Mathe Club 6-8. Thomas Krakow. Rostock, den 4. Oktober 2006

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1 Mathe Club 6-8 Thomas Krakow Rostock, den 4. Oktober 2006

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3 Inhaltsverzeichnis 3

4 Inhaltsverzeichnis 4

5 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Mengen Oft möchte man Dinge zusammenfassen die eine bestimmte Eigenschaft besitzen. In der Mathematik fasst man diese Dinge zu einer Menge zusammen. Man spricht dann von der Menge aller Dreiecke in der Ebene oder der Menge aller durch 17 teilbaren Zahlen. Nun muss man noch genauer sagen was eine Menge überhaupt ist. Es muss also eine Definition gegeben werden. Dies ist leider nicht ganz einfach, da es bei vielen Versuchen Mengen zu definieren zu Widersprüchen kommt. Wir wählen die Definition von Cantor. Definition 1 Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. Diese Definition führt zu Widersprüchen wie wir später sehen werden. Man kann sich eine Menge am besten als einen Sack vorstellen der irgendwelche Dinge enthält. Ist ein Ding, wir nennen es mal x in diesem Sack (Menge), wir nennen ihn M, enthalten, so sagt man x ist ein Element von M und schreibt x M. Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu sagen was in einer Menge enthalten ist. Sei M unsere Menge und sie soll die Zahlen 1, 5, 7, 9 enthalten. Man schreibt es dann folgendermaßen M = {1; 5; 7; 9} Die Dinge die in die Menge hineinkommen setzt man in geschweifte Klammern. Eine Menge enthält jedes Element höchstens einmal, d.h. die Mengen {1; 2; 2} ist die selbe wie {1; 2}. Es kann auch vorkommen, dass in der Menge M gar kein Element enthalten ist (zu vergleichen mit einem leeren Sack), man sagt dann, dass die Menge leer ist und schreibt M =. Es ist auch möglich, dass Mengen andere Mengen enthalten, z.b. ist M = {{1; 2; 3}; {a; b}; { ; ; ; }} selbst wieder eine Menge. Bei der folgenden Menge ist aber Vorsicht geboten, M = { } ist die Menge die die leere Menge enthält und M ist dabei selbst nicht leer. Wir müssen noch definieren wann zwei Mengen gleich sind. Definition 2 Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn ihre Elemente gleich sind. 5

6 1 Mengen und Abbildungen Es ist beispielsweise {1; 2; 3} = {1; 1; 2; 2; 3}; {a; b; 1} = {1; b; a}; {a; 1} {aa; 1}. 1.2 Teilmengen, Vereinigungen, Durchschnitte von Mengen Wir wissen nun was Mengen sind. Bisher können wir mit den Mengen aber noch nicht so richtig arbeiten. Wir müssen aus Mengen irgendwie neue Mengen gewinnen. Um später die Arbeit zu erleichtern führen wir neue Symbole ein. Oft benutzen wir das Wort und wir schreiben in Zukunft dafür kurz, für oder schreiben wir und für daraus folgt schreiben wir. Wir können nun Teilmengen von Mengen definieren. Definition 3 (Teilmenge) Eine Menge A ist eine Teilmenge einer Menge B falls, x A x B gilt. Man schreibt dann auch A B oder auch A B. Die Schreibweise x A x B bedeutet wörtlich übersetzt: wenn x in A ist so folgt daraus auch, dass x in B ist. Eine Menge A ist also genau dann Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element welches aus in A ist auch in B ist. Es ist {1; 2; 3} {1; 2; 3; 4} aber {1; 2; 3} {2; 3; 4} Es gilt immer M für jede Menge M. Mit den neu eingeführten Symbolen können wir nun auch Mengen anders definieren. Wir können einmal die Elemente einer Menge aufzählen wie bei A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Wir können aber auch die Elemente einer Menge durch ihre Eigenschaften beschreiben. Die Menge M = {x : 1 x 10} ist die Menge aller Zahlen zwischen 1 und 10. Der Teil x : in der Mengenklammer bedeutet alle x mit der Eigenschaft.... Anstatt einen Doppelpunkt kann man auch einen senkrechten Strich schreiben, das würde dann folgendermaßen aussehen: M = {x 1 x 10}. Definition 4 (Potenzmenge) Sei M eine Menge, die Potenzmenge P(M) ist die Menge P(M) = {A : A M}. Die Potenzmenge ist also die Menge aller Teilmengen einer Menge. Beispielsweise sei M = {a; b; c}, dann ist P(M) = { ; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}} Für die Potenzmenge einer Menge findet man auch häufig die Bezeichnung 2 M. 6

