R: Rechenmethoden WiSe Jan von Delft Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.
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- Walter Arnold
- vor 6 Jahren
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1 R: Rechenmethoden WiSe Jan von Delft Userid: Passwort: Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Galileo Galilei Das Wunder der Anwendbarkeit der Sprache der Mathematik für die Formulierung physikalischer Gesetze ist ein Geschenk, das wir weder verstehen noch verdienen. Eugene Wigner Mathe ist wie Liebe: Eine einfache Idee, aber sie kann kompliziert werden. R. Drabek Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr. A. Einstein Euklid Decartes Newton Leibniz Taylor Gauss Fourier Cauchy Vorlesung: Mo & Do Zusatzvorlesungen: Mi 08.10, in Großer Aula, Raum E120 Zentralübung: Mi (ab ) Mi 15.10, im Großen Physikhörsaal (dafür: Mo & Do , nur Wiederholung!) Wozu "Rechenmethoden"? Mathematik-Vorlesungen: Systematische Entwicklung der Grundlagen, saubere Beweise,... (gründlich aber langsam) Rechenmethoden-Vorlesung: zügiges, anwendungsbezogenes Erlernen des "Handwerks": Sicherheit, Geläufigkeit und Schnelligkeit im Umgang mit Standard- rechenmethoden (intuitive Argumente statt saubere Beweise) - Regelmäßige Nachbearbeitung der Vorlesung - Besuch und aktive Mitarbeit in den Tutorien (Anmeldung via Website: bis Di, , 24:00) - Hausaufgaben: sehr wichtig! Abschreiben = Selbstbetrug! - Hinweise zur Bearbeitung der Hausaufgaben (nach Prof. Wagner, Lehn) beachten! - Diskutieren mit Kommilitonen, Lerngruppe, Hausaufgabenzirkel - Geduld, Ausdauer, Frustrationstoleranz Termine: Übungsbetrieb: Hinweise zur Bearbeitung der Übungsblätter: nach Prof. Wagner: nach Prof. Lehn:
2 Fahrplan für die ersten Wochen Beispiel einer wichtigen Gleichung: Newton's 1. Gesetz für Planetenbewegung (E1: ) Vektorgleichung: Lineare Algebra (L): Vektorräume (L1-L4) Ortsvektor: Vektoranalysis (V): Zeitableitung: Calculus (C): skalares Potential: Nabla-Operator: Polarkoordinaten: Raumkurven Linienintegrale (V1) Ableitungen (C1) Skalarfeld (V2, V3) partielle Ableitungen (C3) Gradient, Vektorfeld (V3) Krummlinige Koordinaten (V4) Differentialgleichung: Volumenintegration: Mehrdimensionale Integration (C4) Differentialgleichungen (C...) Mathematische Grundbegriffe L1.1 Mengen und Abbildungen Zwei Mengen: Cartesisches Produkt: "ist Element von" Kardinalität: Anzahl Elemente einer Menge ( für A, für B, für A x B) Abbildung: Definitionsmenge Zielmenge Name der Abbildung Argument Zielelement
3 Beispiel: Bild v. A: "ist eine Untermenge von" Surjektiv: jedes für ein 'ALLE Elemente v. B werden erreicht' Injektiv: jedes für ein 'kein Element v. B wird mehr als einmal erreicht' Bijektiv: jedes für ein '1-zu-1-Abbildung' Verkettung / Komposition Beispiel: Inverse einer bijektiven Abbildung: Binäre Verknüpfung: Definitionsmenge ist ein Cartesisches Produkt:
4 Beispiel einer binären Verknüpfung: Höhe eines Gebirges L1.2 Gruppe: (einfachste Struktur die 'Operationen' mit Elementen erlaubt) Definition: Eine "Gruppe" ist eine Menge A ausgestattet mit einer binären Verknüpfung, Cartesisches Produkt und folgenden Eigenschaften ("Gruppenaxiome"): i) Abgeschlossenheit: "für alle" ii) Assoziativität: iii) neutrales Element: "es existiert" so dass iv) inverses Element: Falls Falls 'kommutative Gruppe', 'Abelsche Gruppe' 'nicht-kommutative Gruppe', 'nicht-abelsche Gruppe'
