Vorkurs Mathematik Teil II. Analysis

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1 Vorkurs Mathematik Teil II. Analysis

2 Inhalt 1. Konvergenz 2. Grundlegendes über Funktionen, Stetigkeit, Ableitung und Integral 3. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 4. Elementare Funktionen 2 of 79 Aachen Olaf Wittich

3 1.1 Konvergenz - Motivation Wie wir gesehen haben, ist 2 nicht als ein Bruch darstellbar. Das bedeutet, dass 2 eine Dezimaldarstellung hat, die weder abbricht, noch irgendwann periodisch wird. Benutzung eines Taschenrechners ergibt nach dem Eintippen von 2 eine Ausgabe von aber diese Zahl ist gleich , also ein Bruch und kann deswegen nicht gleich 2 sein. Das liegt daran, dass man die Dezimaldarstellung von 2 nicht einfach abbrechen lassen kann. Sie vollständig hinschreiben kann man aber auch nicht, es sei denn, man hat unendlich lange Zeit. 3 of 79 Aachen Olaf Wittich

4 1.1 Konvergenz - Motivation Das bedeutet, wir müssen neu darüber nachdenken, was es überhaupt heissen soll, eine irrationale Zahl hinzuschreiben. Im Beispiel der Wurzel aus zwei wissen wir, dass eine Zahl ist, deren Dezimaldarstellung mit 5 Nullen nach dem Komma beginnt, d.h = irgendwas < = Wir können also 2 durch eine Zahlenfolge (a n ) n N mit a 1 = 1, a 2 = 1.4, a 3 = 1.41 a 4 = usw. (d.h. a n ist die Dezimalentwicklung von 2 bis zur (n 1)-ten Stelle nach dem Komma) darstellen. Diese Folge hat die Eigenschaft, dass 2 a n < 10 (n 1) ist, d.h. a n liefert eine immer bessere Näherung der Wurzel aus zwei. Wenn wir ein bischen weiter darüber nachdenken, ist sowohl die speziell ausgewählte Folge, als auch die Eigenschaft, dass sich die Approximation in jedem Schritt verbessert, nicht entscheidend. So erhalten wir durch Abstraktion dieser speziellen Situation die Definition von Folgen und ihrer Konvergenz. 4 of 79 Aachen Olaf Wittich

5 1.2 Konvergenz - Folgen reeller Zahlen und Grenzwerte Definition 1 Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : N R, n a(n). Meistens schreiben wir eine Folge kurz als (a n ) n 1, wobei a n := a(n). Die Zahlen a n heißen Folgenglieder. Definition 2 Eine Folge (a n ) n 1 reeller Zahlen konvergiert gegen die reelle Zahl a, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N gibt mit a n a < ɛ für alle n N mit n n 0. a heißt dann der Grenzwert der Folge und wir schreiben a = lim n a n 5 of 79 Aachen Olaf Wittich

6 1.2 Konvergenz - Folgen reeller Zahlen und Grenzwerte Oft werden die Folgen durch ein Bildungsgesetz angegeben, d.h. die Folge (a n ) n 1 wird zum Beispiel gegeben durch a n := n 2, d.h. wir haben a 1 = 1 2 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9,... usw. Auf diese Weise kann man erreichen, dass man eine irrationale Zahl doch in endlicher Zeit hinschreiben kann, nämlich indem man das Bildungsgesetz einer Folge hinschreibt, die gegen die gegebene Zahl konvergiert. Beispiel 1. Für 2 können wir eine Folge (a n ) n 1 durch das Bildungsgesetz a 1 := 1, a n+1 := 1 2 a n + 1 a n festlegen. Man nennt dieses Vorgehen eine rekursive Definition der Folge. Es ergeben sich die ersten Folgenglieder a 1 = 1, a 2 = = 3 2 = 1.5, a 3 = = 1.416, a 4 = = Die Folge (a n ) n 1 konvergiert gegen 2. (Bereits a 4 stimmt mit dem exakten Wert für 2 auf den ersten fünf Nachkommastellen überein.) 6 of 79 Aachen Olaf Wittich

7 1.2 Konvergenz - Häufungspunkte Es ist keineswegs so, dass Folgen immer Grenzwerte besitzen. Einen Grenzwert zu besitzen ist sogar eine sehr besondere Eigenschaft einer Folge. Definition 3 Besitzt eine Folge (a n ) n N einen Grenzwert, so sagen wir, die Folge konvergiert. Andernfalls sagen wir, die Folge divergiert. Beispiel 2. Die Folge (a n ) n 1 mit: (1) a n := 1 (konstante Folge) konvergiert mit Grenzwert 1, (2) a n := 1/n konvergiert mit Grenzwert (3) a n := 3n2 +2 n 2 +6 lim n konvergiert mit Grenzwert lim n (4) a n := ( 1) n divergiert, (5) a n := 2n2 n+1 7 of 79 Aachen Olaf Wittich 1 n = 0, 3n n = 3, divergiert ebenfalls.

8 1.2 Konvergenz - Häufungspunkte Die anschauliche Bedeutung, dass eine konvergente Folge Ihrem Grenzwert beliebig nahe kommt, muss aber mit einiger Vorsicht genossen werden. Dazu zwei Beispiele: Die Folge (a n ) n 1 mit { 1 a n := n gerade n n ungerade kommt a = 0 R beliebig nahe, konvergiert aber nicht, denn zum Beispiel für ɛ = 1/2 gibt es unendlich viele Folgenglieder a n (nämlich alle a n mit ungeradem Index) die nicht in dem Intervall ( 1/2, 1/2) liegen. Damit konvergiert die Folge nicht gegen Null, aber die Folge kann auch gegen keinen anderen reellen Wert als Null konvergieren. Gäbe es einen Grenzwert a 0, so lägen auch außerhalb von (a 1/3, a + 1/3) unendlich viele Folgenglieder, denn da alle Folgenglieder a 2n einen Abstand voneinander haben, der größer oder gleich Eins ist, kann höchstens eins dieser Folgenglieder innerhalb eines Intervalls der Länge 2/3 liegen. Alle anderen (und das sind unendlich viele) der Folgenglieder a 2n liegen somit außerhalb des angegebenen Intervalls um a. 8 of 79 Aachen Olaf Wittich

