Mathematischer Vorkurs (2017)

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1 Mathematischer Vorkurs (2017) Skript für die Natur- und Ingenieurwissenschaften Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 1 / 142

2 Mengen Kapitel 1 Mengen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 2 / 142

3 Mengen 1.1 Denition: Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heiÿen dann Elemente der Menge. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 3 / 142

4 Mengen 1.1 Denition: Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heiÿen dann Elemente der Menge. Beschreibung von Mengen durch Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {...}.... Angabe einer Eigenschaft E, die die Elemente beschreibt: {x x hat die Eigenschaft E} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 3 / 142

5 Mengen Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3,...}. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null N 0 := {0, 1, 2, 3,...}. Für alle natürlichen Zahlen k > 0 denieren wir N k := {k, k + 1, k + 2,...}. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 4 / 142

6 Mengen Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3,...}. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null N 0 := {0, 1, 2, 3,...}. Für alle natürlichen Zahlen k > 0 denieren wir N k := {k, k + 1, k + 2,...}. Die Menge der ganzen Zahlen: Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Die Menge { der rationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) Brüche: a } Q := a, b ganze Zahlen und b > 0. b Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 4 / 142

7 Mengen Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3,...}. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null N 0 := {0, 1, 2, 3,...}. Für alle natürlichen Zahlen k > 0 denieren wir N k := {k, k + 1, k + 2,...}. Die Menge der ganzen Zahlen: Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Die Menge { der rationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) Brüche: a } Q := a, b ganze Zahlen und b > 0. b Die Menge der reellen Zahlen: R. Die Menge der nicht negativen reellen Zahlen: R + = {x R x > 0}. Die Menge der komplexen Zahlen: C. Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 4 / 142

8 Mengen Schreibweisen: Ist a ein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Ist a kein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Beispiel: 1 N, 2 Z aber 3 N. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 5 / 142

9 Mengen 1.2 Denition: Mengenoperationen Es seien M und N Mengen. 1. Die Vereinigungsmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M oder in N enthalten sind. Also M N = {x x M oder x N}. 2. Die Schnittmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M und in N enthalten sind. Also M N = {x x M und x N}. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 6 / 142

10 Mengen 1.2 Denition: Mengenoperationen Es seien M und N Mengen. 1. Die Vereinigungsmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M oder in N enthalten sind. Also M N = {x x M oder x N}. 2. Die Schnittmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M und in N enthalten sind. Also M N = {x x M und x N}. 3. M heiÿt Teilmenge von N, wenn alle Elemente die in M enthalten sind auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M N oder N M. 4. Die Dierenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N enthalten sind, aber nicht in M, also N \ M := {x x N und x M}. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 6 / 142

11 Mengen 1.2 Denition: Mengenoperationen Es seien M und N Mengen. 1. Die Vereinigungsmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M oder in N enthalten sind. Also M N = {x x M oder x N}. 2. Die Schnittmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M und in N enthalten sind. Also M N = {x x M und x N}. 3. M heiÿt Teilmenge von N, wenn alle Elemente die in M enthalten sind auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M N oder N M. 4. Die Dierenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N enthalten sind, aber nicht in M, also N \ M := {x x N und x M}. 5. Ist M N so ist das Komplement von M (bezüglich N) durch M c := {x x N und x M} deniert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 6 / 142

12 Mengen 1.3 Bemerkung Es gilt in jedem Fall M M. In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel M N =, so ist N \ M = N und M \ N = M. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 7 / 142

13 Mengen 1.3 Bemerkung Es gilt in jedem Fall M M. In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel M N =, so ist N \ M = N und M \ N = M. Ist aber M N so ist N \ M = M c und M \ N =. Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M N und N M. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 7 / 142

14 Mengen Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von Venn-Diagrammen darstellen: M N M N N M M N M N M N M N M \ N Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 8 / 142

15 Mengen 1.4 Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen 1 M N = N M und M N = N M. 2 (M N) P = M (N P ) und (M N) P = M (N P ). 3 M (N P ) = (M N) (M P ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 9 / 142

16 Mengen 1.4 Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen 1 M N = N M und M N = N M. 2 (M N) P = M (N P ) und (M N) P = M (N P ). 3 M (N P ) = (M N) (M P ). 4 M (N P ) = (M N) (M P ). 5 (M c ) c = M. 6 (M N) c = M c N c und (M N) c = M c N c. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 9 / 142

17 Mengen 1.5 Denition: Kartesisches Produkt 1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M N bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit m M und n N. Also: M N = {(m, n) m M und n N}. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 10 / 142

18 Mengen 1.5 Denition: Kartesisches Produkt 1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M N bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit m M und n N. Also: M N = {(m, n) m M und n N}. Ist M G 1 und N G 2 so kann man das kartesische Produkt wie folgt darstellen: G 2 N M x N M G 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 10 / 142

19 Mengen 1.5 Denition: Kartesisches Produkt[cont.] 2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen M 1,..., M k wird analog deniert. Z.B. ist R 3 = R R R = {(x, y, z) x, y, z R} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 11 / 142

20 Mengen 1.6 Denition: Quantoren Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so schreiben wir x M : A(x), wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat in Worten: für alle x M gilt A(x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 12 / 142

21 Mengen 1.6 Denition: Quantoren Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so schreiben wir x M : A(x), wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat in Worten: für alle x M gilt A(x) und x M : A(x), wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat in Worten: es gibt ein x M mit A(x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 12 / 142

22 Zahlen Kapitel 2 Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 13 / 142

23 Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind N Z Q R ( C) }{{} später. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 14 / 142

24 Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind N Z Q R ( C) }{{} später. 2.1 Denition: Rationale und irrationale Zahlen 1. R ist die Menge der Dezimalbrüche. 2. Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche. Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die Zahl n, a 1 a 2... a k 1 a k 9 mit der Zahl n, a 1 a 2... a k 1 b k identiziert mit b k = a k + 1. Dabei ist n N 0, a 1, a 2,..., a k 1 {0, 1,..., 9}, a k {0, 1,..., 8}. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 14 / 142

