Mathematik für Berufsfachschulen

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1 Rolf Männel unter Mitarbeit von Siegfried Mayer, Dr. Robert Keller Mathematik für Berufsfachschulen Algebra und Geometrie 1. Auflage Bestellnummer 01

2 MMM. MathematikMultiMedial so lautet der Titel der CD-ROM, die dem Lehrbuch mit der aktuellen Auflage erstmalig beiliegt. Durch die Nutzung eines multimedialen Lernprogramms haben die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, Grundlagen zu wiederholen und ihre Kenntnisse und Fähigkeiten im Bereich der Wirtschaftsmathematik zu trainieren unabhängig vom Inhalt des Lehrbuches und in dem Tempo und der Häufigkeit, die ihrem individuellen Leistungsstand entsprechen. Gleichzeitig steigern sie ihre persönliche Medienkompetenz heutzutage in vielen Berufsbereichen eine Grundvoraussetzung. Das Programm enthält ein vielseitiges Angebot an Aufgaben und Lösungen, das in Lerneinheiten strukturiert ist. Pro Lerneinheit wiederholt jeder Einzelne für sich zunächst die wichtigsten Regeln, die durch Beispiele erläutert werden. Im Anschluss löst er eine Reihe von Aufgaben selbstständig. Das Programm gibt zu den jeweiligen Lösungen Rückmeldungen, die auf typische Fehler hinweisen. Und auch hier gilt die Wiederholung macht den Meister. Bei der CD handelt es sich um ein lehrplanungebundenes Zusatzprodukt. Das interaktive Lernprogramm bietet den Schülerinnen und Schülern die Chance, sich insbesondere auch zu Hause immer wieder fit zu machen so werden individuelle Lernschwächen Schritt für Schritt behoben. Bildungsverlag EINS Sieglarer Straße, 8 Troisdorf ISBN Copyright 008: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Vorwort Das vorliegende Lehrbuch ist auf die Lehrplaneinheiten der zweijährigen zur Fachschulreife führenden kaufmännischen, hauswirtschaftlich-sozialpädagogischen und landwirtschaftlichen Berufsfachschulen in Baden-Württemberg abgestimmt. Es kann aber auch an Berufsfachschulen in anderen Bundesländern Verwendung finden, in denen die grundlegenden Stoffgebiete der Algebra und Geometrie der Mittelstufe zu behandeln sind. Der methodische Weg des Lehrbuches ist durch kleine Lerneinheiten mit jeweils anschließenden Aufgaben zum Einüben und Vertiefen des Stoffes gekennzeichnet. Die Übungsaufgaben sind nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet und entsprechen den Anforderungen, die in der Abschlussprüfung gestellt werden. Im Vordergrund steht die Erziehung zum selbstständigen Denken. Es ist aber auch notwendig, dass die Schüler lernen, angesetzte Aufgaben schnell und sicher auszurechnen. Als Rechenhilfsmittel soll der elektronische Taschenrechner eingesetzt werden, sodass auf die Verwendung von mathematischen Tafeln verzichtet werden kann. Großer Wert wurde auf eine ausführliche und anschauliche Darstellung der zahlreichen Beispiele mit Lösungen gelegt, um den Schülern die Möglichkeit zur selbstständigen Erarbeitung und Wiederholung des Stoffes zu geben. Die gezeigten Lösungsverfahren sind Vorschläge, die nach Erfahrung und Neigung des Lehrers oder Schülers abgewandelt werden können. Am Schluss des Algebra- und des Geometrieteiles wurden jeweils zahlreiche nach Sachgebieten geordnete Aufgaben zur Wiederholung und zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung aufgenommen. Ab der 9. Auflage des Lehrbuches wurden die neuen Rechtschreiberegeln und die Einführung des Euro berücksichtigt. Die Verfasser bitten alle Kollegen und Schüler, das Buch zu prüfen und durch Kritik zur weiteren Verbesserung beizutragen. Die Verfasser

