Logik für Informatiker
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- Benedikt Mann
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1 Vorlesung Logik für Informatiker 12. Prädikatenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1
2 Zur Erinnerung Definition: Aussagenlogische Resolutionsregel C 1 {P} C 2 { P} C 1 C 2 wobei P eine aussagenlogische Variable C 1, C 2 Klauseln (können leer sein) Logik für Informatiker, SS 06 p.2
3 Zur Erinnerung Definition: Aussagenlogische Resolutionsregel C 1 {P} C 2 { P} C 1 C 2 wobei P eine aussagenlogische Variable C 1, C 2 Klauseln (können leer sein) Prädikatenlogische Klauseln Sind (implizit) universell bzgl. der vorkommenden Variablen Logik für Informatiker, SS 06 p.2
4 Prädikatenlogische Resolution Grundidee Vor Resolutionsschritt durch geeignete Substitution komplementäres Paar von Literalen erzeugen Logik für Informatiker, SS 06 p.3
5 Prädikatenlogische Resolution Grundidee Vor Resolutionsschritt durch geeignete Substitution komplementäres Paar von Literalen erzeugen Prädikatenlogische Resolutionsregel wobei C 1 {L} C 2 { L } C 1 σ C 2 σ die Elternklauseln keine Variablen gemeinsam haben (bereinigt) ggf. umbenennen σ ein allgemeinster Unifikator (MGU) von L, L ist Logik für Informatiker, SS 06 p.3
6 Prädikatenlogische Resolution Beispiel {}}{ {L} C 1 = { p(a, x), p(x, x)} {}}{ { L } C 2 = { p(y, y)} L L Logik für Informatiker, SS 06 p.4
7 Prädikatenlogische Resolution Beispiel {}}{ {L} C 1 = { p(a, x), p(x, x)} {}}{ { L } C 2 = { p(y, y)} L L σ = {y/a, x/a} Logik für Informatiker, SS 06 p.4
8 Prädikatenlogische Resolution Beispiel {}}{ {L} C 1 = { p(a, x), p(x, x)} {}}{ { L } C 2 = { p(y, y)} L L σ = {y/a, x/a} R = {p(x, x)}σ {}σ = {p(a, a)} Logik für Informatiker, SS 06 p.4
9 Prädikatenlogische Resolution Resolutionsregel in dieser Form alleine unvollständig für PL Logik für Informatiker, SS 06 p.5
10 Prädikatenlogische Resolution Resolutionsregel in dieser Form alleine unvollständig für PL Beispiel unerfüllbar {{p(x), p(y)}, { p(u), p(v)}} aber nur Resolventen der Länge 2 Logik für Informatiker, SS 06 p.5
11 Prädikatenlogische Resolution Faktorisierung wobei {L 1,..., L n } C ({L 1,..., L n } C)σ σ allgemeinster Unifikatior (MGU) von {L 1,..., L n } ist Logik für Informatiker, SS 06 p.6
12 Prädikatenlogische Resolution Faktorisierung wobei {L 1,..., L n } C ({L 1,..., L n } C)σ σ allgemeinster Unifikatior (MGU) von {L 1,..., L n } ist ({L 1,..., L n } C)σ heißt Faktor von {L 1,..., L n } C Logik für Informatiker, SS 06 p.6
13 Prädikatenlogische Resolution Beispiel für Faktorisierung {p(x), p(y), r(z)} {p(x), r(z)} Logik für Informatiker, SS 06 p.7
14 Prädikatenlogische Resolution Beispiel für Faktorisierung {p(x), p(y), r(z)} {p(x), r(z)} {p(x), p(y), p(a), r(z)} {p(a), r(z)} Logik für Informatiker, SS 06 p.7
15 Prädikatenlogische Resolution Resolution + Faktorisierung Günstiger ist es, Resolutionsregel und Faktorisierungsregel in eine Regel zusammenzuziehen Logik für Informatiker, SS 06 p.8
16 Prädikatenlogische Resolution Resolution + Faktorisierung Günstiger ist es, Resolutionsregel und Faktorisierungsregel in eine Regel zusammenzuziehen wobei C 1 {L 1,..., L n } C 2 { L 1,..., L m} C 1 σ C 2 σ die Elternklauseln keine Variablen gemeinsam haben (bereinigt) ggf. umbenennen σ ein allgemeinster Unifikator (MGU) von L 1,..., L n, L 1,..., L m ist Logik für Informatiker, SS 06 p.8
17 Prädikatenlogische Resolution Beispiel {p(x), p(y), r(x)}, { p(u), p(a)} r(a) Logik für Informatiker, SS 06 p.9
18 Korrektheit und Vollständigkeit Theorem Für eine Menge M prädikatenlogischer Klauseln gilt M unerfüllbar gdw. M Res Logik für Informatiker, SS 06 p.10
