Methode der finiten Elemente

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1 PROF. DR. 0. C. ZIENKIEWICZ Methode der finiten Elemente MIT 214 BILDERN CARL HANSER VERLAG MÜNCHEN WIEN 1975

2 Inhaltsverzeichnis 1. Vorbetrachtungen Steiligkeit von Konstruktionen Netzwerkanalyse 1.1. Einleitung Das Bauelement Untersuchung des Gesamtsystems Koordinatentransformation Verzweigte Stromkreise und Rohrsysteme Das allgemeine Schema Finite Elemente des elastischen Kontinuums Ansatz für die Verschiebung 2.1. Einleitung Bestimmung der Charakteristika finiter Elemente Verschiebungsfunktion Verzerrungen Spannungen Ersatz-Knotenkräfte Verallgemeinerte Bedeutung der Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen Verallgemeinerung auf den gesamten Bereich ohne Verwendung innerer Knotenkräfte Der Verschiebungsansatz als Energieminimierungs-Verfahren Konvergenzkriterien Verschiebungsfunktionen mit Unstetigkeiten zwischen den Elementen Schranke der Formänderungsenergie in einem Verschiebungsverfahren Direkte Minimierung Verallgemeinerung des Verfah- rens der flniten Elemente 3.1. Allgemeine Variationsprobleme Konvergenzkriterien Knotenfreie Variable Alternativ-Verfahren zur Methode der finiten Elemente Erstes Beispiel: Die PoissoNsche Differentialgleichung Minimum des Funktionais Verfahren des gewichteten Restes Zweites Beispiel: Die laminare Strömung Schlußbemerkungen Ebener Spannungszustand und ebener Verzerrungszustand 4.1. Einleitung Charakteristika des Elementes Verschiebungsfunktionen Verzerrung.. \ Anfangsverzerrungen (thermisch bedingte Verzerrungen) Elastizitätsmatrix Steifigkeitsmatrix Knotenkräfte zufolge der Anfangsverzerrung Volumenkräfte Potential der Volumenkraft Spannungsbestimmung Beispiele Abschätzung der Genauigkeit Praktische Anwendung Ebener Verzerrungszustand eines inkompressiblen Werkstoffes Rotationssymmetrischer Spannungszustand 5.1. Einleitung Charakteristika des Elementes.. 84

3 12 Inhaltsverzeichnis Verschiebungsfunktion Verzerrungen Anfangsverzerrung (thermische Verzerrung) Elastizitätsmatrix Steifigkeitsmatrix Äußere Knotenkräfte Knotenkräfte zufolge einer Anfangsverzerrung Volumenkräfte Spannungsberechnung Beispiele Praktische Anwendungen Unsymmetrische Beanspruchung Bäumlicher Spannungszustand 6.1. Einleitung Charakteristika des Tetraeder- Elementes Verschiebungsfunktionen Verzerrungsmatrix Elastizitätsmatrix Steifigkeit, Spannung und Belastungsmatrizen Elemente mit acht Knoten Beispiele und Schlußbemerkungen Formfunktionen der Elemente Elementklassen 7.1. Einleitung 112 ZWEIDIMENSIONALE ELEMENTE Rechteckige Elemente Vorbetrachtungen Rechteckige Elemente SERENDIPITY-Klasse Rechteckige Elemente LAGRANGEsche Klasse Innere Knoten und knotenlose Variable Eliminierung der inneren Variablen vor dem Zusammenfügen Unterstrukturen Dreieckselemente Flächen-Koordinaten Formfunktionen 126 EINDIMENSIONALE ELEMENTE Lineare Elemente 128 DREIDIMENSIONALE ELEMENTE Rechteckige Prismen SEEENDIPITY-Klasse Rechteckige Prismen LAGRAUGESche Klasse Tetraeder-Elemente Volumen-Koordinaten Formfunktion Andere einfache räumliche Elemente Schlußbemerkungen Gekrümmte, isoparametrisehe Elemente und numerische Integration 8.1. Einleitung KRUMMLINIGE KOORDINATEN Die Anwendung von Formfunktionen bei der Aufstellung von Koordinatentransformationen Die Kompatibilität der Elemente Variation der unbekannten Funktionen bei verzerrten, krummlinigen Elementen Stetigkeitsforderungen Erfüllung des Kriteriums der konstanten Ableitung 143 TRANSFORMATION Bestimmung der Elementmatrizen (Transformation in (-, rj-, C-Koordinaten) Elementmatrizen Flächen- und Volumenkoordinaten 147 NUMERISCHE INTEGRATION Numerische Integration eindimensional 149

