Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mitturbo-pascal- Programmen

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1 Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mitturbo-pascal- Programmen von PROF. DR. GISELA ENGELN-MÜLLGES Fachhochschule Aachen und 0. PROF. EM. DR. FRITZ REUTTER Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen ANHANG TURBO-PASCAL-PROGRAMME von Dr. Albert Becker 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Wissenschaftsverlag Mannheim/Wien/Zürich

2 INHALTSVERZEICHNIS, IX 1. Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse Definition von Fehlergrößen Dezimal darstellung von Zahlen Rundungsvorschriften für Dezimalzahlen Schreibweise für Näherungszahlen und Regeln zur Bestimmung der Anzahl sicherer Stellen Fehlerquellen Der Verfahrensfehler Der Eingangsfehler Der Rechnungsfehler 9 2. Numerische Verfahren zur Lösung algebraischer und transzendenter Gleichungen Iterationsverfahren Konstruktionsmethode und Definition Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösungen Konvergenz eines Iterationsverfahrens. Fehlerabschätzungen. Rechnungsfehler Praktische Durchführung Algorithmus I Bestimmung des Startwertes Konvergenzuntersuchung Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens Spezielle Iterationsverfahren Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Nullstellen Regula falsi für einfache und mehrfache Nullstellen Das Verfahren von Steffensen für einfache und mehrfache Nullstellen Das Pegasus-Verfahren Bisektion Entscheidungshilfen Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen Das Horner-Schema für algebraische Polynome Das einfache Horner-Schema für reelle Argumentwerte Das einfache Horner-Schema für komplexe Argumentwerte 30 15

3 Das vollständige Horner-Schema für reelle Argumentwerte "S? Anwendungen Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer Gleichungen Vorbemerkungen und Überblick Das Verfahren von Muller Das Verfahren von Bauhuber Das Verfahren von Jenkins und Traub Verfahren zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme Aufgabenstellung und Lösbarkeitsbedingungen. Prinzip der direkten Methoden Der Gauß-Algorithmus Matrizeninversion mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus Das Verfahren.von Cholesky Das Gauß-Jordan-Verfahren Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit dem Austauschverfahren (Pivotisieren) Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen und allgemeinen Bandmatrizen ' Systeme mit fünfdiagonalen Matrizen Gleichungssysteme mit Bandmatrizen Fehler, Kondition und Nachiteration Fehler und Kondition Nachiteration Iterationsverfahren Vorbemerkungen Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren Relaxation beim Gesamtschrittverfahren Relaxation beim Einzelschrittverfahren Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens Gleichungssysteme mit Blockmatrizen Systeme nichtl inearer Gleichungen Allgemeines Iterationsverfahren 81

4 XI 4.2 Spezielle Iterationsverfahren Newtonsche Verfahren Das quadratisch konvergente Newton-Verfahren Das gedämpfte Newton-Verfahren Regula falsi Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradientenverfahren) Das Verfahren von Brown Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Definitionen und Aufgabenstellungen Diagonalähnliche Matrizen Das Iterationsverfahren nach v. Mises Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen Direkte Methoden Das Verfahren von Krylov Bestimmung der Eigenwerte Bestimmung der Eigenvektoren Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter symmetrischer tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD- Algorithmus Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Verfahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch, Wilkinson 105 " \6. Approximation stetiger Funktionen AppT-oximationsaufgabe und beste Approximation 1U7 6.2 Approximation im quadratischen Mittel HO Kontinuierliche Fehlerquadratmethode von Gauß Diskrete Fehlerquädratmethode von Gauß Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff-Polynome Beste gleichmäßige Approximation. Definition Approximation durch Tschebyscheff-Polynome Einführung der Tschebyscheff-Polynome Darstellung von Polynomen als Linearkombination von Tschebyscheff-Polynomen 120

