Teubner Studienbücher

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1 Teubner Studienbücher Mathematik Ahlswede/Wegener: Suchprobleme 328 Seiten. DM 29,80 Ansorge: Differenzenapproximationen partieller Anfangswertaufgaben 298 Seiten. DM 29,80 (LAMM) Sohl: Finite Modelle gewöhnlicher Randwertaufgaben 318 Seiten. DM 29,80 (LAMM) Böhmer: Spline-Funktionen Theorie und Anwendungen. 340 Seiten. DM 30,80 Bröcker: Analysis ln mehreren Variablen einschließlich gewöhnlicher Differentialgleichungen und des Satzes von Stokes VI, 361 Seiten. DM 29,80 Clegg: Variationsrechnung 138 Seiten. DM 18,80 Collatz: Differentialgleichungen Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen 6. Aufl. 287 Seiten. DM 29,80 (LAMM) Collatz/Krabs: Approximationstheorie Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen. 208 Seiten. DM 28,- Constantinescu: Distributionen und Ihre Anwendung ln der Physik 144 Seiten. DM 19,80 Fischer/Sacher: Einführung ln die Algebra 2. Aufl. 240 Seiten. DM 19,80 Flore!: Maß- und Integrationstheorie Eine Einführung. 360 Seiten. DM 29,80 Grigorieff: Numerik gewöhnlicher Differentlaigleichungen Band 1: Einschrittverfahren. 202 Seiten. DM 18,80 Band 2: Mehrschrittverfahren. 411 Seiten. DM 29,80 Hainzl: Mathematik für Naturwissenschaftler 3. Aufl. 376 Seiten. DM 29,80 (LAMM) Hässig: Graphentheoretische Methoden des Operations Research 160 Seiten. DM 26,80 (LAMM) Hilbert: Grundlagen der Geometrie 12. Aufl. VII, 271 Seiten. DM 25,80 Jeggle: Nichtlineare Funktionalanalysis Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen. 255 Seiten. DM 26,80 Kali: Mathematische Methoden des Operations Research Eine Einführung. 176 Seiten. DM 24,80 (LAMM) Kochendörffer: Determinanten und Matrizen IV, 148 Seiten. DM 17,80 Kohlas: Stochastische Methoden des Operations Research 192 Seiten. DM 24,80 (LAMM) Fortsetzung auf der 3. Umschlagseite

2 Praktische Mathematik Von Dr. rer. nat. Friedrich Stummel Professor an der Universität Frankfurt/Main und Dr. phil. nat. Karl Hainer Akad. Oberrat an der Universität Frankfurt/Main 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 16 Figuren, 63 numerischen übungsaufgaben mit Rechenergebnissen und zahlreichen Beispielen Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1982

3 Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Stummel Geboren 1929 in Berlin. Studium der Mathematik und Physik von 1950 bis 1955 an den Universitäten Göttingen, Tübingen und Paris. Diplom 1954 und Promotion 1955 in Göttingen. Von 1956 bis 1961 Leiter der Rechengruppe im Institut für Neutronenphysik und Reaktortechnik des Kernforschungszentrums Karlsruhe. Habilitation 1961 an der Technischen Universität Berlin. Von 1961 bis 1964 Privatdozent an der Technischen Universität und wissenschaftlicher Mitarbeiter am Hahn-Meitner-Institut für Kernforschung in Berlin Berufung also. Professor auf den Lehrstuhl für Angewandte und Instrumentelle Mathematik der Universität Frankfurt/M. Dr. phil. nat. Karl Hainer Geboren 1942 in Offenbach/M bis 1966 Studium der Mathematik an der Universität Frankfurt/M Diplom Promotion in Frankfurt/M. Seit 1971 Akademischer Rat am Mathematischen Seminar der Universität Frankfurt/M. CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Stummel, Friedrich: Praktische Mathematik I von F. Stummel u. K. Hainer.- 2., überarb. u. erw. Aufl. - (Teubner Studienbücher: Mathematik) ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: Hainer, Kar!: Das Werk ist urherrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender VervieWiltigung ist an den Verlag gemäß 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. Springer Fachmedien Wiesbaden 1982 Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner, Stuttgart 1982 Satz: Schmitt u. Köhler, Würzburg-Heidingsfeld Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen

