Semantik der Prädikatenlogik

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1 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 131 Semantik der Prädikatenlogik zur Erinnerung: Semantik der Aussagenlogik gegeben durch Interpretation I : V {0, 1}; erweitertzui :Formeln {0, 1} Formeln der Aussagenlogik formalisieren allgemeine Aussagen Semantik der Aussagenlogik ordnet Formel einen Wahrheitswert unter einer Variablenbelegung zu, z.b. I(ϕ) = 1 Formeln der Prädikatenlogik FO[=,τ]formalisieren Aussagen über Begebenheiten in τ-strukturen Semantik von FO[=,τ]ordnet Formel Wahrheitswert in einer Struktur unter einer Variablenbelegung zu Schreibweise: I = ϕ, wobei I =(A,ϑ)

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 132 Interpretationen für Terme Terme über τ bezeichnen Elemente einer τ-struktur Def.: Eine Interpretation einer FO-Formel über der Signatur τ ist ein I =(A,ϑ), wobei A τ-struktur mit Universum U und ϑ : V U ist. [[t]] A ϑ bezeichnet den Wert des Terms t in der Struktur A unter der Interpretation ϑ Wert ist definiert durch Induktion über den Termaufbau [[x]] A ϑ := ϑ(x) [[f (t 1,...,t n )]] A ϑ := f A ([[t 1 ]] A ϑ,...,[[t n]] A ϑ )

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 133 Terme interpretieren Bsp.: τ = +,, 0, 1, t =(x (1 + y)) + 0. Was ist jeweils [[t]] A ϑ, wobei A =(N, +,, 0, 1), ϑ(x) = 3, ϑ(y) =4? A =(N, +,, 0, 1), ϑ(x) = 4, ϑ(y) =3? A =(N,, +, 1, 0), ϑ(x) = 3, ϑ(y) =4? A =({0, 1},,, 0, 1), ϑ(x) =1, ϑ(y) =0? A =(2 {a,b},,,, {}), ϑ(x) ={abbba, baba}, ϑ(y) ={b, aa, baba}? A =({a, b},, zip,,), ϑ(x) =aaaa, ϑ(y) =bbb?

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 134 Interpretationen für Formeln Def.: Sei I =(A,ϑ), U Universum von A, c U. ϑ[x u] bezeichnet Update von ϑ an der Stelle x auf u. A,ϑ = R(t 1,...,t n ) gdw. ([[t 1 ]] A ϑ,...,[[t n]] A ϑ ) RA. A,ϑ = t 1 = t2 gdw. [[t 1 ]] A ϑ =[[t 2]] A ϑ A,ϑ = ϕ gdw. A,ϑ = ϕ A,ϑ = ϕ ψ gdw. A,ϑ = ϕ und A,ϑ = ψ A,ϑ = ϕ ψ gdw. A,ϑ = ϕ oder A,ϑ = ψ A,ϑ = ϕ ψ gdw. wenn A,ϑ = ϕ dann A,ϑ = ψ A,ϑ = ϕ ψ gdw. A,ϑ = ϕ gdw. A,ϑ = ψ A,ϑ = x ϕ gdw. es gibt u U mit A,ϑ[x u] = ϕ A,ϑ = x ϕ gdw. für alle u U gilt A,ϑ[x u] = ϕ Ist I = ϕ, soheißti auch Modell von ϕ. Ist ϕ Satz, so auch nur A = ϕ, aber wieso?

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 135 Beispiele Bsp.: τ = R (2), P (1), f (1), g (2), c (0) ; welche Modellbeziehungen gelten jeweils für A =(N,, {0, 2,...}, +1,, 2)? A, {y 2} = x.r(y, x) R(f (f (x)), g(x, c)) A, {y 1} = x.r(y, x) R(f (f (x)), g(x, c)) A = x.p(x) y. (y. = x) (f (y). = c) z.x. = g(y, z) Bsp.: τ = E (2), P (1) ; welche Formeln gelten hier? P x.p(x) ye(x, y). x.p(x) y.y = x E(x, y). x y.x = y E(y, x)

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 136 Ein Kalkül zur Modellüberprüfung wir definieren ein System, mit dem man zu gegebenen A, ϑ und ϕ entscheiden kann, ob A,ϑ = ϕ gilt ein Beweis ist wiederum ein Baum... dessen Wurzel mit A,ϑ = ϕ beschriftet ist, an dessen Blättern nur Axiome stehen und der innen aus Beweisregeln aufgebaut ist erstelle Beweisregeln in Abhängigkeit von Formel, z.b. A,ϑ = ϕ A,ϑ = ψ A,ϑ = ϕ ψ A,ϑ = ϕ A,ϑ = ϕ ψ A,ϑ = ψ A,ϑ = ϕ ψ weitere Regeln: Übung

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 137 Korrektheit und Vollständigkeit Theorem 15 Es gilt A,ϑ = ϕ genau dann, wenn es einen Beweis im Modellüberprüfungskalkül dafür gibt. Beweis: Übung. Fragen: wenn es solch einen Beweisbaum gibt, gibt es dann auch einen endlichen Beweisbaum?... gibt es dann auch einen endlich hohen Beweisbaum?...wiehochkann dieserdannhöchstens werden?...wiebreit kann dieser dannhöchstens werden?

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 138 Erfüllbarkeit, Äquivalenz, etc. Die Begriffe Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit und Äquivalenz ( ), Erfüllbarkeitsäquivalenz ( sat ) sind wie bei der Aussagenlogik definiert. Beachte: Interpretation ist Paar aus Struktur und Variablenbelegung. Also ist z.b. x R(x, y) erfüllbar trotz freier Variablen. Insbesondere ist ϕ erfüllbar gdw. ϕ nicht allgemeingültig ist. Bsp.: Neben den üblichen aussagenlogischen Äquivalenzen gelten weitere, z.b. x ϕ x ϕ x y ϕ y x ϕ x ϕ y ϕ[y/x] x ϕ x ψ x (ϕ ψ)...

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 139 Beispiele: gerichtete Graphen Bsp.: τ = E (2), finde Modell von 4 5. x1... x 5. x i = x j x z E(z, x) i=1 j=i+1 x y.x. = y E(x, y) z.e(x, z) E(z, y) sind die folgenden Formeln jeweils (un)erfüllbar bzw. allgemeingültig? ϕ 1 := x y (E(x, y) E(y, x)) ϕ 2 := y.e(x, y) z.e(x, z) E(z, y) ϕ 1 x ϕ 2 x y E(y, x) y x E(y, x)

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.3 Prädikatenlogik Semantik 140 Beispiel: Arithmetik Bsp.: τ = < (2), + (2), (2), 0 (0), 1 (0) Sind die folgenden Formeln jeweils (un)erfüllbar / allgemeingültig? Sind sie jeweils mit N =(N,<,+,, 0, 1) erfüllbar? x.1 < x x < x x x < y y < z z < x x y z. (x (y + z) < x y + x z) x y.( z.z x < 1 y z < 1) x < y