Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014

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1 Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Ulrich Furbach Institut für Informatik Sommersemester 2014 Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 131

2 Dank Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal) Bernhard Beckert (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Ihnen gilt mein herzlicher Dank. Ulrich Furbach, April 2012 Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 131

3 Teil I Einführung 1 Organisatorisches 2 Motivation, Inhalt der Vorlesung 3 Kurzer Überblick: Logik 4 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte 5 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Organisatorisches SS / 131

4 Literatur Buch zur Vorlesung Erk, Katrin and Priese, Lutz (2002). Theoretische Informatik: Eine umfassende Einführung. 2. Auflage. Springer-Verlag. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Organisatorisches SS / 131

5 Literatur Weitere Literatur J. Hopcroft, R. Motwani, and J. Ullman (2002). Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Pearson. G. Vossen and K.-U. Witt (2004). Grundkurs Theoretische Informatik. Vieweg. U. Schöning (1994). Theoretische Informatik: kurzgefaßt. Spektrum-Verlag. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Organisatorisches SS / 131

6 Teil I Einführung 1 Organisatorisches 2 Motivation, Inhalt der Vorlesung 3 Kurzer Überblick: Logik 4 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte 5 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Motivation, Inhalt der Vorlesung SS / 131

7 Theoretische Informatik befasst sich mit... Grundlegende Konzepte der Informatik Probleme und ihre Beschreibung Systeme/Automaten/Maschinen, die Probleme lösen Lösbarkeit von Problemen (Entscheidbarkeit/Berechenbarkeit und deren Grenzen) Schwierigkeit (Komplexität) der Lösung von Problemen Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Motivation, Inhalt der Vorlesung SS / 131

8 Teilgebiete der Theoretischen Informatik Teilgebiete Formale Sprachen Automatentheorie Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie (Logik) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Motivation, Inhalt der Vorlesung SS / 131

9 Warum Theoretische Informatik? Theoretische Informatik... ist die Grundlage ist wichtig (bspw. für Algorithmentechnik, Software Engineering, Compilerbau) hilft, weitere Themen/Vorlesungen der Informatik zu verstehen veraltet nicht macht Spaß Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Motivation, Inhalt der Vorlesung SS / 131

10 Inhalt der Vorlesung 1 Terminologie 2 Endliche Automaten und reguläre Sprachen 3 Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen 4 Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen 5 Berechenbarkeit, (Un-)Entscheidbarkeit 6 Komplexitätsklassen P und NP Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Motivation, Inhalt der Vorlesung SS / 131

11 Teil I Einführung 1 Organisatorisches 2 Motivation, Inhalt der Vorlesung 3 Kurzer Überblick: Logik 4 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte 5 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

12 Logische Formeln Aussagenlogische Operatoren Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) Zusätzliche prädikatenlogische Operatoren Allquantor ( für alle ) Existenzquantor ( es gibt ) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

13 Logische Formeln Formeln Atomare Aussagen sind Formeln Seien A, B Formeln, x eine Variable, dann sind A, (A B), (A B), (A B), (A B), xa, xa Formeln Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

14 Logische Formeln Beispiel 3.1 (y x) }{{} Atom z ( (z x) (y z)) }{{} Skopus von z Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

15 Logische Formeln Beispiel 3.2 Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau x }{{} Variable (studiertin(x, koblenz) schlau(x)) }{{} Formel (Skopus) } {{ } Formel Jemand, der in Landau studiert ist schlau x }{{} Variable (studiertin(x, landau) schlau(x)) }{{} Formel (Skopus) } {{ } Formel Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

16 Eigenschaften von Quantoren Quantoren gleicher Art kommutieren x y ist das gleiche wie y x x y ist das gleiche wie y x Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

17 Eigenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT x y ist nicht das gleiche wie y x Beispiel 3.3 x y loves(x, y) Es gibt eine Person, die jeden Menschen in der Welt liebt (einschließlich sich selbst) y x loves(x, y) Jeder Mensch wird von mindestens einer Person geliebt (Beides hoffentliche wahr aber verschieden: das erste impliziert das zweite aber nicht umgekehrt) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

18 Eigenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT x y ist nicht das gleiche wie y x Beispiel 3.4 x y mutter(y,x) Jeder hat eine Mutter (richtig) y x mutter(y,x) Es gibt eine Person, die die Mutter von jedem ist (falsch) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

19 Eigenschaften von Quantoren Dualität der Quantoren x... ist das gleiche wie x... x... ist das gleiche wie x... Beispiel 3.5 x mag(x, eiskrem) ist das gleiche wie x mag(x, eiskrem) x mag(x, broccoli) ist das gleiche wie x mag(x, broccoli) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

20 Eigenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x (......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel 3.6 x (eiskrem(x) broccoli(x)) ist NICHT das gleiche wie ( x eiskrem(x)) ( x broccoli(x)) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

21 Eigenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x (......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel 3.7 x (gerade(x) ungerade(x)) ist NICHT das gleiche wie ( x gerade(x)) ( x ungerade(x)) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

