Vorkurs: Mathematik für Informatiker

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1 Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 2 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

2 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil 2 Intervalle Grundlegende Rechengesetze Binomische Formeln Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Das Summenzeichen Teil 3 Teil 4 3 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VI: Intervalle 4 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

3 Kapitel VI: Intervalle Intervalle der reellen Zahlen I [ ] { } a, b := x R : a x b ( ) { } a, b := x R : a < x < b ( ] { } a, b := x R : a < x b [ ) { } a, b := x R : a x < b [ ] ( a, b ) heißt abgeschlossenes (oder kompaktes) Intervall; ( a, b ] heißt [ offenes ) Intervall; a, b und a, b sind halboffene Intervalle. Länge eines Intervalls: [ a, b ] ( ) ( ] [ ) = a, b = a, b = a, b = b a 5 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VI: Intervalle Intervalle der reellen Zahlen II Uneigentliche Intervalle: [ ) { } a, := x R : a x ( ) { } a, := x R : a < x ( ] { }, b := x R : x b ( ) { }, b := x R : x < b 6 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

4 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze 7 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Verknüpfungen Eine innere zweistellige Verknüpfung auf der Menge A ist eine zweistellige Abbildung : A A A, die jedem Element des kartesischen Produkts A A ein Element der Menge A zuordnet. Die Menge A ist bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen. Die Bezeichnung innere zweistellige Verknüpfung rührt daher, dass die Verknüpfung vollständig innerhalb der Menge A stattfindet: Es werden zwei Elemente der Menge A zu einem Element derselben Menge A verknüpft. 8 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

5 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz I Aus dem Lateinischen: associare - vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen. Eine zweistellige (oder binäre) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer (gleichartiger) assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. 9 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz II In einem Summen- oder Produktterm dürfen die Summanden bzw. Faktoren beliebig geklammert werden. Dies gilt auch für mehr als drei Summanden bzw. Faktoren. Eine binäre Verknüpfung auf einer Menge A heißt assoziativ, wenn für alle a, b, c A das Assoziativgesetz gilt: a ( b c ) = ( a b ) c. 10 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

6 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz III Die Verknüpfung von fünf Elementen a, b, c, d und e kann beispielsweise bereits auf 14 Arten geklammert werden: a (b ( c (d e) )) ( ) ( ) ( (a ) ) a b c (d e) (b c) d e ( a b ( (c d) e )) ( ) ( ) ( (a ) ( ) ) a b (c d) e b c d e ( (b ) ) ( ) ( ) ( a (c d) e (a b) c d e a ( (b c) d )) e ( (b ) ( ) ) ( ) ( ) ( a c d e a (b c) d e a ( b (c d) )) e ( ((b ) ) ( ((a ) ) a c) d e b) c d e 11 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz IV Aufgrund des Assoziativgesetzes ist es möglich, eine klammerfreie Notation einzuführen: a ( b c ) = a b c. 12 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

7 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Assoziativgesetz V Aufgabe VII-1 Welche der folgenden Operationen sind assoziativ? Begründe deine Antworten. Addition Subtraktion Multiplikation Division Potenzieren 13 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Kommutativgesetz I Aus dem Lateinischen: commutare - vertauschen. Wenn das Kommutativgesetz gilt, können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. Eine binäre Verknüpfung auf einer Menge A heißt kommutativ (oder abelsch), wenn für alle a, b A das Kommutativgesetz gilt: a b = b a. 14 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

8 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Kommutativgesetz II Aufgabe VII-2 Welche der folgenden Operationen sind kommutativ? Begründe deine Antworten. Addition Subtraktion Multiplikation Division Potenzieren 15 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Distributivgesetz I Aus dem Lateinischen: distribuere - verteilen. Distributivgesetze sind mathematische Regeln, die angeben, wie sich zwei binäre Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern verhalten. Typische Anwendungen der Distributivgesetze sind das Ausmultiplizieren sowie das Ausklammern. 16 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