4 Vorwort Vorwort zur 1. Auflage Die 1. Auflage ist auf die Lerninhalte des neuen Lehrplanentwurfes für die Zweijährige Berufsfachschule in Baden-Württemberg abgestimmt. Bei der Behandlung der Lerninhalte soll die Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) sinnvoll und angemessen berücksichtigt werden. Handlungsorientierter Unterricht ist ein Unterrichtskonzept und keine Unterrichtsmethode. Innerhalb dieses Konzeptes sind alle Lehr- und Lernmethoden anwendbar. Die wichtigsten Lernziele sind: die Schüler aktiv in den Unterricht einbeziehen, die Verbindung von Theorie und Praxis darstellen, die Selbstständigkeit und Eigenverantwortung der Schüler entwickeln. Diese Ziele sind unter anderem durch fächerübergreifende Themenbehandlung anzustreben. Der methodische Aufbau des Lehrbuches unterstützt die Handlungsorientierte Themenbearbeitung. Wo immer möglich, sind in allen Lernbereichen zahlreiche Anwendungsaufgaben enthalten. Diese Aufgaben sind praxisbezogen und veranlassen die Schüler, selbstständig Lösungen zu finden und Entscheidungen zu treffen. Vor den Aufgabenteilen steht jeweils ein Beispiel mit Lösung. Die Schüler sollen aber zunächst versuchen, die Aufgabe des Beispiels selbstständig zu lösen. Die Lösung des Beispiels steht deshalb bei zahlreichen Aufgaben nicht unmittelbar nach der Aufgabe, sondern ist dem Aufgabenteil zur Erfolgskontrolle nachgestellt. Die unter Pisa-Test eingefügten Aufgaben sind teilweise abgeänderte Pisa-Aufgaben oder der Pisa-Studie angepasste Aufgaben. Für den Lehrer besteht die Möglichkeit, die zahlreichen Anwendungsaufgaben als Basis zur Bearbeitung fächerübergreifender Themen zu verwenden. Im Anhang sind einige Beispiele für übergreifende Themenbehandlungen in den Fächern Mathematik, Datenverarbeitung und Wirtschaftsrechnen aufgeführt. Die Verfasser wünschen den Schülern und Lehrern viel Erfolg bei der Arbeit mit der Neubearbeitung des Lehrbuchs und bitten, durch Kritik und Vorschläge zur Verbesserung des Buches beizutragen. Die Verfasser

5 Inhaltsverzeichnis Teil 1: Algebra Mathematische Zeichen und Abkürzungen Zahlenmengen und Anordnung der Zahlen auf der Zahlengeraden Die Menge n der natürlichen Zahlen Die Menge z der ganzen Zahlen Die Menge q der rationalen Zahlen... 1 Das Rechnen in der Menge z der ganzen Zahlen Variablen, Terme, Grundbereich Der Betrag einer Zahl Die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Die Addition Die Subtraktion..... Die Addition und Subtraktion von Summen und Differenzen.... Die Multiplikation und Division ganzer Zahlen Die Multiplikation. Erster Potenzsatz..... Die Division. Zweiter Potenzsatz Die Multiplikation von Summen..... Binomische Formeln..... Zerlegen von Summen in Faktoren... Das Rechnen in der Menge q der rationalen Zahlen Elemente der Menge Q der rationalen Zahlen Erweitern und Kürzen von Brüchen.... Vergleichen von Brüchen; gleichnamige und ungleichnamige Brüche.... Die Addition und Subtraktion rationaler Zahlen Die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche..... Die Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche Die Multiplikation und Division rationaler Zahlen Die Multiplikation Die Division Rechengesetze für Potenzen mit positiven ganzen Exponenten Addition und Subtraktion..... Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis..... Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten..... Potenzieren von Potenzen... Lineare Gleichungen Gleichungen als Aussagen und Aussageformen Äquivalenzumformungen von Gleichungen Gleichungen mit einer Lösungsvariablen Gleichungen mit Formvariablen.... Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten.... Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen. Verhältnisgleichungen und Produktgleichungen... 8

