Fourierreihen und Funktionentheorie. 1 Der Poisson-Kern

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1 Vortrag zum Seminar Fourieranalysis, Corinna Schaaf Bisher haben wir Fourierreihen, die auf dem orus {x R : π x < π} definiert sind, betrachtet. Es ist jedoch auch möglich, Fourierreihen auf der Kreislinie D {exp(it), t } der Kreisscheibe D {z C : z < } zu betrachten. Im folgenden Vortrag sollen Fourier-Reihen in diesem Kontext behandelt werden. Der Poisson-Kern In diesem Abschnitt wird der Poisson-Kern definiert und einige seiner grundlegenden Eigenschaften gezeigt. Der Poisson-Kern wird für den Beweis der zentralen Aussage dieses Vortrags benötigt. (.) Definition (Poisson-Kern) Sei θ, 0 r <. Dann definieren wir die Funktion P r (θ) : r n exp(inθ). n Diese Funktion nennen wir Poisson-Kern. (.) Lemma Sei P r der Poisson-Kern wie in Definition (.), θ und 0 r <. Dann gilt: r P r (θ) r cos(θ) + r

2 Der Poisson-Kern Beweis P r (θ) r n exp(inθ) n r n exp(inθ) + + r n exp(inθ) n r n exp( inθ) + + r n exp(inθ) r exp( iθ) r exp( iθ) + + r exp(iθ) r exp(iθ) (geom. Reihe) (r exp( iθ) r ) + ( r exp( iθ)) r exp(iθ + r ) + (r exp(iθ) r ) r exp( iθ) r exp(iθ) + r r rcos(θ) + r Der Poisson-Kern hat drei wichtige Eigenschaften: (.3) Lemma Gegeben sei der Poisson-Kern wie oben. Dann gilt: a) P r (θ) 0 für alle θ, 0 r < b) P r (θ) glm. 0 für r, θ \[ δ, δ] c) P r (θ)dθ für 0 r <.

3 Der Poisson-Kern Beweis a) r P r (θ) r cos(θ) + r (.) ) r 0, für 0 r < ) r cos(θ) + r cos (θ) + sin (θ) r cos(θ) + r (cos(θ) r) + sin (θ) 0, für 0 r < P r (θ) 0 b). Fall θ [ π, π ]\[ δ, δ]: r cos(θ) + r ( r cos(θ)) + r sin (θ) ( r cos(θ)) ( r cos(θ) ) > ( cos(θ) ) 0 P r (θ) a) r rcos(θ) + r Lemma.) < r ( cos(θ) ) r ( cos(δ) ) glm. 0 für r 3

4 Der Poisson-Kern. Fall θ [ π, π]\[ π, π ]: r cos(θ) + r ( r cos(θ)) 0 P r (θ) r rcos(θ) + r < r ( cos(θ)) r cos(θ) r glm. 0 für r Aus dem. und. Fall folgt die Behauptung. c) P r (y)dy (g) g(t y)p r (y)dy g(x)exp( inx)dx r n exp(int) exp( inx)dx r n exp(int) 0, f alls n 0 (.) Um ein Springen zwischen den Beweisen zu verhindern, wird hier schon die Vorüberlegung aus (.) als gültig angenommen. Summe und Integral können hier vertauscht werden, da n g(x)r n exp( in(x t)) gerade nach der Vorüberlegung in (.) gleichmäßig konvergiert und das Integral über ein abgeschlossenes Intervall,, gebildet wird. 4

5 Die folgenden Sätze dienen der Vorbereitung der weiteren Vorträge. Dabei ist besonders der Satz (.3) wichtig für den Vortrag zum hema Lösung des Dirichlet- Problems mittels Fourier-Reihen. (.) Satz Sei f : D C stetig. Setze g(θ) f (exp(iθ)) und a n ĝ(n), dann gilt: a) b) a n r n exp(inθ) konvergiert gleichmäßig für alle 0 r <. n a n r n exp(inθ) f (exp(iθ)) g(θ) für alle θ für r. n Dieser Satz sagt aus, dass f (exp(iθ)) der gleichmäßige Grenzwert für r von einer auf D definierten Funktion n a n r n exp(inθ) ist. Um diesen Satz zu beweisen, genügt es, folgendes, einfacheres Ergebnis zu beweisen: (.) Satz Wenn g : C stetig ist, dann gilt: a) b) ĝ(n) r n exp(int) konvergiert gleichmäßig für alle t für alle 0 r <. n ĝ(n) r n exp(int) glm. g(t) für alle t für r. n Beweis Zunächst beweisen wir die Aussage des Satzes (.). Dazu nehmen wir an, dass Satz (.) gilt: Setze g(θ) f (exp(iθ)) und a n ĝ(n) (also gerade wie in Satz (.) gegeben) in die Reihen aus (.) ein. Man erhält sofort (.). 5

