Inhaltsverzeichnis. Einleitung 1. I Die ersten Zahlen 5. Bibliografische Informationen digitalisiert durch

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1 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 I Die ersten Zahlen 5 1 Entwicklung des ZahlbogrifFs - zwei sehr unterschiedliche Ansätze. 5 2 Entwicklung der Zählkonipetenz Erwerb der Zahlwortreihe Zählprinzipien und Konventionen Niveaus beim Einsatz der Zahlwortreihe Phasen der prozeduralen Sicherheit 12 3 Aspektreichtum der natürlichen Zahlen Vielfältige Zahlaspekte Mathematische Fundierungen Probleme einseitiger Fundierung 16 4 Kenntnisse am Ende der Kindergartenzeit/am Schulanfang Simultanerfassung kleiner Mengen Zählen Ziffernkenntnis Kardinalzahlaspekt Ordinalzahlaspekt Maßzahlaspekt Vorgänger/Nachfolger/Größenvergleich Teil-Ganzes-Beziehung Vielseitiger Einsatz von Zahlen in der Umwelt Schlussfolgerungen 26 5 Der Zwanzigerraum Erschließung heute - ein Überblick Festigung und Vertiefung des Zählens Zahlen darstellen und erfassen Zahlen zerlegen Zahlen vergleichen und ordnen Zahlen - Mengenvergleich Reihenfolgen - Ordnungszahlen Die Zahl Null Null als Kardinalzahl Rückwärtszählen Zerlegungen/Null als Rechenzahl Zahlen schreiben Dezimales Stellenwertsystem - erste Vorarbeiten Vertiefung des aspektreichen Vorwissens über die natürlichen Zahlen 54 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 vi Inhaltsverzeichnis II Zahlenräume - verständnisbasiert erarbeiten und mathematisch vertiefen 57 1 Der Zahlenraum bis Der Zahlenraum bis Der Zahlenraum bis zu einer Million und mehr 71 4 Unsere Zahlschrift - mathematische Grundlagen und Ausblicke Die römische Zahlschrift - ein Kontrastbeispiel Das dezimale Stellenwertsystem Nichtdezimale Stellenwertsysteme - eine Verallgemeinerung. 84 III Kopfrechnen 87 1 Addition Vorkenntnisse von Schulanfängern Informelle Lösungsstrategien von Schulanfängern Zählstrategien Zählstrategien - keineswegs nur bei Schulanfängern Zählstrategien - effizient und problemlos? Kleines Einsundeins Grundlegung des Additionsverständnisses Rechenstrategien im Zwanzigerraum Beziehungsreiches und automatisierendes Üben des Kleinen Einspluseins Das Gleichheitszeichen - einige Anmerkungen Rechenstrategien im Hunderterraum Fehlerstrategien Subtraktion Vorkenntnisse von Schulanfängern Zählstrategien Kleines Einsminuseins Grundlegung des Subtraktionsverständnisses Rechenstrategien im Zwanzigerraum Beziehungsreiches und automatisierendes Üben des Kleinen Einsminuseins Rechenstrategien im Hunderterraum Fehlerstrategien Multiplikation Vorkenntnisse und informelle Lösungsstrategien Grundlegung des Multiplikationsverständnisses Zeitlich-sukzessive Handlungen Räumlich-simultane Anordnungen Kombinatorischer Kontext Weitere multiplikative Kontexte Resümee 134

3 Inhaltsverzeichnis vii 3.3 Rechengesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Kleines Einmaleins Sichere und schnelle Beherrschung notwendig? Ganzheitliche oder getrennte Erarbeitung des Kleinen Einmaleins? Rechenstrategien Vielseitige Erarbeitung und Automatisierung der Einmaleinsreihen Multiplikation im Tausenderraum Fehlerstrategien Division Vorkenntnisse und informelle Lösungsstrategien Grundlegung des Divisionsverständnisses Aufteilen Verteilen Umkehroperation Wiederholte Subtraktion Multiplikativer Vergleich Resümee Rechenstrategien im Hunderterraum Vielseitige Erarbeitung und Festigung von Divisionsaufgaben im Hunderterraum Sonderfall Null Division mit Rest Division im Tausenderraum Fehlerstrategien 167 IV Halbschriftliches Rechnen Zum Begriff des halbschriftlichen Rechnens Zur Bedeutung des halbschriftlichen Rechnens Hauptstrategien des halbschriftlichen Rechnens Standardstrategie oder Vielfalt an Strategien? Beispiellösungen oder eigene Lösungswege? Notationen beim halbschriftlichen Rechnen Addition Subtraktion Multiplikation Division Zusammenfassender Überblick 189

