Lösung von Optimierungsproblemen anhand von Simplex- Verfahren

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1 Lineare Optimierung Lösung von Optimierungsproblemen anhand von Simplex- Verfahren Informatik-Seminar Studiengang: Informatik Autor: Zemp Michael Betreuer: Schwab Peter Auftraggeber: Schwab Peter Experten: Schwab Peter Datum: 29. Mai 2016 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences

2 Zusammenfassung Mathematik ist ein unersetzliches Hilfsmittel der Naturwissenschaften, der Technik und der Wirtschaft. Die Methoden der linearen Optimierung sind ein Beispiel eines solch «unersetzlichen Hilfsmittels», denn mit ihnen lassen sich zahlreiche Fragestellungen beantworten, bei denen es um spezielle Maximierungs- bzw. Minimierungsaufgaben geht. Die vorliegende Arbeit soll dem Leser dabei helfen, lineare Optimierungsprobleme zu erkennen und ihm eine Idee vermitteln, wie diese zu lösen sind. Dabei bietet sich ein problemorientierter Ansatz am besten an: Anhand eines konkreten Problems erarbeiten wir das zugehörige mathematische Modell und ein passendes Lösungsverfahren. Zum Abschluss beschäftigt sich die Arbeit mit einem in der Praxis weit verbreiteten Optimierungsverfahren, dem Simplex-Algorithmus Informatik Seminar: Lineare Optimierung 2

3 Inhaltsverzeichnis Lösung von Optimierungsproblemen anhand von Simplexverfahren 1 Zusammenfassung 2 Inhaltsverzeichnis 3 1 Einleitung 4 2 Anschauliches Beispiel Produktionsplanungsproblem (mit zwei Variablen) Cocktail-Party (mit mehr als zwei Variablen) 6 3 Mathematische Grundlagen Lineare Abbildungen Lineare Gleichungen Lineare Systeme und Matrixschreibweise Der Gauss sche Algorithmus Der Gauss-Jordan-Algorithmus Beispiel Gauss-Jordan-Algorithmus Normalform eines linearen Gleichungssystems 10 4 Lineare Optimierung Geometrische Lösung des Optimierungsproblems Zulässige Basislösungen 14 5 Das Simplex-Verfahren zur Lösung eines Linearen Problems Das Simplextableau Ablauf Simplex-Algorithmus anhand Simplextableau Beispiel Simplex-Verfahren anhand vom Produktionsproblem 16 Es ergibt sich das zweite Tableau: Geometrische Deutung des Simplex-Verfahrens Innere-Punkt-Verfahren 18 6 Lineare Optimierung mit Microsoft Excel Warum Microsoft Excel? Excel Solver für lineare Optimierung konfigurieren Cocktail-Party mit Excel Solver Allgemeine Vorgehensweise bei der Lösung von Optimierungsproblemen 21 7 Schlussfolgerungen/Fazit 22 8 Abbildungsverzeichnis 23 9 Literaturverzeichnis 23 Informatik Seminar: Lineare Optimierung 3

4 1 Einleitung Optimierung siedeln die meisten spontan im betriebswirtschaftlichen Themenfeld an. Minimierung von Transportkosten oder Maximierung des Gewinns gelten dabei als Paradebeispiele. Aber auch im technischen Bereich treten lineare Optimierungsprobleme auf, die mit den gleichen Verfahren zu lösen sind. Gerade in Zeiten knapper Ressourcen und verstärkter Wettbewerbssituation könnte die Anwendung der Algorithmen der «Linearen Optimierung» sowohl in den betriebswirtschaftlichen wie auch in den technischen Abteilungen, insbesondere bei mittelständischen Unternehmen, noch stärker forciert werden [1]. Heute gibt es die unterschiedlichsten Problemstellungen, welche zur Lösung auf die Methoden der linearen Optimierung zurückgreifen: Produktionsplanungsprobleme Mischprobleme Investitionsplanungsprobleme Transportprobleme Zuordnungsprobleme Verschnitt-Probleme «Knapsack»-Probleme Es ist leicht, unter den verschiedenen Problemstellungen den Überblick zu verlieren. Im Grunde genommen haben sie grob gesagt alle eine Gemeinsamkeit: Es gilt die veränderbaren Variablen so zu «wählen», damit unter den gegebenen Nebenbedingungen eine optimale, respektive maximierte oder minimierte Lösung für die Zielfunktion entsteht. Lineare Optimierung verfolgt das Ziel unter gegebenen Voraussetzungen das Maximum oder das Minimum zu erreichen. Dabei sei noch gesagt, dass nicht für alle Arten die Methoden der linearen Optimierung besonders gut geeignet sind. Beispielsweise gibt es für das «Knapsack»-Problem eine ganze Reihe spezieller Lösungsalgorithmen, welche wesentlich praktikabler sind. Doch für gewisse Probleme hat man sogar spezielle Verfahren entwickelt, die die gegebene Struktur ausnutzen. In der Praxis gibt es verschiedene Algorithmen, die beim Lösen des Optimierungsproblems zum Einsatz kommen. Sicherlich der bekannteste unter diesen ist das Simplex-Verfahren. Daneben existieren etliche andere wie das Innere-Punkt-Verfahren oder das Eröffnungsverfahren, welches eine spezielle Anwendung bei Transportproblemen findet. Als Einstieg widmen wir uns dem Produktionsplanungsproblem auf zwei verschiedene Arten. Danach wenden wir uns zum aufbauenden Verständnis den mathematischen Grundlagen zu. Zum Abschluss wird die Funktionsweise vom Simplex-Algorithmus anhand der Simplextableaus aufgezeigt. Aufgrund des Umfangs der Arbeit verzichtet der Autor auf mathematische Beweise. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 4

