Logische und funktionale Programmierung

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1 Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 1: Grundlagen der logischen Programmierung Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca 6. Oktober /78

2 EINFÜHRUNG Weshalb muss ein Informatiker mehrere Programmiersprachen lernen? Hier ein paar Gründe: Die Vertrautheit mit unterschiedlichen Konzepten von Programmiersprachen ermöglicht es, eigene Ideen bei der Entwicklung von Software besser auszudrücken. Das Hintergrundwissen über verschiedene Programmiersprachen ist nötig, um in konkreten Projekten jeweils die am besten geeignete Sprache auszuwählen. 2/78

3 Wenn man bereits einige konzeptionell verschiedene Programmiersprachen erlernt hat, ist es sehr leicht, sich später weitere Programmiersprachen schnell anzueignen. Es ist auch die Aufgabe von Informatikern, neue Programmiersprachen zu entwerfen. Dies kann nur auf der Grundlage der bereits entwickelten Sprachen geschehen. 3/78

4 IMPERATIV VS. DEKLARATIV 4/78

5 IMPERATIV VS. DEKLARATIV 5/78

6 WICHTIGE PROGRAMMIERSPRACHEN 6/78

7 FAKTEN UND ANFRAGEN 7/78

8 VARIABLEN IN ANFRAGEN 8/78

9 KOMBINATION VON FRAGEN 9/78

10 REGELN 10/78

11 MEHRERE REGELN FÜR EIN PRÄDIKAT 11/78

12 REKURSIVE REGELN 12/78

13 KENNZEICHEN LOGISCHER PROGRAMME 1 (Rein) logische Programme besitzen keine Kontrollstrukturen zur Steuerung des Programmablaufs. Die Programme sind lediglich Sammlungen von Fakten und Regeln, die von oben nach unten (bzw. von links nach rechts) abgearbeitet werden. 13/78

14 KENNZEICHEN LOGISCHER PROGRAMME 2 Das logische Programmieren ist aus dem automatischen Beweisen entstanden und bei der Ausführung eines logischen Programms wird versucht, eine Anfrage zu beweisen. Dabei werden auch Lösungen für Variablen in der Anfrage berechnet. Dies bedeutet, dass bei einem logischen Programm Ein- und Ausgabevariablen nicht festliegen. 14/78

15 KENNZEICHEN LOGISCHER PROGRAMME 3 Logische Programme sind besonders gut für Anwendungen der künstlichen Intelligenz geeignet. Beispielsweise lassen sich damit sehr gut Expertensysteme realisieren, wobei die Regeln des Programms aus dem Wissen der Experten gebildet werden. Weitere Hauptanwendungsgebiete sind deduktive Datenbanken und das Rapid Prototyping. 15/78

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17 WIEDERHOLUNG PRÄDIKATENLOGIK Signatur Eine Signatur (Σ, ) ist ein Paar mit Σ = n N Σ n und = n N n. Σ und sind hierbei die Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen Σ n und n. Jedes f Σ n heißt n-stelliges Funktionssymbol und jedes p n heißt n-stelliges Prädikatensymbol. Die Elemente von Σ 0 werden auch Konstanten genannt. Wir verlangen hierbei stets Σ 0. 17/78

18 BEISPIEL 18/78

19 BEISPIEL SIGNATUR Signatur (Σ, ) mit Σ = Σ 0 Σ 3 und = 1 2. Σ 0 = N {monika, karin, renate, susanne, aline, werner, klaus, gerd, peter, dominique} Σ 3 = {datum} 1 = {weiblich, maennlich, mensch} 2 = {verheiratet, muttervon, vatervon, elternteil, vorfahre, geboren} 19/78

20 TERME Definition Sei (Σ, ) eine Signatur und V eine Menge von Variablen, so dass V Σ = gilt. Dann bezeichnet T(Σ, V) die Menge aller Terme (über Σ und V). Hierbei ist T(Σ, V) die kleinste Menge mit V T(Σ, V) und f (t 1,..., t n ) T(Σ, V), falls f Σ n und t 1,..., t n T(Σ, V) für ein n N. T(Σ) steht für T(Σ, ), d.h., für die Menge aller variablenfreien Terme (oder Grundterme). Für einen Term t ist V(t) die Menge aller Variablen in t. 20/78

21 BEISPIEL TERME Wenn V = {X, Y, Z, Mama, Oma,... } ist, dann erhalten wir z. B. die folgenden Terme in T(Σ, V): monika, 42, datum(15, 10, 1966), X, datum(x, Oma, datum(y, monika, 101)),... 21/78

