Graphalgorithmen I. Simon Regnet. May 16, Universität Erlangen. Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

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1 Graphalgorithmen I Simon Regnet Universität Erlangen May 16, 2008 Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

2 Inhalt 1 Motivation 2 Terminologie 3 Datenstrukturen 4 Suche im Graph 5 Topologische Sortierung 6 Zusammenhang in Graphen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

3 Motivation Warum Graphen? Haupt- und Unterkategorie Hierarchisch angeordnete Kategoriesysteme Durch Verschieben von Kategorien kann ein Zyklus entstehen Graphen können einen Zyklus nachweisen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

4 Motivation Warum Graphen? Haupt- und Unterkategorie Hierarchisch angeordnete Kategoriesysteme Durch Verschieben von Kategorien kann ein Zyklus entstehen Graphen können einen Zyklus nachweisen Netzwerk Knoten im Netzwerk sind durch Leitungen verbunden Ausfall eines Knotens kann das gesamte Netzwerk zusammenbrechen lassen Mit Graphen kann man Ausfallsicherheit nachweisen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

5 Motivation Warum Graphen? Prozessabwicklung Fertigungsprozesse bestehen aus verscheidenen Prozessschritten Diese müssen in bestimmter Reihenfolge abgearbeitet werden Durch Graphen kann man die genaue Reihenfolge erstellen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

6 Terminologie Was ist ein Graph? Ein Graph ist definiert durch G = (V,E) V (vertices): die Menge aller Knoten eines Graphen E (edges): die Menge aller Kanten eines Graphen Eine Kante verbindet genau 2 Knoten Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

7 Terminologie Eigenschaften von Kanten (un)gerichtet Ein Graph kann gerichtet oder ungerichtet sein Ungerichtet: E ist Teilmenge aller 2-elementigen Teilmengen von V Gerichtet: E ist Teilmenge des kartesischen Produktes V V Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

8 Terminologie Eigenschaften von Kanten (un)gerichtet Ein Graph kann gerichtet oder ungerichtet sein Ungerichtet: E ist Teilmenge aller 2-elementigen Teilmengen von V Gerichtet: E ist Teilmenge des kartesischen Produktes V V (un)gewichtet Kanten können mit Gewichten versehen werden Gewichte können positiv oder negativ sein Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

9 Terminologie Nachbarschaft Ein Knoten x heißt Nachbar eines Knotens y in einem ungerichteten Graphen G, wenn x und y zu einer Kante von G gehören Ein Knoten x heißt Vorgänger von y in einem gerichteten Graphen G, wenn (x, y) gerichtete Kante von G ist Analog heißt x Nachfolger von y in G, wenn (y, x) eine gerichtete Kante von G ist Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

10 Terminologie Weg Sei W = (v 1,...,v n ) eine Folge von Knoten aus V mit der Eigenschaft, dass für alle i aus 1,...,n-1 gilt: Die Menge {v i,v i+1 } E, falls G ein ungerichteter Graph ist Das Paar (v i,v i+1 ) E, falls G ein gerichteter Graph ist z.b. A B C D B E Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

11 Terminologie Weg Sei W = (v 1,...,v n ) eine Folge von Knoten aus V mit der Eigenschaft, dass für alle i aus 1,...,n-1 gilt: Die Menge {v i,v i+1 } E, falls G ein ungerichteter Graph ist Das Paar (v i,v i+1 ) E, falls G ein gerichteter Graph ist z.b. A B C D B E Pfad Ein Pfad ist ein Weg in dem jeder Knoten nur höchstens einmal vorkommt z.b. A B E F Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

12 Terminologie Zyklus Ein Zyklus ist ein Weg in dem Start- und Endknoten identisch sind z.b. A B C D B E A Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

13 Terminologie Zyklus Ein Zyklus ist ein Weg in dem Start- und Endknoten identisch sind z.b. A B C D B E A Kreis Ein Kreis ist ein Zyklus in dem nur Start- und Endknoten identisch sind z.b. B C D B Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

14 Terminologie Grad Der Grad d G (v) eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die den Knoten v mit anderen Knoten verbinden In ungerichteten Graphen ist d G (v) die Anzahl der Nachbarn von v In gerichteten Graphen unterscheidet man zwischen Eingangsgrad und Ausgangsgrad eines Knotens Der Eingangsgrad d G (v) ist die Anzahl der Vorgänger von v Der Ausgangsgrad d + G (v) ist die Anzahl der Nachfolger von v Einen Knoten ohne Eingangskanten nennt man Quelle, einen Knoten ohne Ausgangskanten nennt man Senke Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