9 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Distributivgesetz II Als Beispiel kann die Verknüpfung der binären Operationen und dienen. Man unterscheidet zwischen links- und rechtsdistributiven Verknüpfungen: ( ) ( ) ( ) a b c = a b a c (linksdistributiv) ( ) ( ) ( ) b c a = b a c a (rechtsdistributiv) 17 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Distributivgesetz III Frage: Warum unterscheidet man zwischen Links- und Rechtsdistributivität? Antwort: Da nicht alle Operationen kommutativ sind, dürfen die Operanden nicht immer vertauscht werden, weswegen man beide Varianten des Distributivgesetzes eingeführt hat. 18 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

10 Kapitel VII: Grundlegende Rechengesetze Aufgaben Aufgabe VII-3 Es sei als bekannt vorausgesetzt, dass sowohl die Addition als auch die Multiplikation von ganzen Zahlen assoziativ und kommutativ ist. Zeige, dass dann auch die Addition von rationalen Zahlen assoziativ ist. 19 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VIII: Binomische Formeln 20 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

11 Kapitel VIII: Binomische Formeln Binomische Formeln I Das Adjektiv binomisch leitet sich von bi (zwei) und Nomen (Namen) ab. Im Gegensatz zu einigen wenigen Adjektiven wie abelsch leitet es sich nicht von einem Mathematiker-Namen ab. Im Sinne des mathematischen Humors wird die Bezeichnung binomisch scherzhaft auf die fiktiven Personen Alessandro und Francesco Binomi zurückgeführt, die auch in einigen Schul- und Lehrbüchern als deren Urheber auftauchen. 21 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VIII: Binomische Formeln Binomische Formeln II 1. binomische Formel: ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. binomische Formel: ( a b ) 2 = a 2 2ab + b 2 3. binomische Formel: ( a + b )( a b ) = a 2 b 2 22 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

12 Kapitel VIII: Binomische Formeln Binomischer Lehrsatz Als Verallgemeinerung der ersten beiden binomischen Formeln ergibt sich der sogenannte binomische Lehrsatz: ( a + b ) n = n = k=0 ( ) n 0 ( ) n a k b n k k a 0 b n + ( ) n a 1 b n ( ) n a n b 0. n 23 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VIII: Binomische Formeln Binomialkoeffizienten Die Elemente ( ) n := k ( ) n werden Binomialkoeffizienten genannt. Es gilt: k ( n 1 n! k! (n k )! bzw. ( ) n := k ( ) n 1 + k 1 ( ) n Der Wert beschreibt den Eintrag in der n-ten Zeile und k-ten k Spalte des Pascalschen Dreiecks. k ). 24 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

13 Kapitel VIII: Binomische Formeln Pascalsches Dreieck I ( 6 0 ( 0 ( 1 ) 0) ( 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( 2 ( ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 3 ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( 4 ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 4) ( 5 ) 0 ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) 5) ( ). 25 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel VIII: Binomische Formeln Pascalsches Dreieck II c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

14 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen 27 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition I Eine Funktion (oder Abbildung) f : A B stellt eine Abbildungsvorschrift dar, die jedem Element der Menge A ein Element der Menge B zuordnet. Eine Funktion kann formal wie folgt geschrieben werden: f : A B a f (a). 28 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

15 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition II Bezeichnungen: A: Definitionsbereich, Urbildmenge B: Bildmenge, Bildbereich A B: Signatur a f (a): Funktionsvorschrift, Abbildungsvorschrift { } Wertebereich: W f := f (A) = f (a) :a A. Nicht alle Elemente der Bildmenge müssen ein Urbild haben. Es gilt f (A) B. 29 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition III Beispiel: f : R R x x 2 Definitions- und Wertebereich der Funktion f : { } D f = x R = R; { W f = x R } x 0. Für dieses Beispiel gilt also W f R. 30 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

