Mathematischer Vorkurs NAT-ING1

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1 Willkommen an der TU Dortmund Mathematischer Vorkurs NAT-ING ( ) Organisatorisches Dr. Robert Strehl WS Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / Willkommen an der TU Dortmund Willkommen an der TU Dortmund Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften I für die Studiengänge Physik Medizinphysik Elektro- und Informationstechnik Informations- und Kommunikationstechnik Angewandte Informatik Informatik Bioingenieurwesen Chemieingenieurwesen Studiengang nicht dabei allg. Vorkursseite Zeitraum. 0. September 03 Vorlesung ab heute täglich 8-0 Uhr, Übungen ab morgen 0- oder -4 Uhr Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / Übungsbetrieb und Vorlesungen Es besteht keine Anwesenheitspflicht Jeder angemeldete Vorkursteilnehmer hat seine Übungsgruppennummer per bekommen (Nachmeldungen heute noch mgl.) Das Übungs- und Vorlesungsmaterial wird pro Kapitel online zur Verfügung gestellt Einen Lageplan der Übungsräume findet ihr auf der Vorkursseite Neben den Übungen wird auch eine Einweisung in die Nutzung der Universitätsbibliothek angeboten Näheres dazu in den Übungsgruppen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 /

2 Willkommen an der TU Dortmund Willkommen an der TU Dortmund Verschiedenes Weitere Informationen Vorkursbescheinigungen (bitte ausfüllen) vom AStA gibt es nach der Vorlesung Mit dieser Bescheinigung gibt es Vergünstigungen in der Mensa und beim Kauf von Bahntickets in Dortmund Die Orientierungsphasen der einzelnen Fachschaften sind zu empfehlen (s. allg. Vorkursseite) Allgemeine Informationen finden sich auf der allg. Vorkursseite und am schwarzen Brett vor dem Hörsaal E9 Speziell für diesen Vorkurs (Folien, Übungsmaterial, Pinnwand) gibt es zusätzlich die Internetseite vorkurs-mathematik-fuer-natur-und-ingenieurwissenschaften-i Bei noch offenen Fragen bietet sich unsere Vorkurs- Adresse an Willkommen an der TU Dortmund Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / Willkommen an der TU Dortmund Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / Themenübersicht. Mengen. Aussageformen. Zahlen 3. Vollständige Induktion 3. Relationen, Ordnung und Betrag 4. Beweisführung 4. Abbildungen und Funktionen 5. Komplexe Zahlen 5. Trigonometrie 6. Gleichungen mit komplexen Zahlen 6. Folgen und Stetigkeit 7. Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln 7. Differenzierbarkeit 8. Lineare Gleichungssysteme 8. Anwendungen der Differentialrechnung 9. Vektoren 9. Integralrechnung 0. Skalar- und Vektorprodukt 0. Logarithmus- und Exponentialfunktion. Geraden und Ebenen. Aussagenlogik. Partialbruchzerlegung Themenübersicht (korrigiert). Mengen 0. Logarithmus- und Exponentialfunktion. Zahlen. Vollständige Induktion 3. Relationen, Ordnung und Betrag. Komplexe Zahlen 4. Abbildungen und Funktionen 3. Gleichungen mit komplexen Zahlen 5. Trigonometrie 4. Komplexe Polarkoordinaten und Wurzeln 6. Folgen und Stetigkeit 5. Vektoren 7. Differenzierbarkeit 6. Skalar- und Vektorprodukt 8. Anwendungen der Differentialrechnung 7. Geraden und Ebenen 9. Integralrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 /

3 Kapitel Mengen Kapitel Mengen Kapitel Mengen Definition. (Menge) Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge. Beschreibung von Mengen durch Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {...}.... Angabe einer Eigenschaft E, die die Elemente beschreibt: {x x hat die Eigenschaft E} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 0 / Kapitel Mengen Kapitel Mengen Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N := {0,,, 3,...}. (Bei uns ist 0 eine natürliche Zahl). Für alle natürlichen Zahlen k > 0 definieren wir N k := {k, k +, k +,...} und wir schreiben N + := N für die natürlichen Zahlen ohne Null. Die Menge der ganzen Zahlen: Z := {...,,, 0,,,...}. Die Menge der{ rationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) a Brüche: Q := a, b ganze Zahlen und b > 0 }. b Die Menge der reellen Zahlen: R. Die Menge der komplexen Zahlen: C. Die leere Menge,. Die Menge, die kein Element enthält. Schreibweisen: Ist a ein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Ist a kein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Beispiel: N, Z aber 3 N. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite /

4 Kapitel Mengen Kapitel Mengen Definition. (Mengenoperationen) Beispiele: Die korrekte Verneinung von: dieses Schaf ist schwarz und mager lautet: dieses Schaf Es seien ist nicht Mschwarz und oder N Mengen. nicht mager. Die korrekte Verneinung von: dieses Schaf ist weiß oder fett lautet: dieses Schaf ist nicht weiß und nicht fett (also weder weiß noch fett). Man werfe die Verneinung nicht in einen Topf mit umgangssprachlichen Gegensätzen. Eine unkorrekte Verneinung von diese Kuh ist mager wäre: diese Kuh ist fett : Mager und fett mögen als Gegensätze empfunden werden, sie sind aber nicht die Verneinungen voneinander. Die Vereinigungsmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M oder in N enthalten sind. Also M N = {x x M oder x N}. (schließlich gibt es auch ganz normalgewichtige Kühe).. Die Schnittmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M und in N enthalten sind. Also M N = {x x M und x N}. Mengen 3. M heißt Teilmenge von N, wenn alle Elemente die in M enthalten Cantors Definition lautet: sind auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M N oder Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten (Elementen) N unserer M. Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. 4. Die Differenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N enthalten sind, aber nicht in M, also N \ M := {x x N und x M}. Symbole: a M : a ist Element von M / : leere Menge (sie enthält kein Element) {a} : die Menge mit genau einem Element a (einelementige Menge) } M N N M 5. Ist M N so ist das Komplement von M (bezüglich N) durch M c : M ist Teilmenge von N : für jedes x M ist auch x N := {x x N und x M} definiert. M = N : M N und N M } M N : M ist echte Teilmenge von N (M N, M N). N M Operationen für Mengen M, N,...: Kapitel Durchschnitt: Mengen M N := {x x M und x N} Vereinigung: M N := {x x M oder x N} Differenz: M \ N := {x x M und x/ N}. Ist M N, so heißt M \ N auch das Komplement von N (in M). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von Venn-Diagrammen darstellen: Veranschaulichung durch sog. Venn-Diagramme: M M N N M N M N M M N N M N M \ N 3 Bemerkung.3 Es gilt in jedem Fall M M. In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel M N =, so ist N \ M = N und M \ N = M. Ist aber M N so ist N \ M = M c und M \ N =. Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M N und N M. Kapitel Mengen Satz.4 (Rechenregeln für Mengenoperationen) M N = N M und M N = N M. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / (M N) P = M (N P ) und (M N) P = M (N P ). 3 M (N P ) = (M N) (M P ). 4 M (N P ) = (M N) (M P ). 5 (M c ) c = M. 6 (M N) c = M c N c und (M N) c = M c N c. 7 M N = ( M N ) \ ( (M \ N) (N \ M) ). 8 (M \ N) (N \ M) = (M N) \ (M N). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 /

