Numerische Mathematik kompakt

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1 Robert Plato Numerische Mathematik kompakt Grundlagenwissen für Studium und Praxis vieweg

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis v vii 1 Polynominterpolation Allgemeine Vorbetrachtungen und Landausche Symbole Landausche Symbole Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation Die Lagrangesche Interpolationsformel Eine erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Polynoms Neville-Schema Die Newtonsche Interpolationsformel, dividierte Differenzen Der bei der Polynominterpolation auftretende Fehler Tschebyscheff- Polynome 11 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 14 - Übungsaufgaben 14 2 Splinefunktionen Einführende Bemerkungen Interpolierende lineare Splinefunktionen Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen Vorüberlegungen Natürliche Randbedingungen Vollständige Randbedingungen Periodische Randbedingungen Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen Splines Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische Splines 25 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 29 Übungsaufgaben 29 3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen Diskrete Fouriertransformation Anwendungen der diskreten Fouriertransformation Fourierreihen Trigonometrische Interpolation, Teil Trigonometrische Interpolation, Teil Schnelle Fouriertransformation (FFT) Einführende Bemerkungen Der grundlegende Zusammenhang 37

3 Vlll INHALTSVERZEICHNIS Bit-Umkehr Der FFT-Algorithmus in der Situation JV = 2« Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus Pseudocode für den FFT-Algorithmus in der Situation N = 2" 42 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 43 - Übungsaufgaben 43 Lösung linearer Gleichungssysteme Dreieckssysteme Obere gestaffelte Gleichungssysteme Untere gestaffelte Gleichungssysteme Der Gauß-Algorithmus Einführende Bemerkungen, Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche Die Faktorisierung PA = LR Permutationsmatrix Frobeniusmatrizen Die Faktorisierung PA = LR LR- Faktorisierung Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen Die Berechnung einer Faktorisierung A = LL T für positiv definite Matrizen A 6 1& OK) 4.6 Bandmatrizen Normen und Fehlerabschätzungen Nonnen Spezielle Matrixnormen Die Konditionszahl einer Matrix Störungsresultate für Matrizen Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme Orthogonalisierungsverfahren Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen Die Faktorisierung A = QR mittels Gram- Schmidt- Orthogonalisierung Die Faktorisierung A = QS mittels Householder-Transformationen Anwendung 1: Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungssysteme Ax = b Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung 76 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 78 Übungsaufgaben 78 Nichtlineare Gleichungssysteme Vorbemerkungen Der eindimensionale Fall (JV = 1) Ein allgemeines Resultat Das Newton- Verfahren für N = Der Banachsche Fixpunktsatz Das Newton-Verfahren 87

4 ix Einige Begriffe aus der Analysis Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz Nullstellenbestimmung bei Polynomen 90 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 94 - Übungsaufgaben 94 6 Numerische Integration von Funktionen Interpolatorische Quadraturformeln Spezielle interpolatorische Quadraturformeln Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln Andere interpolatorische Quadraturformeln Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln für gerade Zahlen n Der Beweis von Lemma Summierte abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln Summierte Rechteckregeln Summierte Trapezregel Summierte Simpson-Regel Asymptotik der summierten Trapezregel Die Asymptotik Extrapolationsverfahren Grundidee Neville- Schema Verfahrensfehler bei der Extrapolation Gaußsche Quadraturformeln Einleitende Bemerkungen Orthogonale Polynome Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte Nachtrag: Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel Bernoulli-Polynome Der Beweis von Theorem Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise Übungsaufgaben Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz Theorie der Einschrittverfahren Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation Spezielle Einschrittverfahren Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = Rundungsfehleranalyse Asymptotische Entwicklung der Approximationen 134

5 7.5.1 Einführende Bemerkungen Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfehlers, 1. Teil Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfehlers, 2. Teil Asymptotische Entwicklungen des lokalen Verfahrensfehlers Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren Schrittweitensteuerung Verfahrensvorschrift Problemstellung Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite h^ Bestimmung einer neuen Testschrittweite h ( - k+1 ' ) im Fall S^ > e Pseudocode zur Schrittweitensteuerung Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise Übungsaufgaben 146 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme Grundlegende Begriffe Mehrschrittverfahren Konvergenz- und Konsistenzordnung Nullstabilität, Lipschitzbedingung Übersicht Der globale Verfahrensfehler bei Mehrschrittverfahren Das Konvergenztheorem Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall Beschränktheit der Matrixfolge A, A 2, A 3, Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren Spezielle lineare Mehrschrittverfahren - Vorbereitungen Adams-Verfahren Der Ansatz Adams-Bashfort-Verfahren Adams-Moulton-Verfahren Nyström- und Milne-Simpson-Verfahren Der Ansatz Nyström-Verfahren Milne-Simpson-Verfahren BDF-Verfahren Der Ansatz Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren Prädiktor-Korrektor-Verfahren Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor Lineare homogene Differenzengleichungen Die Testgleichung Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differenzengleichungen Die komplexwertige allgemeine Lösung der Differenzengleichung Lu = Die reellwertige allgemeine Lösung der Differenzengleichung Lu = Eine spezielle Differenzengleichung 182

