Mathematica Scripta 1. Praktische Mathematik I

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1 Mathematica Scripta 1 H. Werner Praktische Mathematik I Methoden der linearen Algebra Vorlesung gehalten im Wintersemester 1968/69 Nach einem von R. Schaback angefertigten Skriptum, herausgegeben mit Unterstützung von R. Runge und U. Ebert Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

2 ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk ist urheberrechdich geschützt. Die dadutch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Funksendung, der Wiedetgabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in DatenverarbeitungsanlaBen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfältigungen für gewerbliche Zwecke ist gemäß 54 UrhG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. S p r i n g e r - V e r l a g B e r l i n H e i d e l b e r g Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heide1berg 1970 Softcoverreprint ofthe bardeover Istedition 1970 Libiary o( Congress Catalog Number Titel-Nr. 2940

3 Herrn Professor Dr. LOTHAR COLLATZ zum 60. Geburtstag am 6. Juli 1970 gewidmet

4 Vorwort Diese Vorlesungsnachschrift enthält den Stoff einer vierstündigen, einsemestrigen Vorlesung, die ich seit mehreren Jahren zur Einführung in die algebraischen Probleme der numerischen Mathematikfür die Studenten mittlerer Semester an der Universität Münster halte. Da in diesem Gebiet die Methoden in außerordentlich schneller Entwicklung begriffen sind, muß man damit rechnen, daß manches morgen schon überholt ist. Dieses Schicksal hat offenbar einige Lehrbücher dieses Gebietes, nur wenige Jahre alt, bereits ereilt. Zum anderen ist es heute wichtig, den immer zahlreicher werdenden Studenten der angewandten Mathematik einen Leitfaden in die Hand zu geben. Wir hoffen, daß der durch die mathematischen Grundvorlesungen vorbereitete Student lernt, wie man mit den in dieser Vorlesung entwickelten abstrakten Begriffen zu konkreten Ergebnissen kommen kann. Aber auch der Praktiker sollte die (z.z.) modernen Methoden für die behandelten algebraischen Probleme finden. In einer Vorlesung lassen sich natürlich vielefragen nur andeuten. Für eingehendere Untersuchungen sei deshalb auf die zitierte Lehrbuchliteratur verwiesen. Die Aufgabenstellungen der Analysis (Differentiation, Integration, numerische Lösung von Differentialgleichungen) pflege ich in Münster in einer zweiten Vorlesung zu behandeln. Diesem Text liegt eine von Herrn Dr. SCHABACK im Wintersemester 1968/69 angefertigte Vorlesungsausarbeitung zugrunde. Beim Korrekturlesen unterstützten uns die Herrn Dipl. Math. R. RUNGE und U. EBERT. Für die Mitarbeit und Unterstützung möchte ich ihnen herzlich danken. Wesentliche Impulse für die Vorlesungen erhielt ich während meiner Tätigkeit am Institut für Angewandte Mathematik der Universität Harnburg durch Herrn Prof. Dr. L. COLLATZ. Zum Dank dafür ist ihm dieses Skriptum gewidmet. Münster, August 1970 H. WERNER

5 Inhaltsverzeichnis Einleitung I. KaEitel: Hilfsmittel der Eraktischen Mathematik 7 Übersicht und Typeneinteilung 7 1. Tischrechenmaschine und Rechenschieber 8 2. Tafelwerke, Interpolation Nomogramme Theoretische Grundlagen der digitalen elektronischen Rechenautomaten Programmsteuerung, Flußdiagramme, Programmiersprachen, Software Fehlerfortpflanzung, Rundungsfehler in digitalen Rechenanlagen Elektronische Analogrechner 58 II. Kapitel: Numerische Methoden zur Lösun9 von Gleichun9en Das Iterationsverfahren für kontrahierende Abbildungen 65 '2. Praktische Formulierung des Fixpunktsatzes Nullstellen reeller Funktionen, Konvergenzgeschwindigkeit Operatoren in Banachräumen Newton' sches Verfahren für Gleichungssysteme Nullstellen von' Polynomen Einschließungssätze für Nullstellen von Polynomen Sätze über die Anzahl der reellen Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten 127 III. KaEitel: Lineare Gleichun9ssysteme 135 Bemerkungen zur Schreibweise von Matrizen und Vektoren Direkte Methoden, Gaußsehe Elimination Fehleranalyse nach Wilkinson, Konditionszahlen 150