6 Inhaltsverzeichnis.. Bruchgleichungen mit Formvariablen Textaufgaben aus verschiedenen Gebieten Zahlenrätsel Merkwürdiges und Scherzhaftes; Denkaufgaben Verteilungsrechnung Mischungsrechnung Prozentrechnung Zinsrechnung Lineare Funktionen Funktionen als eindeutige Zuordnungen Die linearen Funktionen f: x mx und f: x mx + b Darstellung von linearen Funktionen im Achsenkreuz Berechnung der linearen Funktionsgleichung Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden Textaufgaben Lineare Gleichungssysteme Grafische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen. Textaufgaben Rechnerische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen Lineare Gleichungssysteme mit Formvariablen Textaufgaben Zahlenrätsel Verteilungs- und Mischungsrechnung Prozent- und Zinsrechnung Die Quadratwurzel Einführung der Quadratwurzel Irrationale Zahlen und die Menge r der reellen Zahlen Berechnung von Quadratwurzeln mithilfe des Taschenrechners Rechnen mit Quadratwurzeln Addition und Subtraktion Multiplikation und Division. Teilweise radizieren Anwendungen beim Satz des Pythagoras Quadratische Funktionen Die Funktion f: x x Die Funktion f: x ax Die Funktion f: x ax + c Die Funktion f: x ax + bx + c Berechnung des Scheitelpunktes. Scheitelform der Parabelgleichung Nullstellen von quadratischen Funktionen und ihre grafische Bestimmung Quadratische Gleichungen Rechnerische Lösung der reinquadratischen Gleichung ax + c = Rechnerische Lösung der gemischtquadratischen Gleichung ax + bx + c = Lösung mithilfe von Formeln Satz von Vieta. Zerlegen in Linearfaktoren Vermischte Aufgaben Berechnung der Nullstellen von quadratischen Funktionen Textaufgaben aus verschiedenen Gebieten Zahlenrätsel Aufgaben aus der Geometrie Verteilungsrechnung Prozent- und Zinsrechnung... 19

7 Inhaltsverzeichnis 10 Wurzeln; Potenzen mit rationalen Exponenten Der allgemeine Wurzelbegriff Rechnen mit Potenzen mit rationalen Exponenten Aufgaben zur Wiederholung und zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung Lineare Gleichungen mit einer Variablen Lineare Funktionen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Vermischte Aufgaben Teil : Geometrie Mathematische Zeichen und Abkürzungen Geometrische Grundbegriffe und elementare Abbildungen Punktmengen in der Ebene Punkt, Gerade, Halbgerade, Strecke Der Kreis Winkel Winkel an Parallelen Winkelsumme im Dreieck Das rechtwinklige Koordinatensystem (Achsenkreuz) Abbildungen von Punktmengen Die Geradenspiegelung. Achsensymmetrie Die Punktspiegelung. Punktsymmetrie Vermischte Aufgaben zur Geradenspiegelung und Punktspiegelung Flächeninhalte geradlinig begrenzter Figuren Rechteck und Quadrat Parallelogramm, Dreieck, Trapez, Drachen Vermischte Aufgaben Satz des Pythagoras... 0 Berechnungen am Kreis Kreisumfang Kreisfläche Volumina und Oberflächen von Körpern Darstellung von Körpern durch Schrägbilder Berechnungen von Volumina, Oberflächen und Strecken Quader und Würfel Senkrechte Prismen Der senkrechte Kreiszylinder Pyramiden

