Zu diesem Abschnitt ist das Buch von Adams [Ada75, AF03] zu empfehlen.

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1 Kapitel 4 Sobolev Räume Zu diesem Abschnitt ist das Buch von Adams [Ada75, AF3] zu empfehlen. 4. Elementare Ungleichungen Viele Ungleichungen der Analysis lassen sich aus einem einfachen geometrischen Argument ableiten. Lemma 4. Sei f : R + {} R eine stetige und streng monoton wachsende Funktion mit f() = und f(x) für x. Dann gilt für alle a, b R + {} Beweis: y b ab a f(x) dx + b f (y) dy. f Das Intervall (, a) wird auf der x Achse abgetragen und das Intervall (, b) auf der y Achse. Dann sind ab der Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks, a f(x) dx die Fläche unterhalb der Kurve und b f (y) dy die Fläche zwischen der positiven y Achse und der Kurve. Damit ist die Ungleichung bewiesen. Gleichheit tritt genau dann auf, wenn f(a) = b gilt. Die Young sche Ungleichung a x ab ε a + ε b a, b, ε R + erhält man aus diesem Lemma mit f(x) = εx, f (y) = ε y. Sie lässt sich auch direkt mit der Binomischen Formel beweisen. Zum Beweis der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung Young ab εp p ap + qε q bq, a, b, ε R + 9

2 mit p + q =, p, q (, ) wählt man f(x) = x p, f (y) = y /(p ) und wendet das obige Lemma auf die Intervalle mit den Grenzen εa und ε b an. Die Cauchy Schwarz 3 Ungleichung (x, y) x y x, y R n ist bereits bekannt. Man kann sie mit Hilfe der Youngschen Ungleichung beweisen. Dazu stellt man zunächst fest, dass die Cauchy Schwarz Ungleichung richtig ist, falls einer der beiden Vektoren verschwindet. Seien x, y mit x = y =. Man erhält aus der Youngschen Ungleichung n n (x, y) = x i y i x i y i n x i + n y i =. Damit gilt die Cauchy Schwarz Ungleichung für x, y. Sind x, ỹ beliebig, nutzt man die Homogenität der Cauchy Schwarz Ungleichung aus. Aus der Gültigkeit der Cauchy Schwarz Ungleichung für x und y folgt durch Skalierung ( x x, ỹ ỹ) }{{}}{{} x y Die beiden Vektoren x, y haben die Norm. Also x ỹ ( x, ỹ). Das war zu beweisen. Die verallgemeinerte Cauchy Schwarz Ungleichung ( n ) /p ( n ) /q (x, y) x i p y i q mit p + q =, p, q (, ) beweist man auf dem gleichen Wege mit Hilfe der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung. Lemma 4. Höldersche Ungleichung. Sei p + q =, p, q (, ). Wenn u L p () und v L q (), dann ist uv L () und es gilt uv L () u L p () v L q (). (Für p = q = wird dies Cauchy Schwarz Ungleichung genannt.) Beweis: Man muss zunächst zeigen, dass uv durch eine integrierbare Funktion abgeschätzt werden kann. Man setzt in der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung ε =, a = u(x) und b = v(x). Dann folgt u(x)v(x) p u(x) p + q v(x) q. Da die rechte Seite dieser Ungleichung nach Voraussetzung integrierbar ist, ist uv L () gezeigt. Auch die Höldersche Ungleichung ist bereits für den Fall u L p () = v L q () = durch diese Ungleichung bewiesen u(x)v(x) dx u(x) p dx + v(x) q dx =. p q Augustin Louis Cauchy ( ) 3 Schwarz 3

