9 Folgen und Reihen von Funktionen

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1 9 Folgen und Reihen von Funktionen In diesem Abschnitt betrachten wir verschiedene Arten der Konvergenz einer Funktionenfolge Besonders interessiert uns die Frage, ob sich Eigenschaften der einzelnen Glieder einer konvergenten Funktionenfolge (f n ) auf die Grenzfunktion f vererben, etwa ist f stetig, wenn alle f n stetig sind? ist f differenzierbar (integrierbar), wenn alle f n differenzierbar (integrierbar) sind, und gilt in diesem Fall f = (lim f n ) = lim f n bzw b a f(x)dx = lim b a f n (x)dx? In diesen Fragen geht es letztlich darum, ob zwei Grenzprozesse vertauscht werden können Ein Beispiel, wo dieses Vertauschen erlaubt ist, haben wir in Abschnitt 63 kennengelernt: Ist a nz n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R >, so gilt für jedes z C mit z < R lim z z a n z n = a n z n = a n ( lim z z z) n Wir gehen diese Probleme nun systematischer an und betrachten anschließend zwei spezielle Klassen von Funktionenreihen: Potenzreihen und Fourierreihen 91 Punktweise Konvergenz Sei M eine nichtleere Menge, N ein metrischer Raum mit einer Metrik d und für jedes n N sei eine Funktion f n : M N gegeben Dann heißt (f n ) n N eine Funktionenfolge auf M (beachten Sie: alle Glieder einer Funktionenfolge sind auf der gleichen Menge definiert und bilden in eine gleiche Menge hinein ab) Definition 91 Die Funktionenfolge (f n ) n N konvergiert auf M punktweise gegen eine Funktion f : M N, wenn für jedes x M gilt ( ) d f n (x), f(x) bzw lim f n (x) = f(x) n Der punktweise Grenzwert einer Funktionenfolge (f n ) ist eindeutig bestimmt Beispiel 1 Die Funktionen f n : [, 1] R seien durch f n (x) = x n gegeben Für x < 1 ist lim n f n (x) = lim n x n =, während lim n f n (1) = lim n 1 = 1 Die stetigen (und sogar differenzierbaren) Funktionen f n konvergieren also punktweise gegen die Funktion { für x < 1 f(x) = 1 für x = 1, 155

2 die im Punkt 1 nicht stetig ist Beispiel Für jedes x R sei ( ) k f n (x) := lim cos(n!πx) k (der Grenzwert existiert, da (cos(n!πx)) 1) Wir zeigen, dass die Folge (f n ) punktweise gegen die Dirichletfunktion { 1 falls x rational f(x) = falls x irrational konvergiert Sei zunächst x = p/q rational Für beliebiges k und n q ist dann ( cos(n!π p q ) ) k = 1 Es ist also f n (x) = 1 für alle n q, woraus sofort folgt, dass lim f n(x) = 1 n für x rational Ist dagegen x irrational, so ist n!x niemals ganzzahlig Es ist daher in diesem Fall woraus für jedes n folgt Es ist daher ( cos(n!πx)) < 1, ( k f n (x) = lim cos(n!πx)) = k lim f n(x) = n für x irrational Bildet man also von den (beliebig oft differenzierbaren!) Funktionen x ( ) k cos(x!πx) erst den punktweisen Grenzwert bzgl k und dann bzgl n, so erhält man eine Funktion, die in keinem Punkt stetig ist! Der durch die punktweise Konvergenz hergestellte Zusammenhang zwischen der Folge (f n ) und ihrer Grenzfunktion f ist offenbar zu schwach, um zb das Vererben der Stetigkeit zu garantieren Im nächsten Abschnitt betrachten wir einen wesentlich stärkeren Konvergenzbegriff 156

3 9 Gleichmäßige Konvergenz Sei X eine nichtleere Menge, (N, d) ein metrischer Raum und (f n ) n N eine Folge von Funktionen f n : X N Definition 9 Die Funktionenfolge (f n ) n N konvergiert auf X gleichmäßig gegen die Funktion f : X N, wenn für jedes ε > ein n N existiert, so dass ( ) d f n (x), f(x) < ε für alle n n und alle x X Beachten Sie: Bei punktweiser Konvergenz hängt n iallg von x ab, während bei gleichmäßiger Konvergenz n unabhängig von x gefunden werden kann Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt offenbar die punktweise Konvergenz Beispiel 1 Die Funktionenfolgen aus den Beispielen 1, aus 91 konvergieren nicht gleichmäßig Wir überlegen uns dies für Beispiel 1 Sei ε > und x (, 1) Wegen x n < ε x n < ε n ln x < ln ε n > ln ε/ ln x kann es kein n so geben, dass f n (x) f(x) < ε für alle n n und x M Beispiel Auf R sei f n (x) := 1 [nx] ([y] ist die größte ganze Zahl, die kleiner n als oder gleich y ist) Aus [nx] nx < [nx] + 1 folgt dh es ist 1 n [nx] x 1 n [nx] + 1 n bzw f n(x) x f n (x) + 1 n, x f n (x) < 1 n für alle x R Hieraus folgt sofort die gleichmäßige Konvergenz der Funktionen f n gegen die Funktion f(x) = x Im Weitern sei N = R, versehen mit dem üblichen Abstand Alle Überlegungen dieses Abschnittes bleiben aber auch für N = R k (zb mit der Euklidschen Norm) und insbesondere für N = C (mit dem üblichen Abstand) richtig Wir zeigen, dass man die gleichmäßige Konvergenz als Konvergenz in einem geeigneten metrischen Raum (dessen Elemente Funktionen sind) auffassen kann Eine Funktion f : X R heißt beschränkt, wenn f := sup f(x) <, (91) x X und die Zahl f heißt die Supremumsnorm von f Es ist klar, dass die Menge M(X) aller beschränkten reellwertigen Funktionen auf X einen reellen linearen Raum bildet und dass (91) ein Norm auf M(X) in folgendem Sinn definiert: 157

