4. Beweise 4.1: Beweisarten

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1 4. Beweise 4.1: Beweisarten Hagen Knaf Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 1

2 Liste wichtiger Beweisarten 1. Direkter Beweis 2. Fallunterscheidung 3. Konstruktiver Beweis 4. Widerspruchsbeweis 5. Beweis durch Kontraposition 6. Vollständige Induktion 7. Beweis von Äquivalenzaussagen Die verschiedenen Beweisarten sind nicht disjunkt zueinander: Ein konstruktiver Beweis kann direkt sein. Allerdings ist etwa ein Widerspruchsbeweis niemals konstruktiv. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 2

3 Direkter Beweis Steckbrief Die zu zu beweisende Aussage wird direkt aus Axiomen und bereits bekannten wahren Aussagen logisch abgeleitet. Die Logik muss dabei nicht linear sein; mehrere unabhängige und parallel laufende Argumentationsstränge sind möglich. Längere direkte Beweise müssen, um lesbar zu bleiben, gut strukturiert werden. Eine Aufteilung in Einzelaussagen (Hilfssatz, Lemma) kann hilfreich sein. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 3

4 Direkter Beweis Beispiele Satz 1: Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Satz 2: Jede Polynomfunktion p(x) ist stetig. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 4

5 Fallunterscheidung Steckbrief Fallunterscheidungen treten in Beweisen aus drei wesentlichen Gründen auf: 1. Die zu beweisende Aussage besteht selbst aus mehreren getrennt zu behandelnden Fällen. 2. Ein Beweis ohne Fallunterscheidungen ist unmöglich. 3. Der Beweis der Aussage wird durch die Fallunterscheidungen verständlicher. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 5

6 Konstruktiver Beweis Steckbrief Mit einem konstruktiven Beweis kann man nur Aussagen der allgemeinen Form»Es gibt ein mathematisches Objekt O mit den Eigenschaften A, B, C, D. «beweisen. Der Beweis erfolgt durch Angabe eines Verfahrens, dass das gewünschte Objekt O in endlich vielen Schritten aus bekannten Objekten erzeugt. Das erzeugende Verfahren kann, muss aber nicht, programmierbar sein. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 6

7 Konstruktiver Beweis Beispiele Satz 1: Drei verschiedene Punkte in der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, liegen auf einem Kreis. Satz 2: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 7

8 Widerspruchsbeweis Steckbrief Eine Aussage wird bewiesen, indem man annimmt ihre Negation sei wahr und daraus einen Widerspruch zu bekannten wahren Aussagen ableitet. Widerspruchsbeweise werden häufig benutzt, um die Existenz oder Nichtexistenz von mathematischen Objekten mit bestimmten Eigenschaften zu beweisen. Gibt es zu einer wahren Aussage einen Widerspruchsbeweis sowie einen Beweis anderer Art, so ist der Widerspruchsbeweis sehr häufig wesentlich kürzer als der andere. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 8

9 Widerspruchsbeweis Beispiele Satz 1: Es gibt keine bijektive Abbildung zwischen einer nichtleeren Menge X und der Menge P(X) ihrer Teilmengen. Satz 2: Die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl oder sie ist irrational. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 9

10 Beweis durch Kontraposition Steckbrief Eine Aussage der Form»Aus A folgt B.«wird bewiesen, indem man zeigt, dass die Aussage»Aus der Negation von B folgt die Negation von A.«wahr ist. In der Aussagenlogik haben wir gesehen, dass die Aussagen»Aus A folgt B.«und»Aus der Negation von B folgt die Negation von A.«äquivalent sind. Beweise durch Kontraposition sind häufig kürzer oder ästhetischer als die entsprechenden direkten Beweise. Achtung: Nicht mit dem Widerspruchsbeweis verwechseln. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 10

11 Beweis durch Kontraposition Beispiele Satz 1: Ist die Summe x+y zweier reeller Zahlen irrational, so ist entweder x oder y irrational. n Satz 2: Eine minimales Erzeugendensystem des R ist linear unabhängig. Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 11

12 Vollständige Induktion Steckbrief Durch vollständige Induktion beweist man Aussagen der Form»Für alle natürlichen Zahlen n gilt A(n).«oder»Für alle natürlichen Zahlen n größer gleich N gilt A(n).«Hierbei ist A(n) eine von der natürlichen Zahl n abhängige Aussage. Ein Induktionsbeweis besteht aus zwei Schritten: 1. Induktionsanfang: Beweis von A(1) bzw. A(N). 2. Induktionsschritt: Beweis der Aussage»Aus A(n) folgt A(n+1).«oder»Aus A(k) für alle/einige k kleiner gleich n folgt A(n+1).«Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 12

13 Vollständige Induktion Beispiele Satz 1: Eine endliche Menge mit n Elementen besitzt verschiedene Teilmengen. 2 n Satz 2: Für die Fibonaccizahlen gilt die Formel F F F F n = n 2 1 Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 13

14 Beweis von Äquivalenzaussagen Steckbrief Als Faustregel zur Vermeidung von Fehlern werden Aussagen der Form»A ist äquivalent zu B.«bewiesen, indem man die beiden Implikationen»Aus A folgt B.«und»Aus B folgt A.«getrennt beweist. In mathematischen Sätzen findet man oft Aussagen der Form:»Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1. A1 2. A2 3. A3 usw. n. An«Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 14

15 Beweis von Äquivalenzaussagen Steckbrief Anstatt nach der Faustregel 2n Implikationen zu beweisen, kann man häufig stattdessen folgenden zyklischen Beweis bestehend aus n Implikationen führen: Man beweist»aus A1 folgt A2.«Man beweist»aus A2 folgt A3.«usw. Man beweist»aus An folgt A1.«Prof. Dr. H. Knaf, Mathematisches Beweisen 15