15 Terminologie Weitere Eigenschaften In einem zusammenhängenden Graph ist jeder Knoten von jedem anderen aus über einen Weg ereichbar Ein Graph, der keine Zyklen enthält, nennt man azyklisch oder Baum Mehrere nicht zusammenhängende Bäume bilden einen Wald Eine Schleife ist eine Kante, die einen Knoten mit sich selbst verbindet G 1 = (V 1, E 1 ) heißt Teilgraph oder Subgraph von G 2 = (V 2, E 2 ), falls V 1 V 2 und E 1 E 2 Umgekehrt heißt G 2 Supergraph oder Obergraph von G 1 Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

16 Datenstrukturen Wie speichert man Graphen im Computer? Es gibt im wesentlichen zwei gebräuchliche Formen: Adjazenzmatrix Adjazenzlisten Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

17 Datenstrukturen Adjazenzmatrix Aufbau Ein Graph mit n Knoten kann durch eine n n-matrix repräsentiert werden Dazu nummeriert man die Knoten von 1 bis n durch und trägt in die Matrix die Beziehungen der Knoten zueinander ein. Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

18 Datenstrukturen Adjazenzmatrix Aufbau Ein Graph mit n Knoten kann durch eine n n-matrix repräsentiert werden Dazu nummeriert man die Knoten von 1 bis n durch und trägt in die Matrix die Beziehungen der Knoten zueinander ein. (un)gerichtet Bei ungerichteten Graphen: { 1, wenn eine Kante Knoten i und j verbindet aij := 0, sonst hier wird nur die halbe Matrix benötigt Bei gerichteten Graphen: { 1, wenn Knoten i Vorgänger von Knoten j ist aij := 0, sonst Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

19 Datenstrukturen Gewichte Bei gewichteten Kanten trägt man das Kantengewicht anstatt der 1 ein Fehlende Kanten werden durch 0 oder gekennzeichnet Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

20 Datenstrukturen Adjazenzliste Aufbau Für jeden Knoten wird eine einfach verkettete Liste erstellt Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

21 Datenstrukturen Adjazenzliste Aufbau Für jeden Knoten wird eine einfach verkettete Liste erstellt (un)gerichtet Bei ungerichteten Graphen: Alle Nachbarn werden an das Ende der Liste des jeweiligen Knotens angehängt Bei gerichteten Graphen: Alle Nachfolger werden an das Ende der Liste des jeweiligen Knotens angehängt Je nach Problemstellung kann man für jeden Knoten auch eine Liste der Vorgänger führen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

22 Datenstrukturen Gewichte Gewichte werden in den Attributen der Listenelemente gespeichert Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

23 Datenstrukturen Bewertung der Datenstrukturen Adjazenzmatrix Einfach zu implementieren Schnell für Hinzufügen und Löschen von Kanten Schwierig bei nachträglichem Hinzufügen und Löschen von Knoten Viel Speicherplatz nötig (quadratisch anwachsend) Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

24 Datenstrukturen Bewertung der Datenstrukturen Adjazenzmatrix Einfach zu implementieren Schnell für Hinzufügen und Löschen von Kanten Schwierig bei nachträglichem Hinzufügen und Löschen von Knoten Viel Speicherplatz nötig (quadratisch anwachsend) Adjazenzliste Aufwändig zu implementieren Schnell für Hinzufügen und Löschen von Knoten Wenig Speicherplatz nötig Viele graphentheoretische Probleme nur mit Adjazenzlisten in linearer Zeit lösbar Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

25 Suche im Graph Suche im Graph Ziele Wie findet man einen bestimmten Knoten in einem Graph? Wie ist der Graph aufgebaut? Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

26 Suche im Graph Suche im Graph Ziele Wie findet man einen bestimmten Knoten in einem Graph? 2 Arten Wie ist der Graph aufgebaut? Tiefensuche (DFS Depth-First-Search) Breitensuche (BFS Breadth-First-Search) Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

27 Suche im Graph Tiefensuche rekursiv Algorithmus 1 Bestimme den Knoten an dem die Suche beginnen soll 2 Expandiere den Knoten und speichere alle Nachfolger in einem Stack 3 Rufe rekursiv für jeden der Knoten in dem Stack DFS auf 3.1 Falls der Stack leer sein sollte, tue nichts 3.2 Falls das gesuchte Element gefunden worden sein sollte, brich die Suche ab und liefere ein Ergebnis Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

28 Suche im Graph Eigenschaften Schritt 3.2 ist je nach Problemstellung optional Die verwendete Datenstruktur bestimmt auch die Reihenfolge der gefundenen Knoten Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