9 1.2 Konvergenz - Häufungspunkte Der Punkt 0 aus dem vorigen Beispiel spielt für die Folge (a n ) n 1 aber trotzdem eine Sonderrolle. Definition 4 Ist h R eine Zahl, so dass für jedes feste ɛ > 0 unendlich viele Glieder a n der Folge innerhalb des Intervalls (h ɛ, h + ɛ) liegen, so heißt h Häufungspunkt der Folge. Jeder Grenzwert ist auch ein Häufungspunkt, aber nicht jeder Häufungspunkt ist auch ein Grenzwert, wie das Beispiel gezeigt hat. Beispiel 3. Die Folge (a n ) n 1 mit a n := ( 1) n aus Beispiel 2, (4) hat zwei Häufungspunkte h 1 = 1 und h 2 = 1. Daraus folgt bereits, dass die Folge divergiert. 9 of 79 Aachen Olaf Wittich

10 1.2 Konvergenz - Häufungspunkte Kurz gesagt, lassen sich beide Begriffe wie folgt voneinander abgrenzen: (1) h ist ein Häufungspunkt, wenn in jedem Intervall der Form (h ɛ, h + ɛ) mit ɛ > 0 unendlich viele Folgenglieder liegen. (2) a ist Grenzwert, wenn außerhalb jedes Intervalls der Form (a ɛ, a + ɛ) mit ɛ > 0 nur endlich viele Folgenglieder liegen. Häufungspunkte und Grenzwerte Eine Folge kann beliebig viele Häufungspunkte haben, aber nur einen Grenzwert. 10 of 79 Aachen Olaf Wittich

11 1.2 Konvergenz - Bedingte Divergenz Es gibt noch einen Typ divergenter Folgen, die keinen Häufungspunkt besitzen. Definition 5 (1) Eine Folge für die gilt: Zu jedem M R gibt es ein n 0 N mit a n > M für alle n n 0, heißt bestimmt divergent gegen +. (1) Eine Folge für die gilt: Zu jedem M R gibt es ein n 0 N mit a n < M für alle n n 0, heißt bestimmt divergent gegen. Analog zu den Betrachtungen vorher können wir die Definition bestimmter Divergenz alternativ formulieren durch: Die Folge (a n ) n 1 ist bestimmt divergent gegen + ( ), wenn für jede reelle Zahl M R nur endlich viele Glieder der Folge auf der Zahlengerade links von (rechts von) M liegen. Beispiel 4. Die Folge (a n ) n 1 mit a n := 2n2 mit lim n a n = +. n+1 aus Beispiel 2, (5) divergiert bestimmt 11 of 79 Aachen Olaf Wittich

12 1.3 Konvergenz - Die Grenzwertsätze Satz 1 (Die Grenzwertsätze) Seien (a n ) n 1, (b n ) n 1 konvergente Folgen mit a = lim n a n, b = lim n b n. Dann gilt: (1) Die Folge (c n ) n 1 mit c n := a n + b n ist konvergent mit lim n c n = a + b. (2) Die Folge (c n ) n 1 mit c n := a n b n ist konvergent mit lim n c n = a b. (3) Sind alle b n und der Grenzwert b ungleich Null, so ist die Folge (c n ) n 1 mit c n := a n /b n konvergent mit lim n c n = a/b. 12 of 79 Aachen Olaf Wittich

13 1.3 Konvergenz - Die Grenzwertsätze Satz 2 Wenn die rekursiv definierte Folge (a n ) n 1 aus Beispiel 1 gegen einen Grenzwert konvergiert, der ungleich Null ist, dann ist ihr Grenzwert a := lim n a n = 2. Beweis. (1) Alle Folgenglieder a n sind positiv: (a) Induktionsanfang a 1 = 1 > 0, (b) Induktionsschluss: Ist a n > 0, so ist a n+1 = a n a n als Summe zweier positiver Zahlen ebenfalls positiv, also folgt a n > 0 für alle n N. (2) Da die Folge nach Voraussetzung konvergiert mit Grenzwert a 0, erhalten wir aus der Rekursionsformel für die Folgenglieder mit den Grenzwertsätzen und (1) ( an a = lim a n+1 = lim n n ) = a a n a. Diese Gleichung ist äquivalent zu a 2 = 2, d.h. a = 2 a = 2. Da die Folgenglieder alle positiv sind, kann der Grenzwert nur a = 2 sein. Bemerkung. Den Beweis, dass die Folge tatsächlich gegen einen Grenzwert ungleich Null konvergiert, lassen wir weg. 13 of 79 Aachen Olaf Wittich

14 2.1 Grundlegendes über Funktionen - Definition Wir betrachten in diesem Teil des Vorkurses nur reelle Funktionen, d.h. Abbildungen von Teilmengen der reellen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen. Definition 6 Eine (reelle) Funktion f : D R ist eine Abbildung einer (nichtleeren) Teilmenge D R, dem Definitionsbereich der Funktion, nach R, dem Zielbereich der Funktion. Die Menge heißt Bild von f. f (D) := {y R : y = f (x), x D} R 14 of 79 Aachen Olaf Wittich

15 2.2 Grundlegendes über Funktionen - Der Graph einer Funktion Definition 7 Sei f : D R eine Funktion. Die Teilmenge graph(f ) := {(x, f (x)) R R : x D} R R des kartesischen Produktes von R mit sich selbst, heißt Graph der Funktion f. Beispiel 5. Der Graph der Funktion f : R R, x x 3 20x of 79 Aachen Olaf Wittich

16 2.3 Grundlegendes über Funktionen Summen und Produkte Wir nutzen nun die Möglichkeit, reelle Zahlen zu addieren und zu multiplizieren, um Summen und Produkte von Funktionen zu definieren. Definition 8 Seien f : D 1 R, g : D 2 R zwei reelle Funktionen. (i) Ist D := D 1 D 2, so ist die Summe f + g : D R von f und g definiert durch (f + g)(x) := f (x) + g(x). (ii) Ist D := D 1 D 2, so ist das Produkt f g : D R von f und g definiert durch (f g)(x) := f (x)g(x). (iii) Den Quotienten von zwei Funktionen können wir überall dort erklären, wo der Nenner nicht Null wird, d.h. ist D := {x D 1 D 2 : g(x) 0}, dann wird durch eine Funktion f g f f (x) (x) := g g(x) : D R definiert, der Quotient der Funktionen f und g. 16 of 79 Aachen Olaf Wittich