8 Inhaltsverzeichnis Trigonometrie Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Sinusfunktion und Kosinusfunktion mit Anwendungen Tangensfunktion und Kotangensfunktion mit Anwendungen Vermischte Aufgaben zur Berechnung geradlinig begrenzter Figuren Aufgaben zur Wiederholung und zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung Geradenspiegelung und Punktspiegelung Berechnungen geradlinig begrenzter Figuren Berechnungen am Kreis Volumina und Oberflächen von Körpern Vermischte Aufgaben aus der Algebra und Geometrie Mathematik zur Unterhaltung... Wahlgebiete nach der schriftlichen Prüfung 1 Aus der Algebra Ungleichungen Potenzen mit dem Exponenten 0 und mit negativen ganzen Exponenten Wachstums- und Zerfallsprozesse Zinseszinsrechnung Tilgungsrechnung... 0 Aus der Geometrie....1 Die zentrische Streckung.... Die Strahlensätze... Anhang: Fächerübergreifende Behandlung von Themen der Mathematik, Datenverarbeitung und des Wirtschaftsrechnens 1 Rechnerische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen Rechnerische Lösung von quadratischen Gleichungen... 7 Rechnerische Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden... 7 Grafische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen... 7 Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Tilgungsplan... 8 Sachwortverzeichnis... 8 Beilage: Formelsammlung 8

9 Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten. Beispiel mit Lösung Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung und machen Sie die Probe! G q 7x 9 x x Vergleichen Sie Ihren Lösungsweg mit dem Lösungsweg, der am Ende der Aufgabenreihe dargestellt ist! AUFGABEN (G q) 1. x x x x 7 c) x 7x 8. x x x x c) x 8 x. x1 x1 8x 1 7x1 10 c) 9x1 x 0. x1 x x 8x 9 9x 0 7x. x1 7x9 8 x x x1 x x x. x x 1 7x 18 x x 8 7. x7 1 x1 18 x1 x1 x x 9 Die Aufgaben 8 bis 10 haben als Lösungsmenge entweder {0}, q oder 0/ 8. 1 x x x 1 9 x 1 18 x x 1 9. x x x 1 x x1 8x9 10 x 10. x1 x1 x1 x x 8 x x 7 1 7

10 Lineare Gleichungen Lösung zum Beispiel: Mit HN 18 multiplizieren: Klammern 7x x x 9 (7x)18x 7(x) 18 ausmultiplizieren: 1x1 18x 71x Zusammenfassen: 1x 781x 1x 1x addieren: 111x subtrahieren: 11x :11 Durch 11 dividieren: x Ergebnis: L {} Probe: T 1 () T () Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten..1 Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen. Verhältnisgleichungen und Produktgleichungen Bei Bruchgleichungen kommen die Variablen auch im Nenner vor, zum Beispiel x x, x xa 1 a. Stehen Variablen im Nenner eines Bruchterms, so kann es vorkommen, dass beim Einsetzen von Zahlen für die Variablen der Nenner den Wert 0 annimmt. Der Term geht in diesem Fall nicht in eine Zahl über, weil die Division durch null nicht definiert ist. Die Zahlen, die beim Einsetzen für die Variablen den Term nicht in eine Zahl überführen, gehören nicht zum Definitionsbereich des Terms. In der Gleichung x1 1 nimmt beim Einsetzen von 1 der Nenner des linken x Bruchterms T 1 den Wert 0 an, beim Einsetzen von wird der Nenner des rechten Bruchterms T gleich 0. Beide Zahlen gehören deshalb nicht zum Definitionsbereich D der Gleichung. Die Lösung einer Gleichung mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten, beginnt mit der Festlegung des Definitionsbereiches D der Gleichung. Merke: Bruchgleichungen lösen wir in der Reihenfolge: 1. Definitionsbereich D der Gleichung festlegen.. Hauptnenner bestimmen.. Beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren und Brüche kürzen.. Gleichung auf ihre einfachste äquivalente Form bringen. 8