5 2 Anschauliches Beispiel 2.1 Produktionsplanungsproblem (mit zwei Variablen) Zuallererst ein klassisches Beispiel, welches in vielen Lehrbüchern zu finden ist und für die lineare Optimierung als gute Illustration dient. Dazu folgende Aufgabenstellung: «In einem Betrieb seien drei Maschinen vorhanden, die für die Fertigstellung von zwei verschiedenen Produkten benötigt werden. Jedes der beiden Produkte benötigt auf den Maschinen jeweils unterschiedliche Bearbeitungszeiten (in Minuten) gemäss der folgenden Tabelle: Maschine 1 Maschine 2 Maschine 3 Produkt A Produkt B Die tägliche Maschinenlaufzeit beträgt 8 Stunden bzw. 480 Minuten. Der Ertrag pro Einheit bei Produkt A beträgt 10 Geldeinheiten und bei Produkt B 40 Geldeinheiten. Welche Anzahl ist täglich von den beiden Produkten zu fertigen, damit der Ertrag maximiert wird?» [2] Wir benötigen zuerst eine mathematische Formulierung des Problems. Der erste Schritt dazu besteht darin, sich zu fragen, welche veränderlichen Variablen wir haben: Die gesamte Maschinenlaufzeit ist gegeben mit 8 Stunden pro Tag Kapazität der jeweiligen Maschine auch nach oben begrenzt Preise von Produkt A und B sind festgelegt Das Einzige was wir verändern können, ist die Anzahl der Produkte A und B. Also: Anzahl produzierte Menge von Produkt A Anzahl produzierte Menge von Produkt B Der Ertrag, den wir maximieren wollen entspricht der Anzahl produzierter Produkte und deren Preis: (, ) = Die Nebenbedingungen repräsentieren dabei die auferlegten Limitationen der Produktion: Maschine A: Maschine B: Maschine C: Wir führen noch zwei zusätzliche Nebenbedingungen ein und zwar:, 0 Einige heuristische Vorüberlegungen zur Problemlösung: Eine zulässige Lösung wäre = 0 und = 0, die aber sicher nicht optimal ist. Eine weitere Lösung wäre nur von Produkt A zu produzieren. Betrachten wir die Nebenbedingungen, können wir 12 Stück produzieren, was zu einem Ertrag von 120 führt. Oder nur von Produkt B, was zu einem Ertrag von 320 führt. Gesucht ist jedoch eine optimale Lösung, d.h. eine Lösung aus dem zulässigen Bereich, damit die Zielfunktional maximal ist. Die optimale Lösung in diesem Fall wäre: = 4 = 8. Wie wir ohne auszuprobieren diese Lösung erhalten, erarbeiten wir auf den folgenden Seiten. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 5