7 1.2 Teilmengen, Vereinigungen, Durchschnitte von Mengen Definition 5 (Vereinigung) Seien A und B Mengen, dann ist die Vereinigung der beiden Mengen. A B = {x : x A x B} Die Vereinigung zweier Mengen A, B ist also die Menge aller Elemente die in A oder in B enthalten sind. Es ist Beispielsweise {1; 2; 3; 4} {3; 4; 5; 6} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Definition 6 (Durchschnitt) Seien A und B Mengen, dann ist der Durchschnitt der beiden Mengen. A B = {x : x A x B} Der Durchschnitt zweier Mengen A, B ist also die Menge der Elemente die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Es ist Beispielsweise {1; 2; 3; 4} {3; 4; 5; 6} = {3; 4}. Definition 7 (Differenz) Seien A und B Mengen, dann ist die Differenz der beiden Mengen. A \ B = {x : x A x B} Man bildet die Differenz A \ B also indem man aus A alle Elemente raus nimmt die in B enthalten sind. Beispielsweise ist {1; 2; 3; 4} \ {3; 4; 5; 6} = {1; 2}. Beispiele: {x : x ist Primzahl } {x : x ist gerade } = {2} {x : x ist Primzahl x + 2 ist Primzahl } {x : 0 x 10} = {3; 5} {x : 10 x 20} \ {x : x 15} = {x : 10 x < 15} A B A B = B A B = A A \ B = {x : 5 x 6 x} = {x : 30 x} Sei M a = {x : a x}, dann ist M a M b = {x : a x b x} = {x : kgv (a, b) x} = M kgv (a,b) 7

8 1 Mengen und Abbildungen 1.3 Klassifizierung der Zahlen Bei späteren arbeiten mit Mengen wird es unumgänglich zu sagen welche Zahlen man meint. Es kann vorkommen, dass man nur Zahlen der Form 1; 2; 3;... in einer Menge zulassen möchte oder auch Zahlen der Form 1.123; ; 2 zulassen möchte. Wir müssen deshalb die verschiedenen Zahlenarten unterteilen. Definition 8 Die Menge N = {0; 1; 2; 3;...} heißt die Menge der natürlichen Zahlen. Sie wird mit N bezeichnet. Die Menge Z = { 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3;...} heißt die Menge der ganzen Zahlen. Sie wird mit Z bezeichnet. Offensichtlich ist N Z. Nun können wir beispielsweise für die Menge M = {1; 2; 3; 4; 5} auch schreiben M = {x : x N 1 x 5}. Die Mengen N und Z sind offensichtlich unendlich 1 Nun müssen wir noch die Kommazahlen klassifizieren. Definition 9 Die Menge Q = { x y : x Z y N \ {0}} heißt die Menge der rationalen Zahlen. Sie wird mit Q bezeichnet. Die Menge R = {x : x Z x ist eine Kommazahl} heißt die Menge der reellen Zahlen. Sie wird mit R bezeichnet. Die rationalen Zahlen sind also die ganzen Zahlen zusammen mit allen Zahlen die als Bruch geschrieben werden können. Der Rest ist sind die reellen Zahlen. Warum unterscheidet man aber rationale Zahlen und reelle Zahlen? Es kann doch auch sein, dass Q = R ist. Es kann aber ganz leicht eine Zahl angegeben werden die reell aber nicht rational ist. Eine solche Zahl ist 2. Wir wollen diese Aussage noch begründen. Angenommen es sei 2 Q, dann existieren x Z, y N \ {0} mit 2 = x y, wobei der Bruch schon gekürzt ist. Es müsste dann 2 = x2 y 2 2y2 = x 2 2 x x = 2z z Z 2y 2 = 4z 2 y 2 = 2z 2 2 y 2 x 2 y was natürlich nicht funktioniert, da x y schon ein gekürzter Bruch ist. Die Menge R \ Q ist die Menge der irrationalen Zahlen. Die oben angegebene Definition der reellen Zahlen ist mathematisch nicht korrekt, da der Begriff der Kommazahl in der Mathematik nicht existiert. Die exakte Definition der reellen Zahlen ist sehr kompliziert. 1 Ein Ergebnis aus der Mengenlehre sagt sogar das merkwürdige Resultat, dass die Menge N genauso groß ist wie die Menge Z. 8

