Formelsammlung Biometrie und Methodik

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1 Formelsammlung Biometrie und Methodik Beschreibende Statistik UnivariateDatenanalyse (Beobachtungswerte x,...,x n ) Absolute Häufigkeit n k = Anzahlder ω i mit x i = a k Relative H keit/empirische Verteilung h k = n k /n Empirische Verteilungsfunktion F n (x) = ak x h k = n Anzahlder x i mit x i x Arithmetisches Mittel x = n ix i = k h k a k Empirische Varianz σ 2 = n i(x i x) 2 = x 2 x 2 = k h k (a k x) 2 Stichprobenvarianz s 2 = n i(x i x) 2 = n n kh k (a k x) 2 Variationskoeffizient v = σ/x MultivariateDatenanalyse (Beobachtungswerte (x,y ),..., (x n,y n ) ) Absolute Häufigkeit HäufigkeitendereinzelnenMerkmale Relative H keit/empirische Verteilung h kl = n kl /n Randverteilungen Bedingte relativehäufigkeiten n kl = Anzahlder ω i mit x i = a k und y i = b l n X k = l n kl, n Y l = k n kl h X k = l h kl, h Y l = k h kl h k l = h kl /h Y l, hl k = h kl /h X k QuadratischeKontingenz χ 2 = k,l (n kl n kl ) 2 MittlerequadratischeKontingenz φ 2 = χ2 n = (h kl hk XhY l ) 2 k,l hk XhY l φ Cramérsches Kontingenzmaß C = 2 min(r,s ) = Empirische Kovarianz Korrelationskoeffizient Regressionsgerade n kl mit n kl = n nx k ny l χ 2 n min(r,s ) (wobei r, s Zeilen-/Spaltenzahl in Kontingenztabelle) c x,y = n i(x i x) (y i y) = xy x y c x,y = k l h kl (a k x) (b l y) ρ x,y = c x,y σ x σ y f(x) = ˆα + ˆβx, ˆβ = c x,y σ 2 x, ˆα = y ˆβx Für klassierte Daten gelten die Formeln zur Berechnung von Mittelwert, empirischer Varianz und Kovarianznäherungsweise,wennmanfüra k denklassenmittelpunktundfürh k dierelativehäufigkeit der Klasse einsetzt.

2 2 Wahrscheinlichkeiten Gegenereignis Additionssatz P[A tritt nicht ein] = P[A tritt ein] P[A tritt ein oder B tritt ein] = P[A tritt ein] +P[B tritt ein] P[A tritt einund B tritt ein] Bedingte W keit P[A B] = P[Aund B] P[B] = P[Aund B tretenbeideein] P[B tritt ein] Fallunterscheidung P [A] = n i= P [A H i] P [H i ] wobei H i disjunkte Fälle,von denengenau einereintritt SatzvonBayes P[H i A] = P[A H i] P[H i ] n j= P[A H j] P[H j ] = const. P[A H i] P[H i ] wobei H i disjunkte Fälle,von denengenau einereintritt Multiplikativität Unabhängigkeit P[A und B treten ein] = P[A] P[B A] = P[B] P[A B] P[A und B treten ein] = P[A] P[B] 2

3 3 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3. Diskrete Zufallsvariablen Verteilung/Massenfkt. p X (a k ) = P[X = a k ] Verteilungsfunktion F X (y) = P [X y] = ak y p X (a k ) ] ] p-quantil P [X < x (p) p P [X x (p) Erwartungswert E[X] = k a k p X (a k ) Varianz E[g(X)] = k g(a k ) p X (a k ) [ Var(X) = E (X E[X]) 2] = E [ X 2] E [X] 2 Standardabweichung σ(x) = Var(X) 3.2 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion Verteilungsfunktion Zusammenhang p-quantil Erwartungswert Varianz P[a X b] = P[a < X < b] = b a f X(x) dx F X (y) = P[X y] = y f X(x) dx f X = F X ] F X (x (p) ) = P [X x (p) = p E [X] = x f X(x) dx Standardabweichung σ(x) = Var(X) E [g(x)] = g(x) f X(x) dx [ Var(X) = E (X E[X]) 2] = E [ X 2] E [X] 2 = (x E[X])2 f X (x) dx 3.3 Rechenregeln Erwartungswert E[a X+b Y] = a E[X] +b E[Y] Varianz Var(a X) = a 2 Var(X) σ(a X) = a σ(x) Var(X +Y) = Var(X) +Var(Y) +2 Cov(X,Y) X,Y unkorreliert Var(X +Y) = Var(X) +Var(Y) Standardisierung Y = X E[X] σ(x) istzv mit E [Y] = 0 und σ(y) = 3