5 Kapitel Mengen Kapitel Mengen Definition.5 (Kartesisches Produkt). Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M N bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit m M und n N. Also: M N = {(m, n) m M und n N}. Ist M G und N G so kann man das kartesische Produkt wie folgt darstellen: Definition.5 [cont.]. Das kartesische Produkt mehrere Mengen M,..., M k wird analog mit Hilfe geordneter k-tupel definiert: M M... M k = {(m, m,..., m k ) m M und m M und... und m k M k }. 3. Stimmen die Mengen überein so schreiben wir auch M = M M, M 3 = M M M, usw. Bemerkung.6 Als Mengen stimmen M N und N M nicht überein. Als Mengen stimmen (M N) P und M N P und M (N P ) nicht überein. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / Kapitel Mengen Kapitel Zahlen Definition.7 (Quantoren) Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist (vgl. Kap. ), so schreiben wir x M : A(x), wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat in Worten: für alle x M gilt A(x) und x M : A(x), wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat in Worten: es gibt ein x M mit A(x). Kapitel Zahlen Beispiel: Das kartesische Produkt von k Mengen lässt sich wie folgt schreiben: M... M k = { (m,..., m k ) i {,..., k} : m i M i }. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 0 /

6 Kapitel Zahlen Kapitel Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind N Z Q R ( C). }{{} später Definition. (Rationale und irrationale Zahlen) R ist die Menge der Dezimalbrüche. Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche. Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die Zahl n, a a... a k a k 9 mit der Zahl n, a a... a k b k identifiziert mit b k = a k +. Dabei ist n N, a, a,..., a k {0,,..., 9}, a k {0,,..., 8}. 3 Die Elemente der Menge R \ Q, also die nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbrüche, heißen irrationale Zahlen. Beispiele irrationaler Zahlen: Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge ist irrational. Diese Länge ist =, Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser ist irrational. Diese Länge ist π = 3, Die Eulersche Zahl e =, ist irrational. Definition. (Rechenoperationen) Sind x, y R so sind die Rechenoperationen x + y, x y, xy und für y 0 auch x y erklärt. Kapitel Zahlen Satz.3 (Rechenregeln). x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite /. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze) 3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz) Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln 4. (a + b) = a + ab + b, (a b) = a ab + b und (a + b)(a b) = a b. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / Kapitel Zahlen Definition.4 (Kurzschreibweisen für Summen und Produkte) Sind m, n N mit m n und a m, a m+,..., a n R so schreiben wir n. a k = a m + a m a n und. k=m n k=m a k = a m a m+... a n Dabei kann der Laufindex eine beliebige Variable sein, etwa n n a k = a j. k=m j=m Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn m > n ist n a k = 0 k=m und n k=m a k = Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 /

7 Kapitel Zahlen Rechenregeln und Beispiele: a n a k = k=m n a k + k=m n k=m Kapitel Zahlen a k n (aa k ) k=m n b k = k=m n k=m b k = n (a k + b k ) und k=m n (a k b k ). k=m Indexverschiebung: n a k = k=m Arithmetische Summenformel: geometrische Summenformel: Zahl q. n+t k=m+t a k t. n k = k=0 n k=0 n(n + ). q k = qn+ q für eine reelle Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / Kapitel Zahlen Definition.5 (Potenzen) Für a R und n N setzen wir a n := n a. Insbesondere gilt also a 0 = und 0 0 = aber 0 n = 0 für n > 0. Für a R \ {0} und n N setzen wir a n := a n. a R heißt die Basis und n Z der Exponent der Potenz a n. Satz.6 (Potenzregeln) Für n, m Z gilt: k= a m a n = a n+m und a n b n = (ab) n sowie (a m ) n = a mn falls die Ausdrücke definiert sind. Kapitel Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / Definition.7 (Quadratwurzel) Sind a, b R und b = a so definieren wir {b falls b 0 a := b falls b < 0 Die stets nicht-negative Zahl a heißt Quadratwurzel von a. Satz.8 (Existenz der Quadratwurzel) Die Gleichung x = a besitzt für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei (reellen) Lösungen x = a und x = a. Der Satz.8 lässt sich noch verallgemeinern: Satz.9 (Höhere Wurzeln) Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = n a. Ist n 0 eine natürliche gerade Zahl, dann hat die Gleichung x n = a für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x = n a und x = n a bezeichnen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 /

8 Kapitel Zahlen Kapitel Zahlen Bemerkung.0 Wir setzen nun a n := n a für n 0, a 0, und definieren(!) a m n := ( ) a n m. Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz.6 weiterhin gültig bleiben. Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten erweitert. Satz. (pq-formel) Es sei D := p 4q. Dann besitzt die quadratische Gleichung x + px + q = die eindeutige (reelle) Lösung x = p falls D = 0,... die zwei (reellen) Lösungen x = p + D und x = p D falls D > 0, und... keine reelle Lösung falls D < 0. Die Zahl D heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung. Kapitel Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / Kapitel Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 30 / Definition. (Fakultät und Binominalkoeffizient) Für natürliche Zahlen n N ist die Fakultät definiert als n! := n k. k= Also gilt insbesondere 0! = und (n + )! = n!(n + ). Für zwei natürliche Zahlen k, n N mit k n ist der Binomialkoeffizient definiert als ( ) n n! n(n ) (n k + ) := = k k!(n k)! k! Satz.3 (Eigenschaften der B.K.) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = = und =. 0 n k n k ( ) ( ) ( ) n n n + + = (Additionstheorem). k k + k + Begründung zu : (s. Vorlesung) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 /