6 2.2 Cocktail-Party (mit mehr als zwei Variablen) Bei der vorherigen Problemstellung kann, wie später besprochen wird, die Lösung graphisch ermittelt werden. Bei mehr als zwei veränderlichen Variablen ist es nicht mehr so einfach bis unmöglich, die Lösung im Koordinatensystem graphisch abzulesen. Eine dieser Aufgaben, die sich auch beliebig erweitern lässt, wird im Folgenden vorgestellt. Für eine Party möchten wir keine zusätzlichen Getränke und Spirituosen mehr einkaufen, sondern die Ressourcen möglichst effizient aufbrauchen, welche noch vorhanden sind vom letzten Fest. Das Inventar der alkoholischen Getränke sieht dabei wie folgt aus: 5 Liter weisser Rum 6 Liter Cointreau 4 Liter Wodka 3 Liter Gin Dabei lassen wir uns von einem Rezeptbuch inspirieren. Wir selektieren dabei nur Mix-Getränke, für welche wir bereits alle Zutaten haben: Daiquiri: 45 ml weisser Rum, 30 ml Cointreau, 30 ml Zitronensaft, 15 ml Zuckersirup, Eis Kamikaze: 30 ml Wodka, 30 ml Cointreau, 30 ml Zitronensaft, 1 Schuss Limonen-Sirup, Eis Long Island Ice Tea: 20 ml Wodka, 20 ml weisser Rum, 20 ml Gin, 20 ml Cointreau, 4 TL Zitronensaft, 4 TL Orangensaft, 1/8 l Cola, 1 Orangenscheibe, Eis Unser erklärtes Ziel ist es, die Spirituosen möglichst effizient aufzubrauchen, um den Partygästen möglichst viele Drinks anbieten zu können. Von welchen Cocktails müssen wir wie viele mixen, um unseren Gästen möglichst viele Drinks anbieten zu können? [3] Nun müssen wir das Problem irgendwie in eine formale Form bringen, damit wir daraus ein lineares System erhalten. Als erstes müssen wir die Variablen identifizieren: Anzahl Daiquiris Anzahl Kamikazes Anzahl Long Island Ice Teas Um die Anzahl an Variablen zu erhöhen, könnten auch weitere Drinks hinzugefügt werden, welche mit den gegebenen Spirituosen zusammengemischt werden können. Nun gilt es, die Zielfunktion zu definieren. Diese ist ganz einfach: Die Anzahl maximaler Drinks: (,, ) = + + Alternativ könnten wir jedoch auch eine Kostenfunktion aufstellen und so beispielsweise an der Bar den Profit maximieren: (,, ) = In den Nebenbedingungen erfassen wir dazu die restriktiv wirkenden Daten: Weisser Rum: 45 x x 3 <= 5000 Cointreau: 30 x x x 3 <= 6000 Gin: + 20 x 3 <= 3000 Wodka: 30 x x 3 <= 4000 Auch alternativ hierzu könnte man weitere Nebenbedingungen einführen. So könnte man zum Beispiel auch die minimale Anzahl eines Drinks aufnehmen. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 6

7 3 Mathematische Grundlagen Wie eingangs erwähnt betrachtet diese Arbeit nur lineare Systeme. Auch die so genannte «Nichtlineare Optimierung» ist von grosser Bedeutung in der Wissenschaft sowie im Ingenieurwesen [4]. Im grossen Unterschied zur linearen Optimierung kann dabei eine Funktion auch nichtlinear sein. Zur Betrachtung eignet sich die Wirtschaftswissenschaft mit dem Ziel, die Kosten eines Prozesses zu minimieren. Als Einschränkungen haben wir die Verfügbarkeit der Mittel und Kapazitäten. Die Kostenfunktion kann darin beispielsweise nicht linear sein [5]. In der Praxis ist diese Art von Problem schwieriger zu lösen, da wir bei linearen Aufgaben ein generell akzeptiertes und verwendbares Verfahren, den Simplex-Algorithmus, haben. Wobei sich schwierig auf die Programmierung als auch auf den Rechenaufwand bezieht [6]. Aus diesem Grund macht es durchaus Sinn, die Eigenschaft der Linearität zu betrachten. Am einfachsten lässt sich dies anhand der linearen Funktionen oder Abbildungen erklären. 3.1 Lineare Abbildungen Umgangssprachlich lässt sich die Eigenschaft der Linearität wie folgt definieren: «Linearität ist die Eigenschaft eines Systems, auf die Veränderung eines Parameters stets mit einer dazu proportionalen Änderung eines anderen Parameters zu reagieren.» [7] Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so spricht man von Nichtlinearität. Eine lineare Abbildung ist das Analogon eines Gruppenhomomorphismus für Vektorräume : zwischen Vektorräumen über demselben Körper K, die mit Addition und Skalar-Multiplikation verträglich ist, also mit ( + ) = ( ) + ( ) () = () für alle v 1, v 2 V und alle c K. Eine solche Abbildung nennt man linear. Die Bezeichnung Vektorraumhomomorphismus wäre auch korrekt, findet aber weniger Verwendung [8]. 3.2 Lineare Gleichungen In einer linearen Gleichung kommen ausschliesslich Linearkombinationen der Unbekannten vor. Besitzt die lineare Gleichung nur eine Unbekannte, so besitzt sie die Form = Wobei und Konstanten sind. Wie wir bereits am Beispiel gesehen haben, gibt es auch lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Im allgemeinen Fall besitzt eine lineare Gleichung immer die Form Wobei eine lineare Abbildung ist [9]. () = Informatik Seminar: Lineare Optimierung 7