4 4 Spezielle Verteilungen Gleichverteilung p(a i ) = m = Anzahl der möglichen Werte (auf {a,...,a m }) Erw.wert = m+ 2, Varianz = m2 2 Empirische Verteilung (derdaten x,...,x n ) p(a k ) = rel.häufigkeit von a k unter x,...,x n Erw.wert = x n = n i x i Varianz = σ 2 n = n i (x i x n ) 2 Bernoulli (p) p() = p, p(0) = p Erw.wert = p, Varianz = p ( p) Bin(n,p) p(k) = ( n k ) pk ( p) n k (k = 0,,...,n) ( n k ) = n (n ) (n k+) k (k ) = n! k!(n k)! Erw.wert = n p, Varianz = n p ( p) Hypergeom( n, k,n) p(k) = ( k n k k ) ( n k ) (k = 0,,...,n) ( n n ) Erw.wert = n k n, Varianz = n k n n k n n n n Poisson (λ) p(k) = k! λk e λ (k = 0,,2,...) Erw.wert = λ, Varianz = λ Exp(λ) f(t) = λ e λ t für t > 0, f(t) = 0 für t 0 Erw.wert = λ, Standardabw. = λ N (0,) f(x) = 2π e x2 /2 Erw.wert = 0, Varianz = N (m, σ 2 ) f(x) = 2πσ 2 e (x m)2 /2σ 2 Erw.wert = m, Varianz = σ 2 LineareTransformationen X N(m, σ 2 ) = X +a N(m +a, σ 2 ) b X N(b m,b 2 σ 2 ) 4

5 5 Approximation von Verteilungen Poissonapproximation derbinomialverteilung Für große n und für pmit n p = λ (also p = λ/n) gilt ( n k ) pk ( p) n k k! λk e λ Gesetz dergroßenzahlen Für X,X 2,...unabh., ident.vert., E [X i ] = m,var (X i ) = σ 2 gilt: (n ) X n = n (X +X 2 + +X n ) m Anwendung aufrel.h keiten h n (a) p(a) Zentraler Grenzwertsatz Für X,X 2,...unabh., ident.vert., E ([X i ] = ) m,var (X i ) = σ 2 gilt: X n = n (X +X 2 + +X n ) N m, σ2 n fürgroße n Normalapproximation X Bin(n,p), Y = (X np)/ np( p) derbinomialverteilung P [a Y b] b a Anwendbarkeit(Faustregel) np( p) > 9 Normalapproximationfür 2π e x2 /2 dx = Φ(b) Φ(a) P [ X E[X] σ(x)] 68.2% (exaktfür X N(0,)) W keitender σ-umgebungen P [ X E[X] 2σ(X)] 95.4%(exaktfür X N(0,)) P [ X E[X] 3σ(X)] 99.7%(exaktfür X N(0,)) 5