4 viii Inhaltsverzeichnis 4 Forschungsergebnisse zum halbschriftlichen Rechnen Halbschriftliches Rechnen flexibles Rechnen? Variationen im Rahmen der wenigen Hauptstrategien? Unterschiede im Erfolg bei den halbschriftlichen Strategien? Charakteristische Fehlerstrategien Halbschriftliches Rechnen - Lieblingsmethode? Unterschiede im Erfolg je nach Rechenmethode? Zur Dominanz der schriftlichen Verfahren nach ihrer Einführung Stärken und Problembereiche des halbschriftlichen Rechnens Stärken Problembereiche Konsequenzen für den Unterricht 212 V Schriftliches Rechnen Brauchen wir heute noch schriftliche Rechenverfahren? Schriftliches Rechnen - mögliche Vorteile Schriftliches Rechnen - mögliche Nachteile Konsequenzen Addition Verschiedene Zugangswege Rechengeld Stellenweises Rechnen Zehnerblöcke Endform und mathematische Begründung Schwierigkeitsfaktoren Fehlerstrategien, Ursachen, Förderarbeit Überschlagendes und kontrollierendes Rechnen Flexibles Rechnen Vertiefung Subtraktion Abziehen oder Ergänzen? Verschiedene Zugangswege Abziehen mit Entbündeln Ergänzen mit Erweitern Auffüllen Verschiedene Zugangswege - abschließende Bewertung Fehlerstrategien, Ursachen, Förderarbeit Schwierigkeitsfaktoren und diagnostischer Test Systematische und typische Fehlerstrategien Ursachen und Förderarbeit Überschlagendes Rechnen Kontrollierendes Rechnen 262

5 Inhaltsverzeichnis ix 3.7 Flexibles Rechnen Vertiefung Multiplikation Verschiedene Zugangswege Wiederholte Addition Schrittweises Rechnen Gittermethode Der weitere Weg Multiplikation mit Vielfachen von Multiplikation mit mehrstelligen Multiplikatoren Fehlerstrategien, Ursachen, Förderarbeit Schwierigkeitsfaktoren und diagnostischer Test Systematische Fehlerstrategien Typische Fehlerstrategien und ihre Ursachen Förderarbeit Überschlagendes Rechnen Kontrollierendes Rechnen Flexibles Rechnen Vertiefung Division Verschiedene Zugangswege Wiederholte Subtraktion Verteilen von Geld Schrittweises Rechnen Endform bei einstelligem Divisor - Änderung überfällig Der weitere Weg Aufgaben mit Nullen Division durch Zehnerzahlen Division durch mehrstellige Divisoren Fehlerstrategien, Ursachen, Förderarbeit Schwierigkeitsfaktoren und diagnostischer Test Systematische Fehlerstrategien und ihre Ursachen Typische Fehlerstrategien und ihre Ursachen Förderarbeit Überschlagendes Rechnen Kontrollierendes Rechnen Flexibles Rechnen Vertiefung 310 VI Taschenrechner und Computer im Arithmetikunterricht Taschenrechner Zum Einsatz des Taschenrechners in der Grundschule Einführung des Taschenrechners 313

6 x Inhaltsverzeichnis 1.3 Kopfrechner gegen Taschenrechner Förderung des überschlagenden Rechnens Entdeckungen mit defekten" Taschenrechnern Entdecken und Begründen von Gesetzmäßigkeiten Mathematische Sätze entdecken und begründen Sachaufgaben Der Taschenrechner als Kontrollinstrument Resümee Computer Umfang und Art des gegenwärtigen Einsatzes Notwendige Voraussetzungen für einen sachgerechten Einsatz Prinzipielle Stärken und Grenzen des Computereinsatzes in der Grundschule Vielfalt und Qualität gegenwärtiger Software - eine kritische Analyse Konsequenzen 332 Literatur 335 Index 371