8 3.3 Lineare Systeme und Matrixschreibweise Die Matrixschreibweise wurde im neunzehnten Jahrhundert als Kurzschreibweise für Systeme von linearen Gleichungen eingeführt. Das System von Gleichungen kann in Matrixschreibweise in der Form + + = + + = + + = = geschrieben werden; wobei A die Matrix der Koeffizienten ( ) bezeichnet, und Spaltenvektoren sind und das Matrizenprodukt ist [9]: = 3.4 Der Gauss sche Algorithmus Der Gauss sche Algorithmus ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Man kann damit die Lösungsmenge eines Gleichungssystems bestimmen und gleichzeitig den Rang () der Systemmatrix ermitteln. Das Verfahren bildet die Grundlage für spätere Optimierungsmethoden [10]. Die Idee besteht darin, das Gleichungssystem zuerst in folgende Form zu übertragen: Anschliessend soll sie so umgeformt werden, damit sich die Lösung möglichst leicht bestimmen lässt. Erlaubt sind dabei alle elementaren Operationen, welche die Lösungsmenge des Systems und dessen Rang nicht verändern: 1. Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten 2. Multiplikation einer Zeile mit einer von null verschiedenen Zahl 3. Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Das Ziel ist es, mit den obenstehenden Operationen eine Stufenform zu erhalten: Wichtig ist dabei, dass alle Koeffizienten unterhalb der Hauptdiagonale null werden [11]. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 8

9 3.5 Der Gauss-Jordan-Algorithmus Der Gauss-Jordan-Algorithmus ermöglicht es einem, die Lösungen noch einfacher ablesen zu können, indem das Schema noch weiter vereinfacht wird. Die Vorgehensweise bei diesem Verfahren gleicht dem Gauss schen Algorithmus. Das Schema soll danach folgende Form haben: Diese Form erreichen wir mit zeilenweisen Umformungen. Die Zeilen kann man zu diesem Zweck vertauschen mit einer Zahl multiplizieren durch eine Zahl dividieren addieren subtrahieren Das schrittweise Vorgehen sieht dabei wie folgt aus [12]: 1. Wir vertauschen die Zeilen so, dass in der ersten Zeile an erster Stelle keine Null steht. 2. Dividiere die erste Zeile durch die erste Zahl in dieser Zeile. Damit haben wir an erster Stelle eine Eins stehen. 3. Subtrahiere von der zweiten Zeile ein Vielfaches der ersten Zeile so, dass als Ergebnis in der zweiten Zeile die erste Zahl zu einer Null wird. Wiederhole das Gleiche mit erster und dritter, erster und vierter, erster und n-ten Zeile. Nach diesem Schritt steht in der ersten Spalte oben eine Eins und die restlichen Einträge sind Null. 4. Denkt man sich die erste Spalte und die erste Zeile weg, so erhält man ein kleineres lineares Gleichungssystem. Wende jetzt den Algorithmus von vorne auf das kleinere lineare Gleichungssystem an. Ergebnis ist eine Treppenform der Matrix, insbesondere stehen unter der Diagonalen nur Nullen. 5. Wir wenden die oberen Schritte von vorne an, mit der rechten unteren anstatt linken oberen Zahl als Startpunkt. Das Ergebnis ist eine Diagonalmatrix und die Zahlen rechts vom Trennstrich sind die Lösung des linearen Gleichungssystems. Eine alternative Formel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems ist die Cramer sche Regel. Diese soll jedoch nur der Vollständigkeit halber erwähnt sein und ist im Folgenden nicht erläutert. Bemerkung: Der Gauss-Jordan-Algorithmus eignet sich auch zur Berechnung der inversen Matrize. 3.6 Beispiel Gauss-Jordan-Algorithmus Wir haben folgendes Gleichungssystem mit drei Unbekannten: + + = = = 17 Diese Gleichung in Matrizenform sieht wie folgt aus: Informatik Seminar: Lineare Optimierung 9

10 Um unterhalb der ersten Eins nur noch Nullen zu erhalten, führen wir einige Zeilenoperationen durch: 1. zweimal die erste Zeile von der zweiten abziehen und 2. einmal die erste Zeile von der dritten abziehen. Nach den Operationen erhalten wir die folgende Matrize: In der zweiten Zeile haben wir an zweiter Stelle bereits eine Eins. Oberhalb der Eins soll aber auch eine Null stehen. Dazu ziehen wir die zweite Zeile von der ersten ab: Auch unterhalb der Eins wollen wir eine Null stehen haben. Dazu ziehen wir die zweite Zeile zweimal von der dritten ab und erhalten: Da in der letzten Zeile keine eins an erster Stelle steht, dividieren wir die Zeile durch 13: Auch hier wollen wir oberhalb von der Eins nur Nullen haben und ziehen die letzte Zeile mehrmals von der ersten sowie von der zweiten ab und erhalten: Die Lösung lässt sich nun einfach ablesen: = 1 = 4 = Normalform eines linearen Gleichungssystems Um ein lineares Optimierungsproblem später mit dem Simplex-Verfahren lösen zu können, müssen wir das lineare Modell in Normalform bringen: Unter den Nebenbedingungen: max = () = =, 0 Durch die Einführung zusätzlicher Variablen, der sogenannten Schlupfvariablen, werden Restriktionen in Ungleichungsform auf Gleichungsform gebracht. Wir bauen diese Schlupfvariablen ein, damit die Gleichung auf jeden Fall stimmen kann. So wird z.b. aus der Ungleichung: Informatik Seminar: Lineare Optimierung 10

