EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK

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1 EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG IHRER ANWENDUNGEN AUF GEOMETRIE, PHYSIK, NATURWISSENSCHAFTEN UND TECHNIK VON DR.PHIL.KARL STRUBECKER ORD. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE KARLSRUHE.< > " >^ BAND II: DIFFERENTIALRECHNUNG EINER REELLEN VERÄNDERLICHEN MIT 253 ABBILDUNGEN R. OLDENBOURG MÜNCHEN-WIEN 1967

2 INHALTSVERZEICHNIS Vorwort xv ZWEITER ABSCHNITT: Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen A. Begriff der Ableitung einer Funktion /(*). Ableitungsregeln 1. Das Tangentenproblem. Die Ableitung einer Funktion f(x) als Grenzwert ihres Differenzenquotienten 3 2. Ableitung der Potenzfunktion y = x* für positive ganze und rationale Exponenten n Ableitung der Funktionen 4-sin (cox + a) und ^4-cos (cox + a), insbesondere von sin x und cos x Ableitung der logarithmischeh Funktion "log x Ableitung der Exponentialfunktion A-a** Das Geschwindigkeitsproblem. Geschwindigkeit einer geradlinigen Bewegung Verallgemeinerung. Änderungsgeschwindigkeit eines zeitlichen Vorgangs Verschiedene andere Deutungen der Ableitung Das LANDAUsche Symbol o Das LANDAUsche Symbol O Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion Zerlegungssatz von J. L. LAGRANGE 53 B. Differential und Differentialquotient einer Funktion y(x). Weitere Differentialregeln 13. Differential und Differentialquotient einer Funktion y(x) Geometrische Deutung und praktische Bedeutung der Differentiale Anwendungen* des Differentials. Geschichtliche Bemerkungen Linksseitige und rechtsseitige Ableitung einer Funktion f(x) Uneigentliche (unendliche) Ableitungen,. 79

3 VIII Inhaltsverzeichnis 18. Ableitung von Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier differenzierbarer Funktionen 86 1# Beispiele und Anwendungen der Summenregel und der Produktregel Beispiele zur Quotientenregel. Ableitung von tg x und ctg x. Anwendungen Feststellung mehrfacher (reeller oder komplexer) Wurzeln einer reellen algebraischen Gleichung Befreiung einer reellen algebraischen Gleichung von mehrfachen (reellen oder komplexen) Nullstellen. Kettendivision Ableitung der Hyperbelfunktionen Zusammenfassung einiger weiterer Regeln der Differentialrechnung Berührungsgrößen von Kurven in cartesischen Koordinaten 106 C. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Kettenregel. Anwendung auf weitere Differentiationsregeln 2-6. Der.Satz von ROLLE Einige Anwendungen des Satzes von ROLLE 111 %8. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Verallgemeinerter Mittelwertsatz 121,J0. Anwendungen des Mittelwertsatzes. Der Eindeutigkeitssatz der Differentialrechnung Einige weitere Anwendungen des Mittelwertsatzes. Satz von DAR- BOUX über die Zwischenwerte der Ableitung Ableitung zusammengesetzter oder mittelbarer Funktionen. Kettenregel der Differentialrechnung Weitere Anwendungen der Kettenregel. Logarithmische Ableitung Das logarithmische Differential. Anwendung auf Fehlerrechnung Einige Beispiele zur Fehlerrechnung Die Ableitung der Umkehrfunktion Die Ableitungen der Arcusfunktionen Die Ableitungen der Areafunktionen...> Erste Verallgemeinerung der Kettenregel,t, 161 D. Zweite Verallgemeinerung der Kettenregel. Ableitung impliziter Funktionen. 40. Einführende Bemerkungen über stetige Funktionen von zwei und mehr unabhängigen Veränderlichen Partielle Ableitungen Zweite Verallgemeinerung der Kettenregel Ableitung der durch die Gleichung f(x, y) = 0 implizit definierten Funktion y = y(x)~.". 174