3 Die allgemeine Ungleichung folgt nun durch ein Homogenitätsargument wie bei der Cauchy Schwarz Ungleichung für den Fall dass beide Funktionen nicht fast überall verschwinden. Im Fall, dass eine Funktion fast überall verschwindet, ist die Ungleichung trivialerweise erfüllt. 4. Definition und Eigenschaften der Sobolev Räume W k,p () Es werden jetzt neue Banach 4 Räume von Funktionen eingeführt. Dies sind Räume von k fach distributionell differenzierbaren Funktionen mit Ableitungen in L p (). Definition 4.3 Sobolev 5 Räume. Für k N, p [, ] wird der Sobolev Raum W k,p () wie folgt definiert W k,p () := {u L p () : D α u L p () α mit α k}. Diese Räume sind ausgestattet mit der Norm u W k,p () := D α u L p (). (4.) α k Damit ist folgendes gemeint. Aus u L p (), p [, ), folgt insbesondere u L loc (). Damit definiert u eine Distribution. Dann existieren auch die Ableitungen D α u als Distributionen. Mit der Aussage D α u L p () ist gemeint, dass die Distribution D α u D durch eine Funktion in L p () dargestellt werden kann. Elemente in W k,p () kann man addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Das Ergebnis ist wieder eine Funktion in W k,p (). Damit ist W k,p () ein Vektorraum. Man rechnet leicht nach, dass (4.) tatsächlich eine Norm ist. Übungsaufgabe Es sind D α u(x) = u(x) für α = (,..., ) und W,p () = L p (). Nun wird untersucht, ob W k,p () vollständig ist. Dazu betrachten wir eine Cauchy Folge {u j } W k,p (). Aus der Normdefinition (4.) folgt, dass {u j } eine Cauchy Folge in L p () ist und da dieser Raum vollständig ist, besitzt sie einen Grenzwert u L p (). Ebenso sind auch die Folgen aller Ableitungen {D α u j } Cauchy Folgen in L p () und besitzen dort Grenzwerte u α. Wegen der Vertauschbarkeit von Ableitung und Distributionskonvergenz, (3.5), gilt D α u j D α u in D. Da nach Konstruktion D α u j u α, ist die Distributionsableitung D α u darstellbar durch die L p () Funktion u α. Damit ist u W k,p (). Satz 4.4 Dichtheit von C () in W k,p (). Seien R d offen und f W k,p (), p [, ). Dann gelten i) Für mit dist(, ) > und eine Dirac Folge {ψ j } C () konvergieren die Funktionen f j := f ψ j C ( ) f f j W k,p ( ). ii) Für allgemeines gibt es Funktionen f j C () W k,p () mit f f j W k,p (). 4 Banach 5 Sobolev 3

4 Beweis: Siehe Literatur, zum Beispiel [Alt99], Satz., Satz., [Ada75], Lemma 3.5. Dieser Satz erlaubt es, die Sobolevräume als Vervollständigung der Funktionen aus C () bezüglich der Norm (4.) von W k,p () zu charakterisieren. Definition 4.5 Der Sobolev Raum W k,p () ist der Abschluss von C Norm von W k,p () Bemerkung 4.6 W k,p () = C () W k,p (). () in der. Sei Omega ein Gebiet mit hinreichend glattem Rand. Für die dualen Räume der Lebesgue Räume L p (), p [, ] gilt (L p ()) = L q () mit p, q (, ), ( L () ) = L (), (L ()) L (). p + q =, Die Räume L (), L () sind nicht reflexiv.. Die Sobolev Räume sind: - Banach Räume (vollständig und normiert), - separabel (besitzen eine abzählbare Basis), - uniform konvex für p (, ), d.h. für jedes ε (, ] gibt es ein δ(ε) > so, dass falls für u, v X mit u X = v X = und u v X > ε gilt, dass u+v X δ(ε). v u+v u - reflexiv (der duale Raum des dualen Raums kann mit dem ursprünglichen Raum identifieziert werden) für p (, ). 3. Der Sobolev Raum H k () = W k, () ist ein Hilbert Raum mit dem Skalarprodukt (u, v) H k () = D α u(x)d α v(x) dx. α k 3

5 4.3 Die Spur (Verallgemeinerte Randfunktion) Satz 4.7 Spursatz. Sei R d, d, mit Lipschitz Rand. Dann besitzen die Funktionen u W,p (), p [, ), Randwerte in folgendem Sinne. Es gibt genau einen linearen stetigen Operator γ : W,p () L p (), der für Funktionen u C() W,p () die klassischen Randwerte liefert Das heißt γu(x) = u(x) x. g(x) := γu(x) = u(x), x, u C() W,p (). Da ein linearer und stetiger Operator beschränkt ist, gibt es eine Konstante C > mit g L p () = γu L p () C u W,p () u W,p () oder γ L(W,p (),L p ()) C. Der Operator γ wird Spuroperator (trace operator) genannt. Für u C() erhält man die klassischen Randwerte. Für alle anderen Funktionen u W,p () gibt es eine Folge {u k } C() mit u k u in W,p (), Satz 4.4. Die Spur von u ist definiert als γu = lim k (γu k ). Es gelten γu(x) = u W,p (), γd α u(x) = u W k,p (), α k. 4.4 Sobolev Räume mit nichtganzzahligem und negativem Exponenten Sei R d ein Gebiet und p (, ) mit p + q =. Definition 4.8 Der Raum W k,q (), k N, k, ist wie folgt definiert mit W k,q () = {ϕ(x) D () : ϕ W k,q < } ϕ W k,q = sup u D(),u ϕ, u u W k,p () [, Lemma 4.9 Es gilt W k,q () = W k,p ()] das heißt, W k,q () kann mit dem dualen Raum zum W k,p () identifiziert werden. Es gilt... W,p () W,p () L p () W,q () W,q ()... Definition 4. Sei s R. Der Sobolev Slobodeckij 6 Raum H s () ist wie folgt definiert: - H s () = W s, (), s Z, 6 Slobodeckij. 33