11 durch die Addition einer Variablen 0 die Gleichung + = Dadurch vergrössert sich die Dimension des ursprünglichen Problems, respektive die Anzahl der Unbekannten erhöht sich um eins [13]. Betrachten wir dies anhand vom Produktionsbeispiel, welches wir zu Beginn angeschaut haben: Maschine A: Maschine B: Maschine C: Daraus ergibt sich mit Einführung der Schlupfvariablen folgendes: = = = 480 An der Zielfunktion ändert sich dadurch nichts, da das ursprüngliche Problem bereits eine Maximierung der Zielfunktion vorsieht. In Matrixdarstellung sieht die Problemstellung nun wie folgt aus: = = = Die Schlupfvariablen repräsentieren hier die Zeit pro Tag (in Minuten), in der die Maschine 1, 2, bzw. 3 nicht genutzt werden. So stimmt auch die Gleichung, wenn beispielsweise eine Maschine weniger ausgelastet ist als ihre maximale Laufzeit Informatik Seminar: Lineare Optimierung 11

12 4 Lineare Optimierung Unter einem linearen Optimierungsproblem verstehen wir die Aufgabe, eine lineare Zielfunktion der Gestalt [14] = (,, ) = + zu maximieren oder zu minimieren. Dies unter den linearen Nebenbedingungen (Restriktionen) = für = 1,, und unter den Nichtnegativitätsbedingungen für einige oder alle = 1,, Geometrische Lösung des Optimierungsproblems Das Beispiel aus dem Unterkapitel 2.1 lässt sich auch graphisch darstellen. Als erstes eine Umformulierung der Nebenbedingungen der Maschinen von zu Maschine A: Maschine B: Maschine C: Maschine A: = + 20 Maschine B: = + 10 Maschine C: = 8 Eingezeichnet in ein zweidimensionales Koordinatensystem sieht dies wie folgt aus. Die Nebenbedingungen geben dabei den zulässigen Bereich vor: zulässiger Bereich Nebenbedingung 1 Nebenbedingung 2 Nebenbedingung 3 Linear (Nebenbedingung 1) Linear (Nebenbedingung 2) Linear (Nebenbedingung 3) Abbildung 4 1: Nebenbedingungen im Koordinatensystem Informatik Seminar: Lineare Optimierung 12

13 Dieselbe Umformung wie mit den Nebenbedingungen geschieht auch mit der zu maximierenden Funktion von zu = (, ) = = Damit hat die Funktion, welche wir maximieren wollen, alle Punkte (, ), die auf einer Geraden mit der Steigung liegen, den gleichen Wert: = 0 für = = 80 für = + 2 = 360 für = + 9 Also erhalten wir die optimale Lösung, wenn wir eine Gerade mit der Steigung - soweit parallel nach oben verschieben, bis diese den zulässigen Bereich nur noch am Rande berührt. Die untenstehende Abbildung zeigt genau diese Annäherung schrittweise: Abbildung 4 2: Zielfunktion an Ecke von Nebenbedingungen verschieben Die optimale Lösung ist mit dem roten Punkt markiert, sie ist (, ) = (4, 8). Dies entspricht auch der Lösung, welche bereits im Unterkapitel 2.1 vorgängig erwähnt wurde. Nochmals zur Repetition: Mit vier Stück pro Tag von Produkt A und acht Stück pro Tag von Produkt B ist somit die Maschinenkapazität gewinnbringend ausgenutzt. Auch die Nebenbedingungen sind berücksichtigt. Lediglich die erste Maschine ist nicht voll ausgelastet, sie steht pro Tag 128 Minuten still. In der Abbildung ist dies dadurch ersichtlich, dass diese Nebenbedingung unterhalb von der zugehörigen Geraden steht. Bemerkung: Im Allgemeinen wird man als Lösung des linearen Optimierungsproblems selten ganzzahlige Werte erhalten. Führt man die Berechnung mit Matlab oder Excel aus, ist es möglich, nur ganzzahlige Werte für die Variablen zuzulassen. Im gezeigten Beispiel ist der zulässige Bereich beschränkt und der Eckpunkt des Bereichs liefert zugleich eine eindeutige Lösung. Dies ist nicht immer der Fall. Der Zulässigkeitsbereich kann auch leer sein. Dies kann der Fall sein, wenn sich die Nebenbedingungen gegenseitig ausschliessen. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 13

