Analysis in einer Variable für LAK SS Priv.-Doz. Dr.(USA) Maria Charina

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1 Analysis in einer Variable für LAK SS 2018 Priv.-Doz. Dr.(USA) Maria Charina

2 Analysis in einer Variable für LAK SS 2018 Priv.-Doz. Dr.(USA) Maria Charina Analysis ist die Theorie der Differential- und Integralrechnung, die Sprache der Natur- und Wirtschaftswissenschaftler, - ein wesentlicher Teil unseres Alltagslebens von Mobiltelefonen, Computerspielen und Bankkonten bis zu Medizin, Robotern und autonomem Fahren.

3 Analysis in einer Variable für LAK SS 2018 Priv.-Doz. Dr.(USA) Maria Charina Es geht eigentlich um Zahlen und Abbildungen... und um die exakte Begründung des Schulwissens.

4 Mathematik ist eine internationale Sprache: 1+1 =...?

5 Mathematik ist eine Struktur: ohne Struktur ist man verloren.

6 Analysis (Vokabular+Struktur) nach A.-L. Cauchy ( ): Was ist eine Reihe? Antwort: Ein Grenzwert. Wie überprüft man Stetigkeit? Antwort: Mit Hilfe eines Grenzwertes. Was ist eine Ableitung? Antwort: Ein Grenzwert. Was ist ein Integral? Antwort: Ein Grenzwert. Was ist ein Grenzwert? Antwort: Eine Zahl. Was ist eine Zahl?

7 Zum Rechnen braucht man einen Körper. 1.1 Def: (Körper ist eine Struktur: Menge, Addition, Multiplikation und (1)-(9)) Menge K mit + : K K K und : K K K heißt Körper, falls (1) x,y,z K : (x +y)+z = x +(y +z) (Klammern sind überflüssig). (2) 0 K : x K : x +0 = 0+x = x (Das neutrale Element bzgl. +). (3) x K : x K : x x = x +x = 0 (Das inverse Elment von x bzgl. +). (4) x,y K : x +y = y +x (Reihenfolge ist nicht wichtig). (5) x,y,z K : (x y) z = x (y z) (Klammern sind überflüssig). (6) 1 K : x K : x 1 = 1 x = x (Das neutrale Element bzgl. ). (7) x K : 1 x K : x 1 x = 1 x x = 1 (Das inverse Element von x bzgl. ). (8) x,y K : x y = y x (Reihenfolge ist nicht wichtig). (9) x,y,z K : x (y +z) = x y +x z (Verträglichkeit von + und ; Klammern und Reihenfolge sind wichtig). Alle weiteren Rechenregeln für Gleichungen folgen aus Def.1.1.

8 Zum Rechnen und Ordnen braucht man einen geordneten Körper. 1.3 Def: (Geordeneter Körper ist eine Struktur: Körper (K, +, ), < und (1)-(4)) Ein Körper (K,+, ) heißt geordnet, falls (1) x,y,z K : (x < y y < z) x < z. (2) x,y K : (x < y x = y) x > y (entweder x < y,x = y oder x > y). (3) x,y,z K : x < y x +z < y +z. (4) x,y K : (x > 0 y > 0) x y > 0. Alle weiteren Rechenregeln für Ungleichungen folgen aus Def.1.3. Bemerkungen: Aus (1)-(2) die Relation < ist eine totale Ordnung auf K. (3)-(4) beschreiben die Verträglichkeit von +, und <.

9 Zum Rechnen, Ordnen und, um unendlich kleine Zahlen aus K auszuschliessen, d.h. um zu garantieren, dass ( ε > 0 : 0 x < ε) x = 0, (1) braucht man einen archimedischen Körper. 1.5 Def: (Archimedischer Körper ist eine Struktur: geordneter Körper (K, +, ) und Archimedisches Axiom) Ein geordneter Körper (K, +, ) heißt archimedisch, falls x K : n N K : x < n }{{} Archimedisches Axiom Bemerkung: Archimedisches Axiom impliziert die Eigenschaft (1).

10 Analysis (Vokabular+Struktur) nach A.-L. Cauchy ( ): Was ist eine Folge? Antwort: Eine Abbildung. Was ist ein Abbildung? Antwort: Zahlenpaare (x,f(x)), f eine Zuordnung x f(x). Was ist eine Zahl?

11 Für die Existenz des Grenzwertes braucht man eine spezielle Abbildung, Folge a : N K. 2.2 Def: (Konvergente Folge ist eine Struktur: Folge und Grenzwert) Eine Folge a : N K konvergiert in K gegen den Grenzwert A K, falls ε > 0 : n ε N : n n ε : a(n) A < ε (2) Bemerkungen: (i) Wie versprochen, Grenzwert ist eine Zahl A K. Deshalb kann man Grenzwerte addieren, multiplizieren, ordnen (mit ). (ii) Die Eigenschaft (2) bedeutet, dass für jedes ε > 0 alle Funktionswerte a(n), n n ε im Intervall (A ε,a+ε) liegen. (iii) Falls (2) für kein A oder n ε erfüllt ist, heißt die entsprechende Folge a : N K divergent (also besitzt keinen Grenzwert) (i) entweder unbeschränkt, da jede konvergente Folge beschränkt ist, (ii) oder hat mehrere Häufungspunkte, da der Grenzwert eindeutig ist.