6 6 Punktschätzer und Teststatistiken Einstichprobenproblem Statistiken Verteilungunter H 0 Schätzungdes Mittelwerts X n = n (X +X 2 + +X n ) SchätzungderVarianz S 2 n = n ( ) 2 n i= Xi X n Gauß-Statistik Z n = X n m 0 σ/ n N(0,)imGaußmodell t-statistik T = X n m 0 S n / n t(n ) imgaußmodell V-Statistik(Vorzeichentest) V =Anzahl der pos. Vorzeichen Bin(n, 0.5) bei stet. Verteilung von X i µ 0 W-Statistik (Wilcoxontest) W =Summe der Ränge der N(n(n + )/4, n(n + )(2n + )/24) pos. DifferenzenX i m 0 fürgroße n Vorauss. stet. sym. Verteilung Verb.Zweistichprobenprobl. Statistiken (U i = X i Y i ) Verteilungunter H 0 SchätzungderDiff.derMittelw. U n = X n Y n SchätzungderVarianz S 2 n = n ( ) 2 n i= Ui U n Gauß-Statistik Z n = U n σ/ n N(0,)imGaußmodell t-statistik T = U n S n / n t(n ) imgaußmodell V-Statistik(Vorzeichentest) V =Anzahl der pos. Vorzeichen Bin(n, 0.5) bei stet. Verteilung vonu i W-Statistik (Wilcoxontest) W =Summe der Ränge der N(n(n + )/4, n(n + )(2n + )/24) pos. DifferenzenU i fürgroße n Vorauss. stet. Verteilungen unterscheiden sich nur in Lage Unverb.Zweistichprobenprobl. Statistiken Verteilungunter H 0 SchätzungderMittelwerte X n = n (X +X 2 + +X n ) Y m = m (Y +Y 2 + +Y m ) ( Gepoolte SchätzungderVarianz S 2 pool = n+m 2 n ( ) 2 i= Xi X n + m ( ) 2 ) i= Yi Y m Gauß-Statistik Z n = X n Y m σ n + m N(0,)imGaußmodell t-statistik T = X n Y m S pool n + m t(n +m 2)im Gaußmodell 6

7 EinfaktorielleVarianzanalyse Statistiken Verteilungunter H 0 Schätzerfüri-tes Gruppenmittel Y i = n i n i j= Y ij (n i Dateny i,...,y ini ingruppe i) SchätzerfürGesamtmittelwert Y = n k i= n i j= Y ij (k Gruppen) = n k i= n i Y i VarianzzwischendenGruppen S 2 b = n k i= n i (Y i Y ) 2 VarianzinnerhalbderGruppen S 2 w = n k i= n ( ) i 2 j= Yij Y i F-Statistik F = (n k)s2 b (k )S 2 w F(k,n k) imgaußmodell Anpassungs-und Statistiken Verteilungunter H 0 Unabhängigkeitstest Chiquadrat-Statistik χ 2 = r l= (Anpassungstest) (n l n l ) 2 n l n l =Häufigkeit derklasse K l n l =theoretische H keit unter H 0 Chiquadrat-Statistik χ 2 (n = kl n kl ) 2 kl n kl (Unabhängigkeitstest) n kl =H keit derkombin. (a k,b l ) n kl = n nx k ny l theoret.h keit χ 2 (r ) fürgroße n χ 2 ((r ) (s )) für große n 7

8 7 Konfidenzintervalle(im Gaußmodell) Einstichprobenproblem Mittelwert beibekannter Varianz Mittelwert beiunbekannter Varianz Konfidenzintervall X n ±z α/2 σ/ n X n ±t n, α/2 S n / n VerbundenesZweistichprobenproblem Konfidenzintervall (U i = X i Y i ) DifferenzderMittelwertebei bekanntervarianz U n ±z α/2 σ/ n DifferenzderMittelwertebei unbekanntervarianz U n ±t n, α/2 S n / n Unverbundenes Zweistichprobenproblem Konfidenzintervall DifferenzderMittelwertebei bekanntervarianz X n Y m ±z α/2 σ n + m DifferenzderMittelwertebei unbekanntervarianz X n Y m ±t n+m 2, α/2 S pool n + m 8 Hypothesentests U = Teststatistik (z.b.u = Z,T,W, χ 2, etc.) u = beobachteter Wert der Teststatistik α u α TestentscheidungüberQuantile Rechtsseitige Alternative Linksseitige Alternative = Signifikanzniveau = α-quantil derteststatistik H 0 wirdverworfen, falls u > u α u < u α Beidseitige Alternative u > u α/2 oder u < u α/2 (allgemein) Beidseitige Alternative (bei symmetrischer Verteilung von U mit Mittelwert 0) u > u α/2 Testentscheidungüberp-Wert Beliebige Alternative H 0 wirdverworfen, falls α > p Berechnung des p-werts p-wert Rechtsseitige Alternative p = P H0 [U u] Linksseitige Alternative p = P H0 [U u] Beidseitige Alternative p = P H0 [ U c u c ] (bei symmetrischer Verteilung von U mit Mittelwert c) 8

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