14 4.2 Zulässige Basislösungen In der linearen Optimierung findet man die optimale Lösung immer über Ecken des Polyeders, der sich durch die Graphen der Nebenbedingungen ergibt. Die zulässigen Basislösungen entsprechen dabei den tatsächlichen Ecken dieses Polyeders. Definition: Eine Lösung eines Gleichungssystems in Form von = heisst Basislösung, wenn 0 für alle gilt [15]. Zur Illustration betrachten wir die zulässigen Basislösungen unseres Eingangsbeispiels: Abbildung 4 3: Ecken des Nebenbedingungsgleichungssystems Einer dieser Eckpunkte ist (, ) = (4, 8) und wie wir bereits vorhin in der geometrischen Betrachtung gesehen haben, ist dies der optimale Punkt. Das Simplex-Verfahren, welches wir als nächstes betrachten, macht sich genau diesen Umstand zu Nutze. Anmerkung: Der oben genannte Sachverhalt ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Linearen Optimierung und dessen Folgerung, dass eine lineare Funktion ihr Maximum über einem beschränkten Zulässigkeitsbereich K, einem konvexen Polyeder, in einem extremen Punkt (Eckpunkt) von K annimmt [16]. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 14

15 5 Das Simplex-Verfahren zur Lösung eines Linearen Problems Das sogenannte Simplex-Verfahren ist das wichtigste Verfahren zum Lösen von linearen Optimierungsproblemen. Es geht auf den amerikanischen Mathematiker George Bernard Dantzig zurück [17]. In der Literatur findet man die verschiedensten Varianten. Der Name des Verfahrens spielt auf die geometrische Gestalt des Zulässigkeitsbereichs an. Wie schon erwähnt sind für Probleme mit mehr als zwei Variablen graphische Darstellungen schwierig. Bei drei Variablen sind die Nebenbedingungen keine Geraden, sondern durch Ebenen gegeben. Die Basisvariablen sind dann die Schnittpunkte von jeweils drei solcher Ebenen. Für wiederum höhere Ebenen lässt sich dies entsprechend verallgemeinern [18]. Jede Zeile des Ungleichungssystems beschreibt einen Halbraum. Die zulässige Menge ist der Durchschnitt von (endlich vielen) Halbräumen. Dies nennt man ein Polyeder. = (, ) Ein Polyeder ist eine konvexe Menge. Konvex bedeutet, dass mit je zwei Punkten auch ihre gesamte Verbindungstrecke in der Menge liegt: Ein Punkt des Polyeders, der nie im Innern, sondern immer am Rand von solchen Verbindungsstrecken liegt, heisst Ecke. «Die Idee des Verfahrens ist es, ausgehend von einem Startpunkt eine Folge von Eckpunkten mit wachsenden Zielfunktionswerten zu erzeugen. Der Übergang von einer Ecke zur nächsten soll dabei in sparsamer Weise erfolgen. Das heisst, aufeinanderfolgende Ecken sollen benachbart sein. Man versucht, die Folge von Eckpunkten so zu erzeugen, dass nach endlich vielen Schritten eine optimale Lösung des Optimierungsproblems gefunden ist.» [19] 5.1 Das Simplextableau Um das Verfahren zu veranschaulichen dient ein Simplextableau. Mithilfe von dieser Schreibweise ist es möglich, das Verfahren von Hand durchzuführen. In der linken Spalte befinden sich die Basisvariablen,,. Die ersten m-zeilen des Tableaus repräsentieren das Gleichungssystem = in der Normalform aus Kapitel 3.7. b nennt man den Begrenzungsvektor. Die letzte Zeile nennt man die Ergebniszeile und repräsentiert die Zielfunktion = () = + = 0 = Ablauf Simplex-Algorithmus anhand Simplextableau Der Ablauf des Simplex-Algorithmus lässt sich wie folgt beschreiben: 1. Es wird in der Zielfunktionszeile (die letzte Zeile) der höchste Wert gesucht. Die Spalte, welche den höchsten Wert beinhaltet, nennt man die Pivot-Spalte. 2. Die letzte Spalte, also den Begrenzungsvektor durch die Pivot-Spaltenwerte teilen. Dabei teilt man nur die Werte bis. 3. Die Ergebnisse in nennt man den Engpass oder Einschränkungen. Hier sucht man nach dem kleinsten Wert. Die Zeile, welche den kleinesten Wert beinhaltet, nennt man die Pivot-Zeile. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 15

16 4. Dort wo sich die Pivot-Spalte aus Schritt eins und Pivot-Zeile aus Schritt drei kreuzen, befindet sich das Pivot-Element. 5. Nun gilt es, alle Elemente der Spalte des Pivot-Elementes auf eine Null zu bringen. 6. Befinden sich in der Zielfunktion nur noch positive Werte, können wir die Lösung ablesen. Ansonsten beginnen wir wieder bei Schritt ein und führen die gleichen Schritte nochmals durch. Wie die Lösung abzulesen ist, sehen wir anhand des folgenden Beispiels. Bemerkung: Der Einfachheit halber überspringen wir den Basiswechsel, dieser wurde nun schon vorgenommen. 5.3 Beispiel Simplex-Verfahren anhand vom Produktionsproblem Das Simplex-Verfahren führen wir anhand des uns bereits mehrfach bekannten Produktionsbeispiels durch. Es ergibt sich folgendes Tableau: Wir suchen in der letzten Zeile das höchste Element und erhalten dabei die Pivot-Spalte: Die letzte Spalte teilen wir durch die Pivot-Spaltenwerte: Es wird das kleinste Element in der letzten Spalte gesucht und wir erhalten die Pivot-Zeile. Wie in Schritt drei beschrieben, befindet sich das Pivot-Element dort, wo sich Pivot-Zeile und Pivot-Spalte treffen: Die 60 ergibt sich entsprechend als unser Pivot-Element. Alles ausser dem Pivot-Element wollen wir in dieser Spalte auf eine Null bringen. Wir teilen dazu die komplette Zeile durch 60: Informatik Seminar: Lineare Optimierung 16

