0 0) 0 (0 1) 4 (1 2) 13 (2 2) 18 (3 1, 5) 21 (4 0) 20 Als Optimum erhält man den Punkt (3 1, 5) mit dem Wert 21.

43 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Allgemein: Lineares Programm mit n Variablen Bei n Variablen werden die zulässigen Bereiche durch Hyperebenen im R n begrenzt. Die Eckpunkte sind Lösungen von jeweils n Gleichungen. (Spezialfall n = 2: bei zwei Variablen sind die Ecken Lösungen von jeweils zwei Gleichungen.) Eine Lösungsstrategie ist es, die Zielwerte an allen Eckpunkten zu berechnen. Da dieses Verfahren rasch zu aufwändig wird (je mehr Variablen und je mehr Nebenbedingungen, desto mehr Ecken), gibt es Verfahren, um das Aunden der richtigen Ecke zu beschleunigen.

44 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Beispiel: Lineares Programm mit drei Variablen Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem: Max. Z = g(x 1, x 2, x 3 ) = 45x x x 3 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2 (1) 10x 1 11x 2 + 3x 3 2 (2) u. d. B. 5x 1 x 2 + 3x 3 22 (3) 2x 2 x 3 1 (4) 10x x 2 + 4x 3 21 (5) Zielfunktion Bemerkung: durch Multiplikation mit ( 1) kann das falls gewünscht in umgewandelt werden.

45 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Beispiel: Lineares Programm mit drei Variablen Ecken Eckpunkte: Das lineare Programm hat drei Variablen (x 1, x 2, x 3 ). Daher ergeben sich die Eckpunkte des zulässigen Gebiets als Schnittpunkt von jeweils drei Ebenen. Bei fünf Nebenbedingungen ergeben sich 9 Kombinationen (1/2/3, 1/2/4, 1/2/5, 1/3/4, 1/3/5, 1/4/5, 2/3/4, 2/3/5, 3/4/5) bzw. neun Ecken. Zu den Eckpunkten wird jeweils der Wert der Zielfunktion berechnet. Die Lösung ist der Eckpunkt mit dem maximalen Wert. Ecke P 1 (1 1 1) P 2 (4 4 2) P 3 (3 2 3) g(x 1, x 2, x 3 ) Ecke P 4 (2, 5 2, 5 4) P 5 (3, 5 3, 75 2, 75) P 6 (1, 5 2 3) g(x 1, x 2, x 3 ) 282,5 347,5 199,5

46 Problemstellung graphische Lösung verallgemeinerte Lösung Beispiel: Lineares Programm mit drei Variablen Ecken Beispiel für die Berechnung eines Schnittpunkts aus drei Ebenen: 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 2 (1) 10x 1 11x 2 + 3x 3 = 2 (2) 2x 2 x 3 = 1 (4) = x 3 = 1, x 2 = 1, x 1 = 1