Thomas Westermann. Mathematische Probleme lösen mit MAPLE

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1 Thomas Westermann Mathematische Probleme lösen mit MAPLE

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4 Prof. Dr. Thomas Westermann Fachhochschule Karlsruhe Hochschule für Technik Postfach Karlsruhe thomas. fh-karlsruhe.de/-weth0002 ISBN ISBN (ebook) DOI / Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek. Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugs weiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechts gesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Additional material to this book can be downloaded from Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.b. D1N, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satzerstellung durch Autor Einbandgestaltung: KünkelLopka, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 7 I 3020 ra

5 Vorwort Das vorliegende Werk richtet sich sowohl an Studenten von technischen Hochschulen und Fachhochschulen als Begleitung und Ergänzung zu den Mathematikvorlesungen als auch an Praktiker, die ihre konkreten mathematischen Probleme direkt am Computer lösen möchten. Gleichzeitig ist das Buch eine themengebundene Einführung in die Nutzung des Computeralgebrasystems Maple, welche sich an konkreten Problemstellungen orientiert. Grundlegende mathematische Probleme wie z.b. das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, dreidimensionale graphische Darstellungen von Funktionen, Nullstellenbestimmungen, Ableitungen von Funktionen, Finden von Stammfunktionen, Rechnen mit komplexen Zahlen, Integraltransformationen, Lösen von Differentialgleichungen, Vektorrechnung usw. kommen in den Anwendungen immer wieder vor, sind aber teilweise sehr aufwendig und zu umfangreich, um sie per Hand zu lösen. "Mathematische Probleme lösen mit Maple" ist als Handbuch gedacht, diese elementaren Probleme analytisch und numerisch zu behandeln. Das Buch ist so konzipiert, dass diese mathematischen Probleme direkt am Computer ohne große Vorkenntnisse mit Maple gelöst,werden können. Dabei werden nur grundlegende Erfahrungen im Umgang mit Windowsprogrammen vorausgesetzt. Die beiliegende CD-ROM soll einen schnellen Zugriff auf die entsprechenden Maple-Befehle liefern. Alle Probleme werden an jeweils einem Beispiel exemplarisch vorgeführt. Die elektronischen Arbeitsblätter sind so flexibel gestaltet, dass sie an die eigenen Problemstellungen einfach angepasst werden können. Das Buch ist sowohl als Nachschlagewerk bzw. die CD-ROM zur Überprüfung von Übungsaufgaben geeignet als auch eine sehr kompakte problemorientierte Darstellung der Lösungen mit Maple. Daher ergibt sich die übersichtliche Struktur der einzelnen Abschnitte: Jedes Thema wird mathematisch beschrieben. Das Problem wird mit Maple gelöst. Die Syntax des Maple-Befehls wird erläutert. Ein Beispielaufruf wird angegeben. Hinweise behandeln Besonderheiten des Befehls oder der Ausgabe. Mein Dank gilt dem Springer-Verlag für die sehr angenehme und reibungslose Zusammenarbeit, besonders Frau Hestermann-Beyerle und Frau Lempe. Ganz besonders bedanken möchte ich mich bei meinen Töchtern Veronika und Juliane, die mich tatkräftig und zeitintensiv bei diesem neuerlichen Projekt unterstützt haben. Karlsruhe, im Oktober 2002 Thomas Westermann

6 Inhaltsverzeichnis Kapitell: Rechnen mit Zahlen und Ausdrücken Rechnen mit reellen Zahlen Berechnen von Summen und Produkten Vereinfachen von Ausdrücken Expandieren von Ausdrücken Auswerten von Ausdrücken Rechnen mit komplexen Zahlen Berechnen von komplexen Wurzeln... 6 Kapitel2: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme Lösen einer Gleichung Näberungsweises Lösen einer Gleichung Lösen einer Ungleichung Lösen von linearen Gleichungssystemen Kapitel3: Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen Allgemeines Iterationsverfahren Regula falsi Newton-Verfahren Newton-Verfahren in 2D Lineare Gleichungssysteme: lacobi-methode Lineare Gleichungssysteme: Gauß-Seidel-Methode Kapitel 4: Definition von Funktionen Elementare Funktionen Defmition von Funktionen Definition zusammengesetzter Funktionen KapitelS: Graphische Darstellung von Funktionen in einer Variablen Darstellung von Funktionen in einer Variablen Ortskurven Bode-Diagramm Logarithmische Darstellung von Funktionen Kapitel6: Graphische Darstellung von Funktionen in mehreren Variablen Darstellung einer Funktion f(x,y) in zwei Variablen Animation einer Funktion f(x,t) Animation einer Funktion f(x,y,t) Darstellung von Rotationskörpern bei Rotation um die x-achse Darstellung von Rotationskörpern bei Rotation um die y-achse... 32