22 FORMELN 22/78

23 BEMERKUNG 23/78

24 BEISPIEL In der 2. Zeile ist die Variabel X frei. Für die 4. Zeile gilt V(φ) = {F, K} aber nur die Variable K ist frei. In der 5. Formel sind sowohl F als auch K frei. 24/78

25 BEISPIEL: FORMELN 25/78

26 SUBSTITUTIONEN Definition Eine Abbildung σ : V T(σ, V) heißt Substitution gdw. σ(x) X nur für endlich viele X V gilt. DOM(σ) = {X V σ(x) X} heißt der Domain von σ. Da DOM(σ) endlich ist, ist eine Substitution σ als die endliche Menge von Paaren {X/σ(X) X DOM(σ)} darstellbar. Eine Substitution σ ist eine Grundsubstitution auf DOM(σ) gdw. V(σ(X)) = für alle X DOM(σ). Eine Substitution σ ist eine Variablenumbenennung gdw. σ injektiv ist und σ(x) V für alle X V gilt. 26/78

27 SUBSTITUTIONEN 27/78

28 SUBSTITUTIONEN 28/78

29 BEISPIEL Ein Beispiel für eine Substitution wäre Σ = {X/datum(X, Y, Z), Y/monika, Z/datum(Z, Z, Z)}. 29/78

30 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK Für eine Signatur (Σ, ) ist eine Interpretation ein Tripel I = (A, α, β). Die Menge A heit der Träger der Interpretation, wobei wir A verlangen. Weiter ist α eine Abbildung, die jedem Funktionssymbol f Σ n eine Funktion α f : A n A und jedem Prädikatensymbol p n eine Menge (bzw. Relation) α p A n zuordnet. Die Funktion α f bzw. die Relation α p heißen die Deutung des Funktionssymbols f bzw. des Prädikatssymbols p unter der Interpretation I. Die Abbildung β : V A heißt Variablenbelegung für die Interpretation I. 30/78

31 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK 31/78

32 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK 32/78

33 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK Eine Interpretation I heißt Modell von φ gdw. I = φ. I ist Modell einer Menge von Formeln Φ gdw. I = φ für alle φ Φ gilt. Zwei Formeln φ 1 und φ 2 heißen äquivalent gdw. für alle Interpretationen I gilt: I = φ 1 gdw. I = φ 2. Eine Formel bzw. eine Formelmenge heißt erfüllbar, wenn sie ein Modell besitzt, und unerfüllbar, wenn sie kein Modell besitzt. Sie heißt allgemeingültig, wenn jede Interpretation ein Modell ist. Eine Interpretation ohne Variablenbelegung S = (A, α) wird als Struktur bezeichnet. Eine Struktur besitzt also eine Trägermenge, wobei den Funktionssymbolen aus Σ Funktionen auf dieser Trägermenge zugeordnet werden und den Prädikatssymbolen aus Relationen auf der Trägermenge zugeordnet werden. 33/78

34 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK 34/78

35 INTERPRETATION I = (A, α, β) BEISPIEL 35/78

36 INTERPRETATION I = (A, α, β) BEISPIEL 36/78

37 Der Zusammenhang zwischen dem syntaktischen Begriff Substitution und dem semantischen Begriff Variablenbelegung wird durch folgendes Lemma beschrieben. 37/78

38 SUBSTITUTIONSLEMMA Sei I = (A, α, β) eine Interpretation für eine Signatur (Σ, ), sei σ = {X 1 /t 1,..., X n /t n } eine Substitution. Dann gilt: 1 I(σ(t)) = I X 1 /t 1,..., X n /t n (t) für alle t T (Σ, V). 2 I = σ(φ) gdw. I X 1 /I(t 1 ),..., X n /I(t n ) = φ für alle π F(Σ,, V). 38/78

39 BEWEIS TEIL 1 39/78

40 BEWEIS TEIL 2 40/78

41 BEWEIS TEIL 2 41/78

42 BEISPIEL Wir betrachten die Interpretation von Seite 35, die Substitution σ = {X/datum(1, X, karin)} und den Term t = datum(x, Y, Z). Dann gilt 42/78

