Euler mit seinem Latein am Ende. Andreas Defant 17. Tag der Mathematik, 28. August 2017

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Mathias Jakob Bretz
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1 Euler mit seinem Latein am Ende Andreas Defant 17. Tag der Mathematik, 28. August

2 Sudoku

3 Lateinische Quadrate Leonhard Euler,

4 4

5 Eine von Eulers vielen Endeckungen die Eulersche Zahl ( e = lim ) n n n =

6 Lateinische Quadrate Beispiel der Ordnung N = 5:

7 Lateinische Quadrate Beispiel der Ordnung N = 5: Definition Ein lateinisches Quadrat der Ordnung N ist eine N N Matrix, bei der in jeder Zeile und jeder Spalte alle Zahlen von 1 bis N vorkommen. 6

8 Warum spricht man von lateinischen Quadraten? 7

9 Warum spricht man von lateinischen Quadraten? a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c e a b c d 7

10 Katharina die Große,

11 Katharinas Wunsch an den Meister Verehrter Meister Euler, hier sind 36 Offiziere, je 6 aus 6 verschiedenen Regimentern, bei 6 verschiedenen Offiziersgraden. 9

12 Katharinas Wunsch an den Meister Verehrter Meister Euler, hier sind 36 Offiziere, je 6 aus 6 verschiedenen Regimentern, bei 6 verschiedenen Offiziersgraden. Bitte nennen Sie mir eine quadratische Tanzformation genau dieser Offiziere, derart dass in jeder waagerechten und jeder senkrechten Kolonne sowohl alle Regimenter als auch alle Offiziersgrade vertreten sind! 9

Katharinas Wunsch an den Meister Verehrter Meister Euler, hier sind 36 Offiziere, je 6 aus 6 verschiedenen Regimentern, bei 6 verschiedenen Offiziersgraden.

13 Katharinas Wunsch an den Meister Verehrter Meister Euler, hier sind 36 Offiziere, je 6 aus 6 verschiedenen Regimentern, bei 6 verschiedenen Offiziersgraden. Bitte nennen Sie mir eine quadratische Tanzformation genau dieser Offiziere, derart dass in jeder waagerechten und jeder senkrechten Kolonne sowohl alle Regimenter als auch alle Offiziersgrade vertreten sind! 9

14 Probieren

15 Probieren

16 Probieren

17 Probieren

18 Probieren

19 Probieren ?????????? 3 4?????????? 4 5?????????? 5 6?????????? 6 2?????????? 10

20 Euler mit seinem Latein am Ende 11

21 Euler mit seinem Latein am Ende Verblüffend: Katharinas Wunsch ist nicht zu erfüllen! 11

22 Euler mit seinem Latein am Ende Verblüffend: Katharinas Wunsch ist nicht zu erfüllen! Dies wurde aber erst 130 Jahre später durch Gaston Tarry, , bewiesen: 11

23 Warum verblüffend? Bei Tanzformationen mit 5 oder auch 7 Regimentern und Offiziersgraden klappt das!

24 Warum verblüffend? Bei Tanzformationen mit 5 oder auch 7 Regimentern und Offiziersgraden klappt das!

25 Umgekehrt

26 Umgekehrt

27 Orthogonalität Definition Zwei lateinische Quadrate der Ordnung N, bei denen beim Übereinanderlegen alle möglichen N N Zahlenpaare vorkommen, werden als orthogonal bezeichnet. 14

28 Orthogonal:

29 Orthogonal:

30 Nicht orthogonal:

31 Orthogonal:

32 Eulers Vermutung Katharinas Wunsch in mathematischer Sprache Bitte, verehrter Meister Euler, ich brauche zwei orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung 6 6! 19

33 Eulers Vermutung Katharinas Wunsch in mathematischer Sprache Bitte, verehrter Meister Euler, ich brauche zwei orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung 6 6! Eulers Vermutung, 1782 Zwei orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung N gibt es genau dann, wenn N beim Teilen durch 4 einen Rest verschieden von 2 hat, also N = 2/, 3, 4, 5, 6/, 7, 8, 9, 10 //, 11, 12, 13, 14 //, 15,

34 Die gefeierte Lösung Euler lag falsch: N = 2/, 3, 4, 5, 6/, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,

35 Die gefeierte Lösung Euler lag falsch: N = 2/, 3, 4, 5, 6/, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, Theorem von Bose, Shrikhande und Parker, 1960 Für N = 2 und N = 6 gibt es keine orthogonalen lateinischen Quadrate der Ordnung N. Sonst immer! 20