6 - s > mit s = k + σ, σ (, ) u H s = u H k + u k+σ (u, v) H s = (u, v) H k + (u, v) k+σ, u k+σ = (u, u) k+σ (u, v) k+σ = (D α u(x) D α u(y)) (D α v(x) D α v(y)) x y d+σ α =k - s < : H s () = [ H s ()] mit H s () = C () H s. dxdy, 4.5 Satz über äquivalente Normierungen Definition 4. Zwei Normen und heißen auf dem linearen Raum X äquivalent, wenn Konstanten C, C existieren mit C u u C u u X. Viele wichtige Eigenschaften, wie Stetigkeit und Konvergenz, ändern sich beim Übergang zu einer äquivalenten Norm nicht. Satz 4. Sei R d eine Gebiet mit C, Rand, p [, ], k =,,.... Das System {f i } l sei ein System von Halbnormen, d.h. ) f i : W k,p () R + {}, ) C i > mit f i (v) C i v W k,p (), v W k,p (), { } 3) gilt für v P k = α k C αx α, dass f i (v) =, i =,..., l, dann ist v. Dann sind die Norm W k,p () und die Norm äquivalent. u W k,p () := u W k,p () = ( l /p f p i (u) + u p W ()) mit k,p α =k D α u(x) p dx Bei Halbnormen muss aus f i (v) = nicht v = folgen. Beispiel 4.3 Im W,p () sind die folgenden Normen äquivalent zur Standardnorm: ( a) u p /p W,p () = u dx + u p W ()),,p ( b) u p /p W,p () = u ds + u p W ()),,p ( /p c) u W,p () = u p ds + u p W ()).,p In W k,p () ist ( k u W k,p () = i= i u n i 34 p /p ds + u p W k,p () ) /p

7 zur Standardnorm äquivalent. Hierbei ist n die Außennormale an mit n =. In W k,p () wird die Voraussetzung der Glattheit des Randes nicht mehr benötigt. Es gilt u W k,p () = u W k,p (), das heißt in den Räumen W k,p () ist die Standardhalbnorm äquivalent zur Standardnorm. Insbesondere gilt für u H () (k =, p = ) C u H () u L () C nouh (). Daraus folgt insbesondere, dass es eine Konstante C > gibt mit u L () C u L () u H (). (4.) 4.6 Einige Ungleichungen in Sobolev Räumen Nun soll unter anderem das Ergebnis des letzten Beispieles verallgemeinert werden, indem gezeigt wird, dass man für eine Ungleichung vom Typ (4.) nicht mehr benötigt, dass die Spur der Funktionen auf dem gesamten Rand verschwindet. Sei R d ein Gebiet mit Rand und mit meas R d ( ) = ds >. Wir betrachten den Raum mit p [, ). V = { v W,p () : v = } W,p () falls, V = W,p () falls = Lemma 4.4 Friedrichs 7 Ungleichung, Poincaré 8 Ungleichung, Poincaré Friedrichs Ungleichung. Seien p [, ) und meas R d ( ) >. Dann gilt für alle u V u(x) p dx C P u(x) p dx. Beweis: Wir zeigen die Ungleichung mit Hilfe des Satzes 4. über äquivalente Normierungen. Sei f (u) : W,p () R + {} mit Diese Funktion erfüllt: ) f (u) ist eine Halbnorm. ) Es gilt ( f (u) = u(s) p ) /p ds. ( ) /p ( f (u) = u(s) p ds u(s) p = u L p () = γu L p () C u W.,p ) /p ds Die letzte Abschätzung folgt aus der Stetigkeit des Spuroperators. 7 Friedrichs 8 Poincaré 35