29 Suche im Graph Eigenschaften Schritt 3.2 ist je nach Problemstellung optional Die verwendete Datenstruktur bestimmt auch die Reihenfolge der gefundenen Knoten Bewertung Geringer Speicherplatzverbrauch Laufzeit: O( V + E ) Problem der Vollständigkeit bei Zyklen und unendlichen Graphen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

30 Suche im Graph Eigenschaften Schritt 3.2 ist je nach Problemstellung optional Die verwendete Datenstruktur bestimmt auch die Reihenfolge der gefundenen Knoten Bewertung Geringer Speicherplatzverbrauch Laufzeit: O( V + E ) Problem der Vollständigkeit bei Zyklen und unendlichen Graphen Anwendung Topologische Sortierung Zusammenhangskomponenten finden Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

31 Suche im Graph Tiefensuchbaum Der bei der Tiefensuche entstehende Baum nennt man Tiefensuchbaum Die durchgezogenen Linien entsprechen einen rekursiven Aufruf der Tiefensuche Die gestrichelten Linien sind Kanten die im Graph existieren, aber während der Tiefensuche nicht nachgegangen werden Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

32 Suche im Graph Breitensuche Algorithmus 1 Bestimme Anfangsknoten und speichere ihn in einer Warteschlange ab 2 Entnimm Knoten vom Beginn der Warteschlange und markiere ihn 2.1 Falls gesuchtes Element gefunden, gefunden zurücklieferen 2.2 Sonst alle unmarkierten Nachfolger ans Ende der Warteschlange anhänge, die noch nicht in der Warteschlange sind 3 Wiederholen Schritt 2 4 Wenn Warteschlange leer, nicht gefunden zurücklieferen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

33 Suche im Graph Eigenschaften Schritt 2.1 ist je nach Problemstellung optional Die verwendete Datenstruktur bestimmt auch die Reihenfolge der gefundenen Knoten Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

34 Suche im Graph Eigenschaften Schritt 2.1 ist je nach Problemstellung optional Die verwendete Datenstruktur bestimmt auch die Reihenfolge der gefundenen Knoten Bewertung Hoher Speicherplatzverbrauch Laufzeit: O( V + E ) Problem der Vollständigkeit nur bei unendlichen Graphen ohne Lösung Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

35 Suche im Graph Eigenschaften Schritt 2.1 ist je nach Problemstellung optional Die verwendete Datenstruktur bestimmt auch die Reihenfolge der gefundenen Knoten Bewertung Hoher Speicherplatzverbrauch Laufzeit: O( V + E ) Problem der Vollständigkeit nur bei unendlichen Graphen ohne Lösung Anwendung Allgemein für alle möglichen Distanzprobleme Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

36 Suche im Graph Tiefensuche iterativ Algorithmus 1 Bestimme den Knoten, an dem die Suche beginnen soll 2 Rufe Beschränkte Tiefensuche mit der aktuellen Suchtiefe auf 3 Erhöhe die Suchtiefe um 1 und gehe zu Schritt 2 Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

37 Suche im Graph Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

41 Suche im Graph Eigenschaften Verbesserung der Tiefensuche Kombination aus Tiefensuche und Breitensuche Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

42 Suche im Graph Eigenschaften Verbesserung der Tiefensuche Kombination aus Tiefensuche und Breitensuche Vorteile Vermeidet Problem der Vollständigkeit durch Begrenzung der Suchtiefe Gleicher Speicherplatzverbauch wie bei der rekursiven Tiefensuche Etwas höhere Laufzeit als bei der rekursiven Tiefensuche Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

43 Topologische Sortierung Topologische Sortierung Ziel Durch topologische Sortierung kann man 2 Ziele erreichen Vollständige Ordnung über die Knoten Einen Graphen auf Zyklen testen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

44 Topologische Sortierung Topologische Sortierung Ziel Durch topologische Sortierung kann man 2 Ziele erreichen Vollständige Ordnung über die Knoten Einen Graphen auf Zyklen testen DAG Ein DAG ist ein directed acyclic graph Bei gerichteten Graphen kann man den Pfeil als eine Beziehung lesen Auf diese Beziehungen wird eine vollständige Ordnung erstellt Bsp.: A kommt vor B Graph muss azyklisch sein Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

45 Topologische Sortierung Topologische Sortierung Eine topologische Sortierung eines DAG G = (V, E): Abbildung ord : V {1,..., n} mit n = V So dass mit (v, w) E auch ord(v) < ord(w) gilt Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