22 Beispiele: Familienverhältnisse Beispiel 3.8 Brüder sind Geschwister x y (bruder(x,y) geschwister(x,y)) bruder ist symmetrisch x y (bruder(x,y) bruder(y,x)) Mütter sind weibliche Elternteile x y (mutter(x,y) weiblich(x) elter(x,y))) Ein Cousin ersten Grades ist das Kind eines Geschwisters eines Elternteils x y (cousin1(x, y) p ps (elter(p,x) geschwister(ps,p) elter(ps,y))) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

23 Beispiele: Familienverhältnisse Beispiel 3.9 Formalisierung von Bruder, der nicht nur Halbbruder ist x y bruder(x,y) ( (x = y) m v ( (m = v) elter(m,x) elter(v,x) elter(m,y) elter(v,y))) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Logik SS / 131

24 Teil I Einführung 1 Organisatorisches 2 Motivation, Inhalt der Vorlesung 3 Kurzer Überblick: Logik 4 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte 5 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

25 Wichtige Beweismethoden Deduktiver Beweis Aneinanderkettung von Argumenten/Aussagen A = A 1,A 2,...,A n = B Zwischenaussagen A i müssen schlüssig aus dem Vorhergehenden folgen Verwendet werden dürfen nur Annahmen aus A mathematische Grundgesetze bereits bewiesene Aussagen logische Schlussfolgerungen Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

26 Wichtige Beweismethoden Beispiel 4.1 (Deduktiver Beweis) Zu beweisen: Wenn x die Summe der Quadrate von vier positiven ganzen Zahlen ist, dann gilt 2 x x 2 Beweis in schematischer Darstellung: Aussage Begründung 1. x = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Gegeben 2. a 1,b 1,c 1,d 1 Gegeben 3. a 2 1,b 2 1,c 2 1,d 2 1 (2) und Gesetze der Arithmetik 4. x 4 (1), (3) und Gesetze der Arithmetik 5. 2 x x 2 (4) und Satz aus der Analysis Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

27 Wichtige Beweismethoden Beweis durch Kontraposition Beweise, dass nicht A aus der Annahme nicht B folgt: B A logisch äquivalent zu A B Widerspruchsbeweis Beweise, dass aus A und nicht B ein Widerspruch folgt: (A B) false logisch äquivalent zu A B A kann leer sein Widerspruch zu -Aussage gelingt durch Gegenbeispiel Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

28 Wichtige Beweismethoden Induktionsbeweise Standardinduktion: Gilt A(0) und folgt A(i + 1) aus A(i), dann gilt A(n) für alle n N Vollständige Induktion: Gilt A(0) und folgt A(i + 1) aus A(0)... A(i), dann gilt A(n) für alle m N Strukturelle Induktion (auf Datentypen wie Listen, Bäumen, Wörtern: Gilt A für das Basiselement und folgt die Gültigkeit von A für ein beliebiges Element aus der Gültigkeit von A für seine Unterelemente, dann gilt A für alle Elemente. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

29 Mathematische Konzepte Grundkonzepte (z.b. aus DAS) Elementare Mengentheorie {x P(x)},, \ Bezug zwischen Mengen, Relationen und Funktionen (wichtig!) Elementare Gesetze der Algebra Strukturen wie Listen, (endliche) Folgen, Graphen, Bäume Wörter (Strings) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

30 Mathematische Konzepte Funktionen Funktion f : S S : Abbildung zwischen den Grundmengen S und S, nicht unbedingt auf allen Elementen von S definiert Definitionsbereich D Wertebereich W f eine totale Funktion: f für alle Elemente des Wertebereichs W definiert Injektiv, surjektiv, bijektiv x D y W (x,y) f Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

31 Teil I Einführung 1 Organisatorisches 2 Motivation, Inhalt der Vorlesung 3 Kurzer Überblick: Logik 4 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte 5 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

32 Wichtige Beweismethoden Deduktiver Beweis Aneinanderkettung von Argumenten/Aussagen A = A 1,A 2,...,A n = B Zwischenaussagen A i müssen schlüssig aus dem Vorhergehenden folgen Verwendet werden dürfen nur Annahmen aus A mathematische Grundgesetze bereits bewiesene Aussagen logische Schlussfolgerungen Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

33 Wichtige Beweismethoden Beispiel 5.1 (Deduktiver Beweis) Zu beweisen: Wenn x die Summe der Quadrate von vier positiven ganzen Zahlen ist, dann gilt 2 x x 2 Beweis in schematischer Darstellung: Aussage Begründung 1. x = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Gegeben 2. a 1,b 1,c 1,d 1 Gegeben 3. a 2 1,b 2 1,c 2 1,d 2 1 (2) und Gesetze der Arithmetik 4. x 4 (1), (3) und Gesetze der Arithmetik 5. 2 x x 2 (4) und Satz aus der Analysis Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