17 2.4 Grundlegendes über Funktionen - Monotonie Um das Verhalten von Funktionen zwischen lokalen Extremwerten zu beschreiben, ist das folgende Konzept hilfreich. Definition 9 (1) Eine Funktion f : D R heißt monoton wachsend (fallend), falls für x, y D mit x < y die Ungleichung f (x) f (y) (f (x) f (y)) folgt. (2) Eine Funktion f : D R heißt streng monoton wachsend (fallend), falls für x, y D mit x < y die Ungleichung f (x) < f (y) (f (x) > f (y)) folgt. Strenge Monotonie impliziert (einfache) Monotonie, jedoch gibt es monotone Funktionen die nicht streng monoton sind. 17 of 79 Aachen Olaf Wittich

18 2.4 Grundlegendes über Funktionen - Monotonie Satz 1 Eine streng monotone Funktion f : D R ist injektiv. Beweis. Seien x, y D mit x y. Ohne Einschränkung können wir dann annehmen, dass x < y ist (sonst benennen wir die beiden Punkte einfach andersrum). Dann ist entweder f (x) < f (y) wenn f streng monoton wächst, oder f (x) > f (y), wenn f streng monoton fällt. Damit ist f (x) f (y) und somit ist f injektiv. Beispiel 6. Die Funktion f : R + 0 R, x x2 ist streng monoton wachsend. Ist y > x 0, so ist y = x + h mit h > 0 und mit dem binomischen Satz folgt f (y) f (x) = y 2 x 2 = (x + h) 2 x 2 = x 2 + 2xh + h 2 x 2 = 2xh + h 2 > 0, also f (y) > f (x). 18 of 79 Aachen Olaf Wittich

19 2.5 Grundlegendes über Funktionen - Stetigkeit Definition 10 Eine Funktion f : D R heißt stetig im Punkt x 0 D, wenn für alle Folgen (x n ) n 1 mit x n D und lim n x n = x 0 auch die zugehörigen Folgen (y n ) n 1 mit y n := f (x n ) konvergieren mit Grenzwert lim n f (x n ) = f (x 0 ). Die Funktion heißt stetig in D, wenn f stetig ist in jedem Punkt x 0 D, Definition 11 Ist f : D R eine Funktion und gilt für alle Folgen (x n ) n 1 mit x n D für alle n 1 mit lim n x n = x 0 die Gleichung lim n f (x n ) = a R, d.h. alle Folgen (f (x n )) n 1 konvergieren und haben denselben Grenzwert, so schreiben wir meistens kürzer lim x x 0 f (x) = a. f ist also stetig in x 0 D genau dann, wenn lim x x0 f (x) = f (x 0 ). 19 of 79 Aachen Olaf Wittich

20 2.5 Grundlegendes über Funktionen - Stetigkeit Beispiel of 79 Aachen Olaf Wittich

21 2.5 Grundlegendes über Funktionen - Stetigkeit (a) Die Funktion x x 2 ist stetig in x 0 = 0: Ist (x n ) eine beliebige Folge mit lim n x n = 0, dann ist nach den Grenzwertsätzen lim f (x n) = lim x 2 n n n = lim x n n Also ist f stetig in x 0 = 0. lim x n = 0 0 = 0 = f (x 0 ). n (b) Die Funktion in (b) ist nicht stetig in x 0 = 0: Es gibt nämlich zwei Folgen (x n ) n 1 und (w n ) n 1, die gegen Null konvergieren, so dass die Folgen (f (x n )) n 1 und (f (w n )) n 1 unterschiedliche Grenzwerte besitzen. Mit x n := 1/n, w n := 1/n folgt lim f (x n) = lim 1 = 1 0 = lim 0 = lim f (w n ). n n n n 21 of 79 Aachen Olaf Wittich

22 2.6 Grundlegendes über Funktionen - Differenzierbarkeit Definition 12 Eine Funktion f : D R heißt differenzierbar im Punkt x 0 R, wenn für alle Folgen (x n ) n 1 mit x n D \ {x 0 } und lim n x n = x 0 auch die Folge y n = f (x n) f (x 0 ) x n x 0 konvergiert und deren Grenzwert für alle Folgen (x n ) n 1 derselbe ist. Der Grenzwert f (x) := lim n y n heißt dann die Ableitung von f im Punkt x 0 D. Die Funktion heißt differenzierbar in D, wenn f differenzierbar ist in jedem Punkt x 0 D. Bemerkung. (1) Die Ableitung konstanter Funktionen ist die Nullfunktion. (2) Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe der Ableitungen, d.h. (f + g) = f + g. (3) Die Ableitung eines reellen Vielfachen einer Funktion ist dasselbe Vielfache der Ableitung, d.h. (af ) = a f, a R. (4) Die Folge (y n ) n 1 heißt auch Folge der Differenzenquotienten. 22 of 79 Aachen Olaf Wittich

23 2.6 Grundlegendes über Funktionen - Differenzierbarkeit Beispiel of 79 Aachen Olaf Wittich

24 2.6 Grundlegendes über Funktionen - Differenzierbarkeit (a) Die Funktion ist differenzierbar im Punkt x = 0, denn für jede Folge (x n ) mit lim n x n = 0 gilt { f (x n ) f (x) = f (x x 2 n) n { = x n, x n > 0 0 x n x x n x n = 0, x n 0 = xn, x n > 0 0, x n 0 Damit ist f (x n ) f (0) lim = 0 n x n 0 unabhängig von der speziellen Wahl der Folge. (b) Die Funktion ist nicht differenzierbar in x = 0: Es gibt nämlich zwei Folgen (x n ) n 1 und (w n ) n 1, die gegen Null konvergieren, so dass die Folgen der Differenzenquotienten unterschiedliche Grenzwerte besitzen. Mit x n := 1/n, w n := 1/n folgt lim n f (x n ) f (x) x n x x n f (w n ) f (x) = lim = lim 1 = 1 0 = lim 0 = lim. n x n n n n w n x 24 of 79 Aachen Olaf Wittich