11 Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten. Beispiel mit Lösung Aufgabe: (G q) Lösen Sie nachstehende Gleichung. Bestimmen Sie zuerst den Definitionsbereich D und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Ergebnis der Lösung am Ende der Aufgabenreihe! 1 x(x ) 1 x(x ) x 9 AUFGABEN (G q) 1. x 1 x 1 1 x x 1 x c) 9 1 x 10x 1 x. x x x 1 x c) 8x 1 1 x 7 8x 1. x x 1 x x c) x. x x x x1 c) x x1. 10 x x x x c) 7 x x. x x1 x1 x x1 x x x9 c) x x x x 7. x x x x 0 x x x 10x 0 x x c) x x x x1 1 x x x x x1 x1 c) x10 x x x 9. x7 x x7 x x x x1 x 1 9x7 x c) x x x 1 0 x8 9 x 1 10 x Anleitung: Zerlegen Sie die Nenner in Faktoren, bevor Sie den Hauptnenner bestimmen! 11. x x1 x x x x 8 x x x11 x18 x9 9x x 11 (x ) (x) 1 x (x)(x) x x 9

12 Lineare Gleichungen x x 1 x x1 x 1 x 1 x1 x x x (1x) x 7x8 x x x x x 1 x(x) 1 x(x) x x(x1) (x1) (x1) 1 x(x1) 1 x(x1) (x)(x1) 1 x(x) 1. x1 8 x x1 x x x Lösung zum Beispiel: Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D q\{0,, } Mit HN 1 x(x)(x) multiplizieren und kürzen: x(x) 1 x(x) x 9 x(x)(x) (x) (x) x Klammern auflösen: x x x Zusammenfassen: x x Ergebnis: L q\{0,, } In die Gleichung können alle Zahlen aus q eingesetzt werden mit Ausnahme der Zahlen 0,,, die nicht zum Definitionsbereich der Gleichung und deshalb auch nicht zur Lösungsmenge der Gleichung gehören. Die Gleichung ist allgemeingültig bezüglich D. Stichproben mit einigen Zahlen aus q: T 1 (1) T (1) ; 1 1 (w); 1 L T 1 () T () 1 () 1 () () 9 9 ; (w); L Ein vereinfachtes Lösungsverfahren kann man bei Verhältnisgleichungen anwenden. Definition 70 Eine Gleichung der Form a : b c : d gleichbedeutend mit a b c d heißt Verhältnisgleichung. a, b, c, d q* 70

13 Textaufgaben.. Textaufgaben 1..1 Zahlenrätsel Beispiel mit Lösung Aufgabe: Vermehrt man den Zähler und den Nenner eines Bruches um, so nimmt der Bruch den Wert an. Vermindert man aber den Zähler und den Nenner um 1, so wird der Wert des Bruches. Wie heißt der Bruch? Lösungshinweis: Der gesuchte Bruch sei x y. Stellen Sie das Gleichungssystem auf und berechnen Sie die Lösungsmenge! Vergleichen Sie Ihre Lösung mit der Lösung am Ende der Aufgaben! AUFGABEN (G q q) 1. Suchen Sie zwei Zahlen, deren Summe und deren Quotient ist!. Suchen Sie zwei Zahlen, deren Differenz 1 und deren Quotient ist!. Die Summe zweier Zahlen ist 1. Das Doppelte der ersten Zahl ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl.. Die Differenz zweier Zahlen ist 1. Das Dreifache der zweiten Zahl ist um 1 größer als die erste Zahl.. Das Doppelte einer Zahl ist um größer als eine zweite Zahl. Das Dreifache der ersten Zahl ist jedoch um kleiner als das Doppelte der zweiten.. Welche Zahl ist um größer als eine zweite Zahl und um 1 größer als der dritte Teil der zweiten? 7. Die Differenz zweier Zahlen ist 18. Teilt man die größere Zahl durch, die kleinere durch, so ist die Summe der Quotienten gleich Der Quotient zweier Zahlen ist. Vermindert man jede Zahl um, so beträgt der neue Quotient Ein Bruch hat den Wert. Er nimmt den Wert an, wenn man den Zähler und den Nenner um vermindert. 10. Vermehrt man den Zähler und den Nenner eines Bruches um, so nimmt der Bruch den Wert an. Vermindert man aber den Zähler und den Nenner um, so wird der Wert des Bruches 1. Wie heißt der Bruch? 11. Pisa-Test: Wenn Rudolf in fünf Jahren doppelt so alt ist wie Herbert und wenn Herbert vor fünf Jahren dreimal so jung war, wie alt sind beide heute? [A] 0/0 Jahre [B] /0 Jahre [C] 1/ Jahre [D] 0/ Jahre 1 Von den folgenden Textaufgaben lassen sich einige auch mit einer Variablen lösen. 119

