Ingenieurmathematik kompakt mit Maple

Transkript

1 Ingenieurmathematik kompakt mit Maple

2 Thomas Westermann Ingenieurmathematik kompakt mit Maple

3 Professor Dr. Thomas Westermann Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft Karlsruhe Deutschland Extras im Web: ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Eva Hestermann-Beyerle Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

4 Vorwort In diesem Buch werden Aufgaben- und Problemstellungen der Ingenieurmathematik wie z.b. das Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und linearen Gleichungssystemen, das Differenzieren und Integrieren elementarer Funktionen, Vektor- und Matrizenrechnung, Funktionen mit mehreren Variablen, das Lösen von Differenzialgleichungen, Integraltransformationen und vieles mehr mit Maple bearbeitet. Durch die Kenntnis weniger Befehle (solve, limit, diff, int, plot, plot3d) ist man in der Lage, alle elementaren Aufgaben der Ingenieurmathematik auch bei komplizierten Funktionen zu lösen. Die Rechentechnik tritt daher in den Hintergrund; die mathematische Begriffsbildung, die interessante Modellierung und das systematische Vorgehen gewinnen an Bedeutung. In diesem Lehrbuch wird dieser spannende Aspekt aufgegriffen, indem mathematische Begriffe anschaulich motiviert, systematisch anhand praxisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit Maple-Worksheets umgesetzt werden. Die mathematischen Begriffe erhalten durch die dreidimensionalen Schaubilder und aussagekräftigen Animationen eine sehr anschauliche Bedeutung. Die Mathematik wird dadurch greifbarer und visuell verständlich. Da auch komplizierte Aufgabenstellungen einfach in Maple umgesetzt werden können, ist man in der Lage mit demselben Befehlssatz umfangreiche Probleme aus den Anwendungen zu bearbeiten, die per Hand so nicht oder nur sehr schwer zugänglich wären. Im vorliegenden Buch wird daher in jedem Kapitel speziell auf diese wichtigen Aspekte der Ingenieurmathematik eingegangen. Beispiele hierfür sind u.a. Modellierung elektrischer Netzwerke Einlesen und Darstellen von Messdaten Überlagerung von Schwingungen Darstellung des Fundamentalsatzes der Algebra Bisektions- und Newton-Verfahren Beschreibung von Magnetfelder induziert durch Einzelspulen Bogenlänge und Krümmung von Kurven Fehler- und Ausgleichsrechnung Schwerpunktskoordinaten und Trägheitsmomente starrer Körper Linien- und Oberflächenintegrale RC- und RL-Wechselstromkreise Abkühlgesetze von Körpern Beschreibung chemischer Reaktionen Beschreibung schwingungsfähiger Systeme

5 vi Vorwort Schwingungen einer Karosserie Balkenbiegungen Lösen von Differenzialgleichungen mit der Laplace-Transformation Spektralanalyse periodischer Funktionen mit Fourier-Reihen Spektralanalyse nichtperiodischer Funktionen mit Fourier-Transformation Frequenzanalyse elektrischer Filterschaltungen Oftmals stößt die analytische Mathematik an ihre Grenzen, so dass die interessanten anwendungsorientierten Aufgabenstellungen nicht mehr exakt, sondern nur näherungsweise gelöst werden können. Obwohl in der Mathematik das umfangreiche Gebiet der Numerik zur Verfügung steht, hat man in den Bachelorkursen hierzu oftmals keine Zeit. Maple bietet zu den meisten Befehlen numerische Varianten an (evalf, fsolve, dsolve(..., numeric)), um diese Probleme mit leicht angepassten Befehlsvarianten ebenfalls lösen zu können. Die umfangreichen graphischen Möglichkeiten durch plot, plot3d, animate, animate3d liefern sowohl bei den mathematischen Standardaufgaben, der Darstellung der numerischen Ergebnisse, bei den Anwendungsbeispielen oder auch bei eigenen Programmen hilfreiche Unterstützung beim Verständnis der Ingenieurmathematik. Alle Themengebiete lassen sich interaktiv am Rechner mit den vorgefertigten und auf der Homepage zum Buch erhältlichen Worksheets mit Maple bearbeiten. Auf der Homepage zum Buch befinden sich neben den Animationen alle Maple- Arbeitsblätter, mit denen der Stoff interaktiv bearbeitet oder auf die eigenen Problemstellungen angepasst werden kann. Weitere Informationen befinden sich unter dem Reiter Download auf der Homepage zum Buch: weth0002/buecher/maple/start.htm Das Buch eignet sich hervorragend für das Selbststudium sowie zur erfolgreichen Umsetzung von Studien- und Projektarbeiten. Mein Dank gilt Herrn Richard und Frau Bormann von Scientific Computers und Waterloo Maple Inc., die mir Maple15 zur Verfügung gestellt haben. Ganz besonders möchte ich mich bei Frau Hestermann-Beyerle und Frau Kollmar- Thoni vom Springer-Verlag für die kompetente Betreuung sowie die gute und angenehme Zusammenarbeit bedanken. Karlsruhe, im Januar 2012 Thomas Westermann