25 2.7 Grundlegendes über Funktionen - Das Integral stetiger Funktionen Sei I = [a, b] R ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall und f : I R eine stetige Funktion. Definition 13 Das bestimmte Integral von f über das Intervall I ist der Grenzwert der Folge (S n ) n 1 von Partialsummen S n := b a n f (a + kn ) n (b a). Wir schreiben b a k=1 f (x)dx := lim n S n. 25 of 79 Aachen Olaf Wittich

26 2.7 Grundlegendes über Funktionen - Das Integral stetiger Funktionen Beispiel 9. Die Partialsummen S n liefern eine Approximation des Flächeninhaltes zwischen Funktionsgraph und x-achse. 26 of 79 Aachen Olaf Wittich

27 3.1 Differential- und Integralrechnung - Ableitung und Stammfunktion Ableitungen und Integrale über die Definition mit Hilfe der Grenzwerte zu berechnen, ist meist sehr mühsam. Die bei Weitem wichtigste Beziehung, um Integrale zu berechnen, ist der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung. Dazu benötigen wir zunächst den Begriff der Stammfunktion. Definition 14 Sei f : D R eine Funktion. Eine Funktion F : D R heißt Stammfunktion von f, wenn F (x) = f (x). Wir schreiben auch F (x) = f (x)dx und nennen diesen Ausdruck unbestimmtes Integral. Bemerkung. Stammfunktionen sind aufgrund der Definition nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Ist nämlich F (x) = f (x), so ist auch (F + c) = F + c = F + 0 = f für alle c R. 27 of 79 Aachen Olaf Wittich

28 3.1 Differential- und Integralrechnung - Ableitung und Stammfunktion Satz 2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Ist f : D R eine stetige Funktion. Dann besitzt f eine Stammfunktion F und es gilt für alle Intervalle [a, b] D b a f (x)dx = F (b) F (a). Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung heißt auch bestimmtes Integral. Bemerkung. (1) Diese Beziehung zwischen Ableitungen und Integralen ist an sich volkommen überraschend. (2) Die spezielle Wahl der Stammfunktion ist egal für die Berechnung des Integrals, denn Stammfunktionen sind aufgrund der Definition bis auf eine additive Konstante bestimmt. Damit ist aber (F + c)(b) (F + c)(a) = F (b)+c (F (a)+c) = F (b) F (a) für alle c R. Die rechte Seite des Hauptsatzes ist somit unabhängig von der speziellen Wahl einer Stammfunktion. 28 of 79 Aachen Olaf Wittich

29 3.2 Differential- und Integralrechnung - Ableitungs- und Integrationsregeln Wir betrachten nun zwei der nützlichsten Hilfsmittel um Ableitungen zu berechnen, die Produkt- und die Kettenregel. Aufgrund des Hauptsatzes der Differentialund Integralrechnung gibt es für jede dieser Regeln eine entsprechende Regel für die Berechnung von Integralen. Der Produktregel entspricht die partielle Integration, der Kettenregel die Integration durch Substitution. Diesen Zusammenhang wollen wir uns jetzt etwas näher ansehen. 29 of 79 Aachen Olaf Wittich

30 3.2 Differential- und Integralrechnung - Produktformel/partielle Integration Satz 3 Sind f, g : D R zwei differenzierbare Funktionen, so gilt für die Ableitung der Produktfunktion fg : D R die Produktregel (fg) = f g + fg. Wir können die Produktregel auch so interpretieren, dass fg die Stammfunktion von f g + fg ist. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bedeutet dies b a (f g + fg )dx = fg(b) fg(a) und wenn wir den zweiten Summanden links auf die andere Seite bringen, erhalten wir: Satz 4 Es gilt die Regel der partiellen Integration b a f gdx = fg(b) fg(a) b a fg dx. 30 of 79 Aachen Olaf Wittich

31 3.2 Differential- und Integralrechnung - Produktformel/partielle Integration Beispiel 10. Gesucht ist das Integral 1 0 xe x dx =? Wir machen den Ansatz u(x) = x, v (x) = e x. Da die Ableitung der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion selber ist, ist die Stammfunktion von v die Funktion v(x) = e x. Mit u (x) = 1 folgt also mit partieller Integration 1 0 xe x dx = 1 0 = xe x 1 0 u(x)v (x)dx = u(x)v(x) e x dx 1 = 1e 1 0e 0 e x 1 0 = e (e 1) = 1. 0 u (x)v(x)dx Umgekehrt kann man mit Hilfe der Produktregel sehen, dass (xe x ) = e x + xe x. 31 of 79 Aachen Olaf Wittich

32 3.2 Differential- und Integralrechnung - Kettenregel/Integration durch Substitution Satz 5 Sind f : D 1 R, g : D 2 R zwei differenzierbare Funktionen mit f (D 1 ) D 2, so gilt für die Ableitung der Komposition g f : D 1 R die Kettenregel (g f ) (x) = g (f (x)) f (x). Wir können die Kettenregel auch so interpretieren, dass (g f )(x) die Stammfunktion von g (f (x)) f (x) ist. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bedeutet dies: Satz 6 Es gilt die Regel der Integration durch Substitution b a g (f (x)) f (x)dx = g(f (b)) g(f (a)) = f (b) f (a) g (u)du. 32 of 79 Aachen Olaf Wittich

33 3.2 Differential- und Integralrechnung - Kettenregel/Integration durch Substitution Beispiel 11. Gesucht ist das Integral 1 0 xe x 2 dx =? Wir machen den Ansatz g(u) = e u, f (x) = x 2, dann ist f für alle x R definiert mit f (R) = R + 0. Da die Exponentialfunktion für alle x R definiert ist, ist die Komposition g f : R R wohldefiniert. Da die Ableitung der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion selber ist, folgt nach der Kettenregel Daraus folgt 1 0 xe x 2 dx = 1 2 (e x 2 ) = g (x 2 )f (x) = e x 2 2x = 2xe x xe x 2 dx = 1 2 [ ] e x = 1 e 2 (e12 02 ) = 1 (e 1) of 79 Aachen Olaf Wittich