46 Topologische Sortierung Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

49 Topologische Sortierung Topologische Sortierung durch Tiefensuche Tiefensuche muss nur wenig erweitert werden Vor dem Rückkehren aus einem rekursiven Aufruf legt man den aktuell betrachteten Knoten auf einen Stack Hat man alle Knoten besucht, liegen sie topologisch sortiert auf dem Stack Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

50 Topologische Sortierung Topologische Sortierung durch Tiefensuche Tiefensuche muss nur wenig erweitert werden Vor dem Rückkehren aus einem rekursiven Aufruf legt man den aktuell betrachteten Knoten auf einen Stack Hat man alle Knoten besucht, liegen sie topologisch sortiert auf dem Stack Andere Möglichkeit Ausnutzen der Eigenschaft, dass ein DAG mindesten einen Knoten ohne Vorgänger hat topologische Sortierung azyklischer Graph Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

51 Topologische Sortierung ord[knotentyp]; var lfd.nr. : 0..knotenzahl; Gradnull: stack of knotentyp; Eingrad: array[knotentyp] of 0..knotenzahl-1; setze Eingrad[v] auf den Eingangsgrad von v in G, für alle v V ; übernimm alle Knoten v V mit Eingangsgrad 0 nach Gradnull; lfd.nr := 0; while Gradnull do begin wähle v Gradnull; entferne v aus Gradnull; erhöhe lfd.nr. um 1; ord[v] := lfd.nr.; for all (v,w) E do begin erniedrige Eingrad[w] um 1; if Eingrad[w] = 0 then füge w zu Gradnull hinzu; end; end; if lfd.nr. = knotenzahl then G ist zyklenfrei else G hat zyklen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

52 Zusammenhang in Graphen Zusammenhang in Graphen Der Zusammenhang eines Graphen sagt viel über die Struktur aus Es gibt verschiedene Arten von Zusammenhang in einem Graph Durch Algorithmen basierend auf Tiefen- oder Breitensuche kann das untersucht werden Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

53 Zusammenhang in Graphen einfacher Zusammenhang Ein ungerichteter Graph ist einfach zusammenhängend, wenn es einen Weg von jedem Knoten zu jeden anderen Knoten im Graph gibt Eine einfache Zusammenhangskomponente eines ungerichteten Graphen G ist ein einfacher zusammenhängender Untergraph von G Eine einfache Erweiterung einer Tiefensuche findet alle zusammenhangskomponenten eines Graphen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

54 Zusammenhang in Graphen int val[maxv]; int id = 0; struct node{ int v; struct node *next; }; struct node* adj[maxv]; int inval[maxv]; dfs(){ int k,h; for(k = 1; k <= V; k++) val[k] = 0; for(k = 1; k <= V; k++) if(val[k] == 0){ h = id; visit(k); inval[h+1] *= -1; } } visit(int k){ struct node *t; val[k] = ++id; inval[id] = k; for(t = adj[k]; t!= 0; t = t->next) if(val[t->v] == 0) visit(t->v); } Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

55 Zusammenhang in Graphen int val[maxv]; int id = 0; struct node{ int v; struct node *next; }; struct node* adj[maxv]; int inval[maxv]; dfs(){ int k,h; for(k = 1; k <= V; k++) val[k] = 0; for(k = 1; k <= V; k++) if(val[k] == 0){ h = id; visit(k); inval[h+1] *= -1; } } visit(int k){ struct node *t; val[k] = ++id; inval[id] = k; for(t = adj[k]; t!= 0; t = t->next) if(val[t->v] == 0) visit(t->v); } Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

56 Zusammenhang in Graphen adj[] ist eine Adjazenzliste der Knoten Eigentlich eine ganz normale Tiefensuche Mit Ausgabe nach visit(k) könnte man die Zusammenhangskomponenten getrennt ausgeben Besser aber inval[] für späteres Verarbeiten. val[v] gibt die Reihenfolge der Knoten an, in der sie besucht worden sind inval[] ist das inverse Feld dazu. Darin sind Knoten aus der selben Zusammenhangskompopnente benachbart Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

57 Zusammenhang in Graphen zweifacher Zusammenhang Ein ungerichteter Graph ist zweifach zusammenhängend, wenn nach dem Entfernen eines beliebigen Knotens v aus G der verbleibende Graph G-v zusammenhängend bleibt Eine zweifache Zusammenhangskomponente eines ungerichteten Graphen G ist ein zweifach zusammenhängender Untergraph von G Ein Artikulationspunkt in einem zusammenhängenden Graphen ist ein Knoten, der, wenn er gelöscht würde, den Graph in zwei oder mehr einfache Zusammenhangskomponenten zerbrechen lassen würde Eine Brücke in einem zusammenhängenden Graphen ist eine Kante, die, wenn sie gelöscht würde, den Graph in zwei einfache Zusammenhangskomponenten zerbrechen lassen würde Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