5 XII Beste gleichmäßige Approximation Gleichmäßige Approximation Approximation periodischer Funktionen Approximation im quadratischen Mittel Trigonometrische Interpolation Komplexe diskrete Fourier-Transformation Interpolation und Splines 130 S 7.1 Aufgabenstellung zur Interpolation durch algebraische Polynome Interpolationsformeln von Lagrange Formel für beliebige Stützstellen Formel für äquidistante Stützstellen Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Stützstellen Inverse Interpolation nach Aitken Interpolationsformeln von Newton Formel für beliebige Stützstellen Formel für äquidistante Stützstellen * Interpolationsformeln für äquidistante Stützstellen mit Hilfe des Frazerdiagramms Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung des Interpolationsfehlers Interpolierende Polynom-Splines dritten Grades Problemstellung Definition der Splinefunktionen Berechnung der kubiscnen Splinefunktionen Hermite Splines fünften Grades Polynomiale Ausgleichsspl ines dritten Grades Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen Interpolationsformel von Lagrange Zweidimensionale Polynom-Splines dritten Grades Bezier-Splines Rationale Interpolation Entscheidungshilfen bei der Auswahl des zweckmäßigsten Verfahrens zur angenäherten Darstellung einer stetigen Funktion Numerische Differentiation Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms 180

6 XIII Berechnung der ersten Ableitung an einer beliebigen Stelle <<5? Tabelle zur Berechnung der ersten und zweiten Ableitungen an Stützstellen Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer Polynom-Splines Differentiation nach dem Romberg-Verfahren Numerische Quadratur Vorbemerkungen und Motivation Interpolationsquadraturformeln Konstruktionsmethoden Newton-Cotes-Formeln Die Sehnentrapezformel Die Simpsonsche Formel Die 3/8-Formel ' Weitere Newton-Cotes-Formeln Quadraturformeln von Maclaurin Die Tangententrapezformel Weitere Maclaurin-Formeln Die Euler-Maclaurin-Formeln Fehlerschätzungsformeln und Rechnungsfehler Tschebyscheffsche Quadraturformeln Quadraturformeln von Gauß Das Verfahren von Romberg Adaptive Quadraturverfahren Konvergenz der Quadraturformeln Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung Prinzip und Einteilung der numerischen Verfahren Einschrittverfahren Das Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy Das Verfahren von Heun (Praediktor-Korrektor- Verfahren) Runge-Kutta-Verfahren Allgemeiner Ansatz Das klassische Runge-Kutta-Verfahren Zusammenstellung expliziter Runge-Kutta- Verfahren 215

7 XIV Anfangswertproblemlöser Implizite Runge-Kutta-Verfahren Mehrschrittverfahren Prinzip-^der Mehrschrittverfähren Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams- Moulton Weitere Praediktor-Korrektor-Formeln Das Mehrschrittverfähren von Gear Fehlerschätzungsformeln und Rechnungsfehler Fehlerschä'tzungsformeln Rechnungsfehler Extrapolationsverfahren Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei Systemen, von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung und bei Differentialgleichungen höherer Ordnung Runge-Kutta-Verfahren Allgemeiner Ansatz Das klassische Runge-Kutta-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren für Anfangswertprobleme bei -gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung Schrittweitensteuerung Runge-Kutta-Fehlberg-Verfahren Beschreibung des Verfahrens Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung Mehrschrittverfähren Ein Mehrschrittverfähren für steife Systeme Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Zurückführung des Randwertproblems auf ein Anfangswertproblem Randwertprobleme für nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Randwertprobleme für Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung Mehrzielverfahren 257

8 XV 12.2 Differenzenverfahren Das gewöhnliche Differlnzenverfahren Differenzenverfahren höherer Näherung Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme zu speziellen Randwertproblemen Lineare Eigenwertprobleme 269 Anhang: PASCAL-Programme 271 Verzeichnis der Programme 272 L Literaturverzeichnis 491 L.1 Lehrbücher und Monographien 491 L.2 Originalarbeiten 493 L.3 Aufgaben- und Formelsammlungen, Tabellenwerke, Programmbibliotheken 494 L.4 Ergänzungen zu L L.5 Ergänzungen zu L Sachregister 499