Walter Strampp Victor Ganzha Evgenij Vorozhtsov. Hohere Mathematik mit Mathematica 3

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1 Walter Strampp Victor Ganzha Evgenij Vorozhtsov Hohere Mathematik mit Mathematica 3

2 Aus dem Programm Mathematik/Computeralgebra N. Blachman Mathematica gritlbereit E. Heinrich und H.-D. Janetzko Das Mathematica Arbeitsbuch G. Fischer Lineare Algebra o. Forster Analysis 1, 2, 3 w. Strampp und V. Ganzha Differentialgleichungen mit Mathematica o. Kerner, 1. Maurer, 1. Steffens, T. Thode und R. Voller Vieweg Mathematik Lexikon Vieweg -/

3 Walter Strampp Victor Ganzha Evgenij Vorozhtsov Hohere Mathematik mit Mathematica Band 3: Differentialgleichungen und Numerik Mit 145 Beispielen mit Mathematica

4 Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn VerJagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, Der VerJag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des VerJags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf saurefreiem Papier ISBN-13: : / e-isbn-13:

5 v Vorwort Dieses Buch bildet den dritten Band unserer vierbandigen Einflihrung in die Hohere Mathematik mit Mathematica. Es enthalt den Stoff einer etwa drei- bis viersttindigen Einflihrung in die Gewohnlichen Differentialgleichungen sowie einer Einflihrung in die Numerik etwa gleichen Umfangs. Auf beiden Gebieten bestehen ausgezeichnete Einsatzmoglichkeiten des Computer-Mathematik-Systems Mathematica. In zahlreichen Beispielen werden die mathematischen GrundvorsteIlungen durch die Wechselwirkung von inhaltlicher Uberlegung und symbolischer bzw. symbolisch-numerischer Rechnung verdeutlicht. Viele Graphiken, die aile mit Mathematica ersteilt wurden, unterstiitzen diese Arbeit. Die wesentlichen mathematischen Begriffe und Mathematica-Befehle werden auf der Randspalte hervorgehoben. Ziel dieses Buches ist, zusammen mit der Einflihrung in die mathematische Theorie die Einsatzmoglichkeiten der Computeralgebra zu demonstrieren. Dabei werden ftir den interessierten Leser gelegentlich Programme - insbesondere im Numerikteil - mitgeliefert, deren voilstandige Erlauterung eine kurze Einflihrung in Mathematica als Programmiersprache erfordern wtirde. Mathematica tibernimmt deswegen in unserem Buch keinesfails die Funktion einer Black-Box. Viele Leser - vor all em Studenten - werden noch mit alteren Mathematica-Versionen arbeiten. Dies kann ohne Probleme geschehen. 1m wesentlichen haben wir mit der Version gearbeitet. Die verwendeten Befehle konnen aber auch ohne Anderung in der neueren Version 3.0 tibernommen werden. Der gesamte Mathematica-Programm-Code aus den Beispielen des dritten und vierten Bandes der Hoheren Mathematik mit Mathematica kann yom Server des Vieweg-Verlages heruntergeladen werden. Die Adresse: Mit Herrn W. Schwarz yom Verlag Vieweg verbindet uns eine mehrjahrige vertrauensvoile Zusammenarbeit. Daftir und flir seinen stetigen Einsatz flir unser Projekt gebtihrt ihm unser herzlicher Dank.