9 1.4 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion (PIE) Man macht es mit sogenannten Dedkindschen Schnitten. Es gilt die folgende Beziehung N Z Q R Im folgenden sind noch einige spezielle Teilmengen dieser Zahlen hervorgehoben. Z + = {x : x Z x > 0} die Menge der positiven ganzen Zahlen Q + = {x : x Q x > 0} die Menge der positiven rationalen Zahlen R + = {x : x R x > 0} die Menge der positiven reellen Zahlen Z = {x : x Z x < 0} die Menge der negativen ganzen Zahlen (analog Q und R) Es sei noch bemerkt, dass die Zahl 0 weder positiv noch negativ ist. 1.4 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion (PIE) Das Prinzip von Inklusion und Exklusion ist ein Verfahren für die Bestimmung der Anzahl der Elemente einer Menge. Für die Anzahl der Elemente führen wir noch die folgende Definition ein. Definition 10 Sei M eine Menge, dann bezeichnet man mit M die Anzahl der Elemente in M. Man sagt auch die Mächtigkeit der Menge M ist M. Beispiel: Sei M = {1; 5; 7; 10; 11}, die Mächtigkeit der Menge M ist dann M = 5. M = {x : x N x < 100} M = 100 M = {x : x ist Primzahl x < 10} M = 4 Sei M = {x : x N x < 10} und M 6 = {A : A M A = 3} M = 120 Ein Grundproblem der Kombinatorik ist es die Mächtigkeiten von bestimmten Mengen zu bestimmen. Es sei mal ein Beispiel angegeben. Aufgabe: Auf einem Kreuzfahrtschiff sind 100 Personen. 83 Personen sprechen Englisch und 45 Personen sprechen Französisch. 10 Personen sprechen weder Englisch noch Französisch. Wie viele Personen sprechen Englisch und Französisch? Um das Problem anzugehen muss man es ersteinmal mathematisch formulieren. Es sei M die Menge aller Personen auf dem Schiff, E die Menge der Personen die Englisch 9

10 1 Mengen und Abbildungen sprechen, F die Menge der Personen die Französisch sprechen und G die Menge der Personen die weder Englisch noch Französisch sprechen. Aus der Aufgabe ist bekannt, dass M = 100, E = 83, F = 45, G = 10. Gesucht ist die Mächtigkeit der Menge der Personen die Englisch und Französisch sprechen, also die Mächtigkeit der Menge E F. Jetzt stellt sich nur die Frage wie man auf die Mächtigkeit von E F kommt. Wir müssen also irgendwelche Beziehungen finden zwischen den Mächtigkeiten der Mengen finden. Man kann sich Mengen in einem so genannten Venn-Diagramm veranschaulichen. Die drei Kreise sollen die Mengen E, F, G darstellen, die dunkelgrau gekennzeichneten Flächen sind jeweils die Mengen E F, E G, F G und die schwarze Fläche stellt die Menge E F G dar. Nun fällt es uns auch leicht erste Beziehungen zu erkennen. Beispielsweise ist E F = (E \ F ) (E F ) (F \ E). Wir wollen nun die Mächtigkeit der Menge E F bestimmen. Wir wissen, dass M = E F G ist, aber es ist M = E + F + G wir haben noch zuviel mitgezählt, nämlich die Mengen E F, E G, F G, die Menge E F G haben wir sogar zweimal mitgezählt. Wir müssen diese Mengen also wieder abziehen, also haben wir schon mal E + F + G E F E G F G. Dies ist aber auch noch nicht M, die Menge E F G wurde nämlich dreimal hinzugenommen, aber auch dreimal wieder weg genommen, also müssen wir es noch einmal dazu tun und erhalten M = E F G = E + F + G E F E G F G + E F G Aus der Aufgabenstellung ergeben sich nun die folgenden Werte. E F G = 100, E = 83, F = 45, G = 10, E G = F G = E F G = 0 und somit erhalten wir 100 = E F, also ist E F = 38. Es sprechen somit 38 Personen auf dem Kreuzfahrtschiff Englisch und Französisch. 10