14 Lineare Gleichungssysteme Lösung zum Beispiel: x und y als Platzhalter einsetzen: Der gesuchte Bruch sei x y. Gleichungen (1) und () x y aufstellen: Bedingungen: x 1 y 1 y y 1 (1) und () auf die Form (x ) (y ) (y ) (1) (y 1) () a 1 x b 1 y c 1 x 0 y 1 y 0 a x b y c bringen: x y (1 (x 1) (y 1) x y y x y 1 ( x y () (1 x y 1 ( 8x y 10 9x y (1 ( (1 und ( addieren: x 1 () () in ( einsetzen: 9 y 1 9 y 8 :() y 19 () Ergebnis: L {(1; 19)} Der Bruch heißt Verteilungs- und Mischungsrechnung Beispiel mit Lösung Aufgabe: Mischt ein Kaufmann zwei Sorten im Verhältnis :, so kostet 1 kg der Mischung 1,80 EUR. Mischt er dagegen im Verhältnis :1, so kommt 1 kg der Mischung auf 17,00 EUR. Wie viel EUR kostet 1 kg jeder Sorte? Stellen Sie das Gleichungssystem auf und berechnen Sie die Lösungsmenge! Vergleichen Sie Ihre Lösung mit der Lösung am Ende der Aufgaben! 10 AUFGABEN 1. Die Kapitalien zweier Gesellschafter A und B verhalten sich wie 7:. Nach einer Gewinngutschrift von 000,00 EUR für A und von 8000,00 EUR für B ist das Verhältnis 9:8. Berechnen Sie die neuen Kapitalien der beiden Gesellschafter!

15 Textaufgaben.. A und B sind an einer Handelsgesellschaft im Verhältnis 8:7 beteiligt. Nachdem jeder sein Kapital um 0 000,00 EUR erhöhte, ist das Verhältnis der Einlagen 10:9. Wie hoch sind die neuen Kapitalien der Gesellschafter?. 000,00 EUR sollen so verteilt werden, dass A 000,00 EUR weniger bekommt als B und C zusammen. Die Anteile von B und C verhalten sich wie :. Wie viel EUR bekommt jeder?. Von 000,00 EUR soll C 000,00 EUR weniger bekommen als A und B zusammen. Wie viel EUR erhält jeder, wenn die Anteile von A und B sich wie : verhalten?. 0,00 EUR Reingewinn aus einer Schulveranstaltung sollen an die Klassen verteilt werden. Setzt man je Schüler der Oberstufe 1,00 EUR und je Schüler der Mittelstufe 0,80 EUR an, so bleiben 8,00 EUR übrig. Soll dagegen der Anteil je Schüler der Oberstufe 0,9 EUR und je Schüler der Mittelstufe 0,8 EUR betragen, so fehlen,00 EUR. Berechnen Sie die Anzahl der Schüler der Oberstufe und der Mittelstufe!. Pisa-Test: Wie viel Sitz- und Stehplätze hat ein Stadion, wenn der Eintritt zum Spiel,00 EUR für Sitzplätze und 1,00 EUR für Stehplätze kostet und die Gesamteinnahme bei ausverkauftem Haus (0 000 Besucher) 1, Millionen EUR beträgt? [A] 000/ 000 [B] 000/ 000 [C] 0 000/0 000 [D] 1 000/ 0000 Da die Zuschauerzahlen zurückgehen, will der Vorstand des Fußballvereins beim nächsten Punktspiel einen Rabatt von 0 % auf Sitzplätze und 10 % auf Stehplätze gewähren. Wie groß ist dann die Gesamteinnahme bei ausverkauftem Haus? [A] EUR [B] EUR [C] EUR [D] EUR 7. Pisa-Test: Aus der Vollständigen Anleitung zur Algebra von Leonhard Euler ( ): Zwei Personen sind schuldig 9 Rubel. Nun hat zwar jeder Geld, doch nicht so viel, dass er diese gemeinschaftliche Schuld allein bezahlen könnte. Darum sagt der erste zu dem anderen: Gibst du mir zwei Drittel deines Geldes, so könnte ich die Schuld sogleich allein bezahlen. Der andere antwortet dagegen: Gibst du mir drei Viertel deines Geldes, so kann ich die Schuld allein bezahlen. Wie viel Geld haben die beiden Personen? 8. Mischt ein Kaufmann 80 kg einer Sorte mit 70 kg einer zweiten Sorte, so kostet 1 kg der Mischung 7,0 EUR. Nimmt er dagegen von der ersten Sorte 100 kg und von der zweiten Sorte 0 kg, so kommt 1 kg der Mischung auf 7,00 EUR. Wie viel EUR kostet 1 kg jeder Sorte? 9. Mischt eine Kauffrau zwei Sorten im Verhältnis :, so kostet 1 kg der Mischung 1,0 EUR. Mischt sie dagegen im Verhältnis :, so kommt 1 kg der Mischung auf 1,0 EUR. Wie viel EUR kostet 1 kg jeder Sorte? 10. Mischt ein Kaufmann eine Sorte zu,00 EUR je kg mit einer zweiten Sorte zu,00 EUR je kg, so kostet die Gesamtmischung 0,00 EUR. Vertauscht er dagegen die Mengen der Sorten, so wird die Gesamtmischung 0,00 EUR teurer. Wie viel kg nimmt er von jeder Sorte? 11. Ein Destillateur erhält aus 0 %igem und 7 %igem Spiritus insgesamt 100 Liter %igen Spiritus. Vertauscht er die Mengen der Sorten, so wird die Mischung 0 %ig. Wie viel Liter nimmt er von jeder Sorte? 11