4 Definition 93 Sei L ein reeller linearer Raum Eine Abbildung : L R heißt Norm auf L, wenn x für alle x L, und x = genau dann, wenn x = αx = α x für alle α R und x L x + y x + y für alle x, y L (Dreiecksungleichung) Für die Norm (91) folgt die letzte dieser Eigenschaften aus f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g, indem man auf der linken Seite das Supremum über alle x X bildet Lemma 94 Ist L ein linearer Raum und eine Norm auf L, so wird durch d(x, y) := x y eine Metrik auf L definiert Beweis Aus dem ersten Normaxiom folgt d(x, y) sowie d(x, y) = x y = x = y Aus dem zweiten Normaxiom erhalten wir die Symmetrie von d : d(x, y) = x y = (y x) = 1 y x = d(y, x) Die Dreiecksungleichung für d ist eine unmittelbare Folgerung des dritten Normaxioms Man nennt d(x, y) := x y die durch die Norm induzierte Metrik Solange nichts anderes gesagt ist, versehen wir normierte Räume immer mit den induzierten Metriken und machen sie so zu metrischen Räumen Man überlegt sich leicht, dass die gleichmäßige Konvergenz einer Folge (f n ) beschränkter reellwertiger Funktionen nichts anderes ist als die Konvergenz dieser Folge im metrischen Raum M(X) mit der durch die Supremumsnorm induzierten Metrik, dh f n f bedeutet ε > n N n n : f f n = sup x X f(x) f n (x) < ε Definition 95 Ein normierter linearer Raum heißt Banachraum, wenn er bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik vollständig ist Einige Beispiele für Banachräume kennen wir bereits: R und C mit den üblichen Beträgen und R k mit der 1, oder Norm Satz 96 Der lineare Raum M(X), versehen mit der Norm, ist ein Banachraum 158

5 Beweis Sei (f n ) M(X) eine Cauchyfolge, dh ε > n m, n n : d(f n, f m ) = sup f n (x) f m (x) < ε (9) x X Offenbar ist für jedes feste x R die Folge ( f n (x) ) eine Cauchyfolge in R Da R vollständig ist, konvergiert die Folge ( f n (x) ) gegen eine Zahl, die wir f(x) nennen Hierdurch wird eine Funktion f : X R festgelegt Wir zeigen: f ist beschränkt (dh f M(X) ) und d(f, f n ) = f f n Beschränktheit: Aus (9) wissen wir: ε > n N m, n n x X : f n (x) f m (x) < ε Vollziehen wir hierin den Grenzübergang m, folgt ε > n N n n x X : f n (x) f(x) ε (93) Wir wählen zb ε = 1 und das zugehörige n und erhalten f(x) f n (x) + f n (x) f(x) f n + 1 für alle x X, dh f ist beschränkt Die Konvergenz von f n gegen f bzgl der Supremumsnorm folgt ebenfalls sofort aus (93) Insbesondere gilt für die gleichmäßige Konvergenz beschränkter Funktionen das Cauchykriterium: Die Folge (f n ) konvergiert genau dann gleichmäßig, wenn sie eine Cauchyfolge ist, dh wenn ε > n N m, n n : f n f m < ε Wir vermerken noch einige wichtige Konsequenzen der Vollständigkeit des Raumes M(X) Diese gelten entsprechend für beliebige Banachräume Seien f n Funktionen aus M(X) Die Funktionenreihe k= f k heißt punktweise bzw gleichmäßig konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen s n := n k= f k punktweise ( bzw ) gleichmäßig konvergiert Aus der Vollständigkeit des Raumes M(X), folgt sofort das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen Satz 97 Die Reihe k= f k konvergiert genau dann gleichmäßig, wenn es für jedes ε > ein n N gibt, so dass für alle n n und alle r N gilt n+r f k < ε k=n Die Reihe f n heißt absolut konvergent, wenn die Reihe f n konvergiert Wie im Beweis von Satz 59 zeigt man: 159

6 Satz 98 Jede absolut konvergente Reihe in einem Banachraum konvergiert gleichmäßig Dieser Satz ist bemerkenswert, da man zb statt der gleichmäßigen Konvergenz einer Funktionenreihe nur die absolute Konvergenz einer Zahlenreihe untersuchen muß, für die wir zahlreiche Kriterien kennen Beispiel 3 Die Reihe 1 n=1 konvergiert für jedes x > 1, und sie ist gleichmäßig n x konvergent auf jedem Intervall [c, ) mit c > 1 Die Funktionen f n (x) = n x sind nämlich auf [c, ) streng monoton fallend Also ist f n = n c, und für c > 1 konvergiert die Reihe 1 n=1 Die Funktion ζ(x) := 1 n c n=1 heißt die Riemannsche n x Zetafunktion Beispiel 4 Jede Potenzreihe a nz n mit Konvergenzradius R > ist auf jeder Kreisscheibe {z C : z r} mit r < R gleichmäßig konvergent Für die Funktionen f n (z) = a n z n ist nämlich f n = sup a n z n = a n r n, z r und die Reihe a n r n konvergiert, da jede Potenzreihe im Inneren ihres Konvergenzbereichs absolut konvergiert (Satz 616) 93 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit In diesem Abschnitt sei (X, d) ein metrischer Raum, und wir betrachten Funktionen X R Die Sätze 99 und 91 lassen sich problemlos auf Funktionen X R k, k > 1, übertragen Satz 99 Die Funktionen f n : X R sollen gleichmäßig gegen f : X R konvergieren, und sei x X Ist jede der Funktionen f n in x stetig, so ist auch die Grenzfunktion f in x stetig Beweis Sei ε > beliebig Wir wählen N so, dass f f N < ε/3 Dann ist für alle x X f(x) f(x ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x ) + f N (x ) f(x ) f f N + f N (x) f N (x ) < ε/3 + f N (x) f N (x ) Da f N in x stetig ist, finden wir eine Umgebung U von x so, dass f N (x) f N (x ) < ε/3 für alle x U Für alle x U ist also Also ist f in x stetig f(x) f(x ) < ε/3 + f N (x) f N (x ) < ε 16