19 Prädikatenlogische Resolution: Bemerkungen Wichtig: Häufige Fehlerquellen Das Bereinigen (Umbenennen) nicht vergessen! Logik für Informatiker, SS 06 p.11
20 Prädikatenlogische Resolution: Bemerkungen Wichtig: Häufige Fehlerquellen Das Bereinigen (Umbenennen) nicht vergessen! Das Faktorisierungen (falls möglich) nicht vergessen! Logik für Informatiker, SS 06 p.11
21 Prädikatenlogische Resolution: Bemerkungen Wichtig: Häufige Fehlerquellen Das Bereinigen (Umbenennen) nicht vergessen! Das Faktorisierungen (falls möglich) nicht vergessen! Selbstresolution ist möglich! Logik für Informatiker, SS 06 p.11
22 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (1) Gegeben die Formel F: ( x y(p(x, y) q(x, y)) x y(r(x, y) s(x, y)) ) ( x y( z(p(x, z) r(z, y)) ) z(q(x, z) s(z, y))) Gezeigt werden soll die Allgemeingültigkeit von F mittels Resolution Logik für Informatiker, SS 06 p.12
23 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (2) Dazu zeigen wir die Unerfüllbarkeit von F: (( x y(p(x, y) q(x, y)) x y(r(x, y) s(x, y)) ) ( x y( z(p(x, z) r(z, y)) )) z(q(x, z) s(z, y))) Diese Formel muss zunächst in Klauselnormalform transformiert werden Logik für Informatiker, SS 06 p.13
24 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (3) Elimination der Implikationen: ( ( x y( p(x, y) q(x, y)) x y( r(x, y) s(x, y)) ) ( x y( z(p(x, z) r(z, y)) )) z(q(x, z) s(z, y))) Logik für Informatiker, SS 06 p.14
25 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (4) Äußere Negation nach innen schieben: (( x y( p(x, y) q(x, y)) ) x y( r(x, y) s(x, y)) ( x y( z(p(x, z) r(z, y)) )) z(q(x, z) s(z, y))) Logik für Informatiker, SS 06 p.15
26 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (5) Negation an den Allquantoren vorbei: (( x y( p(x, y) q(x, y)) x y( r(x, y) s(x, y)) ) ( x y ( z(p(x, z) r(z, y)) )) z(q(x, z) s(z, y))) Logik für Informatiker, SS 06 p.16
27 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (6) De Morgan: (( x y( p(x, y) q(x, y)) x y( r(x, y) s(x, y)) ) ( x y( z(p(x, z) r(z, y)) )) z(q(x, z) s(z, y))) Logik für Informatiker, SS 06 p.17
28 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (7) Negation am Quantor vorbei: (( x y( p(x, y) q(x, y)) x y( r(x, y) s(x, y)) ) ( x y( z(p(x, z) r(z, y)) )) z (q(x, z) s(z, y))) Logik für Informatiker, SS 06 p.18
29 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (8) De Morgan: (( x y( p(x, y) q(x, y)) x y( r(x, y) s(x, y)) ) ( x y( z(p(x, z) r(z, y)) )) z( q(x, z) s(z, y))) Nun ist die Formel in Negationsnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.19
30 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (9) Bereinigen der Formel führt zu: (( x y( p(x, y) q(x, y)) x y ( r(x, y ) s(x, y )) ) ( x y ( z(p(x, z) r(z, y )) )) z ( q(x, z ) s(z, y ))) Logik für Informatiker, SS 06 p.20
31 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (10) Da die Formel bereinigt und in NNF ist, kann man alle Quantoren nach vorne ziehen: x y x y x y z z ( ( p(x, y) q(x, y)) ( r(x, y ) s(x, y )) p(x, z) r(z, y ) ( q(x, z ) s(z, y )) ) Nun ist die Formel in Pränexnormalform, die Matrix der Formel ist auch schon in konjunktiver Normalform Logik für Informatiker, SS 06 p.21
32 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (11) Skolemisieren von x und y : x y x y z z ( ( p(x, y) q(x, y)) ( r(x, y ) s(x, y )) p( f (x, y, x, y ), z) r(z, g(x, y, x, y )) ( q( f (x, y, x, y ), z ) s(z, g(x, y, x, y ))) ) Logik für Informatiker, SS 06 p.22
33 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (12) Skolemisieren von z: x y x y z ( ( p(x, y) q(x, y)) ( r(x, y ) s(x, y )) p( f (x, y, x, y ), h(x, y, x, y )) r(h(x, y, x, y ), g(x, y, x, y )) ( q( f (x, y, x, y ), z ) s(z, g(x, y, x, y ))) ) Nun ist die Formel in Klauselnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.23