25 Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind N Z Q R ( C) }{{} später. 2.1 Denition: Rationale und irrationale Zahlen 1. R ist die Menge der Dezimalbrüche. 2. Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche. Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die Zahl n, a 1 a 2... a k 1 a k 9 mit der Zahl n, a 1 a 2... a k 1 b k identiziert mit b k = a k + 1. Dabei ist n N 0, a 1, a 2,..., a k 1 {0, 1,..., 9}, a k {0, 1,..., 8}. 3. Die Elemente der Menge R \ Q, also die nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbrüche, heiÿen irrationale Zahlen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 14 / 142

26 Zahlen Beispiele irrationaler Zahlen: 1. Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist irrational. Diese Länge ist 2 = 1, Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese Länge ist π = 3, Die Eulersche Zahl e = 2, ist irrational. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 15 / 142

27 Zahlen Beispiele irrationaler Zahlen: 1. Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist irrational. Diese Länge ist 2 = 1, Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese Länge ist π = 3, Die Eulersche Zahl e = 2, ist irrational. 2.2 Denition: Rechenoperationen Sind x, y R so sind die Rechenoperationen x + y, x y, xy und für y 0 auch x y erklärt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 15 / 142

28 Zahlen 2.3 Satz: Rechenregeln 1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze) 2. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze) 3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 16 / 142

29 Zahlen 2.3 Satz: Rechenregeln 1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze) 2. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze) 3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz) Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln 4. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 und (a + b)(a b) = a 2 b 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 16 / 142

30 Zahlen 2.4 Denition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte Sind m, n N 0 mit m n und a m, a m+1,..., a n R so schreiben wir n 1. a k = a m + a m a n und 2. k=m n a k = a m a m+1... a n k=m Dabei kann der Laundex eine beliebige Variable sein, etwa n n a k = a j. k=m j=m Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 17 / 142

31 Zahlen 2.4 Denition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte Sind m, n N 0 mit m n und a m, a m+1,..., a n R so schreiben wir n 1. a k = a m + a m a n und 2. k=m n a k = a m a m+1... a n k=m Dabei kann der Laundex eine beliebige Variable sein, etwa n n a k = a j. k=m j=m Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn m > n ist n a k = 0 k=m und n a k = 1 k=m Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 17 / 142

32 Zahlen Rechenregeln und Beispiele: n n a a k = (a a k ) k=m n a k + k=m n a k k=m n b k = k=m n b k = n (a k + b k ) und k=m k=m k=m k=m n (a k b k ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 18 / 142

33 Zahlen Rechenregeln und Beispiele: a n a k = k=m n a k + k=m n a k k=m n (a a k ) k=m n b k = k=m n b k = k=m Indexverschiebung: n (a k + b k ) und k=m n (a k b k ). k=m n a k = k=m Arithmetische Summenformel: geometrische Summenformel: q 1. n+t k=m+t a k t. n k = k=1 n k=0 n(n + 1). 2 q k = 1 qn+1 1 q für eine reelle Zahl Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 18 / 142

34 Zahlen 2.5 Denition: Potenzen Für a R und n N 0 setzen wir a n := n a. k=1 Insbesondere gilt also a 0 = 1 und 0 0 = 1 aber 0 n = 0 für n > 0. Für a R \ {0} und n N 0 setzen wir a n := 1 a n. a R heiÿt die Basis und n Z der Exponent der Potenz a n. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 19 / 142

35 Zahlen 2.5 Denition: Potenzen Für a R und n N 0 setzen wir a n := n a. k=1 Insbesondere gilt also a 0 = 1 und 0 0 = 1 aber 0 n = 0 für n > 0. Für a R \ {0} und n N 0 setzen wir a n := 1 a n. a R heiÿt die Basis und n Z der Exponent der Potenz a n. 2.6 Potenzregeln Für n, m Z gilt: 1 a m a n = a n+m und a n b n = (ab) n sowie 2 (a m ) n = a mn falls die Ausdrücke deniert sind. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 19 / 142

36 Zahlen 2.7 Denition: Quadratwurzel Sind a, b R und b 2 = a so denieren wir {b falls b 0 a := b falls b < 0 Die stets nicht-negative Zahl a heiÿt Quadratwurzel von a. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 20 / 142

37 Zahlen 2.7 Denition: Quadratwurzel Sind a, b R und b 2 = a so denieren wir {b falls b 0 a := b falls b < 0 Die stets nicht-negative Zahl a heiÿt Quadratwurzel von a. 2.8 Existenz der Quadratwurzel Die Gleichung x 2 = a besitzt für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei (reellen) Lösungen x 1 = a und x 2 = a. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 20 / 142

38 Zahlen Der Satz 2.8 lässt sich noch verallgemeinern: 2.9 Satz: Höhere Wurzeln 1 Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = n a. 2 Ist n eine natürliche gerade Zahl mit n 0, dann hat die Gleichung x n = a für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x 1 = n a und x 2 = n a bezeichnen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 21 / 142

39 Zahlen 2.10 Bemerkung Wir setzen nun a 1 n := n a für a 0 und n 0, und denieren(!) a m n := ( ) a 1 n m. Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6 weiterhin gültig bleiben. Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten erweitert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 22 / 142

40 Zahlen 2.11 Satz: p-q-formel Es sei D := p 2 4q. Dann besitzt die quadratische Gleichung x 2 + px + q = die eindeutige (reelle) Lösung x = p falls D = 0, 2... die zwei (reellen) Lösungen x 1 = p + D und x 2 = p D 2 2 falls D > 0, und... keine reelle Lösung falls D < 0. Die Zahl D heiÿt Diskriminante der quadratischen Gleichung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 23 / 142

41 Zahlen 2.12 Denition: Fakultät und Binomialkoezient 1 Für natürliche Zahlen n N 0 ist die Fakultät deniert als n n! := k. k=1 Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! (n + 1). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 24 / 142

42 Zahlen 2.12 Denition: Fakultät und Binomialkoezient 1 Für natürliche Zahlen n N 0 ist die Fakultät deniert als n! := n k. k=1 Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! (n + 1). 2 Für zwei natürliche Zahlen k, n N 0 mit k n ist der Binomialkoezient deniert als ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) := = k k!(n k)! k! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 24 / 142

43 Zahlen 2.13 Satz: Eigenschaften der Binomialkoezienten ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = = 1 und =. 0 n k n k ( ) ( ) ( ) n n n = (Additionstheorem). k k + 1 k + 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 25 / 142

44 Zahlen Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoezienten im Pascalschen Dreieck anordnen: ( n k) n Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 26 / 142