7 Sind insbesondere alle Funktionen f n auf ganz X stetig, so ist auch f auf ganz X stetig Wir interpretieren dies wieder als eine Vollständigkeitsaussage Sei C b (X) die Menge aller beschränkten stetigen Funktionen f : X R Es ist C b (X) M(X), und C b (X) ist ein normierter linearer Raum bzgl der Supremumsnorm Ist X kompakt, so ist jede stetige Funktion auf X beschränkt (Satz 639) Die Menge aller beschränkten stetigen Funktionen stimmt dann also überein mit der Menge C(X) aller stetigen Funktionen auf X Satz 91 Der lineare Raum C b (X), versehen mit der Supremumsnorm, ist ein Banachraum Beweis Ist (f n ) Cauchyfolge in C b (X), so ist (f n ) erst recht Cauchyfolge in M(X) Da M(X) vollständig ist, konvergiert die Folge (f n ) gleichmäßig gegen eine beschränkte Grenzfunktion f Aus Satz 99 wissen wir, dass f stetig ist, also zu C b (X) gehört Wir können das Bewiesene auch so formulieren: C b (X) ist abgeschlossen in M(X) bzgl Als eine Anwendung geben wir einen weiteren Beweis von Satz 619 Beispiel Sei f(z) = a n z n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R >, und sei z < R Dann ist f in z stetig Um dies einzusehen, wählen wir ein r mit z < r < R Nach Beispiel 4 aus 9 konvergiert die Reihe a nz n auf X := {z C : z r} gleichmäßig Da alle Partialsummen auf X stetig sind, ist f auf X und insbesondere in z X stetig Aus der Stetigkeit der Grenzfunktion folgt aber im Allgemeinen nicht, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergieren muss Es gilt jedoch: Satz 911 (Dini) Seien f n : [a, b] R stetige Funktionen, die punktweise und monoton (dh jede Folge ( f n (x) ) ist monoton) gegen eine stetige Funktion f konvergieren Dann ist die Konvergenz sogar gleichmäßig Einen Beweis finden Sie in Barner/Flohr, Analysis I, S Gleichmäßige Konvergenz und Integrierbarkeit/ Differenzierbarkeit Sei [a, b] ein endliches Intervall Wir bezeichnen mit R([a, b]) die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen auf [a, b] Da Riemann-integrierbare Funktionen beschränkt sind (Satz 84), können wir R([a, b]) als Teilraum von M([a, b]) auffassen Satz 91 (a) Die Funktionen f n R([a, b]) sollen gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergieren Dann ist f R([a, b]), und es gilt lim n b a f n (x)dx = b a ( lim n f n )(x)dx = 161 b a f(x)dx

8 (b) Der lineare Raum R([a, b]), versehen mit der Supremumsnorm, ist ein Banachraum Beweis Wir zeigen zuerst, dass f Riemann-integrierbar ist Sei (f n ) die Menge aller Unstetigkeitsstellen von f n und U := n (f n) In allen Punkten x [a, b]\u ist jede der Funktionen f n stetig Nach Satz 99 ist dann auch f in allen diesen Punkten stetig Also ist (f) U Nach dem Lebesgueschen Integrabilitätskriterium (Satz 814) ist jedes (f n ) eine Nullmenge Nach Lemma 813 sind auch U und (f) Nullmengen Wieder nach Satz 814 ist f R([a, b]) Damit ist auch klar, dass b f(x)dx existiert, und wir haben die Abschätzung a b a f n (x)dx b a b f(x)dx a f n (x) f(x) dx (b a) f n f Aus der gleichmäßigen Konvergenz von f n gegen f folgt nun Behauptung (a) Sei noch (f n ) eine Cauchyfolge Riemann-integrierbarer Funktionen Dann ist (f n ) Cauchyfolge in M([a, b]) und folglich konvergent mit einer Grenzfunktion f Aus Teil (a) wissen wir, dass f R([a, b]) Schließlich folgt aus Satz 8, dass R([a, b]) ein linearer Raum ist Interessanterweise genügt die gleichmäßige Konvergenz einer Folge differenzierbarer Funktionen nicht, um die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion zu erzwingen Man benötigt vielmehr die gleichmäßige Konvergenz der abgeleiteten Folge Satz 913 Für die Funktionen f n : [a, b] R gelte: sie sind auf [a, b] differenzierbar die Folge (f n) ihrer Ableitungen konvergiert gleichmäßig auf [a, b] es gibt ein x [a, b] für das die Folge ( f n (x ) ) konvergiert Dann konvergiert die Folge (f n ) gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion f, und die Folge (f n) konvergiert gleichmäßig gegen f Unter den getroffenen Annahmen dürfen Funktionenfolgen also gliedweise differenziert werden, und es gilt (im Sinne der gleichmäßigen Konvergenz) lim f n = ( lim f n ) n n Sehen wir uns zunächst ein Beispiel an, welches zeigt, dass die gleichmäßige Konvergenz der (f n ) diese Vertauschbarkeit von Grenzübergängen nicht garantiert Beispiel Die Folge der Funktionen f n (x) := 1 sin nx konvergiert auf R gleichmäßig n gegen die Funktion f(x) := (Warum?) Die Folge der Ableitungen f n(x) = 16

9 cos nx konvergiert zb für x = gegen 1 Es ist aber 1 = lim f n() (lim f n ) () = f () = Beweis von Satz 913 Wir zeigen, dass die Folge (f n ) gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert Sei ε > Wir wählen n so, dass und f m (x ) f n (x ) < ε/ für alle m, n n (94) f m f n < ε (b a) für alle m, n n (95) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung, angewandt auf die Funktion f m f n, liefert die für alle x, y [a, b] und m, n n gültige Abschätzung ( f m (x) f n (x) ) ( f m (y) f n (y) ) = f m(ξ) f n(ξ) x y mit ξ [x, y] Wir ersetzen in (96) y durch x und erhalten ε x y (96) (b a) f m (x) f n (x) ( f m (x) f n (x) ) ( f m (x ) f n (x ) ) + f m (x ) f n (x ) ε (b a) x x + ε < ε für alle x [a, b] und m, n n Also ist (f n ) eine Cauchyfolge und nach Satz 96 gleichmäßig konvergent Sei f ihr Grenzwert Wir zeigen nun die Differenzierbarkeit von f in jedem Punkt y [a, b] Dazu betrachten wir auf [a, b] die Funktionen F n (x) := f n (x) f n (y) x y f n(y), F (x) := f(x) f(y) x y falls x y lim n f n(y) falls x = y Im Beweis von Satz 7 haben wir gesehen, dass die Funktionen F n stetig auf [a, b] sind Weiter ist klar, dass die Funktionen F n punktweise gegen F streben Wir zeigen, dass diese Konvergenz sogar gleichmäßig ist Für x y erhalten wir aus (96) nach Division durch x y F m (x) F n (x) < ε (b a) m, n n und somit sup F m (x) F n (x) x [a,b]\{y} 163 ε (b a) m, n n