8 3) Sei v P, d.h. eine Konstante. Dann folgt aus ( = f (v) = v(s) p ) /p ds = v (meas ( Rd )) /p, dass v = ist. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes über äquivalente Normierungen erfüllt. Es gibt also zwei Konstanten C, C mit ) /p C u(s) ( p ds + u(x) p dx }{{} u W,p Insbesondere gilt u(x) p dx + oder u W,p C u W,p ( u(x) p dx Cp u(s) p ds + ) u(x) p dx C P u(s) ( p ds + u(x) p dx u W,p (). u(x) p dx ) mit C P = C p. Da u V auf verschwindet, folgt die Behauptung des Lemmas. Auf V wird damit W,p zu einer zu W,p äquivalenten Norm. Die klassische Friedrichs oder Poincaré Ungleichung ist für = und für p = gegeben: u L C P u L u H (), wobei die Konstante nur vom Durchmesser des Gebiets abhängt. Lemma 4.5 Sei mit meas R d ( ) = dx >. Dann gilt für alle u W,p () die Ungleichung ( u(x) p p ) dx C u(x) dx + u(x) p dx. Beweis: Es wird wiederum der Satz 4. über äquivalente Normierungen genutzt, diesmal mit f : W,p () R + {}, f (u) = u(x) dx. Es gilt: ) f (u) ist eine Halbnorm. ) Mit der Hölderschen Ungleichung folgt ) /p f (u) = u(x) dx (meas R d ( )) /q u(x) ( p dx ( /p (meas R d ( )) /q u(x) dx) p (meas R d ( )) /q u W,p (). 3) Sei v P, d.h. eine Konstante. Dann folgt aus = f (v) = v dx = v meas R d ( ) = v = = v(x). Damit ist das Lemma bewiesen. 36

9 4.7 Der Gaußsche Satz In diesem Abschnitt wird untersucht, inwieweit der Gaußsche Satz auch für Funktionen aus Sobolev Räumen gilt. Satz 4.6 Satz von Gauß. Sei R d, d, ein Gebiet mit einem C, Rand. Dann gilt die sogenannte Bilanzidentität i u(x) dx = u(s)n i (s) ds, n Einheitsaußennormale an, für alle u W, (). Beweis: Die Behauptung wurde für Funktionen aus C () im Satz.8 bewiesen. Der Raum C () liegt dicht in W, (), Satz 4.4, das heißt, für alle u W, () gibt es eine Folge {u m } m= C () mit lim u u m m W, =, insbesondere lim i u m (x) dx = i u(x) dx. m Aus der Stetigkeit des Spuroperators erhalten wir woraus folgt lim u u m m L () C lim u u m m W, =, lim u m (s) ds = u(s) ds m und da die Normale n bei einem C, Gebiet fast überall stetig ist u m (s)n i (s)ds = u(s)n i (s) ds. lim m Das beweist die Behauptung. Durch Addition erhält man Folgerung 4.7 Sei u(x) ( W, () ) d ein Vektorfeld. Dann gilt die Bilanzidentität u(x) dx = u(s) n(s) ds. Folgerung 4.8 Partielle Integration. Seien u W,p () und v W,q () mit p (, ), p + q =. Dann gilt i u(x)v(x) dx = u(s)v(s)n i (s) ds u(x) i v(x) dx. Beweis: Übungsaufgabe. Folgerung 4.9 Erste Greensche Formel. Es gilt u u(x) v(x) dx = (s)v(s) ds n für alle u H (), v H (). u(x)v(x) dx 37