11 1.5 Abbildungen Aufgabe: Wieviele Zahlen zwischen 1 und 100 sind durch zwei oder durch drei teilbar? Lösung: Sei M = {x : x N 1 x 100} und M k = {x : x N 1 x 100 k x}. Gesucht ist also M 2 M 3. Durch auswerten des Venn-Diagramms erhalten wir M 2 M 3 = M 2 + M 3 M 2 M 3. Es ist M 2 = = 50 und M 3 = = 33. Nun müssen wir noch M 2 M 3 bestimmen. Es ist M 1 M 2 = {x : x N 1 x x 3 x} = {x : x N 1 x x} = M 6, also M 2 M 3 = M 6 = = 16. Es gibt somit M 1 M 2 = = 67 Zahlen zwischen 1 und 100 die durch zwei und durch drei teilbar sind. Aufgabe: Zu einer Weihnachtsfeier sind vier Personen eingeladen, wobei jede Person ein Geschenk mitgebracht hat. Die vier Geschenke werden durchgemischt und danach an die vier Personen wieder ausgegeben, so dass jeder genau ein Geschenk bekommt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass keiner sein eigenes Geschenk bekommt? 1.5 Abbildungen Abbildungen hat man oft schon unterbewusst benutzt. Beispielsweise wenn man ein Rechteck gegeben hat, so kann man deren Umfang oder deren Flächeninhalt berechnet. Die Idee einer Abbildung besteht nun darin jedem Element einer Menge A ein Element einer Menge B zuzuordnen. In unserem Fall ordnen wir der Menge aller Rechtecke A den Umfang zu, also ein Element aus der Menge R zu. Man kann auch der Menge der ganzen Zahlen Z wieder ein Element der ganzen Zahlen Z zuordnen, indem man jeder Zahl ihr doppeltes zuordnet. Man kann dann so einer Abbildung auch einen Namen geben und schreibt dann f : A B. Das f ist der Name der Abbildung, die Menge A ist der Definitionsbereich und die Menge B ist der Wertebereich. Die Abbildung f ordnet jedem Element des Definitionsbereiches eindeutig ein Element des Wertebereiches zu. Die können wir noch mal als Definition schreiben. Definition 11 Eine Abbildung f : A B ist eine eindeutige Zuordnung bei der jedem Element des Definitionsbereiches A ein Element des Wertebereiches B zugeordnet wird. Sei f : A B eine Abbildung und ein Element a A wird dem Element b B zugeordnet, dann schreibt man f(a) = b (sprich f von a ist gleich b). Beispiele: Es werde jeder natürlichen Zahl ihren Nachfolger zugeordnet und diese Abbildung soll n heißen. Es ist dann n : N N mit n(k) = k + 1. Es sei f : N N eine Abbildung mit f(n) = n 2. Die Abbildung f ordnet jeder natürlichen Zahl ihr Quadrat zu. 11