10 (F n ) ist also eine Cauchyfolge in M([a, b]\{y}) und nach Satz 96 gleichmäßig konvergent Da sie punktweise gegen F konvergiert, folgt: ε > n N n n : Wir wählen n so groß, dass auch noch sup F n (x) F (x) < ε x [a,b]\{y} F n (y) F (y) = f n(y) lim k f k(y) < ε für n n Damit ist klar, dass die F n gleichmäßig auf ganz [a, b] gegen F konvergieren Nach Satz 99 ist F auf [a, b] und insbesondere in y stetig Es existiert also der Grenzwert lim x y F (x), und dieser stimmt mit F (y) überein Dann ist die Funktion f an der Stelle y differenzierbar, und es gilt f (y) = lim n f n(y) 95 Ergänzungen zu Potenzreihen Wir wenden zunächst das Resultat von Satz 913 auf Potenzreihen an Sei f(z) = a nz n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > Die Partialsummen s n (z) = n k= a kz k sind offenbar differenzierbar für z ( R, R), und ihre Ableitung ist n s n(z) = ka k z k 1 k=1 Die s n sind die Partialsummen der Potenzreihe n=1 na nz n 1, und aus Folgerung 618 wissen wir, dass diese Potenzreihe den gleichen Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe besitzt Also ist (Beispiel 4 aus 9) die Folge (s n) auf jeder kompakten Teilmenge von {z R : z < R} gleichmäßig konvergent Aus Satz 913 folgt nun: Satz 914 Die Potenzreihe f(x) = a nx n ist in jedem Punkt x ( R, R) differenzierbar, und ihre Ableitung kann gliedweise bestimmt werden: f (x) = na n x n 1 n=1 Im 3 Semester übertragen wir dieses Resultat auf Potenzreihen im Komplexen Eine wiederholte Anwendung von Satz 914 zeigt, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind Damit haben wir auch Satz 711 bewiesen Wir vermerken noch, dass man wegen Satz 91 Potenzreihen gliedweise integrieren darf, dh es ist zum Beispiel ( y ) y a n x n dx = a n x n a n dx = n + 1 yn+1 164

11 für alle y im Konvergenzintervall ( R, R) Das nächste Resultat besagt, dass die Werte einer Potenzreihe im Inneren ihres Konvergenzkreises eindeutig festgelegt sind, wenn man ihre Werte nur in einer Folge von Punkten z n mit lim n z n = kennt Genauer: Satz 915 (Identitätssatz für Potenzreihen) Seien f(z) = f n (z z ) n und g(z) = g n (z z ) n Potenzreihen mit Konvergenzradius R > Weiter sei K := {z C : z z < R}, und sei (z n ) K\{z } eine Folge mit Grenzwert z Ist f(z n ) = g(z n ) für alle n, so stimmen beide Funktionen bzw beide Potenzreihen auf K überein, dh es ist f(z) = g(z) z K und f n = g n n N Beweis Nach Satz 619 sind f und g stetig auf K Also gilt f = f(z ) = lim n f(z n ) = lim n g(z n ) = g(z ) = g Wir nehmen dies als Induktionsanfang Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, wir hätten für ein gewisses n bereits gezeigt, dass f = g, f 1 = g 1,, f n = g n und wollen zeigen, dass dann auch f n+1 = g n+1 Dazu genügt es, die oben gemachten Überlegungen auf die Potenzreihen und f(z) := f(z) n k= f k(z z ) k (z z ) n+1 = f n+1 + f n+ (z z ) + f n+3 (z z ) + g(z) = g(z) n k= g k(z z ) k (z z ) n+1 = g n+1 + g n+ (z z ) + g n+3 (z z ) + anzuwenden (Diese sind durch die Brüche nur für z z, durch die rechten Seiten aber auch für z = z definiert) Der Identitätssatz ist Grundlage des Koeffizientenvergleichs: Hat man ein und dieselbe Funktion in zwei Potenzreihen a n (z z ) n und b n (z z ) n mit positivem Konvergenzradius entwickelt, so folgt a n = b n für alle n Ist beispielsweise f(z) := a n z n 165

12 eine gerade Funktion, dh f(z) = f( z) für alle z, so folgt aus f(z) = f( z) = a n ( z) n = ( 1) n a n z n, dass a n = ( 1) n a n für alle n bzw a n = für alle ungeraden n ist Das dritte Resultat dieses Abschnittes betrifft die Division von Potenzreihen Satz 916 Die Potenzreihe f(z) = a n(z z ) n konvergiere für z z < R, und es sei a Dann lässt sich 1/f in einer gewissen Umgebung von z wieder in eine konvergente Potenzreihe entwickeln Sehen wir uns die Potenzreihenentwicklung von 1/f zunächst formal und für z = an Aus f f 1 = 1 bzw ( a nz n )( b nz n ) = 1 folgt nach Cauchy- Multiplikation n ( a k b n k )z n = 1 = 1 + z 1 + z + k= Durch Koeffizientenvergleich folgen hieraus die Gleichungen a b = 1 (bei z ) a 1 b + a b 1 = (bei z 1 ) a b + a 1 b 1 + a b = (bei z ) usw Wegen a kann man aus der ersten Gleichung b ermitteln, dann aus der zweiten b 1, aus der dritten b usw Hierdurch wird eine Potenzreihe b nz n eindeutig festgelegt, und Satz 916 sagt aus, dass diese Reihe einen positiven Konvergenzradius besitzt Beispiel 1 Nach Satz 916 läßt sich die Tangensfunktion in einer Umgebung des Punktes in eine Potenzreihe entwickeln Wir bestimmen die ersten Koeffizienten der Potenzreihe tan x := a nx n mit der Methode des Koeffizientenvergleichs aus tan x := sin x/ cos x und den bekannten Potenzreihen für die Sinus- und Kosinusfunktion Koeffizientenvergleich in liefert x x3 3! + x5 5! = (a + a 1 x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 + ) bei x : = a bei x 1 : 1 = a 1 bei x : = a a bei x 3 : 1 6 = a 3 1 a 1 bei x 4 : = a 4 1 a a 166 (1 x! + x4 4! x6 6! + )