17 Nach Schritt fünf darf die ganze Spalte des Pivot-Elementes nur noch Nullen aufweisen. Wie beim Gauss-Jordan-Algorithmus ziehen wir das Mehrfache der Zeile des Pivot-Elementes von den anderen Zeilen ab: ( 1) 24 ( 3) ( 2) 48 ( 3) ( 4) + 40 ( 3) Es ergibt sich das zweite Tableau: Wir führen wieder die Schritte eins bis vier durch und erhalten als drittes und letztes Tableau: Nach zwei Iterationen können wir nun die bereits geometrisch bestimmte Lösung ablesen (, ) = (4, 8). Der optimale Zielfunktionswert beträgt damit Geometrische Deutung des Simplex-Verfahrens Abbildung 5 1: Geometrischer Verlauf des Lösungsalgorithmus Informatik Seminar: Lineare Optimierung 17

18 5.5 Das Innere-Punkt-Verfahren Ein Nachteil des Simplex-Verfahrens besteht darin, dass der Aufwand exponentiell mit der Grösse des Problems wachsen kann. Auch wenn dieser Nachteil bei den meisten praxisrelevanten Problemen nicht zum Tragen kommt, führte es dazu, dass man nach Alternativen suchte [22]. Dabei entwickelte man verschiedene Methoden, welche zusammenfassend als das Innere-Punkt-Verfahren bezeichnet wird. Im Gegensatz zum Simplex-Verfahren, bei dem man entlang des konvexen Polyeders nach den Lösungen sucht, versucht man hier, sich schrittweise durch das Innere des Polyeders der Lösung zu nähern. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 18

19 6 Lineare Optimierung mit Microsoft Excel 6.1 Warum Microsoft Excel? Microsoft Excel bietet einen Solver an, welcher die Lösung von Linearen Optimierungsproblemen errechnen kann. Einer der unterstützten Algorithmen ist das Simplex-Verfahren, welches wir in Abschnitt fünf kennengelernt haben. Die Benutzung vom Solver ist fast selbsterklärend und mit wenig Aufwand lassen sich lineare Problemstellungen in eine Excel Tabelle übertragen. Hier nochmals das gut bekannte Produktionsbeispiel, welches uns bereits durch die ganze Arbeit begleitet hat. Abbildung 6 1: Nebenbedingungen und Zielfunktion in Excel 6.2 Excel Solver für lineare Optimierung konfigurieren Ganz bequem lassen sich die Zielfunktion, die veränderbaren Variablenzellen und die Nebenbedingungen auswählen. Als Lösungsmethode bietet sich die «Simplex-LP» an, welche wir auch bereits kennen gelernt haben. Abbildung 6 2: Solver in Excel mit Referenz auf Nebenbedingungen, Variablen u. Zielfunktion Informatik Seminar: Lineare Optimierung 19

20 Der Solver findet dabei die gleiche Lösung für und, wie wir bereits geometrisch gesehen und mit dem Simplex-Algorithmus von Hand berechnet haben, mit den Simplextableaus: Abbildung 6 3: Gefundene Solver-Lösung in Excel 6.3 Cocktail-Party mit Excel Solver Zu Beginn haben wir als zweites Beispiel eine Cocktail-Party angeschaut. Auch dieses Problem lässt sich leicht ins Excel übertragen: Abbildung 6 3: Gefundene Solver-Lösung in Excel Dabei können wir dem Solver noch drei zusätzliche Bedingungen mitgeben, nämlich, dass wir nur ganzzahlige Lösungen haben möchten (siehe die letzten drei Bedingungen). Im Solver sieht dies wie folgt aus: Informatik Seminar: Lineare Optimierung 20