34 Wichtige Beweismethoden Beweis durch Kontraposition Beweise, dass nicht A aus der Annahme nicht B folgt: B A logisch äquivalent zu A B Widerspruchsbeweis Beweise, dass aus A und nicht B ein Widerspruch folgt: (A B) false logisch äquivalent zu A B A kann leer sein Widerspruch zu -Aussage gelingt durch Gegenbeispiel Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

35 Wichtige Beweismethoden Induktionsbeweise Standardinduktion: Gilt A(0) und folgt A(i + 1) aus A(i), dann gilt A(n) für alle n N Vollständige Induktion: Gilt A(0) und folgt A(i + 1) aus A(0)... A(i), dann gilt A(n) für alle m N Strukturelle Induktion (auf Datentypen wie Listen, Bäumen, Wörtern: Gilt A für das Basiselement und folgt die Gültigkeit von A für ein beliebiges Element aus der Gültigkeit von A für seine Unterelemente, dann gilt A für alle Elemente. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

36 Wiederholung Fragen Wie distribuieren Quanten über Junktoren? Welche Beweismethoden benutzen wir? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

37 Mathematische Konzepte Grundkonzepte (z.b. aus DAS) Elementare Mengentheorie {x P(x)},, \ Bezug zwischen Mengen, Relationen und Funktionen (wichtig!) Elementare Gesetze der Algebra Strukturen wie Listen, (endliche) Folgen, Graphen, Bäume Wörter (Strings) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

38 Mathematische Konzepte Funktionen Funktion f : S S : Abbildung zwischen den Grundmengen S und S, nicht unbedingt auf allen Elementen von S definiert Definitionsbereich D Wertebereich W f eine totale Funktion: f für alle Elemente des Wertebereichs W definiert Injektiv, surjektiv, bijektiv x D y W (x,y) f Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS / 131

39 Inhalt von Teil II In den folgenden Abschnitten führen wir die Begriffe ein. Sprache Grammatik Wir untersuchen insbesondere 1 wie man Probleme aus der Mathematik, Graphentheorie, Logik als Probleme über Sprachen formulieren kann. 2 wie man Klassen von Grammatiken von steigendem Schwierigkeitsgrad definiert: Chomsky-Hierarchie. 3 wieviele Grammatiken und Sprachen es überhaupt gibt (soviele wie natürliche Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen?) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS / 131

40 Teil II Terminologie 6 Sprache, Grammatik 7 Warum Sprachen? 8 Die Chomsky-Hierarchie 9 Probleme über Sprachen 10 Endlich, unendlich und dann? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

41 Alphabete, Wörter Definition 6.1 (Alphabet) Ein Alphabet ist eine Menge von Zeichen/Buchstaben Grundlage einer Sprache (die zur Verfügung stehenden Zeichen) Meist endlich Definition 6.2 (Wort) Ein Wort (über einem Alphabet Σ) ist eine endliche Folge von Zeichen aus Σ w bezeichnet Länge eines Wortes w ε bezeichnet das leere Wort Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

42 Alphabete, Wörter Operationen auf Wörtern Verknüpfung (Konkatenation): w w assoziativ, oft geschrieben als ww i-te Potenz: w 0 = ε, w i+1 = ww i Reverse: w R = das Wort w rückwärts Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

43 Sprache Definition 6.3 (Sprache) Eine Sprache L (über einem Alphabet Σ) ist eine Menge von Wörtern über Σ. Operationen auf Sprachen Konkatenation: L M = {w w w L, w M} i-te Potenz: Reverse: L 0 = {ε}, L R = {w R : w L} L i+1 := LL i Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

44 Sprache Kleene-Hülle Variante: L = L 0 L 1 L 2... L + = LL = L 1 L 2... Σ bezeichnet die Menge aller Wörter über Σ Genau genommen besteht ein Unterschied: ein Buchstabe Wort, das nur aus dem einen Buchstaben besteht Darum ist Σ selbst keine Sprache über Σ (Oft wird über diesen Unterschied hinweggesehen) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

45 Reguläre Ausdrücke Definition 6.4 (Reguläre Ausdrücke) Menge Reg Σ der regulären Ausdrücke (über Σ) ist definiert durch: 1 0 ist ein regulärer Ausdruck 2 Für jedes a Σ ist a ein regulärer Ausdruck 3 Sind r und s reguläre Ausdrücke, so auch (r + s) (Vereinigung), (rs) (Konkatenation), (r ) (Kleene Stern) Klammern können weggelassen werden, dann hat Vorrang vor Konkatenation Konkatenation hat Vorrang vor + Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

46 Reguläre Ausdrücke Definition 6.5 (Semantik regulärer Ausdrücke) Ein regulärer Ausdruck r stellt eine Sprache I(r) über Σ wie folgt dar: I(0) := /0 I(a) := {a} I(r + s) := I(r) I(s) I(rs) := I(r)I(s) I(r ) := I(r) für a Σ Wir benutzen auch das Makro... 1 := 0 Es gilt: I(1) = {ε} Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

47 Reguläre Ausdrücke Übung Welche Sprachen werden durch die folgenden regulären Ausdrücke dargestellt? aa (a + b) aa + bb Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