12 Archimedisches Axiom: neue Einsicht (i) Archimedisches Axiom x K : n N : x < n impliziert Divergenz (Unbeschränktheit) der Folge a = (n) n N, d.h. C > 0 : n N : n > C. (ii) Archimedisches Axiom impliziert (Satz 1.6 (i)) ε > 0 : n N : 0 < 1 n < ε (3) d.h. für jedes ε > 0 liegen die Zahlen 1 n, 1 n+1, 1,... im Intervall (0,ε). n+2 (3) besagt: die Folge a = ( 1 n ) n N konvergiert in K = Q gegen A = 0 Q ε > 0 : n ε N : n n ε : 0 < a(n) 0 = 1 n 1 n ε < ε

13 Reelle Zahlen (1890 v. Chr.-ca 1870): Cauchy-Folgen wollen konvergieren 2.8 Def: Eine Folge a : N K heißt Cauchy-Folge, falls ε > 0 : n ε N : m,n n ε : a(n) a(m) < ε Aber, der Grenzwert von a : N Q ist nicht immer in Q: Verfahren von Heron berechnet eine Cauchy-Folge a (von Näherungen a(n) Q an 2) a(1) = 1.5 a(5) = a(2) = a(6) = a(3) = a(7) = a(4) = Sätze von Heron, Euklid: lim n a(n) = 2 / Q Q ist unvollständig Def: Die Menge der reellen Zahlen (Äquivalenzklassen) { } R = A = [(a(n)) n N ] : a ist Cauchy Folge mit lim a(n) = A n ist die Vervollständigung von Q (mit Grenzwerten von Cauchy-Folgen). A R werden durch die Näherungen A a(n) Q beschrieben.

14 Grenzwertprozesse in den Anwendungen: Computer-Animation: Animationsfiguren (=Oberflächen) werden mit Hilfe von sogenannten Unterteilungsalgorithmen erzeugt, die Folgen von rechteckigen Gittern (Vereinigung von Rechtecken) in R 3 generieren. Diese Folge konvergiert gegen eine glatte Oberfläche (=Grenzwert). Tangente in R 3 wird zu einer Tangentialebene (eindeutige Ebene, die die Oberfläche im Punkt (x,y,z) berührt).

15 Glattheit (z.b. Differenzierbarkeit) einer Oberfläche durch Betrachtung der entsprechenden Lichtreflektionen:

16 Grenzwertprozesse in den Anwendungen: in der Computergraphik werden die Daten (Punkte auf den Graphen einer Kurve) linear verbunden. 1 c 0 [1] c 1 [1] 0.5 f [1] (t) c 2 [1] 0 c 3 [1] c 4 [1]

17 Mehr Daten (Punkte auf dem Graphen einer Kurve) werden linear verbunden. 1 c 0 [2] c 1 [2] c 2 [2] 0.5 f [2] (t) c 3 [2] 0 c 4 [2] c 8 [2] c 7 [2] c 6 [2] c 5 [2]

18 Noch mehr Daten (Punkte auf dem Graphen einer Kurve) werden linear verbunden f [3] (t) Diese Folge von Polygonzügen konvergiert gegen eine glatte Kurve.

19 Reihen sind Grenzwerte: Partialsummen s n,n = 0,1,2, der (Potenz)-Reihe ( 1) k x 2k+1 sinx = mit s 0 = x, s 1 = x x3 (2k +1)! 3!, s 2 = x x3 3! +x5 5! k=0 sind Polynome und approximieren den Graphen von sin(x) sin(x) s 0 s s

20 Stimmen, Geräusche, Töne Ton : [0,1] R, stetig, werden als (Fourier-) Reihen Ton(t) = (a k cos(2πkt)+b k sin(2πkt)) mit a k = 1 0 modelliert: k=0 Ton(t)cos(2πkt)dt, b k = 1 0 Ton(t) sin(2πkt) dt,

21 Strassen- und Schiffbau mit Splines (mit stückweisen polynomialen Kurven, die die Krümmung minimieren) Polynomstrasse 6 Wohnorte 4 Splinestrasse Krümmung von f bei x = A ist gegeben durch 1 f (A) r K = (1+(f (A)) 2 ). Fliehkraft F = m v2 r K bei Kurvenfahrt wird minimal, wenn 1 r K minimal ist.

22 Schiffoberfläche (Splineoberfläche) wird strömungsgünstig geformt