6 VI Literatur K. Meyberg, P. Vachenauer, Hohere Mathematik, Band II, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg K. Endl, W. Luh, Analysis ill, Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main W. Walter, Gewohnliche Differentialgleichungen, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg W. Luther, K. Niederdrenk, F. Reutter, Gewohnliche Differentialgleichungen: Analytische und numerische Aspekte, Verlag Vieweg, BraunschweiglWiesbaden K. Burg, H. Haf, F. Wille, Hohere Mathematik fur Ingenieure, Band ill, B. G. Teubner, Stuttgart J.-P. D ly, Gewohnliche Differentialgleichungen: Theoretische und numerische Aspekte, Verlag Vieweg, BraunschweiglWiesbaden C. Ross, Differential Equations, An Introduction with Mathematica, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg E. Stiefel, EinfUhrung in die numerische Mathematik, B. G. Teubner, Stuttgart G. Engeln-Mullges, F. Reutter,- Numerische Mathematik fur Ingenieure, B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim J. Stoer, Numerische Mathematik 1, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg J. Stoer, R. Bulirsch, Numerische Mathematik 2, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg G. Opfer, Numerische Mathematik fur Anfanger, Verlag Vieweg, BraunschweiglWiesbaden W. Oevel, Einfuhrung in die numerische Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin M. L. Abell, J. P. Braselton, Mathematica by Example, Academic Press, Inc., San Diego, CA R. Braun, R. Meise, Analysis mit Maple, Verlag Vieweg, BraunschweiglWiesbaden E. Heinrich, H. Janetzko, Das Mathematica-Arbeitsbuch, Verlag Vieweg, BraunschweiglWiesbaden W. Werner, Mathematik lernen mit Maple V, dpunkt Verlag, Heidelberg T. Westermann, Mathematik fur Ingenieure mit Maple, Band I u. II, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1997.

7 VII Inhaltsverzeichnis I Gewohnliche Differentialgleichungen 1 1 Differentialgleichungen erster Ordnung 1.1 Einige Grundbegriffe Existenz und Eindeutigkeit von L6sungen 1.3 Lineare Differentialgleichungen Separierbare Differentialgleichungen... 2 Einige spezielle Gleichungen erster Ordnung 2.1 Die Ahnlichkeitsdifferentialgleichung 2.2 Differentialgleichungen vom Typ y' = g«ax + f3y + y)/(ax + by + d» 2.3 Die Bernoullische Differentialgleichung 2.4 Die Riccatische Differentialgleichung 2.5 Exakte Differentialgleichungen Differentialgleichungen fi.ir Kurvenscharen Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Systeme erster Ordnung und Gleichungen n-ter Ordnung Reduktion von Differentialgleichungen Existenz-und Eindeutigkeitsaussagen fi.ir Systeme Lineare Systeme erster Ordnung Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Randwertprobleme Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare homo gene Gleichungen n-ter Ordnung Lineare inhomogene Gleichungen n-ter Ordnung Lineare homogene Systeme Hauptvektoren und Fundamentalsysteme LOsungen durch Potenzreihenentwickiung Gleichungen erster Ordnung Systeme und Gleichungen hoherer Ordnung 155

8 vm Inhaltsverzeichnis II Numerik Polynome und NuIIsteUenbestimmung Das Horner-Schema Das Newtonsche Verfahren fur einfache Nullstellen Das Newtonsche Verfahren fur mehrfache Nullstellen Regula falsi Berechnung von Nullstellen von Poly nomen Interpolation Interpolation durch Poly nome Das Interpolationspolynom in der Form von Lagrange Das Interpolationspolynom in der Form von Newton Abschatzung des Interpolationsfehlers Interpolation durch Splines Quadratische Splines Kubische Splines Trigonometrische Interpolation Approximation Approximation durch Poly nome Die GauBsche Fehlerquadratmethode Tschebyscheff-Entwicklung Numerische Integration Interpolationsquadraturformeln Die Trapez-, Simpson-, 3/8- und Sehnentrapezregel GauB-Quadratur Das Romberg-Verfahren Numerische LOsung gewohnlicher Differentialgleichungen Das Euler-Cauchy-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren Adams-Verfahren Numerische LOsung Iinearer Gleichungssysteme GauB-Elimination Das Cholesky-Verfahren Iterative Verfahren Jacobi-, GauB-Seidel- und SOR-Verfahren 311 Mathematica-Befehle 318 Sachwortverzeichnis 319