48 Wiederholung Fragen Wie sind reguläre Ausdrücke definiert? was ist ihre Semantik? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

49 Reguläre Ausdrücke als Suchmuster für grep Das Kommando grep (bzw. egrep) Sucht Wörter (Strings) in Dateien Benutzt reguläre Ausdrücke als Suchmuster Sehr schnell Volle Funktionalität mit egrep (UNIX/LINUX) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

50 Reguläre Ausdrücke als Suchmuster für grep Syntax bei grep grep Regulärer Ausdruck ww ww w w w + w w* w w+ w + Syntactic Sugar grep Regulärer Ausdruck [abc] a + b + c [a-d] a + b + c + d. beliebiges Zeichen aus Σ Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

51 Grammatik Grammatik Beschreibt eine Sprache Menge von Regeln, mit deren Hilfe man Wörter ableiten kann Die zu einer Grammatik gehörende Sprache besteht aus den ableitbaren terminalen Wörtern Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

52 Grammatik Definition 6.6 (Grammatik) Eine Grammatik G über einem Alphabet Σ ist ein Tupel G = (V,T,R,S) Dabei ist V eine endliche Menge von Variablen T Σ eine endliche Menge von Terminalen mit V T = /0 R eine endliche Menge von Regeln S V das Startsymbol Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

53 Grammatik Definition 6.7 (Regel) Eine Regel ist ein Element (P,Q) ( (V T ) V (V T ) ) (V T ) Bezeichnung: P: Prämisse Q: Conclusio Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

54 Grammatik Definition 6.8 (Regel) Eine Regel ist ein Element (P,Q) ( (V T ) V (V T ) ) (V T ) Das heißt: P und Q sind Wörter über (V T ) P muss mindestens eine Variable enthalten Q ist beliebig Bezeichnung: P: Prämisse Q: Conclusio Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

55 Grammatik Schreibweise für Regeln Schreibweise für Regel (P, Q): P G Q bzw. P Q Abkürzung für mehrere Regeln mit derselben Prämisse: P Q 1 Q 2 Q 3 für P Q 1, P Q 2, P Q 3 Konvention (meistens) Variablen als Großbuchstaben Terminale als Kleinbuchstaben Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

56 Grammatik Beispiel 6.9 S B B do begin B end B A A nop A A ε Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

57 Rechnung einer Grammatik Algorithmus Eingabe: Eine Grammatik 1 aktuellwort := S (Startsymbol) 2 Wähle eine Regel P Q, so dass P in aktuellwort vorkommt 3 Ersetze (ein) Vorkommen von P in aktuellwort durch Q 4 Falls aktuellwort noch Variablen enthält (nicht terminal), GOTO 2 Ausgabe: Das terminale Wort aktuellwort Beachte Die Berechnung ist nicht deterministisch (Auswahl der Regel) kann mehr als ein Ergebnis liefern (oder auch keines) kann in Endlosschleifen geraten Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

58 Rechnung einer Grammatik Beispiel 6.10 (Einfache Grammatiken) Welche Wörter kann man ableiten? G 1 = ({S},{a},{R 1,R 2 },S) R 1 = S as R 2 = S ε G 2 = ({S},{a,b},{R 1,R 2 },S) R 1 = S asb R 2 = S ε Sei G 3 = ({S,S 0 },{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},{R 1,R 2 },S) R 1 = S 1S 2S 0 3S 4S 0 5S 6S 0 7S 8S 0 9S R 2 = S 0 S ε Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

59 Rechnung einer Grammatik Beispiel 6.11 (Einfache Grammatiken) Welche Wörter kann man ableiten? G a = ({S},{a},{R 1,R 2 },S) R 1 = S as R 2 = S ε G ab = ({S},{a,b},{R 1,R 2 },S) R 1 = S asb R 2 = S ε Sei G gerade = ({S,S 0 },{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},{R 1,R 2 },S) R 1 = S 1S 2S 0 3S 4S 0 5S 6S 0 7S 8S 0 9S R 2 = S 0 S ε Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

60 Rechnung einer Grammatik Definition 6.12 (Ableitung, Rechnung) Gegeben: Grammatik G = (V,T,R,S) Wörter w,w aus (V T ) Es gilt w = G w ( w geht über in w ) falls u,v (V T ) P Q R ( w = upv und w = uqv ) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

61 Rechnung einer Grammatik Schreibweise für Ableitung w = G w falls es Wörter w 0,...,w n (V T ) (n 0) gibt mit w = w 0 w m = w w i = G w i+1 für 0 i < n Merke: w = w gilt stets (n = 0) G Die Folge w 0,...,w n heißt Ableitung oder Rechnung von w 0 nach w n in G der Länge n Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