13 und hieraus der Reihe nach a =, a 1 = 1, a =, a 3 = 1 3 und a 4 = Weitere Rechnungen liefern tan x = x x x x7 + Es gibt keine einfache Formel für die Koeffizienten dieser Reihe Beispiel Wir suchen eine explizite Formel für die Glieder der Fibonacci-Folge a = 1, a 1 = 1, a n = a n 1 + a n für n (97) Wir ordnen dieser Folge die Potenzreihe f(x) = a nx n zu und finden mit (97) f(x) = 1 + x + a n x n = 1 + x + n= (a n + a n 1 )x n n= = 1 + x + x a n x n + x a n x n n=1 = 1 + x + x f(x) + x ( f(x) 1 ) Umstellen nach f(x) liefert f(x) = (1 x x ) 1 Da die Potenzreihe 1 x x (die ein Polynom ist) überall konvergiert und an der Stelle ungleich ist, folgt mit Satz 916, dass auch die Reihe f(x) = 1 1 x x = a n x n einen positiven Konvergenzradius besitzt Wir bestimmen die a n, indem wir f(x) = (1 x x ) 1 geschickt in eine Potenzreihe entwickeln Dazu schreiben wir f(x) = x 1 5 = = x 1+ 5 x x 1 5( 1 + 5) 1 x 1+ 5 (Partialbruchentwicklung) 1 5( 1 5) 1 x 1 5 Ist x hinreichend klein, so ist dies gleich (geometrische Reihe!) f(x) = 5( 1 + 5) = 1 5 ( ( ( x ) n+1 ( 167 ) n 5( 1 5) 1 5 ) n+1 ) x n, ( x 1 5 ) n

14 woraus nach Koeffizientenvergleich folgt ( ( ) n+1 ( a n = ) n+1 ( = 1 5 ( ( ) n+1 ) ) n+1 ) Wir werden Satz 916 im 3 Semester beweisen Für Interessenten folgt ein Beweis, der nur reelle Methoden benutzt Dafür benötigen wir einige Vorbereitungen Eine Abbildung f : N N C heißt auch Doppelfolge Wie bei gewöhnlichen Folgen identifiziert man f häufig mit ihren Werten f(m, n) =: a mn und schreibt (a mn ) m, für die Doppelfolge Konvergenz der Doppelfolge (a mn ) m, gegen a C bedeutet nach Definition ε > n N m, n n : a mn a < ε (98) Beispiel 3 Für jede Folge (a n ) wird durch a mn := a m a n eine Doppelfolge festgelegt Die Folge (a n ) ist genau dann Cauchyfolge, wenn die Doppelfolge (a mn ) gegen konvergiert Beispiel 4 Die Doppelfolge (a mn ) mit a mn = ( 1) m+n ( ) konvergiert gegen m n Für n /ε und m, n n ist nämlich a mn = 1 m + 1 n ε n Für den Grenzwert a einer konvergenten Doppelfolge (a mn ) schreibt man lim m,n a mn = a Wenn für jedes m die Grenzwerte lim n a mn bzw für jedes n die Grenzwerte lim m a mn existieren, kann man auch die iterierten Grenzwerte lim m (lim n a mn ) bzw lim n (lim m a mn ) betrachten Man beachte, dass im Beispiel 4 zwar der Grenzwert lim m,n a mn existiert, nicht aber die Grenzwerte lim m a mn bzw lim n a mn Satz 917 Die Doppelfolge (a mn ) sei konvergent, und für jedes m bzw n sollen die Grenzwerte lim n a mn und lim m a mn existieren Dann existieren auch die interierten Grenzwerte, und es gilt: lim ( lim a mn) = lim ( lim a m n n mn) = lim a mn m m,n Beweis Sei a := lim m,n a m,n, und für jedes m existiere der Grenzwert α m := lim n a mn Konvergenz der Doppelfolge (a mn ) bedeutet gerade (98) Lassen wir in (98) n streben, folgt ε > n N m n α m a < ε Dies heißt aber nichts anderes als dass lim m α n = a Die zweite Aussage folgt analog 168

15 Jede Doppelfolge (a mn ) erzeugt eine Doppelfolge (s mn ) durch s mn = m j= n a jk k= Wenn die Doppelfolge (s mn ) gegen s konvergiert, so heißt die Doppelreihe j,k= a jk konvergent, und man schreibt s = j,k= a jk Durch Übertragung von Satz 917 erhält man sofort das folgende Resultat Satz 918 Die Doppelreihe j,k= a jk sei konvergent, und für jedes j bzw k sollen die Reihen k= a jk bzw j= a jk konvergieren Dann konvergieren auch die iterierten Reihen j= k= a jk bzw k= j= a jk, und es gilt j= a jk = k= k= a jk = a jk (99) j= j,k= Hieraus folgt leicht der wichtige Doppelreihensatz von Cauchy Satz 919 Ist eine der iterierten Reihen j= k= a jk bzw k= j= a jk absolut konvergent (dh konvergiert sie auch noch, wenn a jk durch a jk ersetzt wird), dann sind auch die andere iterierte Reihe sowie die Doppelreihe j,k= a jk absolut konvergent, und es gilt (99) Beweis Sei zb j= k= a jk konvergent mit der Summe a Dann ist jede Reihe k= a jk absolut konvergent, und wegen m n j= k= a jk a konvergiert auch die Doppelreihe absolut Gleiches gilt wegen m j= a jk a für jede Reihe j= a jk Aus Satz 918 folgt nun die Behauptung Beweis von Satz 916 Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei a = 1 Nach Satz 619 gibt es ein δ (, R), so dass a 1 z + a z + < 1 für alle z < δ Für diese z ist (geometrische Reihe!) 1 f(z) = 1 1 ( a 1 z a z ) = Cauchymultiplikation ergibt j= ( a 1 z a z ) j ( a 1 z a z ) j = a jk z k für j =, 1,, k= mit gewissen Koeffizienten a jk Es ist also 1 f(z) = j= 169 a jk z k k=

