Lösungen zur Prüfung in diskreter Mathematik vom 15. Januar 2008

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1 Lösungen zur Prüfung in diskreter Mathematik vom. Januar 008 Aufgabe (a) Wir bezeichnen mit A i die Menge der natürlichen Zahlen zwischen und 00, welche durch i teilbar sind (i {,,, }). Wir müssen die Anzahl der Zahlen bestimmen, die durch,, oder teilbar sind. Diese Anzahl ist gegeben durch : A A A A = A + A + A + A A A A A Es gilt dann : Wir erhalten : A A A A A A A A + A A A + A A A + A A A + A A A A A A A A = 0 Anzahl Vielfache von A = Anzahl Vielfache von A = 0 Anzahl Vielfache von A = Anzahl Vielfache von A A = Anzahl Vielfache von A A = 0 Anzahl Vielfache von 0 A A = Anzahl Vielfache von A A = Anzahl Vielfache von A A = Anzahl Vielfache von A A = Anzahl Vielfache von A A A = Anzahl Vielfache von 0 A A A = Anzahl Vielfache von A A A = Anzahl Vielfache von 0 A A A = 0 Anzahl Vielfache von 0 A A A A = 0 Anzahl Vielfache von 0 A A A A = 8 Nun ist aber keine Primzahl, dafür sind,, und Primzahlen. Die Anzahl der Primzahlen ist also gegeben durch : = (b) Bestimmen Sie die Anzahl der Bitfolgen der Länge 0, wo genau der Bits gleich sind. 0 = (c) Wir bezeichnen mit x i ( i ) die Anzahl der Bücher auf dem i-ten Tablar. Gesucht sind also die Anzahl der Lösungen der Gleichung x + x + x + x = 0, wobei x i N 0. Diese Anzahl ist identische mit der Anzahl der Folgen aus 0 Zeichen und Zeichen. Diese Anzahl ist gegeben durch :! 0!! = =

2 (d) Es gilt : = Also : Weiter gilt : a = = 0 = + = Es gibt also Möglichkeiten. Wir erhalten : a = + = 0 Aufgabe Ein minimaler erzeugender Baum mit der Reihenfolge, in welcher die Kanten ausgewählt werden ist in der nachfolgenden Graphik abgebildet. A Die Summe der Gewichte beträgt. Aufgabe Bestimmen Sie mit dem Algorithmus von Dijkstra die kürzesten Wege zwischen dem Knoten A und den übrigen Knoten im untenstehenden Graphen. B D E A C F G

3 Aufgabe (a) Der zur nachfolgenden Landkarte gehörige Graph ist gegeben durch : Die chromatische Zahl ist gleich. (b) In einem Baum ist die Anzahl der Kanten um kleiner als die Anzahl der Knoten. Also : 00 = 99. (c) Da jeder Knoten den Grad besitzt gilt : a =n = a =n Wir benützen dann die Eulersche Formel n + r = a +. Wir ersetzen a durch n und r durch 0 und lösen nach n auf : Die Anzahl der Knoten ist also gleich 8. n + 0 = n += n =8

4 Aufgabe Wir betrachten auf der Menge der ganzen Zahlen Z die Relation R : xry Def. Es existiert eine ganze Zahl k mit y = k x Untersuchen Sie, ob diese Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv oder antisymmetrisch ist. R ist reflexiv, denn es existiert für jede ganze Zahl x eine ganze Zahl k mit x = k x. Diese Zahl ist gleich. R ist nicht symmetrisch. Beispielsweise ist R0, denn 0 =. Aber es gilt nicht 0R. Die Zahl ist kein Vielfaches von 0. R ist transitiv. xry yrz = xrz Wenn y ein ganzzahliges Vielfaches von x und z ein ganzzahliges Vielfaches von y ist, dann ist auch z ein ganzzahliges Vielfaches von x. R ist nicht antisymmetrisch. Es gilt nämlich xr( x) und( x)rx, aber x = x, wenn x = 0.

5 Solutions de l épreuve de mathématiques discrètes du janvier 008 Exercice (a) Nous désignons par A i l ensemble des nombres naturels entre et 00 qui ne sont pas divisibles par i (i {,,, }). Il nous faut déterminer le nombre de nombres qui sont divisibles par,, ou. Ce nombre est donné par : A A A A = A + A + A + A A A A A On a : Nous obtenons : A A A A A A A A + A A A + A A A + A A A + A A A A A A A A = 0 nombre de multiples de A = nombre de multiples de A = 0 nombre de multiples de A = nombre de multiples de A A = nombre de multiples de A A = 0 nombre de multiples de 0 A A = nombre de multiples de A A = nombre de multiples de A A = nombre de multiples de A A = nombre de multiples de A A A = nombre de multiples de 0 A A A = nombre de multiples de A A A = nombre de multiples de 0 A A A = 0 nombre de multiples de 0 A A A A = 0 nombre de multiples de 0 A A A A = 8 n est pas un nombre premier, en revanche,,, et sont des nombres premiers. Le nombre de nombres premiers est donc donnés par : = (b) Déterminer le nombre de séquences binaires de longueur 0 où exactement bits sont égaux à. 0 = (c) Nous désignons par x i ( i ) le nombre de livres sur la i-ième planche. On cherche donc le nombre de solutions de l équation x + x + x + x = 0, où x i N 0. Le nombre recherché est identique avec le nombre de séquences avec 0 symboles et symboles. Ce nombre est donné par :! 0!! = =

6 (d) On a : = Donc : En outre, on a : a = = 0 = + = Il existe donc deux possibilités. On obtient : a = + = 0 Exercice Un arbre couvrant minimal avec l ordre dans lequel les arêtes sont choisies est donné ci-dessous. A La somme des poids est donnée par. Exercice Déterminer avec l algorithme de Dijkstra le chemin le plus court entre le noeud A et les autres noeuds dans le graphe ci-dessous. B D E A C F G Exercice (a) Le graphe appartenant à la carte géographique

7 est donné ci-dessous : Son nombre chromatique est égal à. (b) Dans un arbre le nombre d arêtes est égal au nombre de noeuds diminué par. Donc : 00 = 99. (c) Puisque chaque noeud possède le degré on a : Nous utilisons la relation d Euler a =n = a =n n + r = a +. Nous remplaçons a par n et r par 0 et résolvons par rapport à n : Le nombre de noeuds est donc égal à 8. n + 0 = n += n =8

8 Exercice Considérons sur l ensemble des entiers relatifs Z la relation R : xry Def. Il existe un entier relatif k tel que y = k x Examiner si la relation R est réflexive, symétrique, transitive ou antisymétrique. R est réflexive, car il existe un pour chaque entier x un entier k avec x = k x. Ce nombre est égal à. R n est pas symétrique. Par exemple, on a R0, car 0 =. En revanche, on n a pas 0R. Le nombre n est pas un multiple de 0. R ist transitiv. xry yrz = xrz Si y est un multiple de x et z un multiple de y, alors z est un multiple de x. R n est pas antisymétrique, car on a xr( x) und( x)rx, mais x = x, si x = 0. 8