4 Vorwort Die praktische Mathematik beschäftigt sich mit Verfahren zur Lösung typischer mathematischer Grundaufgaben, die in Anwendungsgebieten der Mathematik und in der Praxis auftreten, sowie mit der mathematischen Analyse und Behandlung dieser Verfahren. In naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungsgebieten handelt es sich bei diesen Aufgaben zum Beispiel um die Berechnung spezieller Funktionen, die näherungsweise Berechnung von Differentialquotienten und von Integralen dieser Funktionen, um die Lösung algebraischer Gleichungen, von linearen und nichtlinearen algebraischen Gleichungssystemen, um die näherungsweise Lösung von Differential- und Integralgleichungen und so weiter. Für die Praxis ist man dabei vorwiegend an Methoden interessiert, die die näherungsweise, numerische Lösung der Aufgaben gestatten. In diesem Buch werden die üblichen Vorkenntnisse der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Algebra aus dem ersten Jahr des Mathematikstudiums vorausgesetzt. Die numerischen Übungsaufgaben sind so gestellt, daß sie im Rahmen eines Mathematischen Praktikums auf programmierbaren digitalen Rechenmaschinen gelöst werden können. Ein Teil der Aufgaben läßt sich bereits auf programmierbaren Taschenrechnern bearbeiten. Zahlreiche Taschenrechnerprogramme mit detaillierten Beschreibungen der numerischen Algorithmen sind in einem Buch des zweiten Autors zu finden. Die problemorientierten Programmierungssprachen moderner Großrechenanlagen gestatten ohne weiteres das Rechnen im Bereich der komplexen Zahlen. Eine Reihe von Aufgabenstellungen wie zum Beispiel die Bestimmung von Nullstellen bei Polynomen oder von Eigenwerten bei Matrizen ist im allgemeinen Fall nur im Körper der komplexen Zahlen vollständig lösbar. Soweit dies ohne weiteres möglich ist, werden daher Methoden und Verfahren in diesem Buch für den Körper K formuliert, wobei K den Körper R der reellen Zahlen beziehungsweise den Körper C der komplexen Zahlen bezeichnet. Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen und Praktika entstanden, die der erstgenannte VerfasserseitJahren regelmäßig an der Universität Frankfurt gehalten hat, und aus einem Vorlesungsskriptum zum Mathematischen Praktikum, das von beiden Verfassern gemeinsam ausgearbeitet worden war. Der Stoff der ersten fünf Kapitel bildet im wesentlichen eine einsemestrige Einführung in die Praktische Mathematik. Darüber hinaus bringt Kapitel VI eine Einführung in die Fehleranalyse numerischer Algorithmen, die für das Verständnis der Grundbedingungen des numerischen Rechnens von zentraler Bedeutung ist. Im Rahmen einer einsemestrigen Vorlesung ist eine Beschränkung bei der Darstellung von Verfahren und Methoden notwendig. Wir haben darauf verzichtet, eine größtmögliche Anzahl verschiedener Verfahren, etwa gar nur in Form von "Rezepten", zu den einzelnen Aufgabenstellungen zu bringen. Vielmehr sollten grundlegende Begriffsbildungen und Eigenschaften typischer Verfahren behandelt werden. Speziellere Fragen können dann auf dieser Basis in weiterführenden Vorlesungen oder mit Hilfe der zu Beginnjedes Paragraphen genannten umfassenderen Bücher und Standardwerke weiter verfolgt werden.