58 Zusammenhang in Graphen Gelenkpunkte: A, G, H und J zweifache Zusammenhangskomponenten {A,C,G,D,E,F}, {G,J,L,M}, {B}, {H}, {I}, {K} Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

59 Zusammenhang in Graphen Finden der Artikulationspunkte Wieder bedient man sich der Tiefensuche, um das Problem zu lösen und folgender Aussage: Ein Knoten x ist kein Artikulaionspunkt, falls es für jeden Nachfolger y einen weiter unten im Baum befindlichen Knoten gibt, der (über eine gestrichelte Verbindung) mit einem oberhalb von x im Tiefensuchbaum befindlichen Knoten verbunden ist. Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

60 Zusammenhang in Graphen int visit(int k){ struct node *t; int m, min; val[k] = ++id; min = id; for(t = adj[k]; t!= 0; t = t->next){ if(val[t->v] == 0){ m = visit(t->v); if(m < min) min = m; if(m >= val[k]) printf("%c ", name(k)); } else if(val[t->v] < min) min = val[t->v]; } return min; } Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

61 Zusammenhang in Graphen Ausgabe der Artikulationspunkte visit() bestimmt rekursiv den höchsten Punkt im Baum, der (über eine gestrichelte Verbindung) von irgendeinem Nachfolger des Knotens k erreicht werden kann, und verwendet diese Information, um zu bestimmen, ob k ein Artikulationspunkt ist. Die Artikulationspunkte werden einfach ausgegeben Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

62 Zusammenhang in Graphen Ausgabe der Artikulationspunkte visit() bestimmt rekursiv den höchsten Punkt im Baum, der (über eine gestrichelte Verbindung) von irgendeinem Nachfolger des Knotens k erreicht werden kann, und verwendet diese Information, um zu bestimmen, ob k ein Artikulationspunkt ist. Die Artikulationspunkte werden einfach ausgegeben Problem: Dieser Test kann nicht auf die Wurzel des Tiefensuchbaums angewendet werden. Aber: Wurzel ist Artikulationspunkt, wenn sie 2 oder mehr Nachfolger im Tiefensuchbaum besitzt Wurzel des Tiefensuchbaums ist erster Aufruf von visit() für eine einfach Zusammenhangskomponente Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

63 Zusammenhang in Graphen starker Zusammenhang Ein gerichteter Graph ist stark zusammenhängend, wenn es einen Weg von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten im Graph gibt Eine starke Zusammenhangskomponente eines gerichteten Graphen G ist ein stark zusammenhängender Untergraph von G Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

64 Zusammenhang in Graphen Starke Zusammenhangskomponenten: {A,C,G,J,L,M}, {D,E,F}, {H,I}, {B}, {K} Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

65 Zusammenhang in Graphen Algorithmus Entworfen von R. E. Tarjan im Jahre 1972 Erster Algorithmus für dieses Problem der in linearer Zeit abläuft Basiert wieder auf der Tiefensuche Ist der Suche nach Artikulationspunkten sehr ähnlich Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

66 Zusammenhang in Graphen int visit(int k){ struct node *t; int m, min; val[k] = ++id; min = id; stack[p++] = k; for(t = adj[k]; t!= 0; t = t->next){ m = (!val[t->v])? visit(t->v) : val[t->v]; if(m < min) min = m; } if(min == val[k]){ while(stack[p]!= k){ printf(" %c ",name(stack[--p])); val[stack[p]] = V+1; } printf(" \n"); } return min; } Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

67 Zusammenhang in Graphen Algorithmus Verwendet die gleiche Berechnung von min, um den höchsten Knoten im Baum zu finden und gibt diesen zurück Legt die Namen der Knoten auf einen Stack und gibt sie nach Besuchen des letzten Elements der Komponente aus Entscheidende Stelle ist min == val[k]: alle Knoten, die seit Eintritt in die Schleife angetroffen wurden (mit Ausnahme der bereits ausgegebenen), gehören zur selben Komponente wie k Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

68 Zusammenhang in Graphen Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56

78 Zusammenhang in Graphen Literatur Algorithmen in C, von Robert Sedgewick Algorithmen und Datenstrukturen, von T. Ottmann / P. Widmayer Graphenalgorithmen (Hallo Welt! 2006), von Philipp Kutzer Simon Regnet (Universität Erlangen) Graphalgorithmen I May 16, / 56