16 Lineare Gleichungssysteme 1. Mischt ein Destillateur 0 Liter Spiritus der Sorte I mit 0 Liter der Sorte II, so wird die Mischung %ig. Vertauscht er die Mengen der Sorten, so wird die Mischung 9 %ig. Wie viel Prozent Alkohol enthält jede Sorte? Lösung zum Beispiel: (1) x und y als Platzhalter Sorte I: kg je x EUR für die Preise der Sor- Sorte II: kg je y EUR ten einsetzen: Mischung: kg je 1,80 EUR () Sorte I: kg je x EUR Sorte II: 1 kg je y EUR Ansatz in Worten: Mischung: kg je 17,00 EUR Wert der Sorten I und II Wert der Mischung Ansatz in Zahlen: x y 1,8 (1) x y 17 (1) () x y 8 (1 x y 10 ( (1 und ( addieren: x 18 () () in () einsetzen: y 1 y 1 () Ergebnis: L {(18; 1)} 18,00 EUR je kg der Sorte I 1,00 EUR je kg der Sorte II Probe anhand kg je 18,00 EUR,00 EUR (1) des Textes: kg je 1,00 EUR 0,00 EUR kg je 1,80 EUR 8,00 EUR kg je 18,00 EUR,00 EUR () 1 kg je 1,00 EUR 1,00 EUR kg je 17,00 EUR 1,00 EUR.. Prozent- und Zinsrechnung Beispiel mit Lösung Aufgabe: Eine Kauffrau zahlte für ein Darlehen 1,00 EUR Zinsen für 108 Tage. Wäre der Zinsfuß 0, % höher gewesen, so hätte sie in der gleichen Zeit 9,00 EUR mehr Zinsen zahlen müssen. Berechnen Sie das Darlehen und den Zinsfuß! Stellen Sie das Gleichungssystem auf und berechnen Sie die Lösungsmenge! Vergleichen Sie Ihre Lösung mit der Lösung am Ende der Aufgaben! 1