5 4 Vorwort Es wird jetzt noch ein kurzer Überblick über Darstellung und Inhalt des Buches gegeben sowie auf einige Ergebnisse hingewiesen, die aus anderen Vorlesungsskripten und Arbeiten des ersten Verfassers stammen. Kapitell soll zunächst mit Begriffsbildungen und Methoden bekannt machen, die zur Berechnung von Funktionen und ihrer Nullstellen dienen und für die Benutzung entsprechender Handbücher erforderlich sind. Kapitel II beschäftigt sich mit Interpolation und näherungsweiser Differentiation und Integration. Neben den klassischen Quadraturformeln, die mit Hilfe der Hermiteschen Interpolationsformel hergeleitet werden, bringen wir die Romberg-Integration und die allgemeinen Gaußsehen Quadraturformeln. Gegenstand der Kapitel III und IV sind Methoden zur Lösung linearer und nichtlinearer algebraischer Gleichungssysteme sowie zur Lösung von Eigenwertaufgaben bei Matrizen. Paragraph 5 behandelt daher grundlegende Begriffsbildungen für den endlichdimensionalen Zahlenraum, nämlich Normen für Vektoren und Matrizen, Skalarprodukte, sowie die wichtigsten Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen. Die numerischen Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme gliedern sich hier in Eliminationsverfahren, Orthogonalisierungsverfahren und iterative Verfahren. Zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme durch das Jacobiund Gauß-Seidel-Verfahren beschäftigt sich Paragraph 9 mit der Methode der sukzessiven Approximation für kontrahierende Abbildungen und monotone Abbildungen sowie mit den Newtonsehen Verfahren. Bei der Lösung von Eigenwertaufgaben beschränken wir uns auf den symmetrischen Fall und die Potenzmethode, das klassischej acobische Verfahren, das Verfahren von Krylow mit Lanczos-Orthogonalisierung zur Gewinnung einer Tridiagonalmatrix und einer Sturmsehen Kette zur Berechnung der Eigenwerte, sowie auf Einschließungssätze und a-posteriori Fehlerabschätzungen für Eigenwerte und Eigenvektoren. Aus dem umfangreichen Gebiet der numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen sind in Kapitel V die Einschritt- und Mehrschrittverfahren zur numerischen Integration von Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ausgewählt worden. Dabei werden nicht nur die Näherungsgleichungen dieser Verfahren hergeleitet, sondern auch Konvergenz und Stabilität der Verfahren bewiesen. In Kapitel VI wird das Verhalten numerischer Algorithmen unter dem Einfluß von Rundungsfehlern einer Gleitpunktarithmetik und Störungen der Eingangsdaten untersucht. Paragraph 13 bringt eine kurze Einführung in eine Vorwärtsfehleranalyse, die mit Hilfe der Linearisierungsmethode optimale Schranken für die möglichen Resultatfehler liefert. Darüber hinaus gestattet diese Methode auch, die Stabilität von Algorithmen im Sinne der Wilkinsonschen Rückwärtsanalyse zu untersuchen. In 14 wird die Fehleranalyse auf die Berechnung von Wurzeln quadratischer Gleichungen, von Produkten und Summen, auf das Horner-Schema, die Lösung bidiagonaler Gleichungssysteme, den Kettenbruchalgorithmus und das Gaußsehe Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme angewandt. Wesentliche Hilfsmittel zur Herleitung von Stabilitätssätzen für das Gaußsehe Eliminationsverfahren bei speziellen Gleichungssystemen, deren Koeffizientenmatrizen positiv definit, diagonaldominant oder M-Matrizen sind, findet man in Abschnitt 6.2.