5 Beispiel 1: Ganze Zahlen, mitaddition (kommutativ) Verknüpfung: Neutrales Element: (inverses Element v. ) Beispiel 2: Sei Verknüpfungstabelle: mit Verknüpfungsregel: ist eine kommutative Gruppe. Neutrales element: Inverse von Beispiel 3: Verknüpfungstabelle: n mod 2 = 'n-modulo-2' falls n = gerade falls n = ungerade = Rest nach Teilen-durch-2 hat dieselbe Struktur wie Beispiel 4: Rotationen um eine feste Achse um 0 oder 180 Grad Rotation um Winkel Betrachte die Verknüpfung Dann ist eine kommutative Gruppe. Neutrales element: Inverse von Offenbar haben A, B und C dieselbe Struktur (gleiche Anzahl Elemente und Verknüpfungsregel)! [vergleiche (L1d6), (L1d10), (L1e.3)] 'ist isomorph zu'
6 Beispiel 5: kontinuierliche Rotationen um eine Achse (kommutativ) Rotation um Winkel mit Neutrales Element: (inverses Element v. ) (keine Rotation) (Rückrotation) Beispiel 6: Rotationen in drei Dimensionen (nicht-kommutativ) Homomorphismus und Def: Eine Abbildung seien zwei Gruppen mit a priori unabhängigen Verknüpfungsregeln. 'bewahrt die Form' heisst ein 'Homomorphismus' zwischen den Gruppen G und H, falls Beispiel 6: ist ein Homomorphismus, denn und Aber ist kein Homomorphismus, denn
7 Isomorphismus Def: Eine Abbildung 'identische Form' heisst ein 'Isomorphismus' zwischen den Gruppen G und H ist, falls sie ein bijektiver Homomorphismus ist. Wir schreiben dann: Isomorphe Gruppen sind für praktischen Zwecke 'identisch'. Konkret: es existiert eine 1-zu-1 Zuordnung ihrer Elemente, die die beiden Verknüpfungstabellen aufeinander abbildet (d.h. sie haben "dieselbe Verknüpfungstabelle) Beispiele 2,3,4: Gruppentheorie: sehr wichtig in der Physik! - Diskrete Translationen, Reflektionen (Kristallstrukturen) - Translationen in Raum oder Zeit - Rotationen (Quantenmechanische Theorie des Drehimpulses, Spin) - Lorentz-Gruppe, Poincare-Gruppe (spezielle Relativitätstheorie) L1.3 Körper Algebraische Struktur, die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt. Körper: Addition (kommutativ): neutrales Element = (zwei Verknüpfungsregeln: Addition & Multiplikation) additives Inverse v. Subtraktion: Multiplikation (kommutativ): neutrales Element = multiplik. Inverse v. Division: Das neutrale Element d. Addition,, hat kein multiplikatives Inverse Distributivitätsaxiom: ist kein Körper, denn Multiplikation hat kein Inverses in
8 Beispiele von Körpern: Rationale Zahlen: Reelle Zahlen: alle Zahlen, die als Limes von 'Folgen von rationalen Zahlen' dargestellt werden können kann approximiert werden durch die Folge alle Zahlen, die gebraucht werden, um eine Linie zu Parametrisieren Komplexe Zahlen: Ausgangsfrage: Lösungsansatz: erweitere unser Zahlensystem um eine neue Zahl: 'imaginäre Einheit': Wurzel von negativen Zahlen: Menge aller komplexen Zahlen: jede kompl. Zahl wird dargestellt durch zwei reelle Zahlen: 'Realteil v. z' 'Imaginärteil v. z'
9 Def. v. Addition: (analog den üblichen Regeln für einen Körper) Bsp: Def. v. Multiplikation: (analog den üblichen Regeln für einen Körper) Bsp: Neutrales Element der Addition: Neutrales Element der Multiplikation: Addititives Inverse: Multiplikatives Inverse: Was sind Re( ), Im( )? Definiere zunächst: 'komplex Konjugierte' von z: dann: Inverse: Check: Merkregel für Inverse: 'mache den Nenner reell'! Bsp:
10 Komplexe Ebene: Identifikation einer komplexen Zahl mit 'geordnetem Paar' von zwei reellen Zahlen: Punkt in zwei-dimensionaler Ebene ('komplexe Ebene') Polardarstellung: Betrag v. z (Abstand zum Ursprung): Reelle Achse: 'rein reell' Imaginäre Achse: 'rein imaginär' Zusammenfassung: L1 Gruppe: Verknüpfung: (i) Abgeschlossenheit, (ii) Assoziativität, (iii) neutrales Element, (iv) inverses Element Körper: (zwei Verknüpfungsregeln: Addition & Multiplikation, beide liefern jeweils eine kommutative Gruppe) Algebraische Struktur, die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt. Beispiele: Komplexe Zahlen:
ax 2 + bx + c = 0, (4.1)
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