12 1 Mengen und Abbildungen Sei f : {1; 2} {3; 4; 5} mit f(1) = 3, f(1) = 4, f(2) = 5, dann ist f keine Abbildung, da der 1 nicht eindeutig ein Element des Wertebereiches zugeordnet wird. f : N N mit f(k) = Anzahl der Teiler von k ist eine Abbildung. Es ist beispielsweise f(12) = 6, da die 12 genau 6 Teiler hat, nämlich 1, 2, 3, 4, 6, 12. f : N N mit f(k) = k ist keine Abbildung, da z.b. 2 N ist. f : N R + mit f(k) = k ist eine Abbildung. f : N R mit f(k) = k ist keine Abbildung, da z.b. f(4) = 2, aber auch f(4) = 2 ist. f : N P(N) mit f(k) = {n : n N n k} ist eine Abbildung. Es wird jeder natürlichen Zahlen die Menge ihrer Teiler zugeordnet. Beispielsweise ist f(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} oder f(0) = N \ {0}. In der Mathematik geht man manchmal nicht exakt mit dem Begriff der Abbildung um. Betrachtet man beispielsweise die Abbildung f : R R mit f(x) = 1 x, so ist dies keine Abbildung, da f(0) = 1 0 nicht definiert ist. Der 0 wird also kein Element des Wertebereiches zugeordnet. Man sagt die Abbildung f ist an der Stelle 0 nicht definiert. Solche Abbildungen (die eigentlich keine sind) wollen wir auch zulassen. Wir wollen nun eine weitere wichtige Mengenoperation einführen, das Kreuzprodukt von Mengen. Definition 12 Seien A und B Mengen, dann ist das Kreuzprodukt A B der Mengen die Menge A B = {(a, b) : a A b B} Das Kreuzprodukt A B von zwei Mengen ist also die Menge aller Paare (a, b), wobei die erste Komponente aus der Menge A kommt und die zweite Komponente aus der Menge B kommt. Sei beispielsweise A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 4}, dann ist A B = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 2); (3, 3); (3, 4)}. Zwei Paare (Elemente eines Kreuzproduktes von Mengen) sind genau dann gleich, wenn sie in ihren Komponenten übereinstimmen. Es ist also (a, b) = (c, d) wenn a = c und b = d. Die Paare (1, 2) und (2, 1) sind nicht gleich. Bei diesen Paaren kommt es auf die Ordnung an, deshalb nennt man diese Paare oft auch geordnete Paare. Mit Hilfe dieser Operation können wir auch Mengen ganz anders beschreiben. Es sei R die Menge aller Rechtecke mit den Seiten a und b. Wir wissen, dass ein Rechteck durch die Seitenlängen a und b eindeutig festgelegt ist, also kann man die Menge R auch schreiben als R + R +. Diese Menge besteht aus allen Paaren deren Komponenten positive reelle Zahlen sind. Wir wollen jetzt die Abbildung beschreiben die jedem Rechteck sein Flächeninhalt zuordnet. Wir nennen diese Abbildung A gemäß der Bezeichnung für Flächeninhalte. Der Flächeninhalt eines Rechteckes mit den Seiten a und b ist gerade das Produkt a b. Die Abbildung lautet also A : R + R+ R + (a, b) = a b 12

13 1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum R n Es ist also A(a, b) = a b. Wir können unsere Definition des Kreuzprodukt zweier Mengen auch auf mehr als zwei Mengen ausdehnen. Definition 13 Seien A 1,..., A k Mengen, dann ist A 1,..., A k die Menge A 1... A k = {(a 1,..., a k ) : a 1 A 1... a k A k } Das Kreuzprodukt von k Mengen ist also eine Menge aus k-tupeln. Wegen der Schreibweise führen wir noch eine Definition an. Definition 14 Sei A eine Menge, dann schreibt man A }. {{.. A } = A k. k-mal Die Menge R 3 besteht beispielsweise aus allen Tripeln (a, b, c), wobei a, b und c reelle Zahlen sind. 1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum R n In diesem Abschnitt wollen wir einige Strukturen des R n und die damit verbundenen geometrischen Deutungen darstellen. Die Menge R n ist das n-fache Kreuzprodukt der Menge der reellen Zahlen R mit sich selbst. Sie besteht also aus n-tupeln (a 1,..., a n ) von reellen Zahlen. Es ist zum Beispiel (1, 1.3, 5, 3.7) R 4 ; (1, 1, 1, 14.7, 3) R 5 (1.1) Definition 15 Ein Element der Menge R n nennt man einen n-dimensionalen euklidischen Vektor. Man kennzeichnet einen solchen Vektor üblicherweise durch einen Pfeil über den Buchstaben v oder durch einen Unterstrich v. Wir ziehen die Kennzeichnung durch einen Pfeil über den Buchstaben vor. Der Übersicht halber schreiben wir die Komponenten eines Vektors nicht nebeneinander sondern übereinander. Die Vektoren aus 1.1 bekommen dann die Gestalt ; Wir führen auf der Menge R n nun eine Addition ein und zwar soll für v, w R n die Summe v 1 w 1 v 1 + w 1 v + w =. +. =. v n w n v n + w n 13