9 Kapitel Zahlen Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck anordnen: ( ) n k n Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Satz.4 (Binomischer Lehrsatz) Für x, y R und n N gilt (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k k Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 33 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 34 / Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Definition 3. (Relationen) Es seien M und N Mengen. Eine Relation zwischen M und N ist eine Teilmenge R M N. Ist (a, b) R M N ein Element der Relation R, so sagen wir a steht in Relation zu b und wir schreiben a R b. Beispiele Es sei M die Menge aller Autos, und N die Menge aller Farben. Durch (c, f) R M N, wenn ein Teil des Autos c in der Farbe f lackiert ist, wird eine Relation definiert. Es sei M die Menge aller Bundesligapaarungen und N die Menge aller Spielergebnisse. Die Definition (p, e) R M N, wenn die Paarung p das Ergebnis e erspielt, liefert eine Relation. Definition 3. (Relationen auf einer Menge) Eine Relation auf einer Menge M ist eine Relation R M M. Eine Relation auf einer Menge M heißt... R)... reflexiv, wenn a R a für alle a M ist. R)... transitiv, wenn mit a R b und b R c auch a R c ist. R3)... symmetrisch, wenn mit a R b auch b R a ist. R4)... antisymmetrisch, wenn, falls a R b und b R a, schon a = b ist. R5)... total, wenn für alle a, b M a R b oder b R a ist Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 35 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 36 /

10 Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Definition 3.3 (Ordnungs-, und Äquivalenzrelation) Eine Relation heißt Totalordnung, wenn sie R, R, R4, und R5 erfüllt.... Halbordnung, wenn sie R, R und R4 erfüllt Äquivalenzrelation, wenn sie R, R, und R3 erfüllt. Beispiele: Die Teilbarkeitsrelation T N + N + ist definiert durch (a, b) T, wenn a b (also statt T ). Die Teilbarkeitsrelation ist eine Halbordnung. Die Gleichheit G M M ist definiert durch (a, b) G, wenn a = b (also = statt G ). Die Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation. Beispiele [cont.]: Die Ordnungsrelation auf O R R ist definiert durch (a, b) O, wenn a b (also statt O ). Die Ordnungsrelation ist eine Totalordnung auf R. Es sei M eine Menge und P(M) die Menge aller Teilmenge von M. Diese Menge nennt man Potenzmenge von M. Die Teilmengenrelation τ P(M) P(M) ist definiert durch (U, V ) τ, wenn U V ( statt τ ). Die Teilmengenrelation ist eine Halbordnung. Es sei M die Menge der Bundesligisten der letzten Saison, und R M M die Relation die durch folgende Vorschrift gegeben ist; a R b, wenn beide Bundesligisten zum Saisonende die gleiche Punktanzahl haben. Dies ist eine Äquivalenzrelation. Bemerkung: Ist eine Relation wie in den obigen Beispielen durch eine Vorschrift gegeben, so identifizieren wir Relation und Vorschrift. Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 37 / Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 38 / Mit Hilfe der Ordnungszeichen definieren wir spezielle Teilmengen von R. Seien dazu a, b R mit a < b. Definition 3.4 (Ordnungszeichen) Da eine Totalordnung auf R definiert, gilt also x y oder y x für alle x, y R. Statt x y schreiben wir auch y x. Weiter schreiben wir x < y, wenn x y aber nicht x y gilt, und ebenso y > x für x < y. Damit gilt für alle x, y R entweder(!) x < y oder x = y oder x > y. Die Zeichen,, <, > und = heißen Ordnungszeichen. Definition 3.5 (Intervalle) Beschränkte Intervalle [a, b] := {x R a x b} (Abgeschlossenes Intervall). ]a, b[ := {x R a < x < b} (Offenes Intervall). [a, b[ := {x R a x < b} oder ]a, b] := {x R a < x b} (Halboffene Intervalle). Unbeschränkte Intervalle: [a, [ := {x R a x} und ], b] := {x R x b} ]a, [ := {x R a < x} und ], b[ := {x R x < b} ], [ := R Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 39 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 40 /

11 Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Satz 3.6 (Rechenregeln) Es seien x, y, z R. Dann gilt Ist x < y und y < z, dann gilt x < z. Ist x y und y x, so ist x = y. 3 Ist x < y dann ist x + z < y + z. 4 Ist x > 0 und y > 0, so ist auch xy > 0. 5 Ist z > 0 und x < y, so ist xz < yz. 6 Ist z < 0 und x < y, so ist xz > yz. 7 Ist 0 < x < y, so gilt x > y > 0. Aus den Rechenregeln 3.6 folgt: Satz 3.7 (Vorzeichen von Produkten) Es seien x,..., x n R. Dann gilt: n x i = 0 ist gleichbedeutend damit, dass es mindestens ein i= j {,..., n} gibt mit x j = 0. n x i > 0 ist gleichbedeutend damit, dass nur eine gerade Anzahl der i= Faktoren x j negativ ist. Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / Die Rechenregeln 3.6 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen das Folgende: Bemerkung 3.8 Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf beiden Seiten... )... eine Zahl addieren. )... mit einer positiven Zahl multiplizieren. 3)... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres dazu folgt später.) Beispiele streng monotoner Funktionen: Die Wurzelfunktion auf [0, [. Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten auf R und mit geradem Exponenten auf [0, [. Die Exponentialfunktion auf R und die Logarithmusfunktion auf ]0, [. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 43 / Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Definiton 3.9 (Betrag) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert als der Abstand zu 0 und wird mit x bezeichnet. Also { x falls x 0 x := x falls x < 0 Für x, y R ist x y der Abstand von x und y. Satz 3.0 (Eigenschaften des Betrags für x, y R). x = 0 ist gleichbedeutend mit x = x + y x + y.. x = x. 6. x y x y. 3. x x x mit Gleichheit an genau einer Stelle, wenn x x = x. 4. xy = x y. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 44 /