4 Inhaltsverzeichnis Numerische Integration Rechteck- oder Quader-Bereiche Numerische Integration Dreieck- oder Tetraeder-Bereich Schlußbemerkungen Anwendung der isoparametrischen Elemente in der zwei- und dreidimensionalen Spannungsberechnung 9.1. Einleitung Erforderliche Genauigkeit der numerischen Integration Ein Rechenvorteil der numerisch integrierten finiten Elemente Einige praktische Beispiele der Berechnung zweidimensionaler Spannungszustände Berechnung dreidimensionaler Spannungszustände Einige allgemeine Bemerkungen über Elemente höherer Ordnung Plattenbiegung Einleitung Der Verschiebungsansatz des Plattenproblems Stetigkeitsforderung für die Formfunktion 179 NICHTKONFORME FORMFUNKTIONEN Rechteckelement mit Eckknoten Formfunktionen Steifigkeits- und Belastungsmatrizen Allgemeine Vierecks- und Parallelogrammelemente Dreieckselement mit Eckknoten Formfunktion Steifigkeits- und Belastungsmatrizen Konvergenz bei nichtkonformen Elementen Lösungsbeispiele Rechteckelemente Dreieckselemente Quadratische isotrope Platte Einige praktische Anwendungen. 198 KONFORME FORM- FUNKTIONEN MIT KNOTEN- SINGULARITÄTEN Allgemeine Bemerkungen Singuläre Formfunktionen für das einfache Dreieckselement Dreieckselement mit achtzehn Freiheitsgraden und konformen Formfunktionen Konforme Viereckselemente Einige Lösungen mit konformen Elementen. 208 KONFORME FORMFUNK- TIONEN MIT ZUSÄTZLICHEN FREIHEITSGRADEN HERMiTEsche Fprmfunktionen für das Rechteck Dreiecke mit achtzehn und einundzwanzig Freiheitsgraden Schlußbemerkungen Schalenmodelle aus ebenen Elementen Einleitung Steifigkeitsmatrix des ebenen Elementes in lokalen Koordinaten Einführung von Globalkoordinaten Zusammenfügen der Elemente Einführung einer fiktiven Drehsteifigkeit Lokale Richtungskosinus Rechteckelemente Dreieckselemente mit beliebiger Orientierung im Raum Praktische Beispiele Konvergenz Rotationsschalen Einleitung Elementcharakteristika Rotationssymmetrische Belastung Geradlinige Elemente Beispiele und Genauigkeit

5 14 Inhaltsverzeichnis Gekrümmte Elemente und ihre Formfunktion Ausdrücke für die Verzerrungen, Eigenschaften der gekrümmten Elemente Zusätzliche knotenlose Variable Halbanalytische Verfahren Anwendung orthogonaler Punktionen Einleitung Der prismatische Stab Dünnwandiges Kasten tragwerk Platte und Kasten unter Biegebeanspruchung Rotationssymmetrische Körper unter unsymmetrischer Belastung Rotationsschalen mit nichtrotationssymmetrischer Belastung Abschließende Bemerkungen Die dicke Schale als Sonderfall des dreidimensionalen Problems Einleitung Geometrische Definition des Elementes Das Verschiebungsfeld Definition der Verzerrungen und Spannungen Elementeigenschaften underforderliche Transformationen Einige Bemerkungen zu den Spannungen Sonderfall der rotationssymmetrischen dicken Schale Sonderfall der dicken Platte Konvergenz Beispiele Stationäre Feldprobleme Wärmeleitung, elektrische Potentialverteilung, Strömungsprobleme Einleitung Das Extremwertproblem Aufteilung in finite Elemente Der allgemeine dreidimensionale Fall Konvergenzbedingungen Inhomogenität und Anisotropie Das zweidimensionale Problem Beispiele Abschätzung der Genauigkeit Anwendungen aus der Praxis Probleme der biharmonischen Gleichung Viskoses Fließen Analogiebetrachtungen Zusammenfassende Bemerkungen Die Zeitabhängigkeit Grundansätze für instationäre Felder und dynamische Probleme Einleitung Direkte Formulierung der zeitabhängigen Probleme bei Unterteilung in räumliche finite Elemente Die quasiharmonischen Gleichungen mit Zeitdifferentialen Dynamisches Verhalten von elastischen Gebilden und linearer Dämpfung Massen- oder Dämpfungsmatrizen für einige typische Elemente Gekoppelte Probleme Gekoppelte Bewegung eines elastischen Gebildes in einer Flüssigkeit : Elastisches Verhalten von porösem, gesättigtem Material Weitere Möglichkeit zur Bestimmung des zeitlichen Verlaufes Rekursionsbeziehungen für die Lösung von Anfangswertproblemen Finite Zeitelemente Probleme mit zeitlichen Ableitungen erster Ordnung Probleme mit zeitlichen Ableitungen zweiter Ordnung Gekoppelte Probleme Einige Beispiele Ein anderes instationäres Problem Die Sickerströmung bei freier Oberfläche Zusammenfassung 329