16 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition IV Grafisch lässt sich eine Abbildung wie folgt veranschaulichen: 31 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Definition V Bei den nachfolgenden Beispielen handelt es sich nicht um Abbildungen: 32 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

17 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Verkettung von Funktionen Es sei h : A C eine Komposition (oder Verkettung) der Funktionen f : A B und g : B C. h = g f ( ) h(x) =g f (x) Statt Komposition kann man auch Nacheinanderausführung sagen. g f bedeutet also g wird nach f ausgeführt. 33 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen I Potenzfunktionen sind spezielle Funktionen der folgenden Form: f (x) =a x r (a R, r N). 34 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen II Graph der Potenzfunktion x 35 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen III Graph der Potenzfunktion x 2 36 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

19 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen IV Graph der Potenzfunktion x 3 37 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen V Graph der Potenzfunktion x 4 38 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

20 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen VI Graphen der ungeraden Potenzfunktionen x bis x c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen VII Graphen der geraden Potenzfunktionen x 2 bis x c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

21 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Potenzfunktionen VIII 41 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Hyperbeln I Graph der Hyperbel 1 x 42 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

22 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Hyperbeln II Graph der Hyperbel 1 x 2 43 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen I Wurzelfunktionen sind Funktionen vom Typ R + { 0 } R + { 0 } (für gerade Wurzeln) bzw. R R (für ungerade Wurzeln) und besitzen die folgende Form: f (x) =c a x (a N, a 1, c R). 44 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

23 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen II Graph der Wurzelfunktion x 45 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen III Graphen der Wurzelfunktion x bis 7 x 46 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

24 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen IV 47 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen V Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen hier am Beispiel von x (blau) und x 2 (grün) 48 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

25 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen I Exponentialfunktionen sind Funktionen vom Typ R R und besitzen die folgende Form: f (x) =c a x (a R +, c R). Im Gegensatz zu Potenzfunktionen steht die Variable x bei Exponentialfunktionen nicht in der Basis, sondern im Exponenten. Für alle Exponentialfunktionen f (x) =a x gilt: f (0) =1. 49 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen II Graph der Exponentialfunktion e x 50 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

26 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen III Graph der Exponentialfunktion ( ) 1 x e = e x 51 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen IV Graphen der Exponentialfunktionen 2 x bis 6 x sowie e x 52 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

27 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen V 53 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen VI Aufgrund der Regeln für das Rechnen mit Potenzen besitzen Exponentialfunktionen ein enormes Wachstum. a (m+n) = a m a n Eine Exponentialfunktion a x (mit a > 1) wächst viel schneller als jede Potenzfunktion x n. 54 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

28 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen I Logarithmusfunktionen sind Funktionen vom Typ R + R und besitzen die folgende Form: f (x) =c log a x (a R +, a 1, c R). Für alle Logarithmusfunktionen f gilt: f (1) =0. 55 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen II Graph der Logarithmusfunktion ln x 56 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

29 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen III Graph der Logarithmusfunktion log 1 x = ln x e 57 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen IV Graphen der Logarithmusfunktionen log 2 x bis log 6 x sowie ln x 58 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

30 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen V 59 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel IX: Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen VI Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen hier am Beispiel von ln x (blau) und e x (grün) 60 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

31 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen 61 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen I Im Folgenden wollen wir uns mit den trigonometrischen Funktionen beschäftigen. Dabei wollen wir uns auf reellwertige Funktionen beschränken. Im Wesentlichen werden wir uns mit der Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Cotangensfunktion beschäftigen und ihre Bedeutungen geometrisch veranschaulichen. 62 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

32 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen II Zunächst einmal die Definitionen der Sinus- und Cosinusfunktion: sin : R R x sin(x) cos : R R x cos(x) 63 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen III Und die Definitionen der Tangens- und Cotangensfunktion: tan : R R x tan(x) cot : R R x cot(x) Es gilt tan x = sin x cos x und cot x = 1 tan x = cos x sin x. 64 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