6 8.9 Steife Differentialgleichungen Einführende Bemerkungen Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproblemen für Differentialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft Das implizite Euler-Verfahren für steife Differentialgleichungen Steife Differentialgleichungen in den Anwendungen Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise Übungsaufgaben Randwertprobleme Problemstellung, Existenz, Eindeutigkeit Problemstellung Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Differenzenverfahren Numerische Differentiation Der Ansatz für Differenzenverfahren Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren Vorbereitungen für den Beweis von Teil (a) des Theorems Der Nachweis der Aussage in Teil (a) von Theorem Galerkin-Verfahren Einführende Bemerkungen Eigenschaften des Differentialoperators (Cu)(x) = -u"(x) + r(x)u(x) Galerkin-Verfahren- ein allgemeiner Ansatz Systemmatrix Finite-Elemente-Methode Anwendungen Das Energiefunktional Einfachschießverfahren Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem Newton-Verfahren Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit einer Fixpunktiteration Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise Übungsaufgaben Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Gleichungssystemen Lineare Fixpunktiteration Ein Modellbeispiel Einige spezielle Klassen von Matrizen Irreduzible Matrizen Das Gesamtschrittverfahren Das Einzelschrittverfahren Der Betrag einer Matrix Konvergenzergebnisse für das Einzelschrittverfahren Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate 235

7 M-Matrizen Das Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen 239 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise Übungsaufgaben CG- und GMRES-Verfahren Vorbetrachtungen Ausblick Ansatz des orthogonalen Residuums für positiv definite Matrizen Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene A-konjugierte Basen Das CG-Verfahren für positiv definite Matrizen Einleitende Bemerkungen Die Berechnung J4-konjugierter Suchrichtungen in K. n (A,b) Der Algorithmus zum CG-Verfahren Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen Arnoldi-Prozess Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren Arnoldi-Prozess GMRESauf der Basis des Arnoldi-Prozesses Einführende Bemerkungen Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des Minimierungsproblems (11.33) Detaillierte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des Minimierungsproblems (11.33) MATLAB-Programm für GMRES Konvergenzgeschwindigkeit des GMRES-Verfahrens Anhang 1: Krylovräume Anhang 2: Interaktive Programmsysteme mit Multifunktionalität 268 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise Übungsaufgaben Eigenwertprobleme Einleitung Störungstheorie für Eigenwertprobleme Diagonalisierbare Matrizen Der allgemeine Fall Lokalisierung von Eigenwerten Variationssätze für symmetrische Eigenwertprobleme Störungsresultate für Eigenwerte symmetrischer Matrizen Anhang: Faktorisierungen von Matrizen Symmetrische Matrizen Diagonalisierbare Matrizen Schur-Faktorisierung 280 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 280

8 xüi - Übungsaufgaben Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme Einführende Bemerkungen Ähnlichkeitstransformationen Vektoriteration Transformation auf Hessenbergform Householder-Transformationen zur Gewinnung von Hessenbergmatrizen Der symmetrische Fall Newton-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman Das Newton- Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiagonaler Matrizen Das Jacobi-Verfahren für symmetrische Matrizen Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge Zwei spezielle Jacobi-Verfahren Das QR- Verfahren Eindeutigkeit und Stetigkeit der QR- Faktorisierung einer Matrix Definition des QR- Verfahrens Konvergenz des QR- Verfahrens für betragsmäßig einfache Eigenwerte Praktische Durchführung des QR- Verfahrens für Hessenbergmatrizen Das LA-Verfahren Die Vektoriteration Definition und Eigenschaften der Vektoriteration Spezielle Vektoriterationen Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise Übungsaufgaben Restglieddarstellung nach Peano Einführende Bemerkungen Peano-Kerne Anwendungen Interpolation Numerische Integration Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 318 Übungsaufgaben Approximationstheorie Einführende Bemerkungen Existenz eines Proximums Eindeutigkeit eines Proximums Einige Notationen; streng konvexe Mengen Strikt normierte Räume Approximationstheorie in Räumen mit Skalarprodukt Einige Grundlagen 325

9 xiv INHALTSVERZEICHNIS Proxima in linearen Unterräumen n n _j -Proxima bzgl. Maximumnormen Anwendungen des Altemantensatzes Ein Beispiel Eine erste Anwendung des Altemantensatzes Eine zweite Anwendung des Altemantensatzes Haarsche Räume, Tschebyschev- Systeme Alternantensatz für Haarsche Räume Eindeutigkeit des Proximums Untere Schranken für den Minimalabstand Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise Übungsaufgaben Rechnerarithmetik Zahlendarstellungen Allgemeine Gleitpunkt-Zahlensysteme Grundlegende Begriffe Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis Die Gleitpunktzahlen des Standards IEEE Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis Runden, Abschneiden Runden Abschneiden Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen Arithmetische Grundoperationen in Gleitpunkt-Zahlensystemen Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführung von Multiplikationen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen Fehlerverstärkung bei der Hintereinanderausführung von Additionen in einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem F 350 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 351 Literaturverzeichnis 352 Index 356