43 BEISPIEL 43/78

44 FOLGERBARKEIT Nun definieren wir, wann aus einer Formelmenge eine andere Formel folgt. Dies ist genau die Frage, die bei der Ausführung von Logikprogrammen untersucht wird. Definition Aus einer Formelmenge Φ folgt die Formel φ (abgekürzt Φ = φ) gdw. für alle Interpretationen I mit I = Φ gilt I = φ. Sofern Φ und φ keine freien Variablen enthalten, ist dies gleichbedeutend mit der Forderung, dass für alle Strukturen S mit S = Φ gilt S = φ. Anstelle von = φ schreibt man meist = φ (d.h., die Formel φ ist allgemeingültig). 44/78

45 BEISPIEL Sei Φ die Formelmenge, die dem Verwandschaftslogikprogramm entspricht. Wenn man nun eine Anfrage wie? - maennlich (gerd). stellt, bedeutet das, dass man versucht Φ =maennlich(gerd) zu beweisen. Dies gilt natürlich im obigen Beispiel, da die Formel maennlich(gerd) in Φ enthalten ist. Ebenso gilt auch Φ =mensch(gerd), da Φ die Formel Xmensch(X) enthält. 45/78

46 BEISPIEL Die Anfrage?- muttervon(x,susanne). bedeutet, dass man untersuchen will, ob Φ = XmutterVon(X, susanne) gilt. Wie erwähnt sind Variablen X im Logikprogramm allquantifiziert und in Anfragen existenzquantifiziert. Da Φ die Formel muttervon(renate, susanne) enthält, gilt Φ = XmutterVon(X, susanne). Hierbei muss die Variable X jeweils so belegt werden, wie die Deutung von renate. 46/78

47 SCHLUSSFOLGERUNG Zur Ausführung von Logikprogrammen muss man also für eine Formelmenge Φ (das Logikprogramm) und eine Formel Φ (die Anfrage) herausfinden, ob Φ = φ gilt. Im Folgenden werden wir zeigen, wie diese Frage automatisch untersucht werden kann. 47/78

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49 RESOLUTIONSKALKÜL Die Idee des Resolutionskalküls ist, das Folgerbarkeitsproblem Φ = φ auf ein Unerfüllbarkeitsproblem zu reduzieren und anschließend dieses Unerfüllbarkeitsproblem durch Resolution zu untersuchen. Das folgende Lemma zeigt, wie jedes Folgerbarkeitsproblem in ein Unerfüllbarkeitsproblem überführt werden kann. 49/78

50 LEMMA 10: ÜBERFÜHRUNG VON FOLGERBARKEITS- IN UNERFÜLLBARKEITSPROBLEME Seien φ 1,..., φ k, φ Formeln einer Signatur Σ über ein Vokabular V. Dann gilt {φ 1,..., φ k } = φ gdw. die Formel φ 1 φ k φ unerfüllbar ist. 50/78

51 BEWEIS 51/78

52 BEISPIEL Um zu zeigen, dass in dem Logikprogramm mit dem Faktum muttervon(renate,susanne). die Anfrage?- muttervon(x,susanne). beweisbar ist, muss man zeigen, dass {muttervon(renate, susanne)} = XmutterVon(X, susanne) gilt. Stattdessen kann man also jetzt die Ünerfullbarkeit der folgenden Formel nachweisen: muttervon(renate, susanne) XmutterVon(X, susanne). 52/78

53 Das Problem, die Ünerfullbarkeit einer Menge von Formeln nachzuweisen (und damit auch das Problem, die Folgerbarkeit zu untersuchen) ist im allgemeinen unentscheidbar. Es existiert also kein automatisches Verfahren, dass stets terminiert und zu jeder Formel die Unerfüllbarkeit überprüfen kann. Allerdings ist die Unerfüllbarkeit (und damit auch die Folgerbarkeit) semi - entscheidbar. Es existiert also ein Algorithmus, der für jede unerfüllbare Formel die Unerfüllbarkeit in endlicher Zeit herausfindet, bei erfüllbaren Formeln jedoch eventuell nicht terminiert. Für das Folgerbarkeitsproblem bedeutet das, dass man Φ = φ mit dem Algorithmus stets in endlicher Zeit beweisen kann, falls es gilt. 53/78

54 Falls aber Φ = φ nicht gilt, so terminiert der Algorithmus evtl. nicht. Da der Resolutionskalkül ein korrektes und vollständiges Verfahren zur Überprüfung der Unerfüllbarkeit einer Formel ist, handelt es sich damit um ein solches Semi-Entscheidungsverfahren. Falls die Formel unerfüllbar ist, so kann man dies durch eine Automatisierung des Resolutionskalküls auch nachweisen. Falls sie aber erfüllbar ist, so terminiert die Automatisierung des Resolutionskalküls eventuell nicht. 54/78