6 Es bleibt also nun noch zu zeigen, dass der Satz (.) gültig ist. Beweis a) Da g stetig auf [ π, π) ist und beschränkt durch g(t) M gilt: und damit ĝ(n) g(t) exp( int)dt g(t) exp( int) dt M dt n Wir betrachten nun die Reihe Somit konvegiert Mr n M n n M (vgl. Krieg, Analysis II, I,,0). M ĝ(n)r n exp(int) ĝ(n)r n exp(int) n ( n0 Mr n : n0 r n + r n ) r ( r + Mr n. ) Mr n n (geometrische Reihe) M + r r <, da r < ĝ(n)r n exp(int) nach dem Weierstraßschen Majoranten-Kriterium Wir setzen ĝ(n)r n exp(int) P r (g, t) n Zu zeigen ist nun noch, dass das P r (g, t) gegen g(t) konvergiert. Um dies zu zeigen, machen wir zunächst folgende Vorüberlegung: 6

7 Da g stetig auf und beschränkt durch g(x) M x ist, gilt für N() N() 0 und P() P() 0: N() g(x)r n N() exp( i n (x t)) g(x)r n exp( i n (x t)) n P() n P() P() g(x)r n exp( i n (x t)) + g(x)r n exp( i n (x t)) n P() P() n P() P() n P() g(x)r n exp( i n (x t)) + N() nn()+ g(x) r n exp( i n (x t)) + N() nn()+ N() nn()+ g(x)r n exp( i n (x t)) g(x) r n exp( i n (x t)) P() N() Mr n + Mr n n P() nn()+ P() M ( M ( n P() P() M ( geom.reihe M M M P() np()+ n0 r n r n + r n + M ( rp()+ r P() r n + n0 N() r n ) nn()+ N() r n ) nn()+ N() r n n0 rp()+ r N() r n ) n0 + rn()+ r rn()+ ) r r r (( rp() ) ( r P() ) + ( r N() ) ( r N() )) r r ( rp() + r P() r N() + r N() ) r r (rp() + r N() ) 0 für N(), P(), da r< ist. 7

8 Wir wissen also, dass n g(x)r n exp( in(x t)) gleichmäßig konvergiert nach dem Cauchy schen Konvergenzkriterium. Mit Hilfe dieses Ergebnisses können wir nun P r (g, t) umschreiben: P r (g, t) n n n ĝ(n)r n exp(int) g(x)exp( inx)dx r n exp(int) g(x)r n exp(in(t x))dx g(x)r n exp(in(t x))dx n g(x) n g(x)p r (t x)dx g(t y)p r (y)dy r n exp(in(t x))dx ĝ(n) eingesetzt glm. konv., über endl. Intervall Def. Poisson-Kern Subst. t-xy 8

9 Des Weiteren wissen wir noch:. g ist Riemann-integrierbar auf dem abgeschlossenen Intervall [ π, π], und somit beschränkt: g(y) M für ein M R und für alle y. Nach Voraussetzung ist g stetig in y. Nach Definition der Stetigkeit muss also für alle ɛ > 0 (mindestens) ein δ(y, ɛ) existiert mit f (y) f (t) ɛ für alle y mit y t δ. 3. Wir wissen aus Lemma (.3 a), dass P r (θ) dθ θ [ δ,δ] θ [ δ,δ] P r (θ)dθ P r (θ)dθ 4. Aus der gleichmäßigen Konvergenz des Poisson-Kerns außerhalb des Intervalls [ δ, δ] folgt bei einem festen δ, dass gilt: P r (θ) ɛ 4M für alle θ / [ δ, δ] und r. 9

10 Nun zeigen wir die Behauptung (.) b): P r (g, t) g(t) Unglg. + g(t y)p r (y)dy g(t) g(t y)p r (y)dy g(t) P r (y)dy g(t y)p r (y)dy g(t)p r (y)dy (g(t y) g(t))p r (y)dy y [ δ,δ] y/ [ δ,δ] (g(t y) g(t))p r (y)dy (g(t y) g(t))p r (y)dy (.3) c 0