62 Vorsicht: Indeterminismus Beispiel 6.13 (Indeterminismus) Wir betrachten die Grammatik G = ({S,B},{a,b,c},{R 0,R 1,R 2,R 3 },S) R 0 = R 1 = R 2 = R 3 = S abbc B b B ba BB bba Drei Möglichkeiten, das Wort abbac zu erzeugen: S = R0 abbc = R1 abbc = R2 abbac S = R0 abbc = R2 abbac = R1 abbac S = R0 abbc = R3 abbac = R1 abbac Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

63 Vorsicht: Indeterminismus Warum ist das ein Feature und kein Bug? Erlaubt einfachere Definition von Grammatiken Für manche Sprachen gibt es keine eindeutige Grammatiken Eine Grammatik beschreibt die Struktur der Wörter. Ein Wort kann mehrere mögliche Strukturen haben. Für natürliche Sprachen braucht man das unbedingt: Manche Sätze sind mehrdeutig (in ihrer Grammatik), also müssen auch die Grammatiken mehrdeutig sein! Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

64 Vorsicht: Indeterminismus Beispiel 6.14 (Mehrdeutige Grammatik natürlichsprachlicher Sätze) Time flies like an arrow. Fruit flies like a banana. Beide Sätze haben zwei mögliche grammatische Strukturen. Erst unser semantisches Verständnis wählt eine aus. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

65 Erzeugte Sprache, Äquivalenz Definition 6.15 (Erzeugte Sprache) leitunggegeben: Eine Grammatik G Die von G erzeugte Sprache L(G) ist die Menge aller terminalen Wörter, die durch G vom Startsymbol S aus erzeugt werden können: L(G) := {w T S = G w} Definition 6.16 (Äquivalenz) Zwei Grammatiken G 1,G 2 heißen äquivalent gdw L(G 1 ) = L(G 2 ) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

66 Fragen Wiederholung Reguläre Ausdrücke? Was ist eine Grammatik? Was ist eine Ableitung? Was ist die von einer Grammatik erzeugte Sprache? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

67 Beispiel Beispiel 6.17 Grammatik G ab = ({S}, {a,b}, {R 1,R 2 }, S) mit R 1 = S asb R 2 = S ε Mögliche Ableitung: S = R1 asb = R1 aasbb = R1 aaasbbb = R2 aaabbb Also: a 3 b 3 L(G 2 ) Lemma 6.18 Die Grammatik G ab erzeugt die Sprache L(G ab ) = {a n b n n N 0 } Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

68 Beispiel Beweis Dass G ab tatsächlich genau diese Sprache erzeugt, zeigen wir allgemein, indem wir alle möglichen Ableitungen von G ab betrachten. : zu zeigen: Jedes terminale Wort, das von G ab erzeugt wird, hat die Form a n b n. Wir zeigen für alle w (V T ) : Falls S = w, dann gilt entweder G ab w = a n Sb n oder w = a n b n für ein n N 0. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

69 Beispiel Beweis (Forts.) Dazu verwenden wir eine Induktion über die Länge einer Ableitung von S nach w. Induktionsanfang: w = S = a 0 Sb 0 Induktionsschritt: Es gelte S = w = G Gab w, und für w gelte nach der ab Induktionsvoraussetzung bereits w = a n b n oder w = a n Sb n. Außerdem sei w = Gab w eine Ableitung in einem Schritt. Nun ist zu zeigen: w = a m b m oder w = a m Sb m für irgendein m. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

70 Beispiel Beweis (Forts.) Fall 1: w = a n b n. Dann konnte keine Regel angewandt werden, da w schon terminal ist, also tritt dieser Fall nie auf. Fall 2: w = a n Sb n. Dann wurde von w nach w entweder Regel R 1 oder R 2 angewandt. Falls R 1 angewandt wurde, dann gilt w = a n Sb n = R1 a n asbb n = a n+1 Sb n+1 = w. Falls R 2 angewandt wurde, dann gilt w = a n Sb n = R2 a n εb n = w. Dies Wort ist terminal und hat die geforderte Form a n b n. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

71 Beispiel Beweis (Forts.) : zu zeigen: Für alle n kann a n b n von G ab erzeugt werden: S = G ab a n b n n N 0. Um a n b n zu erzeugen, wende man auf S n-mal die Regel R 1 und dann einmal die Regel R 2 an. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

72 Beispiel: Dycksprache Definition 6.19 (Dycksprache) Gegeben: k N Σ k := {x 1,x 1,x 2...,x k,x k } ein Alphabet mit 2k Symbolen Die Dycksprache D k ist die kleinste Menge die folgende Bedingungen erfüllt: 1 ε D k, 2 Falls w D k, so auch x i wx i. 3 Falls u, v D k, so auch uv. Interpretiert man die x i als öffnende, die x i als zugehörige schließende Klammern, so kann man die Dycksprache als die Menge aller korrekten Klammerausdrücke sehen. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

73 Beispiel: Dycksprache Walther von Dyck 1856, 1934 Mathematiker Hochschulpolitiker Erster Rektor der TU München Einer der Gründungsväter des Deutschen Museums [Foto: Deutsches Museum] Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS / 131