45 Zahlen Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoezienten im Pascalschen Dreieck anordnen: ( n k) n Binomischer Lehrsatz Für x, y R und n N 0 gilt (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k k Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 26 / 142

46 Ordnung und Betrag Kapitel 3 Ordnung und Betrag Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 27 / 142

47 Ordnung und Betrag 3.1 Denition: Ordnung Jede reelle Zahl x hat genau eine der folgenden drei Eigenschaften: x < 0 (negativ), x = 0 (Null) und x > 0 (positiv). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 28 / 142

48 Ordnung und Betrag 3.1 Denition: Ordnung Jede reelle Zahl x hat genau eine der folgenden drei Eigenschaften: x < 0 (negativ), x = 0 (Null) und x > 0 (positiv). Wir denieren x > y durch x y > 0 und x y durch x y > 0 oder x y = 0. Analog werden x < y und x y deniert. Damit gilt für alle x, y R entweder(!) x < y oder x = y oder x > y. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 28 / 142

49 Ordnung und Betrag 3.1 Denition: Ordnung Jede reelle Zahl x hat genau eine der folgenden drei Eigenschaften: x < 0 (negativ), x = 0 (Null) und x > 0 (positiv). Wir denieren x > y durch x y > 0 und x y durch x y > 0 oder x y = 0. Analog werden x < y und x y deniert. Damit gilt für alle x, y R entweder(!) x < y oder x = y oder x > y. Die Zeichen,, <, > und = heiÿen Ordnungszeichen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 28 / 142

50 Ordnung und Betrag Mit Hilfe der Ordnungszeichen denieren wir spezielle Teilmengen von R. Seien dazu a, b R mit a < b. 3.2 Denition: Intervalle Beschränkte Intervalle [a, b] := {x R a x b} (Abgeschlossenes Intervall, auch a = b möglich). ]a, b[ := {x R a < x < b} (Oenes Intervall). [a, b[ := {x R a x < b} oder ]a, b] := {x R a < x b} (Halboene Intervalle). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 29 / 142

51 Ordnung und Betrag Mit Hilfe der Ordnungszeichen denieren wir spezielle Teilmengen von R. Seien dazu a, b R mit a < b. 3.2 Denition: Intervalle Beschränkte Intervalle [a, b] := {x R a x b} (Abgeschlossenes Intervall, auch a = b möglich). ]a, b[ := {x R a < x < b} (Oenes Intervall). [a, b[ := {x R a x < b} oder ]a, b] := {x R a < x b} (Halboene Intervalle). Unbeschränkte Intervalle: [a, [ := {x R a x} und ], b] := {x R x b} ]a, [ := {x R a < x} und ], b[ := {x R x < b} ], [ := R Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 29 / 142

52 Ordnung und Betrag 3.3 Rechenregeln Es seien x, y, z R. Dann gilt 1 Ist x < y und y < z, dann gilt x < z. 2 Ist x y und y x, so ist x = y. 3 Ist x < y dann ist x + z < y + z. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 30 / 142

53 Ordnung und Betrag 3.3 Rechenregeln Es seien x, y, z R. Dann gilt 1 Ist x < y und y < z, dann gilt x < z. 2 Ist x y und y x, so ist x = y. 3 Ist x < y dann ist x + z < y + z. 4 Ist x > 0 und y > 0, so ist auch xy > 0. 5 Ist z > 0 und x < y, so ist xz < yz. 6 Ist z < 0 und x < y, so ist xz > yz. 7 Ist 0 < x < y, so gilt 1 x > 1 y > 0. 8 Ist 0 x y, so gilt x 2 y 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 30 / 142

54 Ordnung und Betrag Aus den Rechenregeln 3.3 folgt: 3.4 Satz: Vorzeichen von Produkten Es seien x 1,..., x n R. Dann gilt: n x i = 0 ist gleichbedeutend damit, dass es mindestens ein i=1 j {1,..., n} gibt mit x j = 0. n x i 0 ist gleichbedeutend damit, dass nur eine gerade Anzahl der i=1 Faktoren x j negativ ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 31 / 142

55 Ordnung und Betrag Die Rechenregeln 3.3 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen: 3.5 Bemerkung Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf beiden Seiten eine Zahl addieren.... mit einer positiven Zahl multiplizieren.... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres dazu folgt später.) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 32 / 142

56 Ordnung und Betrag Die Rechenregeln 3.3 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen: 3.5 Bemerkung Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf beiden Seiten eine Zahl addieren.... mit einer positiven Zahl multiplizieren.... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres dazu folgt später.) Beispiele streng monotoner Funktionen: Die Wurzelfunktion auf [0, [. Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten auf R und mit geradem Exponenten auf [0, [. Die Exponentialfunktion auf R und die Logarithmusfunktion auf (0, ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 32 / 142

57 Ordnung und Betrag 3.6 Deniton: Betrag Der Betrag einer reellen Zahl x ist deniert als der Abstand zu 0 und wird mit x bezeichnet. Also { x falls x 0 x := x falls x < 0 Für x, y R ist x y der Abstand von x und y. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 33 / 142

58 Ordnung und Betrag 3.7 Eigenschaften des Betrags 1. x = 0 ist gleichbedeutend mit x = x = x. 3. x x x mit Gleichheit an genau einer Stelle, wenn x xy = x y. 5. x + y x + y. 6. x y x y. 7. x 2 = x. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 34 / 142

59 Ordnung und Betrag 3.8 Satz: Quadratische Ungleichungen Es gilt x 2 + px + q < 0 ( x + p ) 2 D < 2 4, wobei D = p 2 4q die Diskriminante ist. Ist D < 0 so hat die Ungleichung keine reelle Lösung. Für D 0 gilt Auÿerdem gilt für D 0 x 2 + px + q < 0 x + p < 2 x 2 + px + q > 0 x + p > 2 D 2. D 2. Im Fall D < 0 ist die Lösungsmenge der Ungleichung x 2 + px + q > 0 ganz R. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 35 / 142

60 Abbildungen und Funktionen Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 36 / 142

61 Abbildungen und Funktionen 4.1 Denition: Abbildung Es seien D und W Mengen. Eine Abbildung f von D nach W ist eine Vorschrift, die jedem Element x D genau ein Element f(x) W zuordnet. f(x) heiÿt das Bild von x unter f D heiÿt der Denitions- und W der Wertebereich (manchmal besser Wertevorrat. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 37 / 142