55 Wir führen das Resolutionsprinzip zur Überprüfung der Unerfüllbarkeit einer Formel φ in vier Schritten ein. Die Grundidee hierbei ist, das Resolutionsprinzip für die Prädikatenlogik auf das Resolutionsprinzip der Aussagenlogik zu reduzieren. In der Aussagenlogik ist die Korrektheit und Vollständigkeit der Resolution leichter nachweisbar. (In der Aussagenlogik ist die Resolution außerdem ein Entscheidungsverfahren für die Unerfüllbarkeit.) 55/78

56 SCHRITT 1 Zunächst zeigen wir, dass man φ zur Überprüfung der Unerfüllbarkeit in Skolem - Normalform überführen kann. Formeln in Skolem - Normalform sind geschlossen, sie besitzen keine Existenzquantoren mehr und sie enthalten Allquantoren nur ganz außen. Solche Formeln haben also die Gestalt X 1,..., X n ψ, wobei ψ quantorfrei ist und keine Variablen außer X 1,..., X n enthält. 56/78

57 SCHRITT 2 Dann zeigen wir, dass man bei Formeln in Skolem - Normalform zur Untersuchung der Unerfüllbarkeit nicht alle Interpretationen betrachten muss, sondern sich auf sogenannte Herbrand-Interpretationen beschränken kann. Dies sind Interpretationen, bei denen Grundterme als sich selbst gedeutet werden. Hiermit ergibt sich bereits ein erstes automatisierbares Verfahren zur Untersuchung der Unerfüllbarkeit, das allerdings noch recht ineffizient ist. 57/78

58 SCHRITT 3 Um ein effizienteres Verfahren zu erhalten, erweitern wir schließlich die aussagenlogische Resolution auf die Prädikatenlogik, indem wir hierzu das Verfahren der Unifikation benutzen. 58/78

59 SCHRITT 4 Um die Effizienz weiter zu erhöhen, zeigen wir wie sich die Resolution weiter einschränken lässt. 59/78

60 SKOLEM - NORMALFORM Unser Ziel besteht zunächst darin, Formeln in eine Normalform der Gestalt X 1,..., X n ψ zu überführen, wobei ψ quantorfrei ist und keine Variablen außer X 1,..., X n enthält. Hierzu geht man in zwei Schritten vor. Zunächst überführt man die Formel in Pränex - Normalform. 60/78

61 PRÄNEX-NORMALFORM Eine Formel φ ist in Pränex - Normalform gdw. sie die Gestalt Q 1 X 1... Q n X n ψ mit Q i {, } hat, wobei ψ quantorfrei ist. Der folgende Satz zeigt, dass (und wie) man jede Formel in eine äquivalente Formel in Pränex - Normalform überführen kann. 61/78

62 SATZ 11: ÜBERFÜHRUNG IN PRÄNEX-NORMALFORM Zu jeder Formel φ lässt sich automatisch eine Formel φ in Pränex - Normalform konstruieren, so dass φ und φ äquivalent sind. 62/78

63 BEWEIS Zunächst werden alle Teilformeln φ 1 φ 2 in φ durch (φ 1 φ 2 ) (φ 2 φ 1 ) ersetzt. Anschließend werden alle Teilformeln φ 1 φ 2 in φ durch φ 1 φ 2 ersetzt. Die Überführung der verbleibenden Formel geschieht mit folgendem Algorithmus PRAENEX, dessen Terminierung und Korrektheit offensichtlich ist. Der Algorithmus bekommt als Eingabe eine beliebige Formel φ ohne die Junktoren und und liefert als Ausgabe eine dazu äquivalente Formel in Pränex - Normalform. 63/78

64 PRAENEX ALGORITHMUS 64/78

65 BEISPIEL Wir betrachten die Überführung der folgenden Formel: X(verheiratet(X, Y) YmutterVon(X, Y)) Zunächst berechnen wir PRAENEX( YmutterVon(X, Y)) = Y muttervon(x, Y). Damit die gebundene Variable Y in dieser Teilformel von der freien Variablen Y in der Teilformel verheiratet(x, Y) verschieden ist, benennen wir erstere in Z um und erhalten somit Z muttervon(x, Z). Nun berechnen wir PRAENEX(verheiratet(X, Y) YmutterVon(X, Y)), was die folgende Formel ergibt: Z(verheiratet(X, Y) muttervon(x, Z)) 65/78