34 3.3 Differential- und Integralrechnung - Höhere Ableitungen Definition 15 (1) Eine differenzierbare Funktion f : D R heißt stetig differenzierbar, wenn die Ableitung f : D R stetig ist. (2) Ist die Ableitung f : D R einer differenzierbaren Funktion wieder differenzierbar, so heißt ihre Ableitung f := (f ) : D R die zweite Ableitung von f. Indem wir diese Methode iterieren, können wir bei hinreichender Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion beliebig hohe Ableitungen konstruieren. Definition 16 (1) Eine Funktion f : D R heißt n-mal differenzierbar, wenn die Ableitungen f, f, f, f = (f ),..., f (n 1) := (f (n 2) ) differenzierbar sind. Mit f (k) : D R wird die k-te Ableitung von f bezeichnet. (2) Eine Funktion f : D R heißt n-mal stetig differenzierbar, wenn f n-mal differenzierbar ist und die Ableitung f (n) stetig ist. 34 of 79 Aachen Olaf Wittich

35 3.4 Differential- und Integralrechnung - Maximum, Minimum Sei S R eine Teilmenge. Definition 17 (1) Enthält S ein größtes Element s 0 (d.h. s 0 S und s s 0 für alle s S), so nennen wir s 0 das Maximum von S (oder das maximale Element von S) und schreiben s 0 = max S. (2) Enthält S ein kleinstes Element s 0 (d.h. s 0 S und s s 0 für alle s S), so nennen wir s 0 das Minimum von S (oder das minimale Element von S) und schreiben s 0 = min S. (3) Eine nichtleere Teilmenge S R heißt beschränkt, wenn es ein abgeschlossenes Intervall [a, b] gibt mit S [a, b]. Bemerkung. (1) Eine Menge, die ein Maximum und Minimum besitzt, ist beschränkt. Die Umkehrung gilt nicht. (2) Alle endlichen Teilmengen von R sind beschränkt und besitzen ein Minimum und ein Maximum. 35 of 79 Aachen Olaf Wittich

36 3.4 Differential- und Integralrechnung - Maximum und Minimum Beispiel 12. (Maxima und Minima) (1) Für S 1 = {1, 2, 3, 4, 5} gilt min S 1 = 1 und max S 1 = 5. (2) Für S 2 = {n Z : 4 < n 100} gilt min S 2 = 3 und max S 2 = 100. (3) Die Menge S 3 = (a, b] := {x R : a < x b} mit a, b R hat kein Minimum aber ihr Maximum ist b. (4) Die Menge S 4 = {r Q : 0 r 2} hat 0 als Minimum aber kein Maximum. Das liegt daran, daß 2 keine rationale Zahl ist. In S 4 gibt es aber rationale Zahlen, die beliebig nahe an 2 liegen. (5) Das Minimum der Menge [2, ) ist 2, die Menge besitzt kein Maximum. (6) Die Menge Z R besitzt weder ein Minimum noch ein Maximum. 36 of 79 Aachen Olaf Wittich

37 3.4 Differential- und Integralrechnung - Maximum und Minimum Definition 18 (1) Eine Funktion f : D R besitzt ein globales Maximum (Minimum), wenn das Bild f (D) R ein Maximum (Minimum) besitzt. (2) Ein Punkt x D heißt globales Maximum (Minimum) der Funktion f, wenn der Funktionswert f (x) von x das Maximum (Minimum) von f (D) ist. f (x) heißt globaler Maximal- bzw. Minimalwert. (3) Ein Punkt x D heißt lokales Maximum (Minimum) der Funktion f, wenn es ein offenes Intervall I D mit x I gibt, so dass der Funktionswert f (x) von x das Maximum (Minimum) von f (I ) ist. f (x) heißt lokaler Maximal- bzw. Minimalwert. 37 of 79 Aachen Olaf Wittich

38 3.4 Differential- und Integralrechnung - Maximum und Minimum (a) x x 3 (b) x x 2 (c) x x 3 20x 10 (d) x xe x 2 Keine Extrema (a), ein globales Minimum (b), je ein lokales Maximum und Minimum (c), und ein globales Maximum und Minimum (d). 38 of 79 Aachen Olaf Wittich

39 3.4 Differential- und Integralrechnung - Extremwerte und Ableitungen Abschließend betrachten wir die Kriterien für die Erkennung lokaler Extremwerte differenzierbarer Funktionen. Satz 7 Sei a < b und f : (a, b) R 2-mal stetig differenzierbar. (1) Ist x 0 (a, b) ein lokales Minimum oder lokales Maximum von f, so ist f (x 0 ) = 0. (2) Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0(< 0), so ist x 0 ein lokales Minimum (Maximum) von f. Mit Hilfe dieses Kriteriums können wir eine Funktion durch Angabe der Extremstellen und der Monotonieeigenschaften zwischen den Extremstellen beschreiben (Kurvendiskussion). 39 of 79 Aachen Olaf Wittich

40 4.1 Elementare Funktionen - Beispiele Wir betrachten nun eine Anzahl von wichtigen Beispielen für Funktionen. Wir werden dabei immer so vorgehen, dass wir die Abbildungseigenschaften, den Graph der Funktion, Ableitung und Stammfunktion, und gegebenenfalls ihre Umkehrfunktion, sowie etwaige Besonderheiten auflisten. Dabei werden die Potenz- und Wurzelfunktionen für rationale Exponenten aus den Grundlagen als bekannt vorausgesetzt. 40 of 79 Aachen Olaf Wittich

41 4.2 Elementare Funktionen - Polynomfunktionen Definition 19 Eine Polynomfunktion p : R R vom Grad n N 0 ist eine Funktion mit n x p(x) := a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a k x k mit festen Koeffizienten a 0, a 1,..., a n R, a n 0. Wir schreiben n = grad(p). Stetigkeit überall stetig Differenzierbarkeit überall beliebig oft differenzierbar Ableitung p (x) = n k=1 ka kx k 1 Stammfunktion P(x) = n k=0 a k k+1 x k+1 Monotonie im Allgemeinen keine Bild für n ungerade ist p(r) = R, sonst keine Aussage möglich Nullstellen maximal n reelle Nullstellen, für n ungerade mindestens eine k=0 41 of 79 Aachen Olaf Wittich

42 4.2 Elementare Funktionen - Polynomfunktionen (a) x x 3 20x 10 (b) x x 4 + 5x 4 Bemerkung. Eine Polynomfunktion vom Grad 0 ist konstant, vom Grad 1 ist eine lineare Funktion und vom Grad 2 ist eine quadratische Funktion (Parabel). 42 of 79 Aachen Olaf Wittich