33 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen IV Graph der Sinusfunktion sin x 65 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen V 66 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

34 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen VI Graph der Cosinusfunktion cos x 67 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen VII 68 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

35 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen VIII Graph der Tangensfunktion tan x 69 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen IX 70 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

36 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen X Graph der Cotangensfunktion cot x 71 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen XI 72 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

37 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation I Im rechtwinkligen Dreieck (γ = π 2 ) gelten die folgenden Bezeichnungen (bezogen auf den Winkel α): a: Gegenkathete b: Ankathete c: Hypotenuse 73 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation II Im rechtwinkligen Dreieck (γ = π 2 ) gilt: sin α = Gegenkathete des Winkels α Hypotenuse = a c cos α = Ankathete des Winkels α Hypotenuse = b c tan α = Gegenkathete des Winkels α Ankathete des Winkels α = a b cot α = Ankathete des Winkels α Gegenkathete des Winkels α = b a 74 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

38 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation III Im rechtwinkligen Dreieck (γ = π 2 ) gilt (Satz des Pythagoras): c 2 = a 2 + b c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Geometrische Interpretation IV Interpretation am Einheitskreis: 76 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

39 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail I Wir wollen uns die Sinusfunktion etwas genauer ansehen. ( ) f (x) =α sin k x + ω + c Bezeichnungen: α: die Amplitude k: der Streckungs-/Stauchungsfaktor ϕ = ω k : die Phasenverschiebung 2π k : Periodenlänge Dieselben Aussagen treffen analog auf die Cosinusfunktion zu. 77 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail II Jede Sinusfunktion lässt sich auch durch eine Cosinusfunktion darstellen (und umgekehrt), da diese lediglich in der Phase verschoben sind: ( sin x =cos x π ) 2 ( cos x =sin x + π ) 2 78 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

40 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail III Einige wichtige Funktionswerte: Winkel α (Grad) Winkel α (Bogenmaß) 0 π 6 π 4 π 3 π 3π 2 π 2 2π sin α cos α c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Aufgabe Aufgabe Die Berechnung von Sinus- und Cosinuswerten ist oft nur näherungsweise möglich. In einigen Fällen können die Werte jedoch auch exakt bestimmt werden. Führe dies exemplarisch für den Wert cos ( π 4 ) durch. 80 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

41 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Aufgabe Lösung Es gilt sin ( ) ( π 4 =cos π ) 4. Anwenden des Satzes von Pythagoras ergibt: ( sin 2 π ) ( +cos 2 π ) = Wegen sin ( ) ( π 4 =cos π ) 4 folgt sin 2 ( π 4 ) ( +cos 2 π ) 4 ( = 2 cos 2 π ) 4 = 1. Umstellen nach cos ( π 4 ) liefert die gesuchte Lösung: ( π ) cos 4 = c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Sinus & Cosinus im Detail IV Die Funktionswerte für einen beliebigen Winkel α können beispielsweise über Taylorpolynome näherungsweise berechnet werden; diese werden im Studium behandelt. Taylorpolynome T 1 bis T 25 für sin x 82 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

42 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Rechenregeln I Für die Addition von (verschiedenen) Winkeln gelten die folgenden Additionstheoreme: sin ( α ± β ) =sinαcos β ± cos α sin β cos ( α ± β ) =cosαcos β sin α sin β. Daraus ergeben sich beispielsweise die Rechenregeln für den doppelten Winkel: sin ( 2α ) = 2 sin α cos α cos ( 2α ) =cos 2 α sin 2 α. 83 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Rechenregeln II Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die folgende: sin 2 α +cos 2 α = 1. Sie lässt sich einfach am Einheitskreis beweisen. (Aufgabe!) 84 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

43 Kapitel X: Trigonometrische Funktionen Umkehrfunktionen Zu jeder der besprochenen trigonometrischen Funktionen gibt es eine entsprechende Umkehrfunktion, die dem Seitenverhältnis wieder den Winkel zuordnet: arcsin: Arcussinus; arccos: Arcuscosinus; arctan: Arcustangens; arccot: Arcuscotangens. 85 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen 86 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