16 Dürften wir hier die Summationsreihenfolge vertauschen, wäre dies die Behauptung Wenn die Reihe j= k= a jk z k konvergiert, ist nach Satz 919 das Vertauschen möglich Wir zeigen, dass dies für hinreichend kleine z tatsächlich gilt Da jede Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzkreises absolut konvergiert, gibt es ein ρ (, δ) so, dass a 1 z + a z + < 1 für alle z mit z < ρ Für diese z konvergiert die geometrische Reihe j= ( a 1 z + a z + ) j, und diese lässt sich nach Cauchymultiplikation in der Form j= k= α jk z k schreiben Offenbar gilt dabei a jk α jk Folglich konvergiert die iterierte Reihe j= k= a jk z k für alle z mit z < ρ Hieraus und aus dem Doppelreihensatz folgt die Behauptung 96 Fourierreihen Nach den Potenzreihen betrachten wir eine weitere Klasse von Funktionenreihen, die von großer Bedeutung in der Analysis sowie für ihre Anwendungen in Physik und Technik ist: die Fourierreihen Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass Potenzreihen im Inneren ihres Konvergenzintervalls beliebig oft differenzierbar sind Es können also nur wenige Funktionen durch ihre Potenzreihe dargestellt werden: die reell analytischen Demgegenüber lassen sich durch Fourierreihen zb auch periodische Funktionen darstellen, die nur stückweise differenzierbar sind und deren Ableitungen Sprünge haben Aus Zeitgründen können wir uns nur einen elementaren Überblick über die Fourierreihen verschaffen, obwohl dies der Bedeutung dieser Reihen nicht angemessen ist Auf weitere Aspekte wird zb in der Funktionalanalysis eingegangen 961 Periodische Funktionen Eine auf R definierte Funktion f heißt periodisch mit der Periode L, wenn f(x + L) = f(x) für alle x R Durch eine Variablensubstitution kann man Funktionen mit der Periode L auf solche mit der Periode π zurückführen Hat f die Periode L, so hat F (x) := f ( L π x) die Periode π: F (x + π) = f ( L π (x + π)) = f ( L π x + L) = f ( L π x) = F (x) Wir betrachten daher von nun an nur Funktionen der Periode π Beispielsweise sind die Funktionen x sin kx und x cos kx π periodisch, und für die Dirichletfunktion ist jede rationale Zahl eine Periode 17

17 96 Trigonometrische Reihen Eine Funktion f : R R heißt trigonometrische Reihe, wenn es Konstanten a n R (n ) und b n R (n 1) so gibt, dass f(x) = a + (a n cos nx + b n sin nx) für alle x R (91) n=1 Trigonometrische Reihen sind offenbar π periodisch Satz 9 Wenn die Reihen n=1 a n und n=1 b n absolut konvergieren, so konvergiert die Reihe (91) auf R absolut bezüglich der Supremumsnorm und gleichmäßig Beweis Die absolute Konvergenz der Reihe (91) folgt aus a n cos nx + b n sin nx = sup a n cos nx + b n sin nx a n + b n x R Nach Satz 98 folgt aus der absoluten die gleichmäßige Konvergenz Im Weiteren benötigen wir die für alle m, n Z gültigen Identitäten π für m n cos mx cos nx dx = π für m = n π π sin mx sin nx dx = sin mx cos nx dx = π für m = n =, { für m n π für m = n >, Diese kann man leicht mit Hilfe von Additionstheoremen wie cos α cos β = 1 ( cos(α β) + cos(α + β) ) (911) zeigen ( Übung) Mit den Identitäten (911) erhält man einen Zusammenhang zwischen den Werten einer trigonometrischen Reihe f und ihren Koeffizienten a n, b n Satz 91 (Euler/Fourier) Die Reihe (91) sei auf R gleichmäßig konvergent Dann gilt a n = 1 π b n = 1 π π π f(x) cos nx dx (n =, 1,, ) f(x) sin nx dx (n = 1,, ) 171 (91)

18 Beweis Wir multiplizieren beide Seiten von (91) mit cos nx f(x) cos nx = a cos nx + (a m cos mx cos nx + b m sin mx cos nx) m=1 und integrieren über [, π] Da die Reihe (91) gleichmäßig konvergiert, konvergiert auch die Reihe f(x) cos nx gleichmäßig; Integration und Summation dürfen vertauscht werden Mit (911) erhält man sofort die erste Behauptung in (91) Die zweite bekommt man analog durch Multiplikation von f mit sin nx 963 Fourierreihen Die Formeln (91) erlauben die Bestimmung von Zahlen a n, b n auch dann, wenn f nicht als gleichmäßig konvergente trigonometrische Reihe vorausgesetzt wird, sondern nur als Riemann-integrierbar auf [, π] (es genügt sogar, dass π f(x)dx als uneigentliches Integral absolut konvergiert) Ist f eine solche Funktion, so bestimmen wir gemäß (91) Zahlen a n, b n, die dann die Fourierkoeffizienten von f heißen, und ordnen f die trigonometrische Reihe a + (a n cos nx + b n sin nx) (913) n=1 zu, die sogenannte Fourierreihe von f Beispiel 1 Sei f : R R die Sägezahnfunktion, die auf [, π) durch x + π für x [, π) f(x) = x 3 π für x [π, π) π π π definiert und π periodisch ist π Da f eine gerade Funktion ist (dh f( x) = f(x) für alle x), ist b n = für alle n 1 Für die a n erhält man a n = 1 π π ( x + π ) cos nx dx + 1 π π π (x 3 π ) cos nx dx Für n = erhält man sofort a = Für n 1 folgt mit partieller Integration a n = 1 ( ) { 4 1 ( 1) n = π n π 1 für n ungerade n für n gerade Die durch f definierte Fourierreihe ist also 4 ( cos 3x cos 5x cos x ) π