43 4.3 Elementare Funktionen - Rationale Funktionen Definition 20 Sind p : R R und q : R R Polynomfunktionen mit grad(q) 1, so ist eine rationale Funktion r : {x R : q(x) 0} R gegeben durch den Quotienten x r(x) := p(x) q(x). Stetigkeit stetig im Definitionsbereich Differenzierbarkeit beliebig oft differenzierbar im Definitionsbereich Ableitung r = p q pq q 2 Stammfunktion keine allgemeine geschlossene Formel Monotonie im Allgemeinen keine Bild keine Aussage möglich Nullstellen maximal soviele wie das Zählerpolynom 43 of 79 Aachen Olaf Wittich

44 4.3 Elementare Funktionen - Rationale Funktionen (a) x 1/x (b) x x 4 +5x x 2 x Bemerkung. Definitionslücken rationaler Funktionen sind genau die Nullstellen des Nennerpolynoms. (1) Ist x 0 R \ D eine Definitionslücke mit lim x x0 r(x) =, dann heißt x 0 eine Polstelle von r. (2) Eine Definitionslücke, in die die Funktion stetig fortgesetzt werden kann, heißt hebbare Singularität. 44 of 79 Aachen Olaf Wittich

45 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Mit Hilfe der Potenzgesetze haben wir für a R, a > 0, die Funktion f : Q R mit f (x) := a x erklärt. Wir haben gesehen, dass diese Funktion (1) die Funktionalgleichung a x+y = a x a y erfüllt, und (2) dass a 1 = a ist. Es gibt aber tatsächlich für festes a > 0 sehr viele Funktionen f : R R mit den Eigenschaften (1) und (2). Um die Funktionen der Form x a x zu einer Basis a > 0 auf den reellen Zahlen eindeutig festzulegen, benötigen wir den Begriff der Stetigkeit. 45 of 79 Aachen Olaf Wittich

46 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Satz 8 Für alle a > 0 gibt genau es genau eine stetige Funktion f : R R mit f (x + y) = f (x)f (y), f (1) = a, Sie stimmt auf Q R mit der Funktion x a x, die wir in den Grundlagen konstruiert haben, überein, und wir benutzen deswegen dieselbe Bezeichnung für die Funktionsvorschrift. Aus verschiedenen Gründen besitzt die Funktion x e x zur Basis e = (Eulersche Zahl) eine Sonderrolle und wird daher die Exponentialfunktion genannt. Bemerkung. Die Zahl e R ist irrational und kann durch den Grenzwert ( e := lim ) n n n charakterisiert werden. 46 of 79 Aachen Olaf Wittich

47 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Definition 21 (Exponentialfunktion) Die eindeutig bestimmte stetige Funktion exp : R R mit den Eigenschaften exp(x + y) = exp(x) exp(y), exp(1) = e, heißt Exponentialfunktion. Wir bezeichnen die Funktionsvorschrift mit x exp(x) oder x e x. Stetigkeit überall stetig Differenzierbarkeit überall beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = exp(x) Stammfunktion F (x) = exp(x) Monotonie streng monoton wachsend Bild R + = (0, ) Nullstellen keine 47 of 79 Aachen Olaf Wittich

48 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Wir zeigen den Graph der Funktionen x a x für a = 2, e, 10. Grün: x 10 x, Blau: x e x, Rot: x 2 x 48 of 79 Aachen Olaf Wittich

49 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Für y R betrachten wir die Gleichung exp(x) = y. Da das Bild der Exponentialabbildung exp(r) = R + ist, folgt: Lemma 3 Ist y 0, so ist {x R : exp(x) = y} =, d.h. die Gleichung besitzt keine Lösung. Da die Exponentialabbildung streng monoton wachsend ist, ist sie nach Satz 1 injektiv und somit bijektiv als Abbildung exp : R (0, ). Damit besitzt sie eine Umkehrabbildung φ : (0, ) R. Aufgrund der Eigenschaft einer Umkehrabbildung gilt φ(y) = φ(exp(x))! = x und somit gilt: Lemma 4 Ist y > 0, so ist {x R : exp(x) = y} = {φ(y)}, d.h. es gibt genau eine Lösung, die durch die Umkehrfunktion von exp gegeben wird. 49 of 79 Aachen Olaf Wittich

50 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Definition 22 Die Umkehrfunktion φ : (0, ) R der Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus und die Funktionsvorschrift wird mit x ln(x) bezeichnet. Es gilt: e ln(y) = y für alle y R + und ln(e x ) = x für alle x R. Stetigkeit stetig auf ganz D = (0, ) Differenzierbarkeit auf D beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = 1/x Stammfunktion F (x) = x ln(x) x Monotonie streng monoton wachsend Bild R Nullstellen x = 1 50 of 79 Aachen Olaf Wittich

51 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Wie ist das nun mit den Gleichungen a x = y, y R + 0 für andere Werte von a > 0? Da a > 0 ist, ist a = e ln(a) und somit wegen der Potenzgesetze y = a x = ( e ln(a)) x = e x ln(a). Wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus nehmen, haben wir somit ln(y) = x ln(a), bzw. x = ln(y) ln(a) und damit haben wir die Gleichung gelöst. Es ist nun bequemer, für diese Lösungen ebenfalls eine eigene Schreibweise einzuführen. 51 of 79 Aachen Olaf Wittich

52 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Definition 23 Für festes a > 0 ist der Logarithmus log a y definiert als die eindeutige Lösung der obigen Gleichung x = log a y : a x = y a heißt Basis, y heißt Numerus. Da a 1 = a und a 0 = 1 ist folgt log a a = 1 und log a 1 = 0. Bemerkung. (1) Logarithmen zur Basis 10 heißen Zehnerlogarithmen und es wird die Bezeichnung log 10 b = lg b benutzt. (2) Logarithmen zur Basis a = 2 heißen Zweierlogarithmen und es wird die Bezeichnung log 2 x = lb x benutzt. (3) Logarithmen zur Basis a = e = (Eulersche Zahl) sind wieder die natürlichen Logarithmen mit Bezeichnung log e y = ln y benutzt. 52 of 79 Aachen Olaf Wittich

