Mathematischer Vorkurs

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1 Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 170

2 Kapitel 11 Aussageformen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 103 / 170

3 11.1 Denition: Aussageformen Eine Aussageform A über einer Grundmenge G ist ein Satz in Form einer Aussage, der eine Variable enthält, die ihre Werte in G annimmt. Wird die Variable durch einen konkreten Wert x G ersetzt, so liegt eine Aussage A(x) vor Denition: Erfüllungsmenge 1. Ist A eine Aussageform über der Grundmenge G, so nennt man die Menge L(A) := {x G A(x) ist wahr} die Erfüllungsmenge von A. 2. Gilt für die Erfüllungsmenge einer Aussageform L(A) = G, so nennt man A allgemeingültig. 3. Ist die Aussage A(x) für alle x G falsch, dh. L(A) =, so nennt man A nicht erfüllbar. 4. Ist für eine Aussageform L(A), so heiÿt A erfüllbar. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 104 / 170

4 11.3 Denition: Verknüpfen von Aussageformen Sind A und B Aussageformen auf der gleichen Grundmenge G so sind die Aussageformen A, A B und A B punktweise deniert. Dh. ( A)(x) := (A(x)), (A B)(x) := A(x) B(x) und (A B)(x) := A(x) B(x) Bemerkung Wir bezeichnen mit W bzw. F die Aussageformen, die für beliebiges x G stets wahr bzw. falsch ist. Die Rechenregeln für Aussagen übertragen sich analog. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 105 / 170

5 11.5 Beispiel: Mengenoperationen Es seien M, N G Mengen und A M die Aussageform, für die die Aussage A M (x) durch x M deniert ist (analog für A N ). Dann ist L(A M ) = M und L(A N ) = N. Über genau diese Aussageformen haben wir die Mengenoperationen deniert (vgl. Kapitel 1) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 106 / 170

6 11.6 Satz Es seien A und B Aussageformen auf der gleichen Grundmenge G. Dann gilt 1. L( A) = ( L(A) )c, 2. L(A B) = L(A) L(B), 3. L(A B) = L(A) L(B) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 107 / 170

7 11.7 Wiederholung: Allquantor, Existenzquantor Es sei A eine Aussageform über der Grundmenge G. 1. x G : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A allgemeingültig ist Für jedes x G ist A(x) wahr. 2. x G : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A erfüllbar ist Es gibt ein x G, so dass A(x) wahr ist Bemerkung Es sei A eine Aussageform über G. Dann gilt 1. A ist erfüllbar x G : A(x). 2. A ist nicht erfüllbar x G : A(x). 3. A ist allgemeingültig x G : A(x). 4 A ist nicht allgemeingültig x G : A(x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 108 / 170

8 In der letzten Bemerkung haben wir schon von folgendem Sachverhalt Gebrauch gemacht: 11.9 Satz: Negation von Quantoren Es gilt: 1. ( x G : A(x) ) x G : A(x) 2. ( x G : A(x) ) x G : A(x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 109 / 170

9 11.10 Satz Es sei A eine Aussageform auf der Menge G 1 G 2. Dann gilt: 1. Nebeneinanderstehende gleiche Quantoren darf man vertauschen, dh. x G 1 y G 2 : A(x, y) y G 2 x G 1 : A(x, y) und x G 1 y G 2 : A(x, y) y G 2 x G 1 : A(x, y). 2. Bei unterschiedlichen Quantoren darf man das (in der Regel) nicht. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 110 / 170

10 Beweisführung Kapitel 12 Beweisführung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 111 / 170

11 Beweisführung 12.1 Deniton: Folgerung Sind A und B Aussageformen über der Grundmenge G, so ist die Folgerung wie folgt deniert: A B genau dann, wenn x G : A(x) B(x) Das heiÿt: A B, wenn die Subjunktion A B allgemeingültig ist Deniton: Äquivalenzumformung Zwei Aussageformen A und B über der Grundmenge G heiÿen äquivalent, A B, wenn A B und B A Satz A B genau dann, wenn L(A) L(B). A B genau dann, wenn L(A) = L(B). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 112 / 170

12 Beweisführung 12.4 Regel: Aussagen mit einem Existenzquantor Eine Existenzaussage x G : A(x) kann man beweisen, indem man ein konkretes x G angibt, so dass A(x) wahr ist. Der Beweis beginnt dann üblicherweise so: Wähle x = Regel: Aussagen mit einem Allquantor Eine Allaussage x G : A(x) kann man beweisen, indem für einen Wert x, von dem man nichts weiter annimmt, als dass er aus G stammt, nachweist, dass A(x) wahr ist. Der Beweis beginnt dann üblicherweise so: Sei x G beliebig... Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 113 / 170

13 Beweisführung 12.6 Regel: Folgerungen und Äquivalenzen 1. Ist eine Aussage A B zu zeigen, so kann der Beweis wie folgt verlaufen: Sei x L(A) beliebig. Weise nun die Gültigkeit von B(x) nach. 2. Die Aussage A B kann man beweisen, indem man das obige in beide Richtung durchführt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 170

14 Beweisführung 12.7 Regel: Allaussagen mit zwei Quantoren Den Beweis von x G 1 y G 2 : A(x, y) kann man wie folgt aufbauen: Es sei x G 1 beliebig. Finde dann ein y G 2 (das von x abhängen darf), so dass A(x, y) wahr ist Regel: Existenzaussagen mit zwei Quantoren Den Beweis von x G 1 y G 2 : A(x, y) kann man wie folgt aufbauen: Gib ein konkretes x G 1 an, so dass A(x, y) für alle y G 2 wahr ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 115 / 170

15 Beweisführung 12.9 Regel: Indirekter Beweis Will man A B beweisen, so kann man stattdessen B A zeigen. Diese beiden Aussagen sind äquivalent Regel: Widerlegen von Aussagen Soll eine Aussage A widerlegt werden, so kann man diese zunächst negieren, und dann zeigen, dass A allgemeingültig ist. Das ist insbesondere bei Aussagen, die Quantoren beinhalten anwendbar Regel: Widerspruchsbeweis 1. Will man zeigen, dass eine Aussage A wahr ist, so kann man stattdessen zeigen, dass A F wahr ist. Diese Aussagen sind äquivalent. Angewendet wird 1. oft in folgender Form: 2. Statt der Aussage A B beweist man die Aussage A B F. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 116 / 170