19 Da die Reihe a n absolut konvergiert, konvergiert diese Fourierreihe gleichmäßig (Satz 9) Es ist aber im Moment nicht klar, ob die Summe dieser trigonometrischen Reihe etwas mit den Werten von f zu tun hat Der folgende Satz 9 wird aber zeigen, dass tatsächlich f(x) = 4 ( ) cos 3x cos 5x cos x π 3 5 für alle x R ist Hieraus folgt zb die bemerkenswerte Identität indem man in (914) x = setzt = π 8, (914) Beispiel Die π periodische Funktion f : R R sei erklärt durch π f(x) = { x für x ( π, π) für x = π π π 3π π Sie ist unstetig in allen Punkten x = (k + 1)π mit k Z Da f ungerade ist, sind alle a n = Für die b n erhalten wir b n = 1 π π π x sin nx dx = ( 1)n+1 n (wegen der π Periodizität von f ist es egal, über welches Integral der Länge π man integriert) Die Fourierreihe von f lautet also ( sin x sin x + sin 3x 3 ) Es ist weder unmittelbar klar, ob diese Reihe für x überhaupt konvergiert, noch ob ihre Grenzfunktion mit f übereinstimmt 964 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen Die zentrale Frage ist also: konvergiert die Fourierreihe einer π periodischen Funktion f in irgendeinem Sinn (punktweise, gleichmäßig, ), und wenn ja, stimmt ihre Grenzfunktion dann mit f überein? Einfache Überlegungen zeigen, dass in der Regel nicht einmal punktweise Konvergenz vorliegen kann: zwei Funktionen f und g, die sich nur in endlich vielen 173

20 Punkten voneinander unterscheiden, besitzen die gleiche Fourierreihe Selbst für stetige Funktionen kann man nicht garantieren, dass ihre Fourierreihe gegen die Ausgangsfunktion punktweise konvergiert Jedoch gilt: Satz 9 Die Funktion f : R R sei π periodisch und Riemann-integrierbar auf [, π], und die folgenden einseitigen Grenzwerte sollen an der Stelle x R existieren: f(x + ) = lim h f(x + h), f(x ) := lim h f(x + h), lim h f(x + h) f(x + ) h f(x + h) f(x ), lim h h Dann konvergiert die Fourierreihe von f an der Stelle x gegen f(x+)+f(x ) f soll also in x einseitige Grenzwerte und einseitige Ableitungen besitzen Dann konvergiert die Fourierreihe gegen das arithmetische Mittel der einseitigen Grenzwerte In den Beispielen 1 und sind diese Bedingungen in jedem Punkt erfüllt Man hat also jeweils punktweise Konvergenz der Fourierreihe gegen f auf ganz R Einen Beweis dieses Satzes finden Sie in Heuser, Analysis II, Satz 1364 Ohne die Differenzierbarkeitsannahme gilt dieser Satz nicht mehr Man kann aber ohne solche Annahmen auskommen, wenn man dafür den Begriff der Konvergenz selbst abschwächt Wenn die Reihe k=1 a k die Summe s besitzt, wenn also ihre Partialsummen s n = a a n gegen s konvergieren, so konvergieren auch die arithmetischen Mittel σ n := 1 (s n s n ) gegen s (Cauchyscher Grenzwertsatz, vgl Heuser, Analysis I, Satz 71) Es kann aber sein, dass die Folge (σ n ) auch dann noch gegen eine Zahl s konvergiert, wenn die Folge (s n ) nicht konvergiert (Beispiel: a n = ( 1) n ) Man sagt dann, dass die Reihe n=1 a n im Sinne von Cesaro konvergiert und dass ihre Summe gleich s ist Von Fejer wurde dieses Konzept auf Fourierreihen angewandt Sei dazu s n (x) = a n + (a k cos kx + b k sin kx) die n-te Partialsumme der Fourierreihe und σ n (x) := 1 ( s (x) + s 1 (x) + + s n (x) ) n + 1 k=1 Satz 93 (Fejer) Sei f : R R π periodisch und Riemann-integrierbar auf [, π] Für jedes x R sollen die einseitigen Grenzwerte f(x+) und f(x ) existieren, und es sei f(x) = 1 ( f(x+)+f(x ) ) Dann ist f(x) = limn σ n (x), dh die Fourierreihe von f konvergiert im Sinne von Cesaro punktweise gegen f Ist f stetig, so konvergieren die σ n sogar gleichmäßig gegen f 174

21 Ein Beweis steht in Heuser, Analysis II, Sätze 1393 und 1395 Eine Anwendung findet die zweite Aussage dieses Satzes beim Beweis des wichtigen Weierstraßschen Approximationssatzes Satz 94 (Weierstraß) Sei f stetig auf [a, b] und ε > Dann gibt es ein Polynom p mit p f = sup p(x) f(x) < ε x [a,b] Stetige Funktionen können bezüglich der Supremumsnorm also beliebig genau durch Polynome approximiert werden Einen Beweis finden Sie in Heuser, Analysis II, Abschnitt 139, Aufgabe Konvergenz im quadratischen Mittel Wir haben gesehen, dass die Untersuchung der punktweisen oder gar gleichmäßigen Konvergenz einer Fourierreihe erheblich Schwierigkeiten bereitet Ein zu Fourierreihen passender Konvergenzbegriff ist die Konvergenz im quadratischen Mittel Seien f, g Riemann-integrierbare Funktionen auf [, π] Für andere Intervalle definiert man die folgenden Begriffe analog Das Skalarprodukt von f und g ist die Zahl f, g := π und die L Norm von f wird erklärt durch f(t) g(t) dt, ( π 1/ f := f, f 1/ = f(t) dt) Dann gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung f, g f g (915) Man beachte die Analogie zum Skalarprodukt bzw zur Euklidischen Norm von Vektoren im R n Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (915) wird genauso bewiesen wie in diesem Fall Mit (915) erhält man leicht die Dreiecksungleichung Es ist nämlich f + g f + g f + g = f + g, f + g = f, f + f, g + g, g f + f g + g = ( f + g ) Dennoch ist keine Norm auf R([, π])! (Warum nicht?) Mögliche Auswege sind: 175