66 BEISPIEL Schließlich ergibt sich PRAENEX( X(verheiratet(X, Y) YmutterVon(X, Y))) = X Z (verheiratet(x, Y) muttervon(x, Z)). 66/78

67 SKOLEM-NORMALFORM Eine Formel φ ist in Skolem - Normalform gdw. sie geschlossen ist und sie die Gestalt X 1,..., X n ψ hat, wobei ψ quantorfrei ist. 67/78

68 SKOLEM-NORMALFORM Zur Überführung einer Formel in Skolem - Normalform wird die Formel zunächst in Pränex - Normalform überführt. Die verbleibende Überführung dient dazu, die freien Variablen und Existenzquantoren zu beseitigen. Anders als bei der Pränex - Normalform existiert nicht zu jeder Formel eine äquivalente Formel in Skolem - Normalform, denn offensichtlich gibt es z.b. keine Formel in Skolem - Normalform, die zu weiblich(x) oder zu Xweiblich(X) äquivalent ist. Es gibt aber zu jeder Formel eine dazu erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolem - Normalform. 68/78

69 SKOLEM-NORMALFORM Die Idee der Überführung besteht darin, zuerst die Pränex - Normalform zu bilden, dann alle freien Variablen durch Existenzquantoren zu binden, und schließlich alle existenzquantifizierten Variablen mit Hilfe neuer Funktionssymbole zu beseitigen. 69/78

70 SATZ 12: ÜBERFÜHRUNG IN SKOLEM - NORMALFORM Zu jeder Formel φ lässt sich automatisch eine Formel φ in Skolem - Normalform konstruieren, so dass φ genau dann erfüllbar ist, wenn φ erfüllbar ist. 70/78

71 BEWEIS Zunächst wird die Formel φ mit dem Verfahren aus Satz 11 in Pränex - Normalform überführt. Seien X 1,..., X n die freien Variablen in der entstehenden Formel φ 1, die zu φ äquivalent ist. Dann wird φ 1 weiter überführt in die geschlossene Formel φ 2 der Gestalt X 1,..., X n φ 1, die zu φ 1 erfüllbarkeitsäquivalent ist: Aus I = φ 1 folgt I X 1 /β(x 1 ),..., X n /β(x n ) = φ 1 und damit offensichtlich auch I = X 1,..., X n φ 1. Umgekehrt folgt aus I = X 1,..., X n φ 1, dass es a 1,..., a n gibt, so dass I X 1 /a 1,..., X n /a n = φ 1 gilt. 71/78

72 BEWEIS 72/78

73 BEWEIS 73/78

74 BEWEIS 74/78

75 BEWEIS 75/78

76 BEWEIS Da diese Aussage für alle a 1,..., a n A gilt, erhält man also I = X 1,..., X n ψ[y/f (X 1,..., X n )]. 76/78

77 BEISPIEL Wir betrachten die Überführung der Formel X(verheiratet(X, Y) YmutterVon(X, Y)) in Skolem - Normalform. Zuerst wird die Formel in Pränex - Normalform transformiert, was zu führt. X Z (verheiratet(x, Y) muttervon(x, Z)) Anschließend wird die freie Variable Y existenzquantifiziert, was Y X Z (verheiratet(x, Y) muttervon(x, Z)) ergibt. 77/78

78 BEISPIEL Um die Existenzquantoren zu beseitigen, wird nun zuerst die äußerste existenzquantifizierte Variable Y durch eine neue Konstante a ersetzt. Hierbei ist a nullstellig, weil es vor dem Existenzquantor von Y keine Allquantoren mehr gibt. Dies ergibt X Z (verheiratet(x, a) muttervon(x, Z)). Schließlich wird Z durch f (X) ersetzt, wobei f ein neues einstelliges Funktionssymbol ist. Dies führt zu X (verheiratet(x, a) muttervon(x, f(x))). 78/78

79 HERBRAND-STRUKTUREN RELOADED Das Problem bei der Untersuchung der Unerfüllbarkeit einer Formel ist, dass dazu alle Interpretationen bzw. Strukturen betrachtet werden mussen und der Träger kann hierbei eine vollkommen beliebige Menge sein. In diesem Abschnitt zeigen wir, dass man sich bei Formeln in Skolem - Normalform auf solche Strukturen beschränken kann, bei denen der Träger gerade aus den Grundtermen besteht und bei denen Funktionssymbole als sich selbst gedeutet werden. Solche Strukturen bezeichnet man als Herbrand - Strukturen (nach dem Logiker Jacques Herbrand). 79/78