74 Teil II Terminologie 6 Sprache, Grammatik 7 Warum Sprachen? 8 Die Chomsky-Hierarchie 9 Probleme über Sprachen 10 Endlich, unendlich und dann? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

75 Darstellung von Problemen Fakt So ziemlich alle Probleme können als Probleme über Sprachen formuliert werden. Beispiel 7.1 (Primzahlen) Alphabet Σ num := { } Sprache L primes := {... p prim} }{{} p mal Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

76 Darstellung von Problemen Eingabealphabet Σ = {0,1,...,n 1} erlaubt Darstellung einer Ganzzahl zur Basis n Beispiel binär: unär: (oder auch 11111) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

77 Darstellung von Problemen Speicheraufwand n-äre Darstellung (n > 1) einer Zahl k führt zu einer Speicherersparnis: log n k (n-är) statt k (unär) Nur der Schritt von unär auf binär ist wesentlich, denn log n k = 1 log 2 n log 2 k = c log 2 k (von binär auf n-är nur lineare Einsparung) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

78 Darstellung des Erfüllbarkeitsproblems SAT Problem SAT Gegeben: Eine aussagenlogische Formel w Frage: Gibt es eine Belegung der booleschen Variablen in w, so dass w zu true auswertet? Signatur für aussagenlogische Formeln Signatur: Σ sat := {,,,(,),x,0,1} Dabei Darstellung von boolscher Variablen x i als x gefolgt von i binär kodiert. Dadurch Formel der Länge n um (unerheblichen) Faktor log n länger. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

79 Darstellung des Erfüllbarkeitsproblems SAT Definition 7.3 (Satisfiability) Sprache L sat := {w Σ sat : w ist eine aussagenlogische Formel, und es gibt eine Belegung für die x i, so dass die Formel w zu true auswertet } Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

80 Darstellung des Erreichbarkeitsproblems in Graphen Erreichbarkeitsproblem Gegeben: Ein Graph mit Ecken v 1 bis v n Frage: Gibt es einen Weg von Ecke v 1 zu Ecke v n? Signatur für Graphen Signatur: Σ graph := {v,e,0,1,(,),#} Darstellung von Ecke v i Kante e i,j als v gefolgt i binär kodiert als e(string 1 #string 2 ), wobei string 1 die binäre Darstellung von i, string 2 die binäre Darstellung von j Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

81 Darstellung des Erreichbarkeitsproblems in Graphen Definition 7.4 (Erreichbarkeitsproblem) Sprache L reach := {w Σ graph : es gibt einen Weg in w von der ersten Ecke v 1 zur letzten Ecke v n } Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

82 Wiederholung Fragen Was ist eine formale Sprache? Regeln einer Grammatik? Was ist die von einer Grammatik erzeugte formale Sprache? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Warum Sprachen? SS / 131

83 Teil II Terminologie 6 Sprache, Grammatik 7 Warum Sprachen? 8 Die Chomsky-Hierarchie 9 Probleme über Sprachen 10 Endlich, unendlich und dann? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

84 Die Chomsky-Hierarchie Noam Chomsky 1928 Professor für Linguistik und Philosophie am MIT Bedeutender Linguist Bedeutender Beitrag zur Informatik: Erste Beschreibung der Chomsky-Hierarchie (1956) Bedeutender linker Intellektueller und Globalisierungskritiker Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

85 Die Chomsky-Hierarchie Was muss eine Grammatik erfüllen? Sie darf nur endlich viele Regeln haben Jede Regelprämisse muss mindestens eine Variable enthalten Das Wort kann im Lauf der Ableitung beliebig wachsen und wieder schrumpfen. (Weitere) Beschränkung der Form, die Regeln haben dürfen, führt zu Grammatiktypen und damit auch zu Sprachtypen von verschiedenen Schwierigkeitsgraden. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

86 Die Chomsky-Hierarchie Definition 8.1 (Rechtlineare Grammatik) Eine Grammatik G = (V,T,R,S) heißt rechtslinear gdw (P Q) R ( P V und Q T T + V ) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

87 Die Chomsky-Hierarchie Definition 8.2 (Rechtlineare Grammatik) Eine Grammatik G = (V,T,R,S) heißt rechtslinear gdw (P Q) R ( P V und Q T T + V ) Das heißt, bei jeder Regelanwendung: Links eine einzelne Variable Rechts höchstens eine Variable Wenn rechts eine Variable steht, steht sie ganz rechts im Wort. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

88 Die Chomsky-Hierarchie Definition 8.3 (Kontextfreie Grammatik) Eine Grammatik G = (V,T,R,S) heißt kontextfrei gdw (P Q) R ( P V und Q (V T ) ) Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

89 Die Chomsky-Hierarchie Definition 8.4 (Kontextfreie Grammatik) Eine Grammatik G = (V,T,R,S) heißt kontextfrei gdw (P Q) R ( P V und Q (V T ) ) Das heißt, bei jeder Regelanwendung: Links eine einzelne Variable Die Prämisse macht keine Aussage, was der Kontext dieser Variablen ist ( kontextfrei ) Rechts steht etwas beliebiges Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