14 1 Mengen und Abbildungen sein. Die Vektoren werden also Komponentenweise addiert. Sei nun a R, dann führen wir die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 2 folgendermaßen ein a v = a v 1. v n = a v 1. a v n Die Multiplikation wird also Komponentenweise durchgeführt. Beispiel: = 7 ; = Hat man zwei Vektoren unterschiedlicher Dimension, so ist die Addition nicht definiert. Man kann also einen zweidimensionalen Vektor nicht mit einen dreidimensionalen Vektor addieren. Wir wollen den R n nun geometrisch Interpretieren. Wir nehmen dazu ein Element aus dem R 2. Sei also a R 2 mit a = (1, 2). Um dieses Element geometrisch eine Bedeutung zu geben benötigen wir noch ein Hilfsmittel, ein kartesisches Koordinatensystem. Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei im rechten Winkel aufeinander stehende Geraden. Die beiden Geraden sind dabei gleichmäßig unterteilt. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden wird als Koordinatenursprung ausgezeichnet und wird mit O bezeichnet. Wir setzen den Koordinatenursprung gleich dem Element (0, 0) aus dem R 2. Das Element (1, 2) wird nun folgendermaßen in das Koordinatensystem eingezeichnet. 2 Man nennt die reellen Zahlen im Zusammenhang mit Vektoren auch Skalare 14

15 1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum R n Auf der waagerechten Achse, der sogenannten Abzisse wird die erste Komponente abgetragen. Um den anderen Wert abzutragen bewegt man sich parallel zur senkrechten Achse, der sogenannten Ordinate, zwei Einheiten nach oben und kommt an einer Stelle im Koordinatensystem an. Dieser Punkt identifizieren wir mit unserem Element (1, 2). Aufgrund dieser geometrischen Bedeutung nennt man die Elemente aus dem R n auch Punkte. Meint man den Vektor (1, 2), so meint man geometrisch die Richtung vom Koordinatenursprung zum Punkt (1, 2), dies wird durch ein Pfeil kenntlich gemacht. Der Vektor zeigt also auf einen Punkt im Koordinatensystem, deshalb bezeichnet man ihn auch als Ortsvektor des Punktes (1, 2). Da ein Vektor eindeutig durch seine Richtung und durch seine Länge eindeutig gekennzeichnet ist, sind Vektoren von der Lage im Raum unabhängig. Die Vektoren in der folgenden Abbildung sind also alle die selben. 15

16 1 Mengen und Abbildungen Diese Vektoren haben alle die selbe Richtung und sind alle gleich lang. Die Länge eines Vektors nennt man auch seinen Betrag. Man kann Vektoren also beliebig verschieben. Wir wollen nun zur Interpretation des Produktes eines Vektors mit einem Skalar kommen. Multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar, so ändert sich nicht die Richtung des Vektors, sondern nur seine Länge. Multipliziert man einen Vektor mit zwei so wird er doppelt so lang. Multipliziert man einen Vektor mit 1 2, so wird er halb so lang. Ist das Skalar nun eine negative Zahl, so kehrt sich die Richtung um und der Vektor wird um den Betrag des Skalars verlängert oder verkürzt. 16

17 1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum R n Hat man zwei zweidimensionale Vektoren v und w gegeben, so erhält man die Summe dieser Vektoren folgendermaßen: Man verschiebt den Vektor v, so dass sein Anfangspunkt am Ende des Vektors w ist. Die Summe v + w ist der Ortsvektor auf dem der verschobene Vektor w zeigt. 17

18 1 Mengen und Abbildungen Mit diesen operationen können wir auch besondere Punkte bestimmen. Seien A und B zwei Punkte in der Ebene. Die Punkte A und B sind die Endpunkte einer Strecke die wir mit AB bezeichnen. Will man einen Vektor haben der mit der Richtung und der Länge der Strecke übereinstimmt, so bildet man entweder die die Differenz A B oder B A der Ortsvektoren der Punkte A und B. Die beiden Vektoren unterscheiden sich nur in der um das Vorzeichen. Unterscheidet sich ein Vektor von einem anderen durch sein Vorzeichen, so sagt man sie sind entgegengesetz orientiert. Will man den Mittelpunkt der Strecke bestimmen, so nimmt man den Mittelwert der Ortsvektoren A und B, also A+ B 2. Die Abbildung verdeutlicht die Rechnung. 18