62 Abbildungen und Funktionen 4.1 Denition: Abbildung Es seien D und W Mengen. Eine Abbildung f von D nach W ist eine Vorschrift, die jedem Element x D genau ein Element f(x) W zuordnet. f(x) heiÿt das Bild von x unter f D heiÿt der Denitions- und W der Wertebereich (manchmal besser Wertevorrat. Ist nun f : D W eine Abbildung, so heiÿt die Menge der Elemente in W, die von f getroen wird, die Bildmenge von f und wird mit f(d) bezeichnet. Es gilt f(d) := {y W x D : y = f(x)} = {f(x) x D} W. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 37 / 142

63 Abbildungen und Funktionen 4.2 Denition, Urbild, Graph Ist U W eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller Elemente von D deren Bild in U liegt, das Urbild von U. Dies wird mit f 1 (U) bezeichnet. Es gilt f 1 (U) := {x D f(x) U} D. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 38 / 142

64 Abbildungen und Funktionen 4.2 Denition, Urbild, Graph Ist U W eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller Elemente von D deren Bild in U liegt, das Urbild von U. Dies wird mit f 1 (U) bezeichnet. Es gilt f 1 (U) := {x D f(x) U} D. Die Teilmenge {(x, f(x)) x D} D W, bezeichnet man als Graph der Abbildung f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 38 / 142

65 Abbildungen und Funktionen 4.3 Bemerkung Zwei Abbildungen f 1 : D 1 W 1 und f 2 : D 2 W 2 sind genau dann gleich, wenn D 1 = D 2, W 1 = W 2 und f 1 (x) = f 2 (x) für alle x D 1. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 39 / 142

66 Abbildungen und Funktionen 4.3 Bemerkung Zwei Abbildungen f 1 : D 1 W 1 und f 2 : D 2 W 2 sind genau dann gleich, wenn D 1 = D 2, W 1 = W 2 und f 1 (x) = f 2 (x) für alle x D Denition: identische Abbildung Es sei f : D D mit f(x) := x für alle x D. Diese Abbildung heiÿt identische Abbildung oder Identität auf D und wird hier mit id D bezeichnet. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 39 / 142

67 Abbildungen und Funktionen 4.3 Bemerkung Zwei Abbildungen f 1 : D 1 W 1 und f 2 : D 2 W 2 sind genau dann gleich, wenn D 1 = D 2, W 1 = W 2 und f 1 (x) = f 2 (x) für alle x D Denition: identische Abbildung Es sei f : D D mit f(x) := x für alle x D. Diese Abbildung heiÿt identische Abbildung oder Identität auf D und wird hier mit id D bezeichnet. Sprechweise: Oft wird der Begri Funktion parallel zum Begri Abbildung benutzt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 39 / 142

68 Abbildungen und Funktionen 4.5 Denition: Polynome Es sei n N und a 0, a 1,..., a n R mit a n 0. Dann heiÿt die Funktion p : R R mit p(x) = n a k x k = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 k=0 ein Polynom. Die Zahl grad(p) := n heiÿt der Grad, die a k heiÿen die Koezienten und speziell a n der Leitkoezient von p. Eine Zahl x 0 R mit p(x 0 ) = 0 heiÿt Nullstelle von p. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 40 / 142

69 Abbildungen und Funktionen 4.6 Satz: Faktorisierung Es sei p ein Polynom und x 0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein Polynom q mit grad(q) = grad(p) 1, so dass p(x) = (x x 0 )q(x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 41 / 142

70 Abbildungen und Funktionen 4.6 Satz: Faktorisierung Es sei p ein Polynom und x 0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein Polynom q mit grad(q) = grad(p) 1, so dass p(x) = (x x 0 )q(x). Die Koezienten des Polynoms q aus der Faktorisierung lassen sich durch Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 41 / 142

71 Abbildungen und Funktionen 4.6 Satz: Faktorisierung Es sei p ein Polynom und x 0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein Polynom q mit grad(q) = grad(p) 1, so dass p(x) = (x x 0 )q(x). Die Koezienten des Polynoms q aus der Faktorisierung lassen sich durch Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen. 4.7 Hornerschema Das Hornerschema kann dazu benutzt werden, den Funktionswert eines Polynoms p an einer beliebigen Stelle x 0 zu bestimmen. Man erhält zusätzlich die Koezienten eines Polynoms q, dessen Grad um Eins kleiner ist, als der von p, und das erfüllt. p(x) = (x x 0 )q(x) + p(x 0 ) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 41 / 142

72 Abbildungen und Funktionen Beschreibung des Hornerschemas: Zunächst schreiben wir die Koezienten von p in die erste Zeile einer Tabelle und den Wert 0 unter a n. Dann führt man dann von links nach rechts in der Tabelle immer wieder zwei Schritte durch: 1. Addiere die Zahlen der ersten und zweiten Zeile und schreibe sie in die dritte Zeile. 2. Der zuletzt berechnete Wert wird mit x 0 multipliziert und in die zweite Zeile der nächsten Spalte eingetragen. Schlieÿlich gelangt man zu folgendem Abschluÿschema: a n a n 1 a n 2 a 1 a c n 1 x 0 c n 2 x 0 c 1 x 0 c 0 x 0 = = = = = c n 1 c n 2 c n 3... c 0 c 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 42 / 142

73 Abbildungen und Funktionen Dann ist a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x x 0 )(c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0 ) + c 1. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 43 / 142

74 Abbildungen und Funktionen Dann ist a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x x 0 )(c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0 ) + c 1. Ist x 0 eine Nullstelle des Polynoms p, so hat man eine Polynomdivision durchgeführt: p(x) = (x x 0 )q(x) mit q(x) = c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 43 / 142

75 Abbildungen und Funktionen Dann ist a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x x 0 )(c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0 ) + c 1. Ist x 0 eine Nullstelle des Polynoms p, so hat man eine Polynomdivision durchgeführt: p(x) = (x x 0 )q(x) mit q(x) = c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0. Man kann nun 4.7 auf q anwenden und so nach und nach Nullstellen von p abspalten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 43 / 142