12 Kapitel 3 Relationen, Ordnung und Betrag Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Satz 3. (Quadratische Ungleichungen) Es gilt x + px + q < 0 x + p < D, wobei D = p 4q die Diskriminante ist. Ist D < 0 so hat die Ungleichung keine reelle Lösung. Außerdem gilt x + px + q > 0 x + p D >, wobei im Fall D < 0 die Lösungsmenge ganz R ist. Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 45 / Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 46 / Definition 4. (Abbildungen) Es seien D und W Mengen. Eine Abbildung von D nach W ist eine Relation zwischen D und W mit den folgenden zusätzlichen Eigenschaften:. Für alle x D gibt es ein y W, so dass (x, y) in der Relation liegt.. Sind (x, y ) und (x, y ) beide in der Relation enthalten, so gilt y = y. D heißt der Definitions- und W der Wertebereich. Bemerkung/Schreibweise 4. Ist eine Abbildung zwischen D und W gegeben, so gibt es zu jedem x D genau(!) ein y W so dass (x, y) in der Relation enthalten ist. Diese eindeutige Zuordnung bezeichnen wir mit f und schreiben f : D W. Für x D bezeichnet f(x) W das Bild. Definition 4. [cont.] Ist nun f : D W eine Abbildung, so heißt die Menge der Elemente in W, die von f getroffen wird, die Bildmenge von f und wird mit f(d) bezeichnet. Es gilt f(d) := {y W x D : y = f(x)} = {f(x) x D} W. Ist nun umgekehrt U W eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller Elemente von D deren Bild in U liegt, das Urbild von U. Dies wird mit f (U) bezeichnet. Es gilt f (U) := {x D f(x) U} D. Die Abbildung als Relation selbst, also die Teilmenge {(x, f(x)) x D} D W, bezeichnet man auch als Graphen der Abbildung f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 47 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 48 /

13 Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Bemerkung 4.3 Zwei Abbildungen f : D W und f : D W sind genau dann gleich, wenn D = D und f (x) = f (x) für alle x D. Definition/Bemerkung 4.4 (identische Abbildung) Es sei f : D D mit f(x) := x für alle x D. Diese Abbildung heißt identische Abbildung oder Identität auf D und wird hier mit id D bezeichnet. Die Identität entspricht als Relation der Gleichheit auf D. Sprechweisen: Oft wird in der Literatur der Begriff Funktion parallel zum Begriff Abbildung benutzt. Bei uns sind Funktionen jedoch spezielle Abbildungen, nämlich die, deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Definition 4.5 (Polynome) Es sei n N und a 0, a,..., a n R mit a n 0. Dann heißt die Funktion p : R R mit p(x) = n a k x k = a n x n + a n x n a x + a 0 k=0 ein Polynom. Die Zahl grad(p) := n heißt der Grad, die a k heißen die Koeffizienten und speziell a n der Leitkoeffizient von p. Eine Zahl x 0 R mit p(x 0 ) = 0 heißt Nullstelle von p. Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 49 / Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 50 / Satz 4.6 (Faktorisierung) Es sei p ein Polynom und x 0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein Polynom q mit grad(q) = grad(p), so dass p(x) = (x x 0 )q(x). Beispiel: Es sei p(x) = x n c n das Polynom n-ten Grades mit den Koeffizienten a n = und a 0 = c n (alle anderen Koeeffizienten sind 0). Dieses Polynom hat die Nullstelle x 0 = c und wir wollen nun das Polynom q bestimmen. Es gilt (( x n c n = c n x ) n ) c ( = c n x ) n c ( x ) k c wobei die letzte Gleichheit gerade die geometrische Summenformel für q = x c ist. k=0 Damit rechnen wir nun weiter ( x ) n x n c n = c c ( x ) k c n c k=0 n = (x c) x k c n k. k=0 Also ist das gesuchte Polynom: n q(x) = x k c n k = x n + cx n c n x + c n k=0 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 /

14 Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Die Koeffizienten des Polynoms q aus der Faktorisierung lassen sich durch Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen. Hornerschema 4.7 Das Hornerschema kann dazu benutzt werden, den Funktionswert eines Polynoms p an einer beliebigen Stelle x 0 zu bestimmen. Man erhält zusätzlich die Koeffizienten eines Polynoms q, dessen Grad um Eins kleiner ist, als der von p, und das erfüllt. p(x) = (x x 0 )q(x) + p(x 0 ) Beschreibung des Hornerschemas: Zunächst schreiben wir die Koeffizienten von p in die erste Zeile einer Tabelle und führen dann von links nach rechts in der Tabelle immer wieder zwei Schritte durch. Schließlich gelangt man zu folgendem Abschlußschema: a n a n a n... a a c n x 0 c n x 0... c x 0 c 0 x 0 = = = = = c n c n c n 3... c 0 c Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Die zwei Schritte die man macht sind: Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 53 /. Addiere die Zahlen der ersten und zweiten Zeile und schreibe sie in die dritte Zeile.. Der zuletzt berechnete Wert wird mit x 0 multipliziert und in die zweite Zeile der nächsten Spalte eingetragen. Es ist dann c n = a n und c k = a k + c k x 0 für k = 0,..., n Hornerschema 4.7 [cont.] Mit dem Hornerschema erhalten wir n. p(x 0 ) = c und. q(x) = c k x k k=0 Ist x 0 eine Nullstelle von p, also c = 0, so ist das Ergebnis die Faktorisierung aus 4.6. Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Weitere Bemerkungen zu den Nullstellen von Polynomen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 54 /. Man kann nun 4.6 auf q anwenden und so nach und nach Nullstellen von p abspalten. Es gilt sogar Fundamentalsatz der Algebra 4.8 Jedes Polynom n-ten Grades hat eine Faktorisierung der Form p(x) = a n (x x ) k (x x r ) k r (x + d x + e ) m (x + d s x + e s ) m s mit r k j + j= s m i = n. i= Die auftretenden Faktoren sind also entweder () Linearfaktoren aus der Abspaltung von Nullstellen oder () quadratische Faktoren ohne weitere Nullstellen. Gibt es keine quadratischen Faktoren, so sagt man: p zerfällt in Linearfaktoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 55 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 56 /