44 Kapitel XI: Das Summenzeichen Das Summenzeichen I Wir betrachten die Summe der ersten n natürlichen Zahlen: ( n 1 ) + n. Aufgrund des sehr speziellen Aufbaus der Summe ist leicht zu erraten, welche Summanden abkürzend als... dargestellt sind. Die Summe aus diesem Beispiel lässt sich mit dem Summenzeichen wie folgt darstellen: n i. i=1 87 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Das Summenzeichen II Etwas allgemeiner betrachten wir die folgende Summe: a 1 + a 2 + a a n 1 + a n. Die Werte a i sind alle nach demselben Schema aufgebaut. Aufgrund des einheitlichen Aufbaus der Summanden ist auch hier gut zu erkennen, welche Summanden abkürzend als... dargestellt sind. Die entsprechende abkürzende Schreibweise mit dem Summenzeichen lautet: n a i. i=1 88 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

45 Kapitel XI: Das Summenzeichen Das Summenzeichen III Es existieren zwei mögliche Schreibweisen für die Summe: n i=m a i bzw. m i n a i Bezeichnungen: i: Indexvariable, Laufvariable m: Startwert n: Endwert a i : der i-te Summand 89 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Das Summenzeichen IV Einige Beispiele: 5 i = i=0 7 k 2 = k=2 4 i=1 i+1 i = c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

46 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgaben Aufgabe XI-1 Schreibe die folgenden Summen ohne das Summenzeichen: a) a k b) a i c) 1 k 4 d) 1 j 15 j: Primzahl 1 i 10 i: gerade b j e) 1 k 50 k: Quadratzahl 0 j 10 j: ungerade Hinweis: Es ist nicht notwendig, die Summen auszurechnen. a k 2 j 91 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Addition von Summen I Zur Erinnerung: Das Summenzeichen ist lediglich eine abkürzende Schreibweise. Gegeben sind die folgenden beiden Summen: n a i = a 0 + a a n i=0 n b i = b 0 + b b n i=0 Frage: Wie sieht die Summe der beiden Summen aus? n a i + i=0 n i=0 b i 92 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

47 Kapitel XI: Das Summenzeichen Addition von Summen II n n a i + b i = ( ) ( ) a 0 + a a n + b0 + b b n i=0 i=0 = ( ) ( ) ( ) a 0 + b 0 + a1 + b an + b n n ( ) = ai + b i i=0 93 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Subtraktion von Summen Die Subtraktion von Summen funktioniert nach demselben Schema wie die Addition. Gegeben sind die folgenden beiden Summen: n a i = a 0 + a a n i=0 n b i = b 0 + b b n i=0 Als Differenz ergibt sich: n n a i b i = i=0 i=0 n ( ) ai b i i=0 94 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

48 Kapitel XI: Das Summenzeichen Ausklammern von gemeinsamen Faktoren Da die Notation mit dem Summenzeichen nur eine Kurzschreibweise für normale Summen ist, dürfen natürlich alle Regeln der normalen Summen auch mit dem Summenzeichen verwendet werden. Insbesondere gilt dies für die Möglichkeit, gemeinsame Faktoren auszuklammern: n n λ a i = λ a i. i=0 i=0 95 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Multiplikation von Summen I Gegeben sind die folgenden beiden Summen: n a i = a 0 + a a n i=0 m b j = b 0 + b b m j=0 Frage: Wie sieht das Produkt der beiden Summen aus? ( n ) m a i i=0 j=0 b j 96 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