53 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Logarithmen zu verschiedenen Basen lassen sich ineinander umrechnen. Lemma 5 Für a, c R mit a, c > 0 und y R mit y > 0 gilt log a y = log c y log c a. Beweis. Da a > 0 ist, ist a = e ln(a) und somit wegen der Potenzgesetze y = a x = e x ln(a). Wenn wir auf beiden Seiten dieser Gleichung den Logarithmus nehmen, haben wir somit ln(y) = x ln(a). Analog folgt mit y = c z die Gleichung ln(y) = z ln(c). Andererseits ist aber x = log a (y) und z = log c (y), also log a (y) = x = ln(y) ln(a) = z ln(c) ln(a) = ln(c) ln(a) log c(y) = log c(y) log c (a). 53 of 79 Aachen Olaf Wittich

54 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Außerdem gelten die folgenden Rechenregeln: Lemma 6 Für a R mit a > 0 und u, v R mit u, v > 0 gilt (1) log a (u ( v) = log a (u) + log a (v) ; u ) (2) log a = log v a (u) log a (v). 54 of 79 Aachen Olaf Wittich

55 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Beweis. (1) Setze x = log a (u) und y = log a (v), d.h. Daraus folgt Und dies impliziert schließlich a x = u und a y = v. u v = a x a y = a x+y. log a (u v) = x + y = log a (u) + log a (v). (2) Wegen a loga(1/v) = 1/v und a loga(v) = v folgt a loga(v) 1 = v = a = log a(1/v) (aloga(1/v) ) 1 = a loga(1/v), und somit aufgrund der Eindeutigkeit der Lösung log a (v) = log a (1/v). Damit ist aber wegen (1) ( log a (u/v) = log a u 1 ) = log v a (u) + log a (1/v) = log a (u) log a (v). 55 of 79 Aachen Olaf Wittich

56 4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus Gelb: x log 10 (x), Grün: x log e (x) = ln(x), Rot: x log 2 (x) 56 of 79 Aachen Olaf Wittich

57 4.5 Elementare Funktionen - Potenzfunktionen Definition 24 Eine Funktion f : D R, x x a heißt Potenzfunktion. Der Definitionsbereich D hängt hierbei vom Exponenten a wie folgt ab: a > 0 a < 0 a Z R R \ {0} a / Z R + 0 R + x a := e { a ln(x),a / Z, a < 0 e x a a := ln(x), x > 0,a / Z, a > 0 0, x = 0 Stetigkeit stetig im Definitionsbereich Differenzierbarkeit beliebig oft differenzierbar in D für a Z, und in R + für a / Z Ableitung f (x) = ax { a 1 x a+1 Stammfunktion F (x) = a+1, a 1 ln(x), a = 1 Nullstellen für a > 0 in x = 0, für a < 0 keine 57 of 79 Aachen Olaf Wittich

58 4.6 Elementare Funktionen - Trigonometrische Funktionen Definition 25 Die Trigonometrischen Funktionen sind 1. Sinus sin : R R, x sin(x), 2. Cosinus cos : R R, x cos(x), 3. Tangens tan(x), 4. Cotangens cot(x). Sie dienen der Winkel- und Längenberechnung in Dreiecken. Wie in der folgenden Graphik dargestellt, kann jede dieser Funktionen als eine bestimmte Seitenlänge eines bestimmten in oder auf den Einheitskreis einbeschriebenen rechtwinkligen Dreiecks in Abhängigkeit eines seiner Innenwinkel dargestellt werden. Der Parameter x der Winkelfunktion ist der in der Graphik eingezeichnete Winkel α, der im Bogenmaß angegeben wird. sin(x) ist dann zum Beispiel die Seitenlänge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite des in den Einheitskreis einbeschriebenen, rechtwinkligen Dreiecks. 58 of 79 Aachen Olaf Wittich

59 4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus Die Trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis Da für einen Winkel α + 2π im Bogenmaß genau dasselbe Bild wie für α herauskommt, haben auch alle Winkelfunktionen denselben Wert. Bezeichnet f eine der trigonometrischen Funktionen, so gilt also f (α + 2π) = f (α) für alle α R. Die Winkelfunktionen sind periodisch. 59 of 79 Aachen Olaf Wittich

60 4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus Eigenschaften der Sinus-Funktion. Stetigkeit überall stetig Differenzierbarkeit überall beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = cos(x) Stammfunktion F (x) = cos(x) Bild [ 1, 1] Nullstellen x n = nπ, n Z Symmetrie ungerade: sin( x) = sin(x) Periodizität Periode 2π 60 of 79 Aachen Olaf Wittich

61 4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus Eigenschaften der Cosinus-Funktion. Stetigkeit überall stetig Differenzierbarkeit überall beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = sin(x) Stammfunktion F (x) = sin(x) Bild [ 1, 1] Nullstellen x n = π 2 + nπ, n Z Symmetrie gerade: cos( x) = cos(x) Periodizität Periode 2π 61 of 79 Aachen Olaf Wittich

62 4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus Blau: Graph von f (x) = sin(x), Rot: Graph von cos(x). 62 of 79 Aachen Olaf Wittich

63 4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus Satz 7 Für alle x R gilt: ( cos(x) = sin x + π ), ( 2 sin(x) = cos x π ). 2 Zum Beweis müssen wir einfach die Zeichnung mit den trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis um 90 Grad = π 2 entgegen des Uhrzeigersinns drehen. Die folgende nützliche Tatsache folgt schließlich aus dem Satz von Pythagoras für das in den Kreis einbeschriebene rechtwinklige Dreieck. Satz 9 Für alle x R gilt sin 2 (x) + cos 2 (x) = of 79 Aachen Olaf Wittich

64 4.8 Elementare Funktionen - Tangens und Cotangens Definition 26 Die Tangens-Funktion tan : D R ist gegeben durch D := R \ { π sin(x) 2 + kπ : k Z} und die Funktionsvorschrift x tan(x) := cos(x) Stetigkeit in D stetig Differenzierbarkeit in D beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = 1 cos 2 (x) Stammfunktion F (x) = ln (cos(x)) Bild R Nullstellen x n = nπ, n Z Symmetrie ungerade: tan( x) = tan(x) Periodizität Periode π 64 of 79 Aachen Olaf Wittich