6 VIII QR-Zerlegung von Matrizen Iterative Behandlung linearer Gleichungssysteme Konvergenzbeschleunigung bei der iterativen Behandlung linearer Gleichungssysteme; sukzessive Overrelaxation Fehlerabschätzungen mit Hilfe von Monotoniebetrachtungen IV. Kapitel: fi Eigenwertaufgaben bei Matrizen Transformation von Matrizen auf Hessenbergform Eine direkte Methode zur Berechnung der Eigenwerte einer Hessenbergmatrix Das Iterationsverfahren nach von Mises zur Bestimmung eines Eigenwertes und eines Eigenvektors Methoden zur Konvergenzverbesserung; Extrapolation nach Aitken Inverse Iteration nach Wielandt Deflation beim Eigenwertproblem Das LR- und QR-Verfahren von Rutishauser Das J acobi-verfahren für symmetrische Matrizen Lokalisationssätze für die Eigenwerte symmetrischer und normaler Matrizen Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis

7 Symbolverzeichnis 0 II II [o-,ß] (o-,ß) [ xi} ca l'a 2 J Op(a 1,a 2 ) 1\ V leere Menge siehe Norm,... S. 91 Matrixnorm oder Operatornorm,... S. 94 Eine Aufstellung aller auftretenden Normen: S. 99 abgeschlossenes Intervall c R offenes Intervall c R Abkürzende Schreibweise für die Folge x 1, x 2, s. 95 s. 94 s. 38 s. 38 s. 38 s. 39 s. 39 s. 39 L)' < AT c cn c CE CG C(B) Cn(B) s. 41 n n LJ' a.. := L) a.. i = 1 1 ] i = 1 1 ] ii.i Halbordnung,... S. 198 Transponierte einer Matrix,... S. 135 Körper der komplexen Zahlen n-dimensionaler Vektorraum über <I:. ab Kapitel III i. a. eine Iterationsmatrix im Sinne von S. 172 Iterationsmatrix des Einzelschrittverfahrens,... S. 184 Iterationsmatrix des Gesamtschrittverfahrens,... S. 184 Menge der auf B stetigen Funktionen Menge der auf B n-mal stetig differenzierbaren Funktionen 1 falls i = j } Kroneckersymbol, = [ 0 falls i.,; j

8 X lln(x 0,,xn)f d(x,y) ll,d E e. 1 F' xo gl H(i) J ~ t ( A ) Kr(x) L A M(j) N N N(A) pik cp (A ) "' ' "' [f] Q R R!R P (A) sgn x "T" Tij (a) Tmax' Tmin W(a 0,,an) n-ter Differenzenquotient,... S. 19 Distanzfunktion,... S. 66 ab Kapitel III. i. a. Diagonalmatrizen Einheitsmatrix i-ter Einheitsvektor Frechetableitung in x 0,... S. 101 Gleitkomma-Operator,... S. 53 Householder-Transformation,... S. 164 Jordanmatrix,... S. 173 Konditionszahl,... S s. 75 ab Kapitel III i. a. eine Subdiagonalmatrix,... S. 138 i. a. ein Eigenwert,... S. 212 elementare Matrizen,... s. 214 Menge der natür 1 ichen Zahlen : [ 1, 2, } ab Kapitel III: N = [ 1,, n}, n E N.... s. 250 Landau' sehe Symbole,... S. 104 Relaxationskoeffizient,... S. 187 (ab Kapitel III) s s. 18 Permutationsmatrix,... S. 214 ab Kapitel IV: charakteristisches Polyno11J,... S. 212 i. a. Iterationsfunktionen ab Kapitel III: eine orthogonale Matrix (QQT =E) ab Kapitel 111: eine superdiagonale Matrix,... S. 138 Körper der reellen Zahlen n-dimensionaler Vektorraum über IR. ab Kapitel II: metrischer Raum,... S. 66 Spektralradius der Matrix A,... S. 175 { 1 falls x > 0 = 0 falls x = 0-1 falls x< 0 Transpositionssymbol.... S. 135 ebene Drehung,... S. 168 s. 202 s. 127 Weitere Symbole finden sich in der Symbolliste für Analogrechner ( S ) und in den Bemerkungen zur Schreibweise von Gleitkommazahlen ( S. 52), von Interpolationsgrößen ("S ) sowie von Matrizen und Vektoren (S ).