76 Abbildungen und Funktionen Dann ist a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x x 0 )(c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0 ) + c 1. Ist x 0 eine Nullstelle des Polynoms p, so hat man eine Polynomdivision durchgeführt: p(x) = (x x 0 )q(x) mit q(x) = c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0. Man kann nun 4.7 auf q anwenden und so nach und nach Nullstellen von p abspalten. Hilfreich beim Nullstellensuchen: Hat p nur ganzzahlige Koezienten, und ist der Leitkoezient a n = 1, so sind alle rationalen Nullstellen sogar ganz und sie sind Teiler des Koezienten a 0.. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 43 / 142

77 Abbildungen und Funktionen 4.8 Denition: Rationale Funktionen Es seien p und q Polynome. Dann heiÿt die Funktion f mit f(x) := p(x) q(x) rationale Funktion. Ihr Denitionsbereich ist D = {x R q(x) 0}. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 44 / 142

78 Abbildungen und Funktionen 4.8 Denition: Rationale Funktionen Es seien p und q Polynome. Dann heiÿt die Funktion f mit f(x) := p(x) q(x) rationale Funktion. Ihr Denitionsbereich ist D = {x R q(x) 0}. 4.9 Denition: Potenzfunktion Es sei q Q eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion deniert durch i) f q : ]0, [ ]0, [, f q (x) = x q, falls q < 0, ii) f q : [0, [ [0, [, f q (x) = x q, falls q > 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 44 / 142

79 Abbildungen und Funktionen 4.8 Denition: Rationale Funktionen Es seien p und q Polynome. Dann heiÿt die Funktion f mit f(x) := p(x) q(x) rationale Funktion. Ihr Denitionsbereich ist D = {x R q(x) 0}. 4.9 Denition: Potenzfunktion Es sei q Q eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion deniert durch i) f q : ]0, [ ]0, [, f q (x) = x q, falls q < 0, ii) f q : [0, [ [0, [, f q (x) = x q, falls q > 0. Bemerkung: Später werden wir die Potenzfunktionen auch für irrationale Exponenten erklären. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 44 / 142

80 Abbildungen und Funktionen 4.10 Denition: Einschränkung und Fortsetzung Es seien D 1 D 2 und f 1 : D 1 W, f 2 : D 2 W zwei Abbildungen mit f 1 (x) = f 2 (x) für alle x D 1. Dann heiÿt f 1 Einschränkung von f 2 und f 2 Fortsetzung von f 1. Man schreibt auch f 1 = f 2 D1. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 45 / 142

81 Abbildungen und Funktionen 4.10 Denition: Einschränkung und Fortsetzung Es seien D 1 D 2 und f 1 : D 1 W, f 2 : D 2 W zwei Abbildungen mit f 1 (x) = f 2 (x) für alle x D 1. Dann heiÿt f 1 Einschränkung von f 2 und f 2 Fortsetzung von f 1. Man schreibt auch f 1 = f 2 D Denition: Verkettung von Abbildungen Es seien f : D U und g : V W Abbildungen und es gelte U V. Dann ist die Verkettung g f : D W deniert durch (g f)(x) := g(f(x)). Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder Komposition und man liest g f als g nach f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 45 / 142

82 Abbildungen und Funktionen 4.12 Denition: Umkehrabbildung Es seien f : D W und g : W D Abbildungen mit den Eigenschaften (1) g f = id D und (2) f g = id W. Dann heiÿen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben g = f 1 bzw. f = g 1. Man sagt dann auch f (und natürlich auch g) ist invertierbar. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 46 / 142

83 Abbildungen und Funktionen 4.12 Denition: Umkehrabbildung Es seien f : D W und g : W D Abbildungen mit den Eigenschaften (1) g f = id D und (2) f g = id W. Dann heiÿen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben g = f 1 bzw. f = g 1. Man sagt dann auch f (und natürlich auch g) ist invertierbar. Eine Abbildung f : D W hat genau dann eine Umkehrabbildung, wenn die Gleichung f(x) = y für jedes y W genau eine Lösung x D hat. Die Umkehrabbildung ist dann (für dieses (x, y)-paar) durch f 1 (y) = x deniert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 46 / 142

84 Abbildungen und Funktionen 4.12 Denition: Umkehrabbildung Es seien f : D W und g : W D Abbildungen mit den Eigenschaften (1) g f = id D und (2) f g = id W. Dann heiÿen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben g = f 1 bzw. f = g 1. Man sagt dann auch f (und natürlich auch g) ist invertierbar. Eine Abbildung f : D W hat genau dann eine Umkehrabbildung, wenn die Gleichung f(x) = y für jedes y W genau eine Lösung x D hat. Die Umkehrabbildung ist dann (für dieses (x, y)-paar) durch f 1 (y) = x deniert. Sind D und W Teilmengen von R, so erhält man den Graphen der Umkehrfunktion f 1 aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der winkelhalbierenden. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 46 / 142

85 Abbildungen und Funktionen 4.13 Denition: Monotonie Es sei I R und f : I R eine Funktion. Dann heiÿt f monoton wachsend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton wachsend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) < f(x 2 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 47 / 142

86 Abbildungen und Funktionen 4.13 Denition: Monotonie Es sei I R und f : I R eine Funktion. Dann heiÿt f monoton wachsend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton wachsend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) < f(x 2 ) monoton fallend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton fallend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) > f(x 2 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 47 / 142

87 Abbildungen und Funktionen 4.13 Denition: Monotonie Es sei I R und f : I R eine Funktion. Dann heiÿt f monoton wachsend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton wachsend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) < f(x 2 ) monoton fallend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton fallend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) > f(x 2 ). Beispiel: Die Potenzfunktionen f q : [0, [ [0, [ sind streng monoton steigend. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 47 / 142

88 Trigonometrie Kapitel 5 Trigonometrie Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 48 / 142

89 Trigonometrie Scheitel S Schenkel α Winkelbereich Winkel werden in Grad oder im Bogenmaÿ (auch Rad) angegeben: 360 =2π. y 1 cot α r = 1 sin α α cos α 1 tan α x Durch diese Betrachtungen am Einheitskreis werden vier Funktionen deniert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 49 / 142