6 Inhaltsverzeichnis 0 Einführung in die Benutzeroberfläche Grundlegendes zur Benutzeroberfläche von Maple Paletten Maple-Strukturen Maple-Hilfe Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme Zahlen Gleichungen Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Zusammenstellung der Maple-Befehle Vektoren und Vektorrechnung Vektorrechnung Punkte, Geraden und Ebenen Zusammenstellung der Maple-Befehle Matrizen und Determinanten Matrizen Determinanten Rangbestimmung Anwendungen Zusammenstellung der Maple-Befehle Elementare Funktionen Definition und Darstellung von Funktionen Polynome Gebrochenrationale Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle Komplexe Zahlen Darstellung komplexer Zahlen Komplexes Rechnen Anwendungen Beschreibung harmonischer Schwingungen Superposition gleichfrequenter Schwingungen Visualisierung des Fundamentalsatzes der Algebra Beschreibung von RCL-Filterschaltungen Zusammenstellung der Maple-Befehle... 84

7 viii Inhaltsverzeichnis 6 Folgen und Grenzwerte Ermittlung von Grenzwerten Graphische Darstellung von Funktionsfolgen Berechnung von Funktionsgrenzwerten Bisektionsverfahren Zusammenstellung der Maple-Befehle Differenziation Definition der Ableitung Differenzieren Logarithmische Differenziation Implizite Differenziation L Hospitalsche Regeln Newton-Verfahren Anwendungsbeispiel: Magnetfeld von Leiterschleifen Zusammenstellung der Maple-Befehle Integralrechnung Das bestimmte Integral Integration Partielle Integration Substitutionsmethode Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Anwendungen Mittelungseigenschaft Bogenlänge Krümmung Volumen und Mantelflächen von Rotationskörpern Zusammenstellung der Maple-Befehle Zahlen-, Potenz- und Taylor-Reihen Zahlenreihen Quotientenkriterium Konvergenzbetrachtungen bei Potenzreihen Potenzreihen Visualisierung der Konvergenz der Taylor-Reihen Taylor-Reihen Anwendungsbeispiel: Scheinwerferregelung Zusammenstellung der Maple-Befehle Funktionen in mehreren Variablen Darstellung von Funktionen in zwei Variablen Differenzialrechnung Partielle Ableitung Totale Ableitung

8 Inhaltsverzeichnis ix Berechnung und Darstellung des Gradienten Berechnung der Richtungsableitung Taylor-Reihen Anwendung der Differenzialrechnung Das totale Differenzial Fehlerrechnung Bestimmung der stationären Punkte und Extremwerte Relative Extrema für Funktionen mit mehreren Variablen Bestimmung der Ausgleichsgeraden Zusammenstellung der Maple-Befehle Doppel- und Mehrfachintegrale Doppelintegrale Dreifachintegrale Anwendungen Linien- oder Kurvenintegrale Oberflächenintegrale Zusammenstellung der Maple-Befehle Gewöhnliche Differenzialgleichungen Lösen von DG 1. Ordnung Lineare Differenzialgleichungssysteme Homogene LDGSysteme Eigenwerte und Eigenvektoren Berechnung inhomogener LDGSysteme Lösen von DG n-ter Ordnung Zusammenstellung der Maple-Befehle Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen Streckenzugverfahren von Euler Verfahren höherer Ordnung Numerisches Lösen von DG mit dsolve Zusammenstellung der Maple-Befehle Laplace-Transformation Laplace-Transformation Anwendungen der Laplace-Transformation Zusammenstellung der Maple-Befehle Fourier-Reihen Berechnung der Fourier-Koeffizienten Analyse T -periodischer Signale Prozedur zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten Berechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten Zusammenstellung der Maple-Befehle

9 x Inhaltsverzeichnis 16 Fourier-Transformation Fourier-Transformation und Beispiele Inverse Fourier-Transformation Darstellung der Deltafunktion Anwendungsbeispiele Lösen von DG mit der Fourier-Transformation Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems Frequenzanalyse eines Hochpasses Zusammenstellung der Maple-Befehle Literaturverzeichnis Index Maple-Befehle