15 Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Zum Faktorisieren muss man allerdings die Nullstellen ausrechnen, bzw. finden. Das geht jedoch in der Regel nicht. Aber es gilt zum Beispiel. Hat p nur ganzzahlige Koeffizienten, und ist der Leitkoeffizient a n =, so sind alle rationalen Nullstellen sogar ganz und sie sind Teiler des Koeffizienten a Ist in. der Leitkoeffizient a n so gilt folgende Verallgemeinerung: Ist r s eine (gekürzte) rationale Nullstelle so gilt s a n und r a 0. Manchmal interessiert einen nur die Existenz oder die ungefähre Lage einer Nullstelle. Dann kann man folgendes ausnutzen: 4. Hat man zwei Werte x, x R mit p(x ) > 0 und p(x ) < 0 so gibt es einen Wert x 0 zwischen x und x für den p(x 0 ) = 0 ist. Kann man nun x und x dicht zusammenbringen, ohne dass die Vorzeicheneigenschaft verloren geht, so hat man eine Näherung für x 0 gefunden. Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 57 / Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 58 / In anderen Fällen interessiert gegebenenfalls nur die Anzahl der positiven und negativen Nullstellen. Dann kann man folgendes ausnutzen: 5. Wissen wir, dass das Polynom p in Linearfaktoren zerfällt und 0 keine Nullstelle ist, so gilt folgende Regel: Die Anzahl der positiven Nullstellen entspricht der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge (a n, a n,..., a, a 0 ) Die Anzahl der negativen Nullstellen entspricht der Anzahl der Vorzeichenerhaltungen in der Folge (a n, a n,..., a, a 0 ) Dabei ordnet man den Nullkoeffizienten ein beliebiges (aber einheitliches) Vorzeichen zu. Das Resultat kann man so modifizieren, dass auch 0 als Nullstelle erlaubt ist. Achtung: Die Voraussetzung, dass das Polynom zerfällt, ist notwendig! Definition 4.9 (Rationale Funktionen) Es seien p und q Polynome. Dann heißt die Funktion f mit f(x) := p(x) q(x) rationale Funktion. Ihr Definitionsbereich ist D = {x R q(x) 0}. Definition 4.0 (Potenzfunktion) Es sei q Q eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion f q :]0, [ [0, [ durch f q (x) = x q definiert. Bemerkung: Später werden wir die Potenzfunktionen auch für irrationale Exponenten erklären. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 59 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 60 /

16 Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Definition 4. (Einschränkung und Fortsetzung) Es seien D D und f : D W, f : D W zwei Abbildungen mit f (x) = f (x) für alle x D. Dann heißt f Einschränkung von f und f Fortsetzung von f. Man schreibt auch f = f D. Definition 4. (Verkettung von Abbildungen) Es seien f : D U und g : V W Abbildungen und es gelte U V. Dann ist die Verkettung g f : D W definiert durch (g f)(x) := g(f(x)). Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder Komposition und man liest g f als g nach f. Definition 4. [cont.] (Addition Multiplikation) Es seien f : D R und g : D R Funktionen mit dem gleichen Definitionsbereich. Dann sind die Addition f + g : D R und die Multiplikation f g : D R punktweise definiert. Das heißt, dass für alle x D gilt: (f + g)(x) := f(x) + g(x) und (f g)(x) := f(x)g(x). Bemerkung: Für allgemeine Abbildungen kann man in der Regel keine Addition und Multiplikation erklären. Hier spielt der Wertebereich R eine große Rolle. Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / Definition 4.3 (Umkehrabbildung) Es seien f : D W und g : W D Abbildungen mit den Eigenschaften () g f = id D und () f g = id W. Dann heißen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben g = f bzw. f = g. Man sagt dann auch f (und natürlich auch g) ist invertierbar. Definition 4.4 (Injektiv, Surjektiv, Bijektiv) Eine Abbildung f : D W heißt injektiv, wenn für alle x, x D mit x x für die Bilder f(x ) f(x ) gilt.... surjektiv, wenn f(d) = W bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Satz 4.5 Eine Abbildung f : D W ist injektiv, wenn die Gleichung f(x ) = f(x ) schon x = x liefert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 63 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 64 /

17 Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Satz 4.6 Eine Abbildung f : D W ist Gleichung f(x) = y für jedes y W hat. Folgerung 4.7 Eine Funktion f : R R ist von f jede Parallele zur x-achse injektiv surjektiv bijektiv injektiv surjektiv bijektiv genau dann, wenn die höchstens mindestens genau höchstens mindestens genau eine Lösung x D genau dann, wenn der Graph einmal schneidet. Satz 4.8 (Umkehrabbildung) Eine Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist. Bemerkung 4.9 (Graph der Umkehrfunktion) Es seien D, W R und f : D W eine bijektive Funktion. Den Graphen der Umkehrfunktion f : W D erhält man, indem man den Graphen von f an der Winkelhalbierenden spiegelt. Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 65 / Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 66 / Definition 4.0 (Monotonie) Es sei I R und f : I R eine Funktion. Dann heißt f monoton wachsend, wenn für alle x, x I mit x < x gilt f(x ) f(x ).... streng monoton wachsend, wenn für alle x, x I mit x < x gilt f(x ) < f(x ) monoton fallend, wenn für alle x, x I mit x < x gilt f(x ) f(x ) streng monoton fallend, wenn für alle x, x I mit x < x gilt f(x ) > f(x ). Satz 4. Es sei I R und f : I R eine streng monotone Funktion. Dann ist f injektiv. Wenn man den Wertebereich auf f(i) R einschränkt, dann ist f : I f(i) sogar invertierbar. Beispiel: Die Potenzfunktionen f q : [0, [ [0, [ sind streng monoton steigend. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 67 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 68 /

18 Kapitel 5 Trigonometrie Kapitel 5 Trigonometrie Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß (auch Rad) angegeben: 360 =π Scheitel S Schenkel α Winkelbereich Kapitel 5 Trigonometrie Deg Rad y 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π cot α r = sin α α cos α tan α x Durch diese Betrachtungen am Einheitskreis werden vier Funktionen definiert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 69 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 70 / Kapitel 5 Trigonometrie Kapitel 5 Trigonometrie Definition 5. (Winkelfunktionen) Name D W Sinus sin R [, ] Cosinus cos R [, ] Tangens tan R \ { k+ π k Z} R Cotangens cot R \ {kπ k Z} R y y = sin x y = cos x y y = tan x y = cot x Satz 5. (Interpretation am rechtwinkligen Dreieck) C Mit diesen Bezeichnungen gilt dann b a α sin α = a b, cos α = c b, tan α = a c, cot α = c a A c B π π x π 4 π 3π 4 π 5π 4 3π x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 /