4 Inhaltsverzeichnis IX 44. Beispiele zur Tangentenbestimmung algebraischer und transzendenter Kurven Allgemeine Bemerkungen über elementare Funktionen und ihre Ableitungen 186 E. Differentiation von Funktionen, die durch konvergente unendliche Reihen definiert sind. Anwendungen 46>xDie als Summen von konvergenten Potenzreihen f(x) = a n x n defi- * nierten analytischen Funktionen 192 4>. Die Ableitung der durch konvergente Potenzreihen definierten analytischen Funktionen Die Ableitung der Summenfunktion F(x) einer konvergenten Reihe ' F(x) = Y, u n [x) mit differenzierbaren Gliedern u (x) Ableitung und Stammfunktion einer analytischen Funktion. Integration einer Potenzreihe Die Potenzreihenentwicklung der Funktion ln(l+a;). Berechnung einiger Logarithmen Die systematische Berechnung der Logarithmen "log x ; Die systematische Berechnung der Logarithmen zusammengesetzter Zahlen. Lineare Interpolation in Logarithmentafeln Die Potenzreihenentwicklung der Funktion arc tg x, Berechnung der Zahl 7i. EuLERsche Reihentransformation Genauere Berechnung der Zahl n 231 F. Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen,55. Einige Beispiele von stetigen aber nirgends differenzierbaren Funktionen Die überall stetigen aber nirgends eigentlich differenzierbaren Funktionen von B. BOLZANO und T. TAKAGI Einige weitere Eigenschaften der TAKAGischen Kurve 256 G. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung 58. Ableitungen höherer Ordnung, 262,59. Einige Anwendungen der höheren Ableitungen. Erste Verallgemeinerung des Satzes von ROLLE 266 fö. TAYLORsche Entwicklung eines Polynoms P(x) an einer Stelle x Mehrfache Nullstellen einer Funktion f(x). Zweite Verallgemeinerung des Satzes von ROLLE Differentiale höherer Ordnung. Höhere Differentialquotienten Allgemeine Regeln über Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung. Beispiele 276 JXk. Die physikalische Bedeutung der zweiten Ableitung. Beschleunigung 281

5 X Inhaltsverzeichnis 65. Explizite Darstellung der höheren Ableitungen von arc sin x und arc tgz Höhere Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion 288 H. Monotone und konvexe Funktionen 67. Die Bedeutung des Vorzeichens der ersten Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) Anwendungen und Beispiele Konvexe Funktionen Weitere Beispiele und Anwendungen von konvexen Funktionen Nach oben beschränkte konvexe Funktionen. Ihre Stetigkeit und einseitige Differenzierbarkeit Verallgemeinerung der Eigenschaften von konvexen Funktionen Weitere Kennzeichnungen der konvexen Funktionen Beispiele und Anwendungen. Die Ungleichungen von CAUCHY, HOLDER und MINKOWSKI Geometrische Bedeutung des Vorzeichens der zweiten Ableitung Anwendungen auf die Diskussion von Kurven y = f(x) 337 I. Elementare Theorie der Extrema 77. Absolute und relative Maxima und Minima (Extrema) einer Funktion Die elementare Theorie der relativen Extrema nach A. CAUCHY Die elementare Theorie der relativen Extrema nach LEIBNIZ Elementare Beispiele zur Bestimmung relativer Extrema Weitere einfache Extremalaufgaben 369 ff2. Einige weitere Extremalaufgaben Einige physikalische Extremalaufgaben Randextrema 390 J. Bestimmung von Grenzwerten (Theorie der unbestimmten Formen) 85. Ein Sonderfall der Regel von DE L'HOSPITAL 397 8Ä. Die Regel von DE L'HOSPITAL zur Bestimmung von Grenzwerten Beispiele und Anwendungen Erweiterungen der Regel von DE L'HOSPITAL Wiederholte Anwendung der Regel von DE L'HOSPITAL Zwei weitere Grenzwertprobleme. (Unbestimmte Formen der Gestalt O-oo und oo-oo) Beispiele und Anwendungen 430

6 Inhaltsverzeichnis XI 92. Grenzwerte von Ausdrücken der Gestalt [?>(a:)p*,t,. (Unbestimmte Formen der Gestalt 0, oo» und 1 ) Allgemeine Bemerkungen über Grenzwertbestimmungen Die verschiedenen Ordnungen des Unendlichklein-Werdens und Unendlichgroß-Werdens von Funktionen Das Rechnen mit Größen, die unendlich klein oder unendlich groß werden 455 K. Die TAYLORsche Formel 9X Zusammenhang zwischen den höheren Steigungen und höheren Ableitungen einer Funktion. CAucHYscher Mittelwertsatz für höhere Steigungen und Differenzenquotienten Beweis des Mittelwertsatzes von CAUCHY für" die höheren Steigungen einer Funktion f(x). Anwendung auf das Restglied der NEWTONschen Interpolationsformel Bestimmung des HERMiTEschen Interpolationspolynoms P(x) durch, Funktionswerte und Ableitungen an mehreren Stützstellen Ermittlung des HERMiTEschen Interpolationspolynoms mit Hilfe des Steigungsspiegels Das Restglied der HERMiTEschen Interpolationsformel Die Formel von TAYLORundihre Restglieder nach LAGRANGE, CAUCHY, ROCHE und SCHLÖMILCH Die Schmiegparabeln höherer Ordnung einer Kurve y = f(x) Anwendung auf die Parabeln dritter und vierter Ordnung Verschiedene andere Gestalten der TAYLORschen Formel und ihres Restgliedes. Die Formel von MACLAURIN Allgemeine Theorie der relativen Extrema einer Funktion f(x) Verschiedene Beispiele 499 L. TAYLORsche Entwicklung einer Funktion f(x). Anwendungen auf elementare Funktionen 1^7. Berechnung einer Funktion f(x) mittels der TAYLORschen Formel. Entwicklung einer Funktion f(x) in eine TAYLORsche Reihe 504 lq4f. Hinreichende Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion f(x) durch ihre TAYLORsche Reihe. Satz von N. S. BERNSTEIN Die TAYLORsche Reihe als Potenzreihe Die MACLAURiNschen Entwicklungen der Funktionen e* und e~ x Die MACLAURiNschen Entwicklungen der Funktionen cos x, sin x und Sof x, in x Die logarithmische Reihe Die MACLAURiNschen Entwicklungen der Funktionen arctga; und arc sin x 531