36 Der einfachste Fall: Erster Versuch 21

37 Der einfachste Fall: Erster Versuch 1 21

38 Der einfachste Fall: Erster Versuch

39 Der einfachste Fall: Erster Versuch

40 Der einfachste Fall: Erster Versuch Zweiter Versuch 21

41 Der einfachste Fall: Erster Versuch Zweiter Versuch 2 21

42 Der einfachste Fall: Erster Versuch Zweiter Versuch

43 Der einfachste Fall: Erster Versuch Zweiter Versuch

44 Der einfachste Fall: Erster Versuch Zweiter Versuch

45 Der einfachste Fall: Erster Versuch Zweiter Versuch Die einzigen zwei Quadrate sind offenbar nicht orthogonal! 21

46 Warum hatte Euler Probleme? Ziel: N = 2/, 3, 4, 5, 6/, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,

47 Warum hatte Euler Probleme? Ziel: N = 2/, 3, 4, 5, 6/, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, Die Anzahl lateinischer Quadrate der Ordnung N: N=2: 2 N=3: 12 N=4: 576 N=5: N=6: N=7: N=8: N=9: N=10: N=11:... 22

48 Warum hatte Euler Probleme? Ziel: N = 2/, 3, 4, 5, 6/, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, Die Anzahl lateinischer Quadrate der Ordnung N: N=2: 2 N=3: 12 N=4: 576 N=5: N=6: N=7: N=8: N=9: N=10: N=11:... Zum Vergleich: Es gibt viele Sudokus. 22

49 Am Rande Formel für die Anzahl L(N) aller Lateinischen Quadrate ist unbekannt! 23

50 Am Rande Formel für die Anzahl L(N) aller Lateinischen Quadrate ist unbekannt! Eine Abschätzung (N!) 2N N N 2 L(N) N (k!) N k k=1 23

51 Die Anzahl der Paare orthogonaler Quadrate der Ordung N: N=2: 0 N=3: 36 N=4: N=5: N=6: 0 N=7: N=8:... 24

52 Die Wahrscheinlichkeit aus allen Paaren lateinischer Quadrate der Ordung 7 zufällig ein orthogonales Paar zu ziehen: 25

53 Die Wahrscheinlichkeit aus allen Paaren lateinischer Quadrate der Ordung 7 zufällig ein orthogonales Paar zu ziehen: alle orthogonalen Paare alle möglichen Paare = ( )

54 Zur Ordnung N = 7 lateinische Quadrate als Rechentafeln

55 Zur Ordnung N = 7 lateinische Quadrate als Rechentafeln Formel: i j = (i 1) + j mod 7 26

56 Zur Ordnung N = 7 lateinische Quadrate als Rechentafeln Formel: i j = (i 1) + j mod 7 Formel: i j = (i 2) + j mod

57 Zur Ordnung N = 7 lateinische Quadrate als Rechentafeln Formel: i j = (i 1) + j mod 7 Formel: i j = (i 2) + j mod Diese beiden lateinischen Quadrate sind orthogonal! 26

58 Wir finden ein ganzes Nest! Formel: i j = (i r) + j mod 7, wobei r = 1,..., 6 27

59 Wir finden ein ganzes Nest! Formel: i j = (i r) + j mod 7, wobei r = 1,..., 6 Das sind 6 lateinischen Quadrate, die paarweise orthogonal sind! 27

60 Wie groß können solche Nester sein? Definition O(N) = die größtmögliche Kardinalität einer Menge lateinischer Quadrate, in der je zwei orthogonal sind 28

61 Wie groß können solche Nester sein? Definition O(N) = die größtmögliche Kardinalität einer Menge lateinischer Quadrate, in der je zwei orthogonal sind Eben gezeigt: O(7) 6 28

62 Theorem O(N) N 1 29

63 Theorem O(N) N 1 Beweis Angenommen, wir haben ein solches Nest mit M vielen Quadraten. Wir müssen zeigen: M N 1 Wir dürfen annehmen, dass alle Quadrate als erste Zeile 1,..., N haben. Warum? Dann haben alle Quadrate am Anfang der zweiten Zeile keine 1. Warum? Weiter haben alle Quadrate am Anfang der zweiten Zeile verschiedene Zahlen. Warum? Mit diesen drei Aussagen folgt leicht die Behauptung: M N 1. 29

64 Wissen damit z.b.: O(7) = 6 30

65 Wissen damit z.b.: O(7) = 6 Theorem O(N) = N 1, wobei N = p n Potenz einer Primzahl 30

66 Zum Beweis. 0 1 p n p n 1 Formel: i j = (i r) j mod p n, wobei r = 1,..., p n 1 Diese p n 1 vielen lateinischen Quadrate sind paarweise orthogonal! 31

67 Theorem O(N) = N 1, wobei N = p n Potenz einer Primzahl 32

68 Theorem O(N) = N 1, wobei N = p n Potenz einer Primzahl Wie weit kommen wir damit? N O(N) ? 10?

69 Theorem O(N) = N 1, wobei N = p n Potenz einer Primzahl Wie weit kommen wir damit? N O(N) ? 10? Und immer bleiben weitere Probleme: O(10) =? 32

70 Spiel oder Anwendung? Tests Agrarwissenschaften??? 33

71 Spiel oder Anwendung? Tests Agrarwissenschaften???

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04 6.2 Perfekte Sicherheit Beweis. H(B AC) + H(A C) = H(ABC) H(AC) + H(AC) H(C) Wegen gilt Einsetzen in die Definition gibt = H(AB C). H(A BC) = H(AB C) H(B C). I(A; B C) = H(A C) H(AB C) + H(B C). Da