90 Trigonometrie 5.1 Denition: Winkelfunktionen Name D W Sinus sin R [ 1, 1] Cosinus cos R [ 1, 1] Tangens tan R \ { 2k+1 2 π k Z} R Cotangens cot R \ {kπ k Z} R Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktionen y y = sin x y = cos x π 2π x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 50 / 142

91 Trigonometrie Die Graphen der Tangens- und Cotangensfunktionen: y 1 y = tan x y = cot x π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 51 / 142

92 Trigonometrie 5.2 Interpretation am rechtwinkligen Dreieck C A b α c a B Mit diesen Bezeichnungen gilt dann sin α = a b, cos α = c und tan α = a b c Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 52 / 142

93 Trigonometrie 5.3 Denition: Periodische Funktionen Es sei T > 0. Eine Funktion f : R R heiÿt T -periodisch, wenn f(x + T ) = f(x) für alle x R. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 53 / 142

94 Trigonometrie 5.3 Denition: Periodische Funktionen Es sei T > 0. Eine Funktion f : R R heiÿt T -periodisch, wenn f(x + T ) = f(x) für alle x R. 5.4 Denition: Symmetrie von Funktionen Es sei I R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I R heiÿt gerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I ungerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 53 / 142

95 Trigonometrie 5.5 Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen 1. sin sowie cos sind 2π- und tan sowie cot sind π-periodisch. 2. sin(x + π) = sin x und cos(x + π) = cos x. 3. sin(x + π 2 ) = cos x und cos(x + π 2 ) = sin x. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 54 / 142

96 Trigonometrie 5.5 Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen 1. sin sowie cos sind 2π- und tan sowie cot sind π-periodisch. 2. sin(x + π) = sin x und cos(x + π) = cos x. 3. sin(x + π 2 ) = cos x und cos(x + π 2 ) = sin x. 4. tan x = sin x 1 und cotx = cos x tan x. 5. cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot sind ungerade Funktionen. 6. Für alle x R gilt sin x 1 und cos x 1. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 54 / 142

97 Trigonometrie 5.5 Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen 1. sin sowie cos sind 2π- und tan sowie cot sind π-periodisch. 2. sin(x + π) = sin x und cos(x + π) = cos x. 3. sin(x + π 2 ) = cos x und cos(x + π 2 ) = sin x. 4. tan x = sin x 1 und cotx = cos x tan x. 5. cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot sind ungerade Funktionen. 6. Für alle x R gilt sin x 1 und cos x sin(x) = 0 genau dann, wenn x = kπ mit k Z. cos(x) = 0 genau dann, wenn x = 2k+1 2 π mit k Z. 8. sin 2 x + cos 2 x = 1 der Trigonometrische Pythagoras. 9. cos 2 x = tan 2 x und sin2 x = cot 2 x. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 54 / 142

98 Trigonometrie 5.6 Einschränkungen der Winkelfunktionen Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen benutzt man zur Deniton von Umkehrfunktionen: 1 sin [ [ ] : π π 2, π 2, π ] 2 [ 1, 1] ist streng monoton wachsend. 2 2 cos [0,π] : [0, π] [ 1, 1] ist streng monoton fallend. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 55 / 142

99 Trigonometrie 5.6 Einschränkungen der Winkelfunktionen Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen benutzt man zur Deniton von Umkehrfunktionen: 1 sin [ [ ] : π π 2, π 2, π ] 2 [ 1, 1] ist streng monoton wachsend. 2 2 cos [0,π] : [0, π] [ 1, 1] ist streng monoton fallend. 3 tan ] ] [ : π π 2, π 2, π [ 2 R ist streng monoton wachsend. 2 4 cot ]0,π[ :]0, π[ R ist streng monoton fallend. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 55 / 142

100 Trigonometrie 5.7 Denition: Arcusfunktionen Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen genannt und sind 1. arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π ] 2 2. arccos : [ 1, 1] [0, π] 3. arctan : R ] π 2, π [ 2 4. arccot : R ] 0, π[ Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 56 / 142

101 Trigonometrie 5.7 Denition: Arcusfunktionen Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen genannt und sind 1. arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π ] 2 2. arccos : [ 1, 1] [0, π] 3. arctan : R ] π 2, π [ 2 4. arccot : R ] 0, π[ Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Bemerkung 4.12): Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 56 / 142

102 Trigonometrie y y y = arccos x π π 2 y = arcsin x y = arccot x π 4 π 2 x y = arctan x 1 x π 2 π 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 57 / 142

103 Trigonometrie Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme sehr nützlich: 5.8 Satz: Additionstheoreme 1 sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x 2 cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tan x ± tan y 3 tan(x ± y) = 1 tan x tan y Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 58 / 142

104 Trigonometrie Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme sehr nützlich: 5.8 Satz: Additionstheoreme 1 sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x 2 cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tan x ± tan y 3 tan(x ± y) = 1 tan x tan y Daraus erhält man dann 5.9 Folgerung: Doppelte Winkel 1. sin(2x) = 2 sin x cos x 2. cos(2x) = cos 2 x sin 2 x 3. tan(2x) = 2 tan x 1 tan 2 x 4. cos 2 x = 1 ) 2( 1 + cos(2x) und sin 2 x = 1 ( ) 2 1 cos(2x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 58 / 142

105 Trigonometrie Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme: sin x cos y cos x sin y x cos x cos y cos y sin y sin x sin y x y 1 x + y cos(x + y) sin(x + y) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 59 / 142

106 Trigonometrie Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit den Additionstheoremen und der Periodizität dann natürlich weitere). x in Grad x in Rad 0 π 6 sin x 0 1 cos x Eselsbrücke für die Sinus-Werte: π 4 π 3 π tan x cotx x in Grad sin x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 60 / 142

107 Dierenzierbarkeit Kapitel 6 Dierenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 61 / 142

108 Dierenzierbarkeit Die Begrie Grenzwert und Stetigkeit werden in Mathematikvorlesungen genau deniert. Hier sollen lediglich die Ideen verdeutlicht werden. 6.1 Grenzwert und Stetigkeit Sei I ein Intervall und x 0 ein Punkt in I oder ein Randpunkt. Eine Funktion f : I R hat in x 0 den Grenzwert a, wenn sich die Werte f(x) nur um beliebig wenig von a unterscheiden, wenn x immer näher an x 0 rückt. f(x 0 ) selbst wird dabei nicht betrachtet. Schreibweisen: lim x x 0 f(x) = a oder f(x) a für x x 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 62 / 142