21 Abbildung 6 4: Nebenbedingungen und Zielfunktion von Cocktail-Party in Excel Der Solver ermittelt folgende Lösung: Abbildung 6 5: Gefundene Solver-Lösung in Excel zu Cocktail-Party 6.4 Allgemeine Vorgehensweise bei der Lösung von Optimierungsproblemen Die besondere Schwierigkeit liegt wie bei vielen mathematischen Problemen darin, das Problem überhaupt erst zu erkennen und formal zu erfassen. Dies ist bei der linearen Optimierung ebenfalls der Fall. So ist manchmal nicht auf den ersten Blick zu sehen, welches die Zielfunktion ist und welche Nebenbedingungen wie zusammenhängen. Sprich, erst ein lineares Gleichungssystem zu finden, welches das Problem beschreibt. Es hilft zunächst, das Problem in verbaler Form niederzuschreiben und anschliessend zu analysieren. Dabei dient es der Übersicht, die restriktiv wirkenden Daten (z.b. Kapazitätsbeschränkungen), Aktionsparamater (z.b. Produktmengen), funktionale Zusammenhänge (z.b. Ressourcenverbrauch) und Zielgrösse (z.b. Kosten, Deckungsbeiträge) zu ermitteln und zu beschreiben. Dabei sollte man folgende Fragen beantworten: Welche quantifizierbaren und für das Problem relevanten Informationen habe ich? Welche Zusammenhänge bestehen? Was sind die Handlungsmöglichkeiten? Welche Einschränkungen sind dabei zu beachten (Nebenbedingungen)? Was will ich optimieren (Zielfunktion)? Sind Vereinfachungen möglich? Kann das Modell in eine Standardform gebracht werden? Informatik Seminar: Lineare Optimierung 21

22 7 Schlussfolgerungen/Fazit Wie anfangs bereits erwähnt, bezeichnet man die Methoden der linearen Optimierung in der Literatur oft als ein «unersetzliches Hilfsmittel». Diese Einschätzung teile ich vollends. Es lassen sich viele verschiedenartige Probleme mit den Methoden der linearen Optimierung lösen. Die Erkenntnisse, die wir mit verhältnismässig wenig Mathematik und Aufwand gewinnen, können von zentraler Bedeutung sein bei der Entscheidungsfindung. Dabei profitieren wir von diversen Implementierungen des Simplex-Verfahrens oder sogar noch effizienteren Algorithmen und müssen uns nur noch darauf konzentrieren, das Problem in eine formale Darstellung zu bringen. Informatik Seminar: Lineare Optimierung 22

23 8 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1 0: Titelbild: Icosidodecahedron mit zugehörigen Eckpunkten Abbildung 4 1: Nebenbedingungen im Koordinatensystem Abbildung 4 2: Zielfunktion an Ecke von Nebenbedingungen verschieben Abbildung 4 3: Ecken des Nebenbedingungsgleichungssystems Abbildung 5 1: Geometrischen Verlauf des Lösungsalgorithmus Abbildung 6 1: Nebenbedingungen und Zielfunktion in Excel Abbildung 6 2: Solver in Excel mit Referenz auf Nebenbedingungen, Variablen u. Zielfunktion Abbildung 6 3: Gefundene Solver-Lösung in Excel Abbildung 6 4: Nebenbedingungen und Zielfunktion von Cocktail-Party in Excel Abbildung 6 5: Gefundene Solver-Lösung in Excel zu Cocktail-Party 9 Literaturverzeichnis [1] A. Koop und H. Moock, Vorwort - Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [2] A. Koop und H. Moock, Seite 4 - Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [3] Institut für Mathematik Hu-Berlin, Mathematik für Informatiker III - Grundlagen der Optimierung - Lineare Optimierung Handout, 9.4 Slide 118 [4] K.H. Borgwardt, Optimierung, Operations Research, Spieltheorie - Mathematische Grundlagen, Birkhäuser 2001 [5] A. Mordecai, Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing, 2003 [6] Technisches Institut Dortmund [7] T. S. Ferguson, Linear Programming, Math UCLA [8] M. Artin, Algebra, Seite 122, Grundstudium Mathematik, Birkhäuser Verlag Aus dem englischen übers. von Annette A'Campo von Basel 1998 [9] M. Artin, Algebra, Seite 4, Grundstudium Mathematik, Birkhäuser Verlag Aus dem englischen übers. von Annette A'Campo von Basel 1998 [10] A. Koop und H. Moock, Seite 4 - Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [11] A. Koop und H. Moock, Seite 24 - Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [12] [13] A. Koop und H. Moock, Seite 35 - Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [14] M, Grötschel, Algorithmische Diskrete Mathematik II: Lineare Optimierung, Vorlesungsskript (PDF) [15] A. Koop und H. Moock, Seite 39, Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [16] A. Koop und H. Moock, Seite 55, Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [17] A. Koop und H. Moock, Seite 56, Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [18] A. Koop und H. Moock, Seite 55, Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [19] H. W. Hamacher, S. Müller, Lineare Optimierung im Mathematikunterricht, [20] A. Koop und H. Moock, Seite 49, Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [21] A. Koop und H. Moock, Seite 41, Eine anwendungsorientierte Einführung in Operations Research, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2007 [22] P. Knabner, W. Barth, Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch), Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013, ISBN Informatik Seminar: Lineare Optimierung 23