90 Definition 8.5 (Kontextsensitive Grammatik) Eine Grammatik G = (V,T,R,S) heißt kontextsensitiv gdw (P Q) R: 1 u,v,α (V T ) A ( V P = uav und Q = uαv mit α ) 1, oder die Regel hat die Form S ε 2 S nicht in Q Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

91 Die Chomsky-Hierarchie Definition 8.6 (Kontextsensitive Grammatik) Eine Grammatik G = (V,T,R,S) heißt kontextsensitiv gdw (P Q) R: 1 u,v,α (V T ) A V ( P = uav und Q = uαv mit α 1 ), oder die Regel hat die Form S ε 2 S nicht in Q Das heißt, bei jeder Regelanwendung: Eine Variable A wird in einen String α mit α 1 überführt Die Ersetzung von A durch α findet nur statt, wenn der in der Regel geforderte Kontext (u und v), vorhanden ist Das Wort wird nicht kürzer, außer bei ε L Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

92 Definition 8.7 (Beschränkte Grammatik) Eine Grammatik G = (V,T,R,S) heißt beschränkt gdw (P Q) R: 1 P Q, oder die Regel hat die Form S ε 2 S nicht in Q Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

93 Die Chomsky-Hierarchie Definition 8.8 (Beschränkte Grammatik) Eine Grammatik G = (V,T,R,S) heißt beschränkt gdw (P Q) R: 1 P Q, oder die Regel hat die Form S ε 2 S nicht in Q Das heißt, bei jeder Regelanwendung: Die Conclusio ist mindestens so lang wie die Prämisse, außer bei ε L. Das Wort wird nicht kürzer, außer bei ε L Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

94 Die Chomsky-Hierarchie Aufbauend auf den Grammatikarten kann man Sprachklassen definieren Definition 8.9 (Sprachklassen) Klasse definiert als Sprache heißt L 3, REG {L(G) G ist rechtslinear} Typ 3, regulär L 2, CFL {L(G) G ist kontextfrei} Typ 2, kontextfrei L 1, CSL {L(G) G ist kontextsensitiv} Typ 1, kontextsensitiv L 1, CSL {L(G) G ist beschränkt} Typ 1, beschränkt L 0, r.e. {L(G) G beliebig} Typ 0, aufzählbar L {L L Σ } beliebige Sprache Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

95 Die Chomsky-Hierarchie Grammatiken können kompliziert sein! Beispiel 8.10 (Grammatik für a n b n c n ) Grammatik G abc = ({S,X 1,X 2 },{a,b,c},{r 1,...R 5 },S) mit R 1 = S abc ax 1 bc R 2 = X 1 b bx 1 R 3 = X 1 c X 2 bcc R 4 = bx 2 X 2 b R 5 = ax 2 aa aax 1 Ist diese Grammatik kontextsensitiv? Ist sie beschränkt? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Die Chomsky-Hierarchie SS / 131

96 Teil II Terminologie 6 Sprache, Grammatik 7 Warum Sprachen? 8 Die Chomsky-Hierarchie 9 Probleme über Sprachen 10 Endlich, unendlich und dann? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Probleme über Sprachen SS / 131

97 Probleme über Sprachen Interessante Probleme (informell) Ist ein gegebenes Wort in einer Sprache (definiert durch eine Grammatik) enthalten? Erzeugen zwei gegebene Grammatiken dieselbe Sprache? Mit welchen Algorithmen können diese Probleme gelöst werden? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Probleme über Sprachen SS / 131

98 Probleme und Algorithmen im allgemeinen Definition 9.1 (Problem, Algorithmus) Ein Problem P ist die Frage, ob eine bestimmte Eigenschaft auf gegebene Objekte zutrifft. Dabei ist eine bekannte, abzählbaren Grundmenge solcher Objekte gegeben. Für jedes Objekt o gilt: die Eigenschaft trifft auf o zu oder nicht. Definition 9.2 (Algorithmus) Ein Algorithmus für ein Problem P ist eine Vorschrift (ein Programm), die zu beliebigem Objekt o berechnet, ob die Eigenschaft für o zutrifft oder nicht. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Probleme über Sprachen SS / 131

99 Probleme und Algorithmen im allgemeinen Beispiel 9.3 (Einige Probleme) Für n N: Ist n eine Primzahl? Für ein Wort w Σ und ein Element G aus der Menge aller Grammatiken über Σ: Gilt w L(G)? Für ein Element G aus der Menge aller Grammatiken: Ist L(G) leer (endlich, unendlich)? Für (a,b,c) N 3 : Hat a n + b n = c n eine Lösung in den natürlichen Zahlen? Für ein Programm p aus der Menge aller Java-Programme: Terminiert p? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Probleme über Sprachen SS / 131

100 Teil II Terminologie 6 Sprache, Grammatik 7 Warum Sprachen? 8 Die Chomsky-Hierarchie 9 Probleme über Sprachen 10 Endlich, unendlich und dann? Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