34 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (13) In Klauselschreibweise: 1 : { p(x, y), q(x, y)} 2 : { r(x, y ), s(x, y )} 3 : {p( f (x, y, x, y ), h(x, y, x, y )} 4 : {r(h(x, y, x, y ), g(x, y, x, y ))} 5 : { q( f (x, y, x, y ), z ), s(z, g(x, y, x, y ))} Logik für Informatiker, SS 06 p.24
35 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (14) 1 : { p(x, y), q(x, y)} 2 : { r(x, y ), s(x, y )} 3 : {p( f (x, y, x, y ), h(x, y, x, y )} 4 : {r(h(x, y, x, y ), g(x, y, x, y ))} 5 : { q( f (x, y, x, y ), z ), s(z, g(x, y, x, y ))} Resolution der Klauseln 1 und 3. Dazu zunächst Umbenennung der Variablen x, y in 3, um die Klauseln variablendisjunkt zu machen Verwendeter MGU: {x/ f (u, v, x, y ), y/h(u, v, x, y )} 1 : { p(x, y), q(x, y)} 3 : {p( f (u, v, x, y ), h(u, v, x, y )} 6 : {q( f (u, v, x, y ), h(u, v, x, y )} Logik für Informatiker, SS 06 p.25
36 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (15) 1 : { p(x, y), q(x, y)} 2 : { r(x, y ), s(x, y )} 3 : {p( f (x, y, x, y ), h(x, y, x, y )} 4 : {r(h(x, y, x, y ), g(x, y, x, y ))} 5 : { q( f (x, y, x, y ), z ), s(z, g(x, y, x, y ))} 6 : {q( f (u, v, x, y ), h(u, v, x, y )} Resolution der Klauseln 2 und 4. Dazu zunächst Umbenennung der Variablen x, y in 4, um die Klauseln variablendisjunkt zu machen Verwendeter MGU: {x /h(x, y, u, v), y /g(x, y, u, v)} 2 : { r(x, y ), s(x, y )} 4 : {r(h(x, y, u, v), g(x, y, u, v))} 7 : {s(h(x, y, u, v), g(x, y, u, v))} Logik für Informatiker, SS 06 p.26
37 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (16) 1 : { p(x, y), q(x, y)} 2 : { r(x, y ), s(x, y )} 3 : {p( f (x, y, x, y ), h(x, y, x, y )} 4 : {r(h(x, y, x, y ), g(x, y, x, y ))} 5 : { q( f (x, y, x, y ), z ), s(z, g(x, y, x, y ))} 6 : {q( f (u, v, x, y ), h(u, v, x, y )} 7 : {s(h(x, y, u, v), g(x, y, u, v))} Resolution der Klauseln 5 und 6. Dazu zunächst Umbenennung der Variablen x, y in 6, um die Klauseln variablendisjunkt zu machen Verwendeter MGU: {x/u, y/v, x /u, y /v, z /h(u, v, u, v )} 5 : { q( f (x, y, x, y ), z ), s(z, g(x, y, x, y ))} 6 : {q( f (u, v, u, v ), h(u, v, u, v )} 8 : { s(h(u, v, u, v ), g(u, v, u, v ))} Logik für Informatiker, SS 06 p.27
38 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (17) 1 : { p(x, y), q(x, y)} 2 : { r(x, y ), s(x, y )} 3 : {p( f (x, y, x, y ), h(x, y, x, y )} 4 : {r(h(x, y, x, y ), g(x, y, x, y ))} 5 : { q( f (x, y, x, y ), z ), s(z, g(x, y, x, y ))} 6 : {q( f (u, v, x, y ), h(u, v, x, y )} 7 : {s(h(x, y, u, v), g(x, y, u, v))} 8 : { s(h(u, v, u, v ), g(u, v, u, v ))} Resolution der Klauseln 7 und 8. Dazu zunächst Umbenennung der Variablen u, v in 7, um die Klauseln variablendisjunkt zu machen Verwendeter MGU: {x/u, y/v, u/u, v/v } 7 : {s(h(x, y, u, v), g(x, y, u, v))} 8 : { s(h(u, v, u, v ), g(u, v, u, v ))} Logik für Informatiker, SS 06 p.28
39 Prädikatenlogische Resolution: Beispiel (18) Damit ist die leere Klausel abgeleitet, also ist die Klauselmenge unerfüllbar, also ist die Formel F unerfüllbar also ist die Formel F allgemeingültig Logik für Informatiker, SS 06 p.29
40 Zusammenfassung: Prädikatenlogische Resolution Prädikatenlogische Resolutionsregel Logik für Informatiker, SS 06 p.30
41 Zusammenfassung: Prädikatenlogische Resolution Prädikatenlogische Resolutionsregel Faktorisierung Logik für Informatiker, SS 06 p.30
42 Zusammenfassung: Prädikatenlogische Resolution Prädikatenlogische Resolutionsregel Faktorisierung Kombination von Resolution und Faktorisierung Logik für Informatiker, SS 06 p.30
43 Zusammenfassung: Prädikatenlogische Resolution Prädikatenlogische Resolutionsregel Faktorisierung Kombination von Resolution und Faktorisierung Häufige Fehlerquellen Logik für Informatiker, SS 06 p.30
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