109 Dierenzierbarkeit Die Begrie Grenzwert und Stetigkeit werden in Mathematikvorlesungen genau deniert. Hier sollen lediglich die Ideen verdeutlicht werden. 6.1 Grenzwert und Stetigkeit Sei I ein Intervall und x 0 ein Punkt in I oder ein Randpunkt. Eine Funktion f : I R hat in x 0 den Grenzwert a, wenn sich die Werte f(x) nur um beliebig wenig von a unterscheiden, wenn x immer näher an x 0 rückt. f(x 0 ) selbst wird dabei nicht betrachtet. Schreibweisen: lim x x 0 f(x) = a oder f(x) a für x x 0. Die Funktion f nennt man stetig in x 0 I, wenn lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) ist. f ist stetig auf I, wenn f in jedem Punkt von I stetig ist. Beispiele unstetiger Funktionen sind Funktionen mit Sprungstellen oder Polstellen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 62 / 142

110 Dierenzierbarkeit 6.2 Denition: Dierenzierbarkeit Es sei f : I R eine Funktion auf dem oenen Intervall I R. f heiÿt dierenzierbar in dem Punkt x 0 I, wenn der Grenzwert des Dierenzenquotienten f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = lim R x x 0 x x 0 h 0 h existiert. Dieser Wert wird dann mit f (x 0 ) bezeichnet und heiÿt die Ableitung von f an der Stelle x dierenzierbar auf I, wenn f an jeder Stelle x I dierenzierbar ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 63 / 142

111 Dierenzierbarkeit 6.3 Grundlegende Beispiele f(x) f (x) c 0 x 1 x 2 2x f(x) f (x) 1 1 x x 2 1 x n n x n+1, sin x cos x n N x n n x n 1, n N cos x sin x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 64 / 142

112 Dierenzierbarkeit Die Ableitung einer Funktion f kann man auch geometrisch interpretieren. y T Die Steigung der Tangente T im Punkt a ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. a x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 65 / 142

113 Dierenzierbarkeit Die Ableitung einer Funktion f kann man auch geometrisch interpretieren. y T Die Steigung der Tangente T im Punkt a ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. a x 6.4 Tangente Die Gerade mit der Gleichung y = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) heiÿt Tangente an den Graphen von f im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) (kurz auch: Tangente an f in x 0 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 65 / 142

114 Dierenzierbarkeit Bemerkung: Dierenzierbarkeit in x 0 bedeutet also anschaulich, dass sich die Funktionswerte von f in einer kleinen Umgebung von x 0 gut durch die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch: f ist linear approximierbar. Genauer: Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 66 / 142

115 Dierenzierbarkeit Bemerkung: Dierenzierbarkeit in x 0 bedeutet also anschaulich, dass sich die Funktionswerte von f in einer kleinen Umgebung von x 0 gut durch die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch: f ist linear approximierbar. Genauer: 6.5 Satz: Lineare Approximation Es sei f : I R eine Funktion auf dem oenen Intervall I R und x 0 I. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. f ist dierenzierbar in x Es gibt eine Zahl c R und eine Funktion φ : I R mit lim x x 0 φ(x) = 0 und In diesem Fall ist c = f (x 0 ). f(x) = f(x 0 ) + c (x x 0 ) + φ(x) (x x 0 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 66 / 142

116 Dierenzierbarkeit 6.7 Satz: Dierentiationsregeln 1. Vielfache (cf) = cf 2. Summenregel (f + g) = f + g 3. Produktregel (f g) = f g + f g 4. Kettenregel (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x) ( ) f 5. Quotientenregel = f g fg g g 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 67 / 142

117 Dierenzierbarkeit 6.7 Satz: Dierentiationsregeln 1. Vielfache (cf) = cf 2. Summenregel (f + g) = f + g 3. Produktregel (f g) = f g + f g 4. Kettenregel (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x) ( ) f 5. Quotientenregel = f g fg g g 2 Insbesondere ist 1. (f 2 ) (x) = 2 f(x) f (x). 2. (f n ) (x) = n f n 1 (x) f (x). ( ) 1 3. (x) = f (x) f f 2 (x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 67 / 142

118 Dierenzierbarkeit 6.8 Satz: Ableitung der Umkehrfunktion Es sei f auf dem Intervall I streng monoton und dierenzierbar und es gelte f 0. Dann ist die Umkehrfunktion f 1 dierenzierbar auf J := f(i). Für y = f(x) J, also x = f 1 (y), gilt dann ( f 1 ) (y) = 1 f (x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 68 / 142

119 Dierenzierbarkeit 6.9 Anwendungen f(x) f (x) 1 x 2 x n 1 x n n x = 1 n 1 n x 1 n n n N x r rx r 1 r Q \ {0} tan x 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x 1 arcsin x 1 x 2 arccos x 1 1 x 2 arctan x x 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 69 / 142

120 Dierenzierbarkeit 6.10 Satz Ist f : I R dierenzierbar in x 0 I, so ist f auch stetig in x 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 70 / 142

121 Dierenzierbarkeit 6.10 Satz Ist f : I R dierenzierbar in x 0 I, so ist f auch stetig in x Denition: Höhere Ableitungen 1. Ist f auf I dierenzierbar, so heiÿt die Funktion f : I R mit x f (x) die Ableitung von f. 2. Ist f dierenzierbar, und f stetig auf I so nennt man f stetig dierenzierbar. 3. Sind f und f dierenzierbar auf I, dann nennt man die Funktion f := (f ) die zweite Ableitung von f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 70 / 142

122 Dierenzierbarkeit 6.10 Satz Ist f : I R dierenzierbar in x 0 I, so ist f auch stetig in x Denition: Höhere Ableitungen 1. Ist f auf I dierenzierbar, so heiÿt die Funktion f : I R mit x f (x) die Ableitung von f. 2. Ist f dierenzierbar, und f stetig auf I so nennt man f stetig dierenzierbar. 3. Sind f und f dierenzierbar auf I, dann nennt man die Funktion f := (f ) die zweite Ableitung von f. 4. Ebenso deniert man höhere Ableitungen f, f (4), f heiÿt k-mal stetig dierenzierbar, wenn f (k) existiert und stetig ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 70 / 142