101 Abzählbarkeit Definition 10.1 (Abzählbarkeit) Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Funktion f : N 0 M gibt, oder M leer ist. Intuition Eine Menge ist abzählbar, wenn sie höchstens so mächtig wie N 0 ist. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

102 Abzählbarkeit Lemma 10.2 Eine Menge M ist abzählbar, wenn es eine injektive Funktion gibt. f : M N 0 Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

103 Abzählbarkeit Beispiel 10.3 Abzählbar sind: N 0 Q alle endlichen Mengen die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen die Vereiningung abzählbar vieler abzählbarer Mengen Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

104 Hilberts Hotel David Hilbert 1862, 1943 Einer der bedeutensten und einflußreichsten Mathematiker aller Zeiten Professor in Königsberg und Göttingen Wichtige Beiträge zu Logik Funktionalanalysis Zahlentheorie Mathematische Grundlagen der Physik uvm. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

105 Diagonalisierungsargument für Überabzählbarkeit Theorem 10.4 Die Menge R der rellen Zahlen ist überabzählbar. Beweis. Wir zeigen, dass schon das Intervall [0, 1] überabzählbar ist. Annahme: Es gibt eine Aufzählung, also eine surjektive Funktion f : N 0 [0,1] Dann sei f(i) = 0,d i 0 d i 1 d i 2... die Dezimaldarstellung der i-ten reellen Zahl. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

106 Diagonalisierungsargument für Überabzählbarkeit Beweis. Fortsetzung: Wir definieren eine neue Zahl d = 0,d 0 d 1 d 2... durch { d n d n = n + 1 falls dn n < 9 0 sonst d unterscheidet sich in der n-ten Stelle von d n. Also d d n für alle n N 0 Also kommt d in der Aufzählung nicht vor. Widerspruch! Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

107 Wieviele gibt es? Wieviele Grammatiken Sprachen Algorithmen gibt es überhaupt? Mögliche Antworten Endlich viele Unendlich viele Abzählbar viele Überabzählbar viele Nicht klar für Algorithmen, da dieser Begriff nicht genau definiert wurde Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

108 Wieviele Wörter, Grammatiken gibt es? Lemma 10.5 Gegeben: Signatur Σ, endlich oder abzählbar unendlich Dann ist Σ abzählbar unendlich. Beweis. Σ ist abzählbar, also ist Σ i abzählbar, i N. Σ ist die Vereinigung der abzählbar vielen abzählbaren Mengen Σ i. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

109 Wieviele Wörter, Grammatiken gibt es? Lemma 10.6 Gegeben: Signatur Σ, endlich oder abzählbar unendlich Dann ist die Menge aller Grammatiken über Σ abzählbar unendlich Beweis. Grammatiken sind endlich und also als Wörter über einer geeigneten erweiterten Signatur Σ V {,...} darstellbar. Die Menge der Wörter über dieser erweiterten Signatur ist abzählbar (Lemma 10.5). Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

110 Wieviele Algorithmen gibt es? Lemma 10.7 Es gibt (nur) abzählbar viele Algorithmen. Beweis. Algorithmen müssen per Definition eine endliche Beschreibung haben. Sie sind also als Wörter über einer Signatur Σ darstellbar (für jedes abzählbare Σ). Also sind sie abzählbar (Lemma 10.5). Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

111 Wieviele Funktionen f : N 0 N 0 gibt es? Lemma 10.8 Es gibt überabzählbar viele Funktionen f : N 0 N 0. Beweis. Angenommen, es existiere eine Abzählung f 1,f 2,...f n,... Dann sei { 1 falls fn (n) = 0; C : N 0 N 0 mit C(n) = 0 sonst C(i) f i (i) Also: C ist von allen f i verschieden. Widerspruch! Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

112 Wieviele Funktionen f : N 0 N 0 gibt es? Lemma 10.9 Es gibt überabzählbar viele Funktionen f : N 0 {0,1}. Beweis. Analog. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

113 Wieviele Sprachen gibt es? Lemma Gegeben eine Signatur Σ (endlich oder unendlich). Die Menge der Sprachen über Σ ist überabzählbar. Beweis. Sei eine beliebige Abzählung aller Wörter über Σ gegeben: w 1,w 2,... Dann kann man die Sprachen L über Σ mit den Funktionen f : N 0 {0,1} identifizieren, vermittels f(i) = 1 gdw w i L Von diesen gibt es überabzählbar viele. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

114 Korollar Korollar Nicht jede Sprache kann durch eine Grammatik dargestellt werden. Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131

115 Zusammenfassung Gegeben eine Signatur Σ Abzählbar N Menge aller Wörter Menge aller Grammatiken Menge aller Algorithmen Überabzählbar Die Menge aller Teilmengen von N Die Menge aller reellen Zahlen Die Menge aller Funktionen f : N 0 N 0 bzw. f : N 0 {0,1} Die Menge aller Sprachen Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Endlich, unendlich und dann? SS / 131