11 Unglg. y [ δ,δ] g(t y) g(t) P r (y) dy ɛ y δ Unglg.,(),() + ɛ y/ [ δ,δ] y [ δ,δ] ( g(t y) + g(t) ) P r (y) dy M M P r (y) dy + M y/ [ δ,δ] P r (y) dy (3),(4) ɛ y [ δ,δ] P r (y) dy ɛ + ɛ 4π ɛ + ɛ, (.3) y/ [ δ,δ] dy π 4π ɛ ds ɛ π + M ɛ für alle n N(ɛ). y/ [ δ,δ] ɛ 4M dy Somit ist gezeigt, dass g(t) konvergiert. ĝ(n) r n exp(int) für alle t für r gleichmäßig gegen n Im folgenden Satz werden drei wichtige Eigenschaften einer Funktion f mit f : D C gezeigt.

12 (.3) Satz Sei f : D C stetig. Setze g(θ) f (exp(iθ)) und a n ĝ(n) (also gerade wie in (.)), dann gilt: a) f (z) a 0 + a n z n und f (z) a 0 + a n z n sind wohldefinierte analytische Funktionen auf D : {z C : z < }. b) Wenn wir F(z) f (z) + f (z ) für z D F(z) f (z) für z D setzen, dann ist F eine wohldefinierte, stetige Funktion auf der abgeschlossenen Kreisscheibe D D D {z C : z }. c) Ist f reellwertig, so ist auch F reellwertig. Beweis a) Aus Analysis I (IV, 4.4) ist bekannt: Ist w 0 C, so dass die Folge (a n w n ) n 0 beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe n l a n z n, l Z für alle z C mit z < w Setzen wir nun w und l 0, dann gilt mit: a n ĝ(n) M, dass n 0 a n z n a n z n absolut konvergiert für z <. Mit Cauchy-Hadamard können die Konvergenzradien von f und f berechnet werden: R lim sup n n a n lim sup n n ĝ(n) lim sup n n M

13 Daraus folgt, dass die beiden Funktionen f (z), f (z) einen Konvergenzradius von mindestens haben. Da eine Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzradius analytisch ist, ist die Behauptung gezeigt. b) F ist stetig für alle z mit z <. Es bleibt zu zeigen: F ist stetig in z 0 mit z 0 D, also mit z 0 : F(rexp(iθ)) a 0 + a n r n exp(inθ) + a 0 + a n r n exp( inθ) a n r n exp(inθ) glm f (exp(iθ)) n (.),b) F(exp(iθ)), für r Es bleibt noch der Stetigkeitsbeweis mit dem ɛ, δ-kriterium: Für ein ɛ > 0 existiert ein δ (ɛ) > 0 und ein δ (ɛ) > 0, so dass gilt: und f (exp(iθ)) f (exp(iθ 0 )) < ɛ für θ θ 0 < δ F(r exp(iθ)) F(exp(iθ)) < ɛ für δ < r Dann gilt für θ θ 0 < δ und δ < r : ɛ ɛ + ɛ F(r exp(iθ) F(exp(iθ)) + f (exp(iθ)) f (exp(iθ 0 )) Unglg. F(r exp(iθ)) F(exp(iθ)) + f (exp(iθ)) f (exp(iθ 0 )) 0, da au f D F(z) f (z) gilt F(r exp(iθ)) f (exp(iθ 0 )) F(r exp(iθ)) F(exp(iθ 0 )) 3

14 Für z 0 exp(iθ 0 ), z 0 w < min{δ (ɛ),δ (ɛ), } und w gilt: F(z) F(z 0 ) < ɛ. Also ist F stetig auf D {z : z }. c) Es gilt: ĝ( n) Nun betrachten wir: g(t) exp(int) dt ( g(t) exp( int) dt) ĝ(n) F(z) f (z) + f (z ) a 0 + a n z n + a 0 + a n (z ) n a 0 + a n z n + a n (z n ) a 0 + ĝ(n)z n + ĝ( n)(z n ) a 0 + ĝ(n)z n + ĝ(n) (z n ) a 0 + ĝ(n)z n + (ĝ(n)(z n )) a 0 + [ĝ(n)z n + (ĝ(n)(z n )) ] R F(z) R 4