7 viii Inhaltsverzeichnis Kapitel7: Messdatenerfassung Einlesen und Darstellen von Messdaten Logarithmische Darstellung von Daten Kapitel 8: Funktionen in einer Variablen Bestimmung von Nullstellen Linearfaktorzerlegung von Polynomen Partialbruchzerlegung gebrochenrationaler Funktionen Kurvendiskussion Taylorentwicklung einer Funktion Kapitel9: Funktionen in mehreren Variablen Totales Differential Tangentialebene Fehlerrechnung Taylorentwicklung einer Funktion mit mehreren Variablen Kapitel 10: Grenzwerte und Reihen Bestimmung von Folgengrenzwerten Bestimmung von Grenzwerten rekursiver Folgen Bestimmung von Funktionsgrenzwerten Konvergenz von Zahlenreihen: Quotientenkriterium Konvergenz von Potenzreihen: Konvergenzradius Kapitel 11: Differentiation Ableitung eines Ausdrucks in einer Variablen Ableitung einer Funktion in einer Variablen Numerische Differentiation Partielle Ableitungen eines Ausdrucks in mehreren Variablen Partielle Ableitungen einer Funktion in mehreren Variablen Kapitel 12: Integration Integration einer Funktion in einer Variablen Numerische Integration einer Funktion in einer Variablen Mantelfläche und Volumen von Rotationskörper bei x-achsenrotation Mantelfläche und Volumen von Rotationskörper bei y-achsenrotation Mehrfachintegrale einer Funktion in mehreren Variablen Linienintegrale Kapitel 13: Fourierreihen und FFT Fourierreihen (analytisch) Fourierreihen (numerisch) Komplexe Fourierreihe und Amplitudenspektrum FFT... 69

8 Inhaltsverzeichnis ix Kapitel 14: Integraltransformationen Laplace-Transforrnation Inverse Lap1ace-Transformation Lösen von DG mit der Lap1ace-Transformation Fourier-Transformation Inverse Fourier-Transformation Lösen von DG mit der Fourier-Transformation KapitellS: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung Richtungsfelder Analytisches Lösen Numerisches Lösen Numerisches Lösen mit dem Euler-Verfahren Numerisches Lösen mit dem Prädiktor-Korrektor-Verfahren Numerisches Lösen mit dem Runge-Kutta-Verfahren Kapitel 16: Gewöhnliche Differentialgleichungs-Systeme Analytisches Lösen von DGS 1. Ordnung Numerisches Lösen von DGS 1. Ordnung Numerisches Lösen von DGS 1. Ordnung mit dem Eu1er-Verfahren Kapitel 17: Gewöhnliche Differentialgleichungen n.-ter Ordnung Analytisches Lösen Numerisches Lösen Kapitel 18: Extremwerte und Optimierung Lösen von überbestimmten linearen Gleichungssystemen Lineare Optimierung Extremwerte nichtlinearer Funktionen Kapitel 19: Interpolation und Extrapolation Interpolationspolynom Kubische Spline-Interpo1ation Korrelationskoeffizient Ausgleichsfunktion Kapitel20: Vektoren, Matrizen und Eigenwerte Vektoren Vektorrechnung Winkel zwischen zwei Vektoren Matrizen Matrizenrechnung Determinante Wronski-Determinante Rang einer (mxn)-matrix Eigenwerte und Eigenvektoren

9 x Inhaltsverzeichnis Charakteristisches Polynom Kapitel 21: Vektoren im IR n Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im IRR (LGS) Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im IR n (Rang) Basis des IR n Dimension eines Unterraums des IR n Kapitel 22: Affine Geometrie Definition von Punkt, Gerade und Ebene im IR Schnitte von Geraden und Ebenen im IR Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen im IR Kapitel 23: Vektoranalysis Gradient Rotation Divergenz Potentialfeld zu gegebenem Vektorfeld, WirbelfreiheiL Vektorpotential zu gegebenem Vektorfeld, QuellenfreiheiL Kapitel 24: Programmstrukturen for-schleife while-schleife if-bedingungen proc-konstruktion Anhang A: Einführung in Maple Anhang B: Die CD-ROM Literaturverzeichnis Index Index Maple-Befehle