10 Beweis: Nach Hölderscher Ungleichung ist i uv W, (). Nun geht es im Prinzip weiter wie im Beweis der vorangegangenen Folgerung, wobei man noch aufsummieren muss. Die erste Greensche Formel ist die Formel der einmaligen partiellen Integration. Das Randintegral kann man äquivalent in der Form u(s) n(s)v(s) ds schreiben. Die Formel der zweimaligen partiellen Integration nennt man zweite Greensche Formel. Folgerung 4. Zweite Greensche Formel. Es gilt u v u(x)v(x) v(x)u(x) dx = (s)v(s) (s)u(s) ds n n für alle u, v H (). 4.8 Einbettungssätze und Sobolev-Ungleichungen Das erste Lemma gibt Auskunft über Sobolev Räume mit gleicher Integrationspotenz p aber unterschiedlichem Grad der Ableitung. Lemma 4. Seien R d ein Gebiet, p [, ), k m, dann gilt W m,p () W k,p (). Beweis: Folgt unmittelbar aus der Defintion der Räume. Beim nächsten Lemma ist der Grad der Ableitung gleich, aber die Integrationspotenz ist unterschiedlich. Lemma 4. Seien R d ein beschränktes Gebiet, k und p, q [, ] mit q > p. Dann gilt W k,q () W k,p (). Beweis: Übungsaufgabe. Das nächste Lemma ist über Sobolev Räume mit gleicher Integrationspotenz und gleichem Ableitungsordnung, aber auf ineinandergeschachtelten Gebieten. Lemma 4.3 Seien R d ein Gebiet mit einem C, Rand, k und p [, ]. Dann existiert eine Abbildung E : W k,p () W k,p (R d ) mit a) Ev = v, b) Ev W k,p (R d ) v W k,p (). Die natürliche Einschränkung e : W k,p (R d ) W k,p () ist also möglich und es gilt ev W k,p () ev W k,p (R d ). Satz 4.4 Sobolev Ungleichung. Seien R d ein Gebiet mit einem C, Rand, k und p [, ) mit k d für p =, k > d/p für p >. Dann existiert eine Konstante C so, dass für alle u W k,p () gilt u L () C u W k,p (). In der L () Äquivalenzklasse von u ist sogar eine stetige Funktion enthalten. 38

11 Der Satz besagt, dass jede Funktion mit genügend vielen schwachen Ableitungen (die Anzahl hängt von der Dimension von und der Integrierbarkeit der Potenzen der schwachen Ableitungen ab) als stetige, beschränkte Funktion betrachtet werden kann. Man sagt, W k,p () ist in C() eingebettet. Wendet man den Satz auf Ableitungen von Funktion an, erhält man beispielsweise die Einbettung W k,p () C s () für (k s)p > d, p >. Weitere Einbettungen findet man in [Ada75]. Beispiel 4.5 Sei d = und ein beschränktes Intervall. Dann ist jede Funktion des H () (k =, p = ) bereits stetig in. Beispiel 4.6 Für d sind die Funktionen aus H () im allgemeinen nicht mehr stetig. Dazu wird ein Beispiel konstruiert. Seien = {x R d : x < /} und f(x) = ln ln x. Für x < / ist ln x = ln x und es folgt für x Für p d erhalten wir f x i i f = ln x x p x i = x i p x }{{ x } ln x }{{ } e x i = x x ln x. p d x ln x, da d p = (die Abschätzung des zweiten Faktors erhält man beispielsweise mit einer Kurvendiskussion). Damit folgt (Übergang in sphärische Koordinaten, ρ = e t ) i f p dx dx / x d ln x = ρ d d S d ρ d ln ρ d dρdω = meas ( S d ) / dρ ρ ln ρ d = meas ( S d ) ln dt t d < weil d. Es gilt damit i f L p () mit p d. Analog beweist man f L p () mit p d. Also gilt f W,p () mit p d. Es gilt jedoch f L (). Dieses Beispiel zeigt, dass die Bedinungung k > d/p für p > scharf ist. Insbesondere haben wir für p = dass aus f H () im allgemeinen nicht f C() folgt. 39

12 Beispiel 4.7 Auch die Bedingung, dass einen Lipschitz Rand besitzt ist wichtig. Betrachte dazu = {(x, y) R : < x <, y < x r, r > }, siehe Abbildung für r =..5 Gebiet ohne Lipschitz-Rand in (,) Für u(x, y) = x ε/p, < ε < r gilt ( x u = x ε/p ε ) = C(ε, p)x ε/p, y u =. p Damit ist α = D α u p dxdy = C(ε, p) x ε p dxdy = C(ε, p) = C(ε, p) ( x r x ε p x r x ε p+r dx. Dieser Wert ist endlich für ε p + r > bzw. für p < + r ε. Wählt man r ε >, so ist u W,p (). Für ε > ist u aber in unbeschränkt, also u L (). Die unbeschränkten Funktionswerte werden beim Integrieren dadurch kompensiert, dass das Gebiet in der Umgebung der singulären Stelle (, ) ein sehr kleines Maß besitzt. Für = R d gilt die Sobolev Ungleichung nicht. dy ) dx 4