22 (A) Wir betrachten nur stetige Funktionen Auf C([, π]) ist eine Norm (B) Man identifiziert zwei Funktionen, wenn f g = Wir werden hier beides nicht tun: (A) engt uns zu sehr ein, und (B) schauen wir uns im Rahmen der Lebesgueschen Integrationstheorie im 4 Semester an Definition 95 Seien f, f n : R R π periodisch und Riemann-integrierbar auf [, π] Die Folge (f n ) konvergiert im quadratischen Mittel gegen f, wenn π lim f f ( n = bzw lim f(x) fn (x) ) dx = n n Noch einmal: die Tatsache, dass keine Norm auf R([, π]) ist, bringt einige Komplikationen mit sich (zb kann (f n ) gegen zwei verschiedene Funktionen f und g im quadratischen Mittel konvergieren), die wir erst im vierten Semester beheben Zwei Funktionen f, g R([, π]) heißen orthogonal, wenn f, g = Eine Folge (u n ) von Funktionen heißt ein Orthogonalsystem, wenn u m, u n = für alle m n und ein Orthonormalsystem, wenn zusätzlich u n, u n = 1 für alle n ist Aus den Identitäten (911) wissen wir, dass die Funktionen u (x) := 1 π, u n (x) := cos nx π, u n 1 (x) := ein Orthonormalsystem über dem Intervall [, π] bilden sin nπ π (n 1) (916) Ist f Riemann-integrierbar und (u n ) n ein Orthonormalsystem auf [, π], so heißen die Zahlen c n := f, u n die Fourierkoeffizienten von f und c nu n die Fourierreihe von f Man überlegt sich leicht, dass für das spezielle Orthonormalsystem (916) diese Begriffe mit den früher definierten übereinstimmen Wann konvergiert nun die Fourierreihe einer Funktion im quadratischen Mittel gegen diese Funktion? Zunächst eine Vorüberlegung Satz 96 (Besselsche Ungleichung) Sei f : R R π periodisch und Riemann integrierbar auf [, π], und sei (u n ) ein Orthonormalsystem auf [, π] Dann gilt für die Fourierkoeffizienten c n = f, u n : c n π f(x) dx = f Beweis Wir überlegen uns zunächst für jedes k N die Beziehung f k c n u n = f 176 k c n (917)

23 Sei g = k c nu n Dann ist f k c n u n = f g = f g, f g = f f, g + g, g Für die Skalarprodukte finden wir f, g = f, g, g = k c n u n = k c n u n, k m= k c n f, u n = c m u m = k k m= k c n, c n c m u n, u m = k c n, womit (917) sofort folgt Da f g, folgt aus (917) die Behauptung Folgerung 97 Die Fourierreihe c nu n von f konvergiert genau dann im quadratischen Mittel gegen f, wenn c n = f (918) Dies folgt sofort aus (917) Die Beziehung (918) heißt Parsevalsche Gleichung Satz 98 Sei f : R R π periodisch und Riemann-integrierbar auf [, π], und sei (u n ) das spezielle Orthonormalsystem (916) Dann konvergiert die Fourierreihe von f im quadratischen Mittel gegen f Die Konvergenz der Fourierreihe gegen f im quadratischen Mittel gilt also ohne einschränkende Voraussetzungen an f und ist deshalb eine sehr natürliche Konvergenzart für Fourierreihen Dafür ist sie schwächer als die gleichmäßige Konvergenz Beweis 1 Schritt Sei a < π Wir zeigen die Aussage für die Funktion { 1 wenn x [, a] f(x) = wenn x (a, π] Offenbar ist f = a c = f, u = f, c n = f, u n = f, c n 1 = f, u n 1 = f, dx = a, und für die Fourierkoeffizienten gilt 1 = 1 a π π cos nx π = 1 π a dx = sin nx π = 1 π a 177 a π, cos nx dx = sin nx dx = sin nx n π a = cos nx n π a sin na n π, = 1 cos na n π

24 Also ist (die absolute Konvergenz der betrachteten Reihen folgt aus der Konvergenz der Reihe 1 n=1, vgl Kapitel 5) n c n = a π + n=1 = a π + 1 π = a π + π sin na n π + (1 cos na) n π n=1 ( sin na n=1 n=1 n ( 1 cos na ) n n + 1 cos na + cos na ) n n n Mit der Identität n=1 cos nx n = (π x) 4 π, x [, π] 1 (Nachrechnen!) erhalten wir weiter c n = a π + π π = a π + π 3 π 6 π ( π ( (π a) 4 ) π 1 4 πa + a 4 π 1 ) = a Für diese spezielle Funktion gilt also die Parsevalsche Gleichung (918), und aus Folgerung 97 folgt die Behauptung Schritt Wir zeigen die Behauptung für stückweise konstante Funktionen f ( Treppenfunktionen ) Für jede derartige Funktion gibt es Funktionen f 1,, f r von der im 1 Schritt beschriebenen Gestalt sowie Konstanten α 1,, α r so, dass f(x) = r j=1 α jf j (x) für alle x ], π] mit Ausnahme endlich vieler Seien s n bzw s nj die n Partialsummen der Fourierreihen der Funktionen f bzw f j Dann ist offenbar s n = r j=1 α js nj und folglich f π r f s n = α j (f j s nj ) j=1 r α j f j s nj j=1 Nach Schritt 1 folgt f s n 3 Schritt Wir zeigen die Behauptung für eine beliebige Riemann-integrierbare 178

25 Funktion f mit f 1 (offenbar genügt es, solche Funktionen zu betrachten) Nach dem Riemannschen Integrabilitätskriterium gibt es für jedes ε > π periodische Funktionen ϕ, ψ : R R mit folgenden Eigenschaften: (a) ϕ, ψ sind Treppenfunktionen (b) 1 ϕ f ψ 1 ψ ϕ (c) π (ψ(x) ϕ(x))dx ε 8 π Sei g := f ϕ, und seien s n,f, s n,g bzw s n,ϕ die n ten Partialsummen der Fourierreihen von f, g bzw ϕ Dann ist s n,f = s n,g + s n,ϕ und folglich f s n,f ϕ s n,ϕ + g s n,g (919) Nach Schritt gibt es ein N so, dass ϕ s n,ϕ < ε/ für alle n N Weiter ist nach (917) g s n,g g = π π g(x) dx = ψ(x) ϕ(x) dx π π f(x) ϕ(x) dx ( ψ(x) ϕ(x) )dx (c) ε 4 (Beachte: wegen ψ ϕ ist ψ ϕ (ψ ϕ)) Mit (919) folgt schließlich ε > N N n N f s n,f < ε, dh die Partialsummen s n,f konvergieren in der L -Norm gegen f 179