123 Anwendungen der Dierentialrechnung Kapitel 7 Anwendungen der Dierentialrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 71 / 142

124 Anwendungen der Dierentialrechnung 7.1 Satz: Mittelwertsatz der Dierentialrechnung Es sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ dierenzierbar. Dann gibt es ein x 0 ]a, b[ mit f f(b) f(a) (x 0 ) =. b a Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 72 / 142

125 Anwendungen der Dierentialrechnung 7.1 Satz: Mittelwertsatz der Dierentialrechnung Es sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ dierenzierbar. Dann gibt es ein x 0 ]a, b[ mit f f(b) f(a) (x 0 ) =. b a 7.2 Folgerung Sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ dierenzierbar. Dann gilt: 1 Ist f (x) 0 (> 0) für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] (streng) monoton steigend. 2 Ist f (x) 0 (< 0) für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] (streng) monoton fallend. 3 Ist f (x) = 0 für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] konstant. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 72 / 142

126 Anwendungen der Dierentialrechnung Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets oen (diese werden dann mit I bezeichnet). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 73 / 142

127 Anwendungen der Dierentialrechnung Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets oen (diese werden dann mit I bezeichnet). 7.3 Satz: Krümmung Es se f : I R zweimal dierenzierbar. Dann heiÿt (der Graph von) f linksgekrümmt, falls f > 0 auf ganz I rechtsgekrümmt, falls f < 0 auf ganz I. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 73 / 142

128 Anwendungen der Dierentialrechnung Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets oen (diese werden dann mit I bezeichnet). 7.3 Satz: Krümmung Es se f : I R zweimal dierenzierbar. Dann heiÿt (der Graph von) f linksgekrümmt, falls f > 0 auf ganz I rechtsgekrümmt, falls f < 0 auf ganz I. 7.4 Denition: Wendestelle, Wendepunkt Es sei f : I R zweimal dierenzierbar, x 0 I und f (x) habe in x 0 einen Vorzeichenwechsel. Dann heiÿt x 0 eine Wendestelle und der Punkt ( x0, f(x 0 ) ) ein Wendepunkt (des Graphen) von f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 73 / 142

129 Anwendungen der Dierentialrechnung 7.5 Denition: Extremum Es sei D R eine beliebige Teilmenge, f : D R und x 0 D. (Der Graph von) f hat in x 0 ein globales Maximum, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D. 2...globales Minimum, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 74 / 142

130 Anwendungen der Dierentialrechnung 7.5 Denition: Extremum Es sei D R eine beliebige Teilmenge, f : D R und x 0 D. (Der Graph von) f hat in x 0 ein globales Maximum, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D. 2...globales Minimum, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D. 3...lokales Maximum, wenn es ein oenes Intervall I mit x 0 I gibt, so dass f(x) f(x 0 ) für alle x I D. 4...lokales Minimum, wenn es ein oenes Intervall I mit x 0 I gibt, so dass f(x) f(x 0 ) für alle x I D. Maxima und Minima fassen wir auch unter dem Namen Extrema zusammen. Wir nennen x 0 eine Extremalstelle, f(x 0 ) ein Extremum und ( x0, f(x 0 ) ) einen Extrempunkt (des Graphen) von f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 74 / 142

131 Anwendungen der Dierentialrechnung 7.6 Satz: Notwendiges Kriterium für Extrema Es sei f : I R dierenzierbar in x 0 I. Hat f in x 0 ein lokales Extremum, so ist f (x 0 ) = 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 75 / 142

132 Anwendungen der Dierentialrechnung 7.6 Satz: Notwendiges Kriterium für Extrema Es sei f : I R dierenzierbar in x 0 I. Hat f in x 0 ein lokales Extremum, so ist f (x 0 ) = 0. Die Umkehrung dieses Satzes ist in der Regel nicht richtig. Das zeigt schon das Beispiel f(x) = x 3 und x 0 = 0. Das Phänomen des letzten Beispiels werden wir nun näher beleuchten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 75 / 142

133 Anwendungen der Dierentialrechnung 7.7 Satz: Hinreichendes Kriterium für Extrema Es sei f : I R hinreichend oft dierenzierbar und x 0 I mit f (x 0 ) = 0. Dann gilt { } { } < 0 1. Ist f lokales Maximum (x 0 ), so hat f in x > 0 0 ein. lokales Minimum 2. Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 so hat f in x 0 eine Wendestelle. In diesem Fall spricht man von einem Sattelpunkt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 76 / 142

134 Anwendungen der Dierentialrechnung 7.7 Satz: Hinreichendes Kriterium für Extrema Es sei f : I R hinreichend oft dierenzierbar und x 0 I mit f (x 0 ) = 0. Dann gilt { } { } < 0 1. Ist f lokales Maximum (x 0 ), so hat f in x > 0 0 ein. lokales Minimum 2. Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 so hat f in x 0 eine Wendestelle. In diesem Fall spricht man von einem Sattelpunkt. Allgemeiner gilt: 3. Ist f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 und f (n) 0, dann gilt { Ist n gerade, so hat f in x 0 ein lokales Maximum, falls f (n) (x 0 ) < 0 lokales Minimum, falls f (n) (x 0 ) > 0. Ist n ungerade, so hat f in x 0 einen Wendepunkt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 76 / 142

135 Anwendungen der Dierentialrechnung Beispiel: Wir betrachten f : R R mit f(x) = sin x. Da die 2 + cos x Funktion 2π-periodisch ist, schauen wir sie uns nur auf einem Teilintervall an, nämlich auf [0, 2π]. (genauer auf ] δ, 2π + δ[, da wir ein oenes Intervall brauchen). y f(x) f (x) f (x) 2π x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 77 / 142

136 Integralrechnung Kapitel 8 Integralrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 78 / 142

137 Integralrechnung 8.1 Denition: Stammfunktion Es seien f, F : I R Funktionen. F heiÿt Stammfunktion von f auf I, wenn F auf I dierenzierbar ist und F (x) = f(x) für alle x I. Wenn wir für f eine Stammfunktion suchen, so sagen wir auch: wir integrieren f. Wenn wir eine Stammfunktion gefunden haben, so nennen wir f integrierbar. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2017) Seite 79 / 142