19 Kapitel 5 Trigonometrie Kapitel 5 Trigonometrie Definition 5.3 (Periodische Funktionen) Es sei T > 0. Eine Funktion f : R R heißt T -periodisch, wenn f(x + T ) = f(x) für alle x R. Definition 5.4 (Symmetrie von Funktionen) Es sei I R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I R heißt gerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I..... ungerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I. Satz 5.5 (Eigenschaften der Winkelfunktionen). sin sowie cos sind π- und tan sowie cot sind π- periodisch.. sin(x + π) = sin x und cos(x + π) = cos x. 3. sin(x + π ) = cos x und cos(x + π ) = sin x. 4. tan x = sin x und cotx = cos x tan x. 5. cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot sind ungerade Funktionen. 6. Für alle x R gilt sin x und cos x. 7. sin(x) = 0 genau dann, wenn x = kπ mit k Z. cos(x) = 0 genau dann, wenn x = k+ π mit k Z. 8. sin x + cos x = der Trigonometrische Pythagoras. 9. cos x = + tan x und sin x = + cot x. Kapitel 5 Trigonometrie Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 73 / Kapitel 5 Trigonometrie Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 74 / Satz 5.6 (Einschränkungen der Winkelfunktionen) Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen sind streng monoton und wegen Satz 4.0 damit bijektiv auf das jeweilige Bild. sin [ [ ] : π π, π, π ] [, ] ist streng monoton wachsend. cos [0,π] : [0, π] [, ] ist streng monoton fallend. 3 tan ] ] [ : π π, π, π [ R ist streng monoton wachsend. 4 cot ]0,π[ :]0, π[ R ist streng monoton fallend. Wegen Satz 4.8 und Satz 4. können wir von diesen Einschränkungen aus Satz 5.6 die Umkehrfunktionen angeben. Definition 5.7 (Arcusfunktionen) Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen genannt und sind. arcsin : [, ] [ π, π ]. arccos : [, ] [0, π] 3. arctan : R ] π, π [ 4. arccot : R ] 0, π[ Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Bemerkung 4.9): Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 75 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 /

20 Kapitel 5 Trigonometrie Kapitel 5 Trigonometrie y π π y = arccos x y = arcsin x x y = arccot x π 4 y = arctan x y π π π x Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme sehr nützlich: Satz 5.8 (Additionstheoreme) A) sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x A) cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tan x ± tan y A3) tan(x ± y) = tan x tan y Daraus erhält man dann Folgerung 5.9 (Doppelte Winkel). sin x = sin x cos x. cos x = cos x sin x 3. tan x = tan x tan x 4. cos x = ( + cos x) und sin x = ( cos x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 77 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 78 / Kapitel 5 Trigonometrie Kapitel 5 Trigonometrie Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme: Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit 5.5, 5.8 und 5.9 dann natürlich weitere) cos x cos y sin x cos y cos x sin y x cos y sin y x y x + y sin(x + y) sin x sin y cos(x + y) x in Grad x in Rad 0 π 6 sin x 0 cos x 3 π 4 π 3 π 3 0 tan x cotx Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 79 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 80 /

21 Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : N R. Statt f(n) schreiben wir x n und schreiben abkürzend (x n ) := (x 0, x,..., x k,...) für die Sammlung aller Bilder. x n heißt n-tes Folgenglied. Beispiele: (n) hat den Definitionsbereich N. ( ) n hat den Definitionsbereich N +. ( ) (n+)(n 4) hat den Definitionsbereich N 5. Bemerkung: Manchmal macht es Sinn den Definitionsbereich einzuschränken, dieser sollte allerdings dann keine Lücken haben. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Was bedeutet Eine Folge läuft gegen einen festen Wert? Technisches Hilfsmittel zur Beschreibung des Verhaltens von Zahlenfolgen: Definition 6. (ɛ-umgebung) Für a R und ɛ > 0 heißt das offene Intervall ]a ɛ, a + ɛ[= {x R x a < ɛ} die ɛ-umgebung von a und wird mit U ɛ (a) bezeichnet. Definition 6.3 (Konvergenz von Zahlenfolgen) Eine Folge (x n ) heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn gilt ɛ > 0 n 0 N n n 0 : x n a < ɛ. Wir schreiben: lim n x n = a oder manchmal auch x n a (n ) und sagen: (x n ) geht gegen a für n gegen unendlich, oder auch: (x n ) konvergiert gegen a. Satz 6.4 Eine konvergente Folge besitzt einen eindeutigen Grenzwert. lim x n = a ist gleichbedeutend mit lim x n a = 0. n n 3 Ist lim n y n = 0 und 0 x n y n für alle n, so gilt lim n x n = 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 83 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 84 /

22 Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Und nun halten wir noch fest, was es bedeutet, wenn eine Folge nicht konvergiert. Von Nicht-Konvergenz gibt es verschiedene Abstufungen. Definition 6.5 (Divergenz). Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.. Eine Folge (x n ) heißt uneigentlich konvergent, wenn gilt M R n 0 N n n 0 : x n > M Wir schreiben in diesem Fall lim n x n = oder x n (n ). Analog macht man das für. Beispiele 6.6: Jede Folge, die konstant wird (dh. es gibt eine Zahl m N, so dass x n = x m für alle n m) ist konvergent. Die Folge ( ) ( n =,, 3,... ) konvergiert gegen 0. Genauso auch die Folge ( ) n (falls k > 0). k 3 Ist die Folge (x n ) uneigentlich konvergent und ist x n 0 für alle n, so konvergiert die Folge ( x n ) gegen 0. 4 Die Folge ( ( ) n) ist divergent. Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 85 / Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 86 / Definition 6.7 (Teilfolge) Eine Teilfolge einer Folge erhält man, indem man aus ihr eine beliebige Anzahl von Gliedern weg lässt, wobei aber unendlich viele Glieder übrigbleiben müssen. Satz 6.8 (Eigenschaften von Teilfolgen) Ist eine Folge konvergent gegen a, so konvergiert jede Teilfolge ebenfalls gegen a. Hat eine Folge zwei Teilfolgen, die gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren, dann ist die Folge divergent. Satz 6.9 (Rechenregeln für konvergente Folgen) Es seien (x n ) bzw. (y n ) konvergente Folgen und außerdem sei c R. Dann gilt lim (x n ± y n ) = lim x n ± lim y n. n n n lim (cx n) = c lim x n. n n 3 lim n (x ny n ) = lim n x n lim n y n. x n 4 lim = n y n lim n x n lim n y n (hierbei sei natürlich y n 0 und lim n y n 0). 5 Ist x n y n oder x n < y n, dann gilt lim n x n lim n y n. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 87 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 88 /