6 Vorwort 5 Von fundamentaler Bedeutung für Näherungsverfahren sind zugehörige Fehlerabschätzungen. Besonders interessieren dabei sogenannte a-posteriori-fehlerabschätzungen, durch die man aus der berechneten Näherungslösung mit dem Defekt bei der Einsetzprobe die Abweichung der Näherung von der gesuchten Lösung abschätzen kann. Für die Lösung von nichtlinearen algebraischen Gleichungssystemen wird eine solche, vom speziellen Verfahren unabhängige Fehlerabschätzung in Abschnitt9.2 hergeleitet. Eine entsprechende Fehlerabschätzung wird für denfall einer Veränderlichen bereits in Abschnitt 2.2 gezeigt, womit sich übrigens sehr einfach die Konvergenz der Regula falsi auch im Komplexen beweisen läßt. Ganz analog kann man a posteriori-fehlerabschätzungen für Eigenwertaufgaben bei Matrizen angeben. Für Eigenwertnäherungen hat man die bekannten Vergleichs- und Einschließungssätze. Darüber hinaus werden in Abschnitt 10.4 für den symmetrischen Fall auch Eigenvektornäherungen durch die Norm des Defekts bei der Einsetzprobe abgeschätzt, was zugleich eine interessante Fehlerabschätzung des Rayleigh-Quotienten als Eigenwertnäherung durch das Quadrat der Defektnorm ergibt. An mehreren Stellen des Buches werden orthogonale Polynome benötigt. Abschnitt 7.4 bringt daher eine einfache, rein algebraische Theorie orthogonaler Polynome mit Aussagen über Nullstellen, Rekursionsformeln und spezielle Darstellungen, die auf die klassischen orthogonalen Polynome mit den Gaußsehen Quadraturformeln ebenso wie auf die orthogonalen Lanczos-Polynome einer Matrix und das Minimalpolynom eines Vektors anwendbar sind. Abschnitt 8.3 zeigt die Konvergenz des Gauß-Seidel Verfahrens oder allgemeiner der zugehörigen Relaxationsverfahren für positiv definite Matrizen nach Definition einer geeigneten, dem Problem angepaßten Norm mit Hilfe der Methode der kontrahierenden Abbildungen. Die Ein- und Mehrschrittverfahren für Anfangswertaufgaben bringen eine wichtige und typische Anwendung der fundamentalen Begriffsbildungen Konsistenz, Konvergenz und Stabilität, wobei die Äquivalenz von Konsistenz und Konvergenz für Lipschitz-stetige Verfahren bewiesen wird. Für die zweite Auflage wurde das Buch um die Fehleranalyse numerischer Algorithmen in Kapitel VI erweitert und in diesem Zusammenhang 6 über das Gaußsehe Eliminationsverfahren neu verfaßt Weiter wurden die Literaturhinweise aufneuesten Stand gebracht und der gesamte Text sorgfältig durchgesehen. Unserem Kollegen, Herrn Prof. Dr. K. H. Müller danken wir an dieser Stelle herzlich für wertvolle Hinweise. Besonderer Dank gebührt dem Teubner-Verlag für die ausgezeichnete Zusammenarbeit und die gute Ausstattung des Studienbuchs. Frankfurt am Main, im Sommer 1981 F. Stummel, K. Hainer

7 Inhalt I Berechnung von Funktionen und Nullstellen. 1. Berechnung von Funktionen Polynome Unendliche Reihen Fehlerabschätzung zum Leibnizschen Kriterium Fehlerabschätzung zum Quotientenkriterium Asymptotische Entwicklungen Kettenbruchentwicklungen Beste Approximationen Numerische Übungsaufgaben 2. Berechnung von Nullstellen Intervallschachtelungsverfahren 2.2. Methode der sukzessiven Approximation Bestimmung von Fixpunkten Bestimmung von Nullstellen 2.3. Das Newtonsehe Verfahren 2.4. Regula falsi Quadratische Interpolation Numerische Übungsaufgaben II Interpolation, Extrapolation, numerische Differentiation und numerische Integration Interpolation, Extrapolation und numerische Differentiation Interpolationspolynome Lagrange-Darstellung Dividierte Differenzen und Newtonsehe Darstellung Interpolation von Funktionen Die Hermitesche Formel Restglieder Äquidistante Stützstellen 3.3. Numerische Differentiation Elementare Differenzenquotienten Differenzenquotienten beliebiger Ordnung und Genauigkeit Numerische Übungsaufgaben Numerische Integration Interpolatorische Quadraturformeln Quadraturformeln und Restglieder Spezielle Quadraturformeln Summierte Quadraturformeln Spezielle summierte Quadraturformeln und Restglieder Extrapolationsverfahren und Romberg-Integration Gaußsehe Quadraturformeln Numerische Übungsaufgaben

8 8 Inhalt 111 Numerische Methoden der linearen Algebra Der normierte Zahlenraum Normen Matrizennormen Skalarprodukte Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Allgemeine Matrizen Symmetrische Matrizen und Abbildungen Eliminationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Das Gaußsehe Eliminationsverfahren Vorwärtselimination und Rückwärtseinsetzen Dreieckszerlegung Simultane Lösung linearer Gleichungssysteme, lnvertierung von Matrizen Fehlerabschätzung und Nachiteration Spezielle Klassen linearer Gleichungssysteme Positiv definite Koeffizientenmatrizen, LDL*-Zerlegung, Cholesky-Verfahren Diagonaldominante Koeffizientenmatrizen, M-Matrizen Bandmatrizen Tridiagonale Gleichungssysteme Numerische Übungsaufgaben Orthogonalisierungsverfahren und überbestimmte Gleichungssysteme Orthogonalisierungsverfahren Überbestimmte Gleichungssysteme Ausgleichsparabeln und diskrete harmonische Analyse Formulierung und Lösung der allgemeinen Aufgabe Ausgleichsparabeln Diskrete harmonische Analyse Orthogonale Polynome Definition orthogonaler Polynome Symmetrische orthogonale Polynome Beispiele Numerische Übungsaufgaben Iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Das Verfahren von Jacobi oder Gesamtschrittverfahren Definition des Verfahrens Konvergenz und Fehlerabschätzungen Spezielle Konvergenzkriterien Das Verfahren von Gauß-Seidel oder Einzelschrittverfahren Definition des Verfahrens Starkes und schwaches Zeilensummenkriterium Gleichungssysteme mit positiv definiten Matrizen Das Verfahren von Jacobi oder Gesamtschrittverfahren Das Verfahren von Gauß-Seidel oder Einzelschrittverfahren Iterative Methoden zur Invertierung von Matrizen Die Neumannsehe Reihe Iterationsverfahren zur Invertierung von Matrizen Das Newtonsehe Verfahren zur Invertierung von Matrizen Numerische Übungsaufgaben