65 4.8 Elementare Funktionen - Tangens und Cotangens Graph von f (x) = tan(x) 65 of 79 Aachen Olaf Wittich

66 4.8 Elementare Funktionen - Tangens und Cotangens Definition 27 Die Cotangens-Funktion cot : D R ist gegeben durch D := R \ {kπ : k Z} und die Funktionsvorschrift x cot(x) := cos(x) sin(x) Stetigkeit in D stetig Differenzierbarkeit in D beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = 1 sin 2 (x) Stammfunktion F (x) = ln (sin(x)) Bild R Nullstellen x n = π 2 + nπ, n Z Symmetrie ungerade: cot( x) = cot(x) Periodizität Periode π 66 of 79 Aachen Olaf Wittich

67 4.8 Elementare Funktionen - Tangens und Cotangens Graph von f (x) = cot(x) 67 of 79 Aachen Olaf Wittich

68 4.9 Elementare Funktionen - Die Additionstheoreme Satz 10 Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen lauten: Für alle x, y R, so dass beide Seiten der Gleichung definiert sind, gilt: sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) tan(x) ± tan(y) tan(x ± y) = 1 tan(x) tan(y) cot(x) cot(y) 1 cot(x ± y) = cot(x) ± cot(y). 68 of 79 Aachen Olaf Wittich

69 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen Wir führen die Umkehrfunktionen zu sin(x), cos(x), tan(x) und cot(x) ein. Da die Funktionen periodisch sind, können sie nicht injektiv sein. Daher ist es nötig, die Funktionen auf Bereiche einzuschränken, wo sie injektiv sind, um eine Umkehrfunktion konstruieren zu können. Für die Wahl dieser Bereiche haben sich folgende Konventionen durchgesetzt: 1. Die Arcussinus-Funktion arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2], y arcsin(y) ist die Umkehrfunktion von sin : [ π 2, π 2] [ 1, 1]. Mit dem genannten Definitions- und Zielbereich ist x sin(x) eine bijektive Abbildung. 2. Die Arcuscosinus-Funktion arccos : [ 1, 1] [0, π], y arccos(y) ist die Umkehrfunktion von cos : [0, π] [ 1, 1]. Mit dem genannten Definitions- und Zielbereich ist x arccos(x) eine bijektive Abbildung. 3. Die Arcustangens-Funktion arctan : R [ π 2, π 2], y arctan(y) ist die Umkehrfunktion von tan : [ π 2, π 2] R. Mit dem genannten Definitions- und Zielbereich ist x arctan(x) eine bijektive Abbildung. 4. Die Arcuscotangens-Funktion arccot : R [0, π], y arccot(y) ist die Umkehrfunktion von cot : [0, π] R. Mit dem genannten Definitions- und Zielbereich ist x arccot(x) eine bijektive Abbildung. 69 of 79 Aachen Olaf Wittich

70 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen sin(x) arcsin(x) 70 of 79 Aachen Olaf Wittich

71 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen Definition 28 Die Arcussinus-Funktion arcsin : D R ist gegeben durch D := [ 1, 1] und die Funktionsvorschrift x arcsin(x). Stetigkeit in D stetig Differenzierbarkeit in ( 1, 1) beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = 1 1 x 2 Stammfunktion F (x) = x arcsin(x) + [ 1 x 2 Bild π 2, π ] 2 Nullstellen x = 0 Symmetrie ungerade: arcsin( x) = arcsin(x) 71 of 79 Aachen Olaf Wittich

72 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen cos(x) arccos(x) 72 of 79 Aachen Olaf Wittich

73 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen Definition 29 Die Arcuscosinus-Funktion arccos : D R ist gegeben durch D := [ 1, 1] und die Funktionsvorschrift x arccos(x). Stetigkeit in D stetig Differenzierbarkeit in ( 1, 1) beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = 1 1 x 2 Stammfunktion F (x) = x arccos(x) 1 x 2 Bild [0, π] Nullstellen x = 1 Symmetrie keine 73 of 79 Aachen Olaf Wittich

74 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen tan(x) arctan(x) 74 of 79 Aachen Olaf Wittich

75 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen Definition 30 Die Arcustangens-Funktion arctan : R R ist gegeben durch die Funktionsvorschrift x arctan(x). Stetigkeit überall stetig Differenzierbarkeit überall beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = 1 1+x 2 Stammfunktion F ( (x) = x arctan(x) 1 2 ln(1 + x2 ) Bild π 2, π ) 2 Nullstellen x = 0 Symmetrie ungerade: arctan( x) = arctan(x) 75 of 79 Aachen Olaf Wittich

76 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen cot(x) f (x) = arccot(x) 76 of 79 Aachen Olaf Wittich

77 4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen Definition 31 Die Arcuscotangens-Funktion arccot : R R ist gegeben durch die Funktionsvorschrift x arccot(x). Stetigkeit überall stetig Differenzierbarkeit überall beliebig oft differenzierbar Ableitung f (x) = 1 1+x 2 Stammfunktion F (x) = x arccot(x) ln(1 + x2 ) Bild (0, π) Nullstellen keine Symmetrie keine 77 of 79 Aachen Olaf Wittich

78 4.11 Elementare Funktionen - Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen Die Wahl eines passenden Bereichs für die Konstruktion der Umkehrfunktion der Winkelfunktionen hat einige Konsequenzen für die Lösung von Gleichungen. Wir betrachten dazu ein Beispiel. Beispiel 13. Wir suchen alle Lösungen der Gleichung sin(x) = a Für a > 1 gibt es keine Lösungen, da in diesem Fall a / sin(r) = [ 1, 1]. 2. Für a = 1 sind die Lösungen die Maxima der Sinusfunktion, d.h. die Punkte x k = π 2 + 2kπ mit k Z. 3. Für a = 0 sind die Lösungen die Nullstellen der Sinusfunktion, d.h. die Punkte x k = kπ mit k Z. 4. Für 0 < a < 1 wollen wir nun die Lösungen mit Hilfe der Umkehrfunktion ausdrücken. Sei A = arcsin(a), dann ist die Lösungsmenge der Gleichung L = {A + 2kπ : k Z} { A + (2k + 1)π : k Z}. 78 of 79 Aachen Olaf Wittich

79 4.11 Elementare Funktionen - Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen 79 of 79 Aachen Olaf Wittich