6 Inhaltsverzeichnis Die Zeitabhängigkeit - Halbanalytische Behandlung (Schwingung und Eigenwerte) Einleitung Lösung der dynamischen Grundgleichung bei periodischen Vorgängen Eigenfrequenzen Lösung des Eigenwertproblems Allgemeine Bemerkungen Freie Schwingungen Methoden zur Ermittlung des Eigenwertes Einige Beispiele zur Eigenwertbestimmung Schwingungen von Platten Schwingungen in einer Ebene Schalenschwingungen Die Wellengleichung Elektromagnetische und Strömungsprobleme Gekoppelte Bewegung eines Gebildes in einer Flüssigkeit Instationäre Lösungen mit Hilfe von Eigenwerten Normiertes Eigenformverfahren Nichtlineare Materialprobleme Plastizität, Kriechen, nichtlineare Feldprobleme Einleitung 349 NICHTLINEARE STOFF- GESETZE IN DER FESTKÖRPERMECHANIK Allgemeiner physikalischer Ansatz Grundlagen Methode der veränderlichen Steifigkeitsmatrix Methode der Anfangsspannung Methode der Anfangsverzerrung Konvergenzverbesserung Ein mathematisch fundiertes Verfahren 355 V18.4. Plastizität Allgemeine Grundlagen Bemerkungen zur Entwicklungstendenz 361 Anwendung des Verfahrens der Anfangsspannung bei Problemen der Plastizität Material ohne Zugfestigkeit Geschichtetes Material und Passungselemente Kriechen: Zeitabhängige Verzerrungen Allgemeines Abhängigkeit der Kriecherscheinung von der Vorgeschichte (Viskoelastizität) Zustandsabhängige Kriechgesetze Spezielle Approximation bei der Lösung von Kriechproblemen Abschließende Bemerkungen WEITERE NICHTLINEARE PROBLEME Nichtlineare quasiharmonische Feldprobleme Ausblick auf Erweiterungsmöglichkeiten Geometrisch nichtlineare Probleme, große Verschiebungen und Stabilitätsprobleme Einleitung Allgemeine Betrachtungen Grundproblem Iterationsprozesse Stabilitätsproblem Energetische Interpretation des Stabilitätskriteriums Verformungsabhängige Kräfte Große Durchsenkungen und Initial-Stabilität von Platten Definitionen..._ Berechnung von [ ] Berechnung von [K T ] Große Durchsenkungen Bifurkationsinstabilität Schalen Allgemeine Verfahren für große Verzerrungen und Verschiebungen Herleitung der Matrix [B L ] Herleitung der Matrix [K T ] Abschließende Bemerkungen

7 16 Inhaltsverzeichnis 20. Anwendung der elektronischen Rechentechnik Einleitung Finite-Elemente-System Dateneingabe Knotenpunktkoordinaten und Elementcharakteristika Materialeigenschaften Belastungen Randbedingungen Berechnung der Steifigkeitsmatrix Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems Das GAtrsssche Verfahren Effektive Speicherplatzanordnung für Bandmatrizen GAtrss-SEiDEL-Iteration Weitere direkte Lösungsverfahren Einige Weiterentwicklungen Anwendung der Randbedingungen Beispiele Berechnung der inneren Kräfte und Ausgabe der Ergebnisse Beispiel ' Ausgabe der Ergebnisse Eigenwertbestimmung durch Iteration Abschließende Bemerkungen Anhang 463 Literaturverzeichnis 475 Sachwortverzeichnis 493