9 Inhalt 9 IV Nichtlineare Gleichungssysteme und Eigenwertaufgaben bei Matrizen Iterative Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Methode der sukzessiven Approximation Definition des Verfahrens Kontrahierende Abbildungen Das Verfahren von Gauß-Seidel oder Einzelschrittverfahren Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Allgemeine Abbildungen Monotone Abbildungen Newtonsehe Verfahren Definition der Verfahren Konvergenz der Newtonsehen Verfahren Numerische Übungsaufgaben Eigenwertaufgaben bei Matrizen Die Potenzmethode Symmetrische Abbildungen mit nichtnegativen Eigenwerten Symmetrische Abbildungen Inverse Iteration und Spektralverschiebung Jacobische Verfahren Elementare orthogonale Transformationen Das klassische Jacobische Verfahren Zyklische und andere J acobische Verfahren Das Verfahren der iterierten Vektoren von Krylow Minimalpolynom eines Vektors Symmetrische Jacobi-Matrix und Sturmsehe Kette Einschließungssätze und Fehlerabschätzungen für symmetrische Eigenwertaufgaben Numerische Übungsaufgaben V Numerische Integration von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen Einschrittverfahren ftir Anfangswertaufgaben Definition des Verfahrens Konsistenz Konsistenzbedingungen Konsistenz der Euler-Cauchy-Verfahren Das Runge-Kutta-Verfahren Die Methode der Taylor-Entwicklung Konvergenz Der augemeine Konvergenzsatz Konvergenz spezieuer Verfahren Stabilität AUgemeiner Stabilitätssatz Diskretisierungs- und Rundungsfehler Numerische Übungsaufgaben

10 10 Inhalt 12. Mehrschrittverfahren ftir Anfangswertaufgaben Definition des Verfahrens Konsistenz Konsistenzbedingungen Verfahren von Adams Verfahren von Nyström und Milne Verfahren von Störmer und Cowell für spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung Konvergenz Der allgemeine Konvergenzsatz Konvergenz spezieller Verfahren Numerische Übungsaufgaben VI Fehleranalyse numerischer Algorithmen Grundlagen der Fehleranalyse Auswertungsalgorithmen in Gleitpunktarithmetik Zahldarstellungen und Rundungsfunktionen Gleitpunktarithmetik Auswertungsalgorithmen Fehlerfortpflanzung Fehlerbeziehungen Lineare Fehlergleichungen und Konditionszahlen Restgliedabschätzungen Daten- und Rundungskonditionszahlen, Rückwärtsstabilitätskonstanten Anwendungen und Beispiele Berechnung von Wurzeln quadratischer Gleichungen, von Produkten und Summen Wurzeln quadratischer Gleichungen Rekursive Berechnung von Produkten Rekursive Berechnung von Summen Der elementare Einschrittalgorithmus Definition des Algorithmus und lineare Fehlergleichungen Horner-Schema Lösung bidiagonaler Gleichungssysteme Auswertung von Kettenbrüchen Gaußsches Eliminationsverfahren Datenstörungen Lösung gestaffelter Gleichungssysteme Gaußsches Eliminationsverfahren unter Rundungsfehlerstörungen Residuenabschätzungen und Stabilitätsbedingungen 348 Literatur Sachverzeichnis 360