19 1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum R n Aufgabe: Es seien die Punkte A = (2, 5) und B = (6, 3) gegeben. Man berechne den Mittelpunkt der Strecke AB. ( ) ( ) Lösung: Es seien A 2 = und A 5 6 = 3 Die Ortsvektoren der Punkte A und B und M der Mittelpunkt der Strecke AB. Es ist dann A M = + B = 1 (( ) ( )) = 1 ( ) ( ) 8 4 = Der Mittelpunkt M der Strecke AB hat also die Koordinaten (4, 4). Wir hatten oben gesagt, dass ein Vektor eindeutig durch seine Richtung und seine Länge bestimmt ist. Wir können einen Vektor aber auch eindeutig durch seine Koordinatendarstellung angeben. Wir wollen nun eine Formel angeben wie man aus der Koordinatendarstellung eines vektors seine Länge berechnen kann. Satz 1 Es sei v ein Vektor, dann heisst die Zahl die Länge des Vektors. v = v v v2 n 19

20 1 Mengen und Abbildungen Wir können nun also die Länge eines Vektors berechnen. Sei v = Länge von v, die Zahl v = = ( ) 2, dann ist die 5 Aufgabe: Durch die Punkte A = ( 2, 3) und B = (1, 5) ist eine Strecke AB gegeben. Man berechne die Länge der Strecke AB. Lösung: Der Vektor der mit der Länge der Strecke übereinstimmt ist der Vektor A B. Die Länge der Strecke AB ist daher A B = ( 2 1) 2 + (3 5) 2 = Aufgabe: Durch die Punkte A = (1, 5),B = ( 3, 7) und C = (1, 3) ist ein Dreieck gegeben, man berechne den Umfang des Dreiecks. Wir wollen noch angeben wann zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Wir führen noch ein Produkt von Vektoren ein. Definition 16 (Skalarprodukt) Seien u, v R n zwei Vektoren, dann nennt man die Zahl u v = u 1 v u n v n das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wir haben das Skalarprodukt für den folgenden wichtigen Satz definiert. Satz 2 Seien u, v R n mit u, v 0 3, zwei Vektoren. uund v stehen genau dann senkrecht aufeinander, falls u v = 0. Nach diesem Satz stehen beispielsweise die Vektoren 1 0 u = 0 und v = senkrecht aufeinander. Aufgabe: Man prüfe, ob die Vektoren u = (1, 2) und v = (4, 2) senkrecht aufeinander stehen. Man prüfe dies auch zeichnerisch. 3 0 = (0, 0,..., 0) 20

21 1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum R n Aufgabe:Man beweise, dass in einem Quadrat die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Lösung: O.B.d.A. habe das Quadrat ABCD die Seitenlänge 1. Wir setzen den Punkt A in den Koordinatenursprung, also A = (0, 0). Die Seiten AD und AB legen wir parallel zu den Koordinatenachsen, also B = (1, 0) und D = (0, 1). Den Punkt C erhalten man dann durch Vektoraddition der Ortsvektoren von B und D. Es ist somit B + D = ( 1 0 ) + ( 0 1 ) = Der Punkt C hat also die Koordinaten C = (1, 1). Wir müssen jetzt überprüfen, ob die Strecken AC und BD senkrecht aufeinander ( ) stehen. Die Vektoren ( ) denen die Strecken AC und BD entsprechen sind A C 1 = und B 1 D 1 =. Es ist 1 ( 1 1 ( ) ( ) 1 1 = ( 1) 1 + ( 1) ( 1) = = Nach Satz 2 stehen die Vektoren senkrecht aufeinander und somit auch die Diagonalen. ) Aufgabe:Man untersuche, ob die Raumdiagonalen in einem Würfel senkrecht aufeinander stehen. Hinweis: Man darf annehmen, dass sich die Raumdiagonalen schneiden. Aufgabe:Man untersuche, ob die Diagonalen in einem Rechteck senkrecht aufeinander stehen. Aufgabe:Man untersuche, ob in dem Parallelogramm ABCD die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. A = (1, 1); B = (6, 1); C = (9, 5); D = (4, 5) 21