7 XII Inhaltsverzeichnis \Jkü. Die binomische Reihe (Binomialreihe) Das Verhalten der Binomialreihe an den Stellen x = +1 und x = Beispiele und Anwendungen der Binomialreihe Die BERNOULLischen Zahlen Die MACLAURiisrschen Entwicklungen der Funktionen tg x, x-ctgz, Sg x, X-&.Q x Teilbruchzerlegungen der Funktionen jrz-ctg nx und ji-tg {nx/2), ;r/sin nx und jr/cos nx Anwendungen TAYLORSche Entwicklung von 1/cos x. EuLERsche Zahlen Herleitung neuer Potenzreihenentwicklungen durch Differentiation oder Integration bekannter Entwicklungen 566 \3&. Anwendungen auf die Berechnung von Grenzwerten Anwendung auf Näherungsformeln 573 M. Graphische, instrumentelle und numerische Differentiation 125. Konstruktion der abgeleiteten Kurve y =y'[x) einer stetig differenzierbaren Funktion y = y(x) ' Ein globales Verfahren zur angenäherten graphischen Differentiation Graphische Ermittlung der Tangenten und Normalen einer Kurve Instrumentelle Ermittlung der Tangenten und Normalen einer Kurve (Derivatoren, Derivimeter) Numerische Differentiation Vorbemerkungen zum Sonderfall äquidistanter Argumente. Die Differenzenoperatoren A und E sowie V und H Numerische Differentiation bei äquidistanten Argumenten. NEWTONsche Ableitungsformeln bei absteigenden Differenzen Numerische Differentiation mittels der NEwroNschen Formeln mit aufsteigenden Differenzen Numerische Differentiation nach STIRLING und BESSEL 612 N. Numerische Lösung von Gleichungen 134. Die Regula falsi Weitere Betrachtungen zur Regula falsi. Satz von FOURIER Ein Beispiel zur Regula falsi Das Iterationsverfahren von GREGORY zur Lösung von Gleichungen Das Iterationsverfahren von GREGORY zur Lösung von Gleichungen (Fortsetzung) Anwendungen und Beispiele zum Iterationsverfahren von GREGORY Konvergenz erster und höherer Ordnung eines Iterationsverfahrens 641

8 Inhaltsverzeichnis XIII 141. Das NEWTONsche Verfahren Beispiele zum NEWTONschen Verfahren Algebraische Gleichungen. Ihre Befreiung von mehrfachen Wurzeln Einschränkung der reellen Wurzeln einer reellen algebraischen Gleichung nach MACLAURIN und LAGRANGE Die Verfahren von NEWTON und LAGUERRE zur Einschränkung der reellen Wurzeln einer reellen algebraischen Gleichung Einschränkung der reellen Wurzeln einer reellen algebraischen Gleichung nach CAUCHY Der Satz von STURM Anwendungen und Beispiele zum Satz von STURM Der Satz von BUDAN-FOURIER Die Cartesische Zeichenregel Die Ungleichungen von EULER und DE GUA Ebene Kurven 152. Stetige ebene Kurven Die Konstruktion einer PEANOschen Kurve Weitere Bemerkungen über die nach HILBERT erzeugte PEANosche Kurve Rechnerische Behandlung der HiLBERTschen Abbildung JoRDANsche Kurven Glatte Kurven Anwendungen und Beispiele Parameteränderung Parameterinvarianz des Tangentendifferentials. Bogendifferential und Bogenlänge Differentiation der Vektorprodukte Gerade und krumme Linien Mehrpunktig (von höherer Ordnung) berührende Tangenten Berührung höherer Ordnung zweier Kurven y = f(x) und y = g(x) Berührung höherer Ordnung der Kurven = %(t) und f[x, y) = Schmiegkreis einer ebenen Kurve. Evolute Einige Beispiele Schmiegkreise der Kurven y = y(x) Schmiegkreise der Kurven y* = f(x) Asymptoten ebener Kurven Geradlinige (vertikale) Asymptoten ebener Kurven Geradlinige (nicht vertikale) Asymptoten ebener Kurven 783

9 XIV Inhaltsverzeichnis Schrifttum 792 Namen- und Sachverzeichnis 795.