23 Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Definition 6.0 (Grenzwert einer Funktion) Es sei D R eine Teilmenge und ˆx D. Weiter sei f : D \ {ˆx} R eine Funktion. f hat in ˆx den Grenzwert ŷ wenn gilt: Für jede Folge (x n ) in D \ {ˆx} mit lim n x n = ˆx gilt lim n f(x n) = ŷ. Man schreibt dann lim x ˆx f(x) = ŷ. Die Definition lässt sich auch auf ˆx = ± oder ŷ = ± erweitern. Bemerkung: Linksseitiger (x n < ˆx) und rechtsseitiger (x n > ˆx) Grenzwert müssen übereinstimmen. Der Grenzwertbegriff ist explizit auch für Definitionslücken von f sinnvoll (und anwendbar). Definition 6. (Stetigkeit) Es sei f : D R eine Funktion auf der Teilmenge D R. Dann heißt stetig in x 0 D, wenn lim x x 0 f(x) = f(x 0 )... stetig, wenn f in jedem Punkt aus D stetig ist. Beispiele 6.:. Die Identität und die Betragsfunktion sind stetig.. Die Signum-Funktion σ : R R mit σ(x) := ist nicht stetig. { falls x 0 falls x < 0 3. Die Funktion f mit f(x) = x ist stetig auf ihrem Definitionsbereich D = R \ {0}. 4. Die Wurzelfunktionen f : R 0 R 0 mit f(x) = n x sind stetig. Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 89 / Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 90 / Satz 6.3 (Rechenregeln für Grenzwerte) Es seien f, g : D \ {x 0 } R Funktionen mit lim x x 0 f(x) = a und lim x x 0 g(x) = b, sowie c R. Dann gilt lim x x 0 (f(x) ± g(x)) = a ± b. lim x x 0 (cf(x)) = ca. 3 lim x x 0 (f(x)g(x)) = ab. 4 lim x x 0 f(x) g(x) = a b Beispiele 6. [cont.]: (falls b 0). 5. Die Potenzfunktionen sind stetig und die Polynome sind stetig. Satz 6.4 Es seien f, g : D R stetig in x 0 D und c R. Dann sind auch f ± g, cf, fg und f g stetig (wobei im letzten Fall g(x) 0 für alle x D vorausgesetzt werden muss). Ist f : D R stetig in x 0 D und g : ˆD R mit f(d) ˆD stetig in f(x 0 ) ˆD, so ist g f stetig in x 0. Satz 6.5 Die Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen sind stetig auf ihren Definitionsbereichen. Beispiele 6. [cont.]: 6. f : x x + ist stetig. 7. x arctan(sin(x)) ist stetig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 /

24 Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 7 Differenzierbarkeit Satz 6.6 (Nullstellensatz) Ist f : [a, b] R eine stetige Funktion mit f(a)f(b) < 0, so gibt es ein x [a, b] mit f(x) = 0. Beispiel: Das Polynom f mit f(x) = x 3 + x x erfüllt f( 3) = 8 < 0 und f() =, hat also eine Nullstelle in [ 3, ] (sogar drei:, und ). Kapitel 7 Differenzierbarkeit Satz 6.7 (Zwischenwertsatz) Es sei f : [a, b] R eine stetige Funktion und es gelte f(a) f(b). Dann gibt es zu jedem y zwischen f(a) und f(b) ein x [a, b], so dass f(x) = y. Beispiel [cont.]: Das Polynom f mit f(x) = x 3 + x x nimmt sogar jeden Wert in [ 8, ] im Intervall [ 3, ] an. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 93 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 94 / Kapitel 7 Differenzierbarkeit Kapitel 7 Differenzierbarkeit Definition 7. (Differenzierbarkeit) Es sei f : I R eine Funktion auf dem offenen(!) Intervall I R. f heißt differenzierbar in dem Punkt x 0 I, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h R existiert. Dieser Wert wird dann mit f (x 0 ) bezeichnet und heißt die Ableitung von f an der Stelle x differenzierbar auf I, wenn f an jeder Stelle x I differenzierbar ist. Grundlegende Beispiele 7.: f(x) f (x) c 0 x x x x n nx n, n N f(x) f (x) x x x n n x n+, sin x cos x cos x sin x n N Wichtige Beobachtung: In der rechten Spalte taucht x = x nie auf! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 95 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 96 /

25 Kapitel 7 Differenzierbarkeit Kapitel 7 Differenzierbarkeit Die Ableitung einer Funktion f kann man auch geometrisch interpretieren. y a T Definition 7.3 (Tangente) x Die Steigung der Tangente T im Punkt a ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. Die Gerade mit der Gleichung ( ) Tx f 0 (x) = y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) heißt Tangente an den Graphen von f im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) (kurz auch T f x 0 : Tangente an f in x 0 ). Bemerkung: Differenzierbarkeit in x 0 bedeutet also anschaulich, dass sich die Funktionswerte von f in einer kleinen Umgebung von x 0 gut durch die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch: f ist linear approximierbar. Genauer: Satz 7.4 (Lineare Approximation) Es sei f : I R eine Funktion auf dem offenen Intervall I R und x 0 I. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:. f ist differenzierbar in x 0.. Es gibt eine Zahl c R und eine Funktion φ : I R mit lim x x 0 φ(x) = 0 und In diesem Fall ist c = f (x 0 ). f(x) = f(x 0 ) + c(x x 0 ) + φ(x)(x x 0 ). Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 97 / Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 98 / Satz 7.5 Ist f : I R differenzierbar in x 0 I, so ist f auch stetig in x 0. Definition 7.6 (Höhere Ableitungen). Ist f auf I differenzierbar, so heißt die Funktion f : I R mit x f (x) die Ableitung von f.. Ist f differenzierbar, und f stetig auf I so nennt man f stetig differenzierbar. 3. Sind f und f differenzierbar auf I, dann nennt man die Funktion f := (f ) die zweite Ableitung von f. 4. Ebenso definiert man höhere Ableitungen f, f (4), f heißt k-mal stetig differenzierbar, wenn f (k) existiert und stetig ist. 6. f heißt glatt, wenn für alle k N die Ableitung f (k) existiert und stetig ist. Satz 7.7 (Differentiationsregeln). Summenregel (f + g) (x) = f (x) + g (x). Produktregel (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) f 3. Quotientenregel (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g (x) 4. Kettenregel (f g) (x) = f (g(x))g (x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 00 /

26 Kapitel 7 Differenzierbarkeit Kapitel 7 Differenzierbarkeit Satz 7.8 (Ableitung der Umkehrfunktion) Es sei f auf dem Intervall I streng monoton und differenzierbar und es gelte f 0. Dann ist die Umkehrfunktion f differenzierbar auf J := f(i). Für y = f(x) J, also x = f (y), gilt dann (f ) (y) = f (x). Beispiel: Wir berechnen die Ableitung von f (y) = arcsin(y). Dann ist f(x) = sin x und wegen Satz 7.8 gilt arcsin (y) = (sin x) = cos x = sin x, mit y = sin x also schließlich arcsin (y) = y. Grundlegende Beispiele 7. [cont.] f(x) f (x) x x n x n n x n n N + = N \ {0} tan x + tan x = cos x arcsin x x arccos x x arctan x + x Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 0 / Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 0 / Folgerungen 7.9 Aus der Kettenregel lässt sich folgendes herleiten (innere Funktion ist jeweils f):. (f ) (x) = f(x)f (x).. (f n ) (x) = nf n (x)f (x). ( ) 3. (x) = f (x) f f (x). Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 03 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 04 /