49 Kapitel XI: Das Summenzeichen Multiplikation von Summen II Bei der Multiplikation wird jedes Element der ersten Summe mit jedem Element der zweiten Summe multipliziert: ( n ) ( m ) a i b j = ( ) ( ) a 0 + a a n b0 + b b m i=0 j=0 = a 0b a 0b m a nb a nb m = ( ) ( ) a 0b a 0b m anb a nb m n ( ) = ai b 0 + a i b a i b m = i=0 ( n m ) a i b j i=0 j=0 97 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Multiplikation von Summen III Als Produkt der beiden Summen ergibt sich also: ( n ) m n m a i b j = a i b j. i=0 j=0 i=0 j=0 Man nennt dies auch das allgemeine Distributivgesetz. 98 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

50 Kapitel XI: Das Summenzeichen Multiplikation von Summen IV Beispiel: ( 1 ) 2 a i i=0 j=0 b j = ( a 0 + a 1 ) ( b0 + b 1 + b 2 ) = a 0 b 0 + a 0 b 1 + a 0 b 2 + a 1 b 0 + a 1 b 1 + a 1 b 2 99 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Doppelsummen I Als Doppelsumme bezeichnet man eine Summe, die über einer Summe definiert ist. n m a ij i=1 j=1 Sind die Indizes der Summen unabhängig, darf die Reihenfolge der Summenzeichen vertauscht werden: n m m n a ij = a ij. i=1 j=1 j=1 i=1 100 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

51 Kapitel XI: Das Summenzeichen Doppelsummen II Dies ist leicht einzusehen: n m n ( ) a ij = ai a im i=1 j=1 i=1 = ( ) ( ) a 11 + a a 1m an1 + a n a nm = ( ) ( ) a 11 + a a n a1m + a 2m a nm m ( ) = a1j a nj = j=1 m n j=1 i=1 a ij 101 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen I Als Indextransformation werden solche Umformungen bezeichnet, die nur mit den Indizes der Summanden bzw. der Summe geschehen, ohne dabei den Wert der Summe zu verändern. 102 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

52 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen II Eine sehr einfache Indextransformation ist das Verschieben des Summationsindex um 1: n n+1 a i = a i 1. i=0 i=1 103 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen III Es ist leicht einzusehen, dass diese beiden Summen gleich sind: n a i = a 0 + a a n i=0 n+1 a i 1 = a a a (n+1) 1 i=1 = a 0 + a a n 104 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

53 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen IV Im Allgemeinen darf man selbstverständlich den Summationsindex auch um einen beliebigen konstanten Wert verschieben: n a i = i=m n a i = i=m n+k i=m+k n k i=m k a i k a i+k 105 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen V Eine weitere Indextransformation ergibt sich daraus, dass die Notation mit dem Summenzeichen nur eine abkürzende Schreibweise darstellt und die Addition kommutativ ist: n a i = i=0 n a n i. i=0 106 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

54 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen VI Auch diese Gleichheit ist leicht einzusehen: n a i = a 0 + a a n i=0 = a n a 1 + a 0 = a n a n (n 1) + a n n n = a n i. i=0 107 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Indextransformationen VII Die Umformung auf der vorherigen Folie ist nur gültig, falls die Summe den Startwert 0 besitzt. Für alle anderen Startwerte gilt die folgende Umformung: n a i = i=m n a (n+m) i. i=m 108 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18

55 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgaben Aufgabe XI-2 Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind. Begründe deine Antworten! a) n n+4 a i = a j 4 b) i=2 j=6 n n 1 a i = i=1 i=0 a i 1 c) 5 i = i=1 7 (i 2) d) i=2 8 a k = 8 k=4 k=4 a 8 k 109 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Kapitel XI: Das Summenzeichen Teleskopsummen Teleskopsummen sind Summen der folgenden Art: n ( ) ai a i+1. i=0 Aufgrund des besonderen Aufbaus der Summanden heben sich beim Aufsummieren die meisten der Summanden gegenseitig auf: n ( ) ( ) ( ) ( ) ai a i+1 = a0 a 1 + a1 a an a n+1 i=0 = a 0 + ( a 1 + a 1 ) ( an + a n ) an+1 = a 0 a n c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18