27 Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Satz 8. (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Es sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann gibt es ein x 0 ]a, b[ mit f f(b) f(a) (x 0 ) =. b a Folgerung 8. Sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann gilt: Ist f (x) 0(> 0) für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] (streng) monoton steigend. Ist f (x) 0(< 0) für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] (streng) monoton fallend. 3 Ist f (x) = 0 für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] konstant. Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets offen (diese werden dann mit I bezeichnet). Satz 8.3 (Krümmung) Es sei f : I R zweimal differenzierbar. Dann heißt (der Graph von) f linksgekrümmt, falls f > 0 auf ganz I..... rechtsgekrümmt, falls f < 0 auf ganz I. Definition 8.4 (Wendestelle, Wendepunkt) Es sei f : I R zweimal differenzierbar und f (x 0 ) = 0 für x 0 I. Dann heißt x 0 eine Wendestelle und der Punkt (x 0, f(x 0 )) ein Wendepunkt (des Graphen) von f. Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 05 / Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 06 / Definition 8.5 (Extremum) Es sei D R eine beliebige Teilmenge, f : D R und x 0 D. (Der Graph von) f hat in x 0 ein......globales Maximum, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D....globales Minimum, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D. 3...lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U ɛ (x 0 ) gibt, so dass f(x) f(x 0 ) für alle x U ɛ (x 0 ) D. 4...lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U ɛ (x 0 ) gibt, so dass f(x) f(x 0 für alle x U ɛ (x 0 ) D. Maxima und Minima fassen wir auch unter dem Namen Extrema zusammen. Wir nennen x 0 eine Extremalstelle, f(x 0 ) ein Extremum und (x 0, f(x 0 )) einen Extrempunkt (des Graphen) von f. Satz 8.6 (Notwendiges Kriterium für Extrema) Es sei f : I R differenzierbar in x 0 I. Hat f in x 0 ein lokales Extremum, so ist f (x 0 ) = 0. Bemerkung 8.7 Die Umkehrung von Satz 8.6 ist in der Regel nicht richtig. Das zeigt schon das Beispiel f(x) = x 3 und x 0 = 0. Das Phänomen des letzten Beispiels werden wir nun näher beleuchten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 07 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 08 /

28 Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Satz 8.8 (Hinreichendes Kriterium für Extrema) Es sei f : I R hinreichend oft differenzierbar und x 0 I mit f (x 0 ) = 0. Dann gilt { } { } < 0 lokales Maximum. Ist f (x 0 ), so hat f in x > 0 0 ein. lokales Minimum. Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 so hat f in x 0 eine Wendestelle. In diesem Fall spricht man von einem Sattelpunkt. Allgemeiner gilt: 3. Ist f (x 0 ) =... = f (n ) (x 0 ) = 0 und f (n) 0, dann gilt Ist n gerade, so hat f in x 0 ein { lokales Maximum, falls f (n) (x 0 ) < 0 lokales Minimum, falls f (n) (x 0 ) > 0. Beispiel: Wir betrachten f : R R mit f(x) = sin x. Da die + cos x Funktion π-periodisch ist, schauen wir sie uns nur auf einem Teilintervall an, nämlich auf [0, π]. (genauer auf ] δ, π + δ[, da wir ein offenes Intervall brauchen). y π f(x) f (x) f (x) x Ist n ungerade, so hat f in x 0 einen Wendepunkt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 09 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 0 / Kapitel 8 Anwendungen der Differentialrechnung Kapitel 9 Integralrechnung Mit Hilfe der Differentialrechnung lassen sich bestimmte Grenzwerte ausrechnen, die man ohne deren Hilfe nur schwer bekommt. Satz 8.9 (Satz von l Hospital) Es sei a ein Randpunkt des offenen Intervalls I R (dabei ist a = ± ausdrücklich zugelassen), und f und g stetig differenzierbar auf I. Dann gilt: Ist lim f(x) = lim g(x) = 0 und existiert der Grenzwert x a x a f (x) f(x) lim x a g = C, so gilt ebenfalls lim (x) x a g(x) = C Analog gilt der Satz auch für Ausdrücke der Form. Kapitel 9 Integralrechnung 3 Mit leichten Modifikationen kann man auch Ausdrücke der Form 0 und behandeln. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite /

29 Kapitel 9 Integralrechnung Kapitel 9 Integralrechnung Definition 9. (Stammfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stammfunktion von f auf I, wenn F auf I differenzierbar ist und F (x) = f(x) für alle x I. Wenn wir für f eine Stammfunktion suchen, so sagen wir auch: wir integrieren f. Wenn wir eine Stammfunktion gefunden haben, so nennen wir f integrierbar. Satz 9. Ist F eine Stammfunktion zu f, so ist auch G = F + c mit einer Konstanten c R eine Stammfunktion von f. Alle Stammfunktionen zu f sind von dieser Form. Sind also G und F zwei Stammfunktionen, so gibt es eine Konstante c R mit G(x) = F (x) + c. Definition 9.3 (unbestimmtes Integral) Die Menge aller Stammfunktionen von f heißt unbestimmtes Integral von f und wird mit f(x)dx bezeichnet. Ist F eine Stammfunktion zu f so schreiben wir auch f(x)dx = F (x) + c. Satz 9.4 (erste Eigenschaften: Linearität). (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.. (cf(x))dx = c f(x)dx für c R. Kapitel 9 Integralrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / Kapitel 9 Integralrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / Nun folgen zwei wichtige Eigenschaften des Integrals, die sich auf Produkte und Verkettungen von Funktionen beziehen. Sie folgen direkt aus den Rechenregeln für das Differenzieren (Satz 7.7). Satz 9.5 (Partielle Integration) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) Satz 9.6 (Substitution) f (x)g(x)dx. Ist F eine Stammfunktion zu f und ist g differenzierbar, so gilt f(g(x))g (x)dx = F (g(x)) + c. Folgerungen 9.7 Es sei F eine Stammfunktion zu f. Dann ist. f(x + a) dx = F (x + a) + c. f(ax) dx = a F (ax) + c 3. g(x) g (x) dx = (g